О связях и отличиях полузапретов i, II-го рода и запретов k-значных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

О СВЯЗЯХ И ОТЛИЧИЯХ ПОЛУЗАПРЕТОВ I, 11-го РОДА И ЗАПРЕТОВ

Л-ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Н.В. НИКОНОВ, научный сотрудник лаборатории ТВП

Проблема анализа систем уравнений сдвигового типа, порождаемых схемой на рис. 1 [1],

/ (х^ х2, • • •, Хп ) = У1

1к (х

2, хз, •, хп +1) = У2

/ (хм , ХМ +1, —, хп + N-1) = Ум

(1)

где /к ( х) = /к (х1, —, хп ) - к-значная функция от п переменных (п > 2), причем Х1, хп - ее существенные аргументы, а среди Х2, —,хп_1 могут быть и фиктивные, -определяет важное направление прикладной дискретной математики [2, з].

В работе [3] С.Н. Сумароковым было сформулировано важное понятие запрета булевой функции и критерий отсутствия запрета булевой функции. Эти положения мо-

124

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2006

гут быть распространены и на случай функций к-значной логики.

Определение 1

Комбинацию знаков выходной последовательности

П,--,Гк (2)

будем называть запретом к-значной функции

/к (х), если система вида (1) несовместна. Если система (1) для любого N и любого набора знаков У1,...,УN совместна, то будем

говорить, что /к (х) не имеет запрета.

Теорема 1

Функция /к (х) не имеет запрета тогда и только тогда, когда она сильно равновероятна, т.е. для любого натурального N и любого набора значений ..., УN) система

булевых уравнений (1) имеет ровно кп 1 решений.

Заметим, что при N = 1 условие сильной равновероятности сводится к традиционному определению

равновероятной функции, принимающей

7 "-1

каждое свое значение ровно на к входных векторах.

Из теоремы вытекает одно важное следствие, описывающее целый класс функций с запретами.

Следствие

Если функция /к (х) неравновероятна, то она имеет запрет.

Обратимся к рассмотрению графов де Брейна функций, которые в ряде случаев

помогают установить факт наличия или отсутствия запрета функций.

Определение 2

Графом де Брейна к-значной функции /к (Х1,..., X" ) назовем ориентированный граф ^ (/к ) , вершинами которого являются все к" векторов еу = (¿1 ),..., е")),

у) е {0,., к - 1}, у = 1, кп , окрашенных

А г (У) (У) ч цветом / (£{,...,е" ), а ориентированной дугой соединяется вершина 5 с вершиной , если состояние е^ преобразуется в состояние вследствие сдвига на один такт влево

(е( ] ) ¿( ] )) V (е( У) ¿( )

(&1 ,ьп ) ( 2 ^п+1).

Определение 3

Граф де Брейна Зкп (/к) к-значной

функции /к (X!,..., хп ) назовем политомиче-

ским в прямую сторону, если в любую вершину графа входят дуги, исходящие из вершин, окрашенных во все разные к цветов.

Граф де Брейна Зкп (/к) к-значной

функции /к (Х1,., хп ) назовем политоми-

ческим в обратную сторону, если из любой вершины графа исходят дуги, входящие в вершины, окрашенные во все разные к цветов.

Теорема 2

Если у функции /к (х1,..., хп ) граф

де Брейна Зкп (/к) политомический в прямую (или в обратную) сторону, то функция /к (х1,..., хп) без запрета.

Нетрудно заметить, что линейная по крайней переменной функция обладает дихотомическим графом де Брейна и не имеет запрета.

Заметим, что в комбинации знаков ^1, ••,Ум, являющейся запретом, некоторые знаки могут оказаться несущественными, т.е. их изменение не влияет на факт несовместности системы (1). Очевидно, что данные знаки можно исключить из задания запретной комбинации, и оставшаяся после исключения несущественных знаков выходная комбинация

— ,Ъи , (3)

где 1 < /1 < •.. < ¡м < п, также будет запретом.

Определение 4

Комбинацию знаков (3), в которой все знаки являются существенными, т. е. вычеркивание любого знака повлияет на факт несовместности системы, будем называть несократимым запретом.

Определение 5

Число М в комбинации (3) будем называть длиной запрета; число N в комбинации (2) будем называть полной длиной запрета.

На практике обнаруживается, что при построении запретов их структура зависит от разностей расстояний между существенными переменными, что делает актуальным введение понятия обобщенного запрета.

Пусть дана к -значная функция

Iк (Х1, —, хп ), существенными переменными которой являются о^ , о ,•.., оу ,

1 = V! < У2 < •.. < = п . Введем обозначения для расстояний между существенными переменными функции: ^ = V2 _ Vl,

£2 = ^ _ , 1Г_1 = V _ V_1.

Определение 6

Комбинацию знаков выходной последовательности у^ ,•.., ^ , при которой

выбор индексов /'1,-, 'м определяется параметрами ¿1, £ 2, •, £ Г_1 , будем называть

обобщенным (параметрическим) запретом функции /к (Х1, •, хп ), если система

I (xv1, xv2, • • •, ) = У/1

1 (Xv1 +в1, Xv2 +в1,-; \ +в1 ) = У/

1 (+вм _l, XV2 +^м_l,•, ^ +в

\ +в

.) = Г,

(4)

'г™м_1' ' г1 +вМ_1

где ву = ф/ , £ г _1), ] = 1, М _ 1 - некоторые функции, принимающие натуральные значения, несовместна при любых

¿1, £ 2,-, £ г _1.

Таким образом, обобщенный запрет на самом деле описывает целый класс функций с запретом в зависимости от выбора расстояний ¿1, £ 2, •.., £ Г _1.

Предпочтительнее строить несократимые обобщенные запреты, в которых вычеркивание любого знака приведет к совместной системе. Хочется отметить, что это свойство не означает, что при любой фиксации параметров £2,„.,£Г_1 полученный запрет будет несократимым. Рассмотрим пример функции, графическое задание которой приводится на рис. 2.

Пример 1

Х3

Рис. 2

Данная функция обладает несократимым обобщенным запретом

1 1

длины 4. Вычеркивание любого знака выписанной комбинации приведет к совместной системе. При фиксации параметров £2 значениями 1 и 1 получаем комбинацию 110 1 длины 4. Но данная комбинация не

является несократимым запретом, т.к. вычеркивание первого знака не меняет свойство несовместности соответствующей системы. Нетрудно показать, что комбинация 10 1 является несократимым запретом

функции при ¿1 = £ 2 = 1.

Однако при других фиксациях параметров ¿1, £ 2, например, значениями 1 и 2, получившаяся комбинация 11*0*1 наряду с комбинацией 110 1 оказывается несократимым запретом длины 4.

Для некоторых классов функций построение обобщенного запрета, т.е. нахождение системы (4), удобно сопроводить наложением дополнительных ограничений, связывающих параметры £2,...,£г_1. Таковыми условиями могут быть: равенства и неравенства некоторых целочисленных функций от параметров, условия взаимной простоты или непростоты параметров и другие. В большинстве рассмотренных в классификации булевых функций от 3-х переменных данные ограничения имеют вид ¿1 ^ £ 2 [4].

Определение 7

Комбинацию у, ,...,у, с выполне-

'1 'м

нием условий (4), удовлетворяющей системе указанных ограничений, будем называть обобщенным запретом функции

/к (,., хп ) с ограничениями.

Заметим, что в некоторых случаях

при фиксации параметров £2,.,£г_1 в

обобщенном запрете конкретными значениями длина получившейся запретной комбинации может уменьшиться за счет непротиворечивого совпадения знаков. Поясним данное замечание на примере.

Пример 2

Рассмотрим булевую функцию от 3-х переменных, приведенную на рис. 3. Данная

функция обладает несократимым обобщенным запретом

к к

10 110

и

длины 5. При фиксации параметров £ 2 значениями 1 и 1 получаем комбинацию 10 10, длина которой равна 4.

Рис. 3

Отметим, что комбинация знаков

¡1 к

и

0 10 10

^¡г

функции является несократимым обобщенным запретом с ограничением ^ ^ £ 2 .

В связи со сложностью решения классических задач анализа и решения систем вида (1) представляет интерес выделение и исследование структурных подсистем, позволяющих определять отдельные переменные системы (1) либо находить нетривиальные ограничения, налагаемые на отдельные переменные. Данные задачи описываются в терминах полузапретов функции, определения которых приводятся ниже [5, 6].

Определение 8

Полузапретом Ьго рода к-значной

функции /к (х) называется комбинация знаков , для которой в системе (1)

однозначно определяется одно или несколько переменных х., х. е {0,..., к _ 1}.

Определение 9

Полузапретом П-го рода к-значной функции /к (х) называется комбинация

знаков у1,^,ум, для которой в системе (1) на отдельные переменные х. налагаются нетривиальные ограничения, т.е.

х еОс {0, •, к _1}.

Аналогично определению несократимого и обобщенного запрета вводится понятие несократимого и обобщенного полузапрета.

Очевидно, что полузапрет 1-го рода является частным случаем полузапрета 11-го рода и что в булевом случае (при к = 2 ) они совпадают. Покажем, что существуют к-значные функции, обладающие полузапретом 11-го рода, но не имеющие полузапрета 1-го рода.

Пример 3

Рассмотрим функцию 4-значной логики одной переменной

4 2

<р 1(х) = х (шоё4) .

Равенство х2 = 0 локализует значе-

2

ние х е {0,2}, равенство х = 1 локализует

значение х е {1,3}, т.е. знаки = 0 и ^ = 1

- полузапреты 11-го рода. В то же время однозначно определить значение х из уравне-

2

ния х = у невозможно, т.е. полузапрета 1-го рода у этой функции нет.

Сформулируем определения эффективности полузапретов I, 11-го рода и приведем теоремы, устанавливающие связь наличия полузапрета и запрета функции [5, 6].

Определение 10

Эффективностью обобщенного полузапрета 1-го рода у^ , •.., назовем пара-

метр

е1 =

V

М

где V - количество однозначно определившихся переменных.

Эффективность полузапрета 1-го рода дает оценку среднего числа неизвестных, однозначно определяемых при знании одного выходного знака полузапретной комбинации.

Определение 11

Для обобщенного полузапрета 11-го рода у^ ,•..,у{ , порождающего систему из

М к-значных уравнений с Я неизвестными, имеющую л решений, эффективностью еп

назовем отношение

е11 =

Я _1оБк Л М

Введенное таким образом понятие эффективности для полузапрета 11-го рода обусловлено тем, что в случае сведения полузапрета 11-го рода к полузапрету 1-го рода, однозначно определяющего V неизвестных,

г Я _v

число решений л равно л = к , что при подстановке в рассматриваемую формулу приводит к уже известному определению 10

,Я _v

е11 ='

я _ 1о§к к

V

= е1.

ММ

Сформулируем теоремы, показывающие связь понятия эффективности и наличия запрета функции.

Теорема 3

Если у к -значной функции /к (х) есть обобщенный полузапрет 1-го рода у^ , •.., у^ с эффективностью е1 > 1, то

функция /к (у) имеет запрет.

Теорема 4

Если у к -значной функции /к (х) есть обобщенный полузапрет 11-го рода у^ , •.., с эффективностью е11 > 1, то

функция /к (у) имеет запрет.

Доказательства данных теорем приводились в работе [6] и непосредственно вытекают из нарушения условия сильной равновероятности функции при выполнении условий соответствующих теорем.

Теоремы 3 и 4 свидетельствуют об аналитической близости наличия полузапретов 1-го и 11-го рода с фактом наличия запрета. В то же время необходимо подчеркнуть, что между этими понятиями обнаруживают-

ся и значимые различия, что будет показано ниже [7, 8].

В булевом случае достаточным условием отсутствия полузапрета функции /(х1,..., хп ) является ее антисамодвойст-

венность (или самосопряженность), а именно выполнение условия

у О^..., хп ) = /(xi,•••, хп ). (5)

Если операцию инвертирования представить в аддитивной форме, то равенство (5) примет вид

/ (х1,..., хп ) = / (х1 0 1,. , хп 0 1). (6)

Равенства (5) и (6) означают, что операция инвертирования всех переменных не меняет значения функции. Если такую функцию поставить в качестве выходной функции узла, построенного на базе регистра сдвига (рис. 1), то никакая выходная комбинация знаков ?!,••• ,7ы не позволит однозначно определить ни одного входного переменного. Действительно, предположим противное: пусть при появлении на выходе комбинации знаков У1, — ,У^ однозначно определяется некоторый знак х1 = а . Поставим перед входом на регистр инвертор (рис. 4). В силу условия (4) значения выходной гаммы не изменяются, но при этом окажется, что х1 = а. Получаем противоречие.

Следовательно, функция /(х^..., хп ) полузапретов не имеет.

т.е. преобразование g состоит из одного преобразования g, действующего на каждую координату п-мерного двоичного вектора.

Преобразование g инвертирования переменных функции

g ■ у(х1,~-, хп ) = у(xi,•,хп )

можно рассматривать как преобразование замены знаков логики 0, 1 по подстановке

^0 Л

g =

1 0

V1

одинаково действующей на каждую координату. В к-значном случае преобразование замены знаков логики 0, 1, ..., к _ 1 также

задается подстановкой

-Г 0 1 â =

Vâ0

'1

к -1

'к-1

и множество всех таких подстановок образует симметрическую группу S к .

Подействуем некоторой подстановкой â на все переменные к-значной функции fk ( , xn ) и положим, что

fk (â(X1),... ,â(Xn )) = fk (X1,., Xn ). (7) В к-значном случае аналогом свойства антисамодвойственности в булевом случае является свойство отсутствия у преобразования â неподвижных точек, что демонстрируется следующей теоремой.

Рис. 4

Далее будем рассматривать преобразования g е О такие, что выполняется свойство

g ■ /(х1,.,хп ) = /^(х1>-->хп )) = = У (£(x1),•, хп ))

Рис. 5

Рассмотрим схему узла с функцией усложнения /к (х^.., хп ) (рис. 1) и предположим, что комбинация знаков выходной последовательности ^1, • • •, Ум

образует полузапрет 1-го рода, однозначно определяющий

х = е. (8)

Поставим перед входом на регистр сдвига коммутатор логической замены, реализующий преобразование ст, и перейдем к схеме, представленной на рис. 5. В силу равенства (7) выходные последовательности приведенных схем совпадают. Поэтому, исходя из второй схемы, ст( х1) = е, но так как подстановка

ст не содержит неподвижных точек, то х1 Ф е ,

что противоречит условию (8).

Приведем пример функции, удовлетворяющей условию теоремы 5 и не обладающей полузапретами 1-го рода.

Пример 4

х2| 3 Т 2 □

О-

1

0 6

0

о

О-

-0-

0

-О

2

о—

л,

О I = 0

• I = 1

□ I = 2

О I = 3

3

Рис. 6

Преобразование, получившее название «стрелка Лукашевича», осуществляет замену х на (к _ 1) _ х . Для четных к эта подстановка не содержит неподвижных точек, в частности, при к = 4

^0 1 2 3Л

'ЁОЕ

у 3 2 10 у

Рассмотрим функцию двух перемен-4/ \

ных <2 (х1, х2), геометрическое задание которой приводится на рис. 6. Непосредственной проверкой устанавливаем, что

<< ((к _ 1) _ х1,(к _ 1) _ х2) = << (х1, х2),

следовательно, эта функция не имеет полузапрета 1-го рода. Заметим, что эта функция имеет полузапрет 11-го рода, а именно из равенства < (х1, х2 ) = 2 следует, что

х2 е {1,2}.

Обозначим через G(^) множество подстановок ст , для которых справедливо равенство (7). Очевидно, что множество таких подстановок образует группу. Напомним, что стабилизатором элемента

8е {0,•..,к _ 1} в группе G(^) называется множество

ад = \а е ^ )

сС(8) = 8

Теорема 6

Если для любого 8 е {0, •.., к _ 1}

(8)|Ф сик) , то функция ;[к(xl,•,хп)

не имеет полузапретов 1-го рода.

Доказательство

Предположим, что комбинация знаков выходной последовательности ^1, •, Ум - полузапрет 1-го рода, при котором определяется переменная х/ = 8. Перейдем к схеме на рис. 5. Тогда в силу выполнения условия (7) для любой подстановки ст е G(/к ) справедливо

с( х/) = 8. (9)

Но так как (8)| Ф G(^) , то суще-

ствует подстановка ст е G(I ), такая что ст(8) Ф 8 . Получаем противоречие с условием (9).

Теорема 7

Если группа G (Ik) транзитивна, то

функция ^(х^.., хп ) не имеет полузапретов 11-го рода, следовательно, и 1-го рода. Доказательство

Предположим, что комбинация знаков выходной последовательности ^1, •, Хм

1

- полузапрет 11-го рода, локализующий значение х1 еПс {0,1,..., к _1}. Перейдем к схеме на рис. 5. Тогда из условия (7) для любой сс е О(/к ) вытекает

сс( х() еО . (10)

Но в силу транзитивности группы

О(/к) существует подстановка сГ е О(/к), для которой свойство (10) выполняться не будет.

Проиллюстрируем применение теоремы 7 на примере, рассмотрев функцию

х2) 4-значной логики, заданную геометрически (рис. 7).

Пример 5

х.

2 А 3 Л

2 О 1

о О

п-

-6-

о-

0

о—□

О f = 0

• f = 1

□ f = 2

• f = 3

о

2 3 Рис. 7

Из задания функции видно, что прибавление «1» к аргументам функции по mod 4 не меняет значение функции, т.е. выполняется свойство

^з(Х1 + 1, Х2 + 1) = (х1, х2 ) .

Следовательно, для преобразования знаков логики

^0 1 2 3Л

сг =

V

12 3 0

У

справедливо

<P3 (сс(x1 X С(х2 )) = Рз (х1, х2 ) .

(11)

Равенство (11) также будет справедливо и для сг , и для сг , и для всех подстановок группы О(/4) = (<), порождаемой

подстановкой сдвига сг, которая является транзитивной группой. Следовательно, по

теореме 7, функция р3 (х1, х2 ) не имеет полузапретов 1-го, П-го рода.

Теоретический, а также прикладной интерес представляет исследование соотношения свойств наличия или отсутствия у функции /к (х . х ) запретов, а также полузапретов 1-го, 11-го рода [8]. Изучение этого вопроса удобно сопроводить рассмотрением таблицы, предусматривающей анализ всех возможных соотношений между указанными свойствами (таблица).

Каждому варианту в таблице поставлена в соответствие функция, свидетельствующая о том, что данный класс функций не пуст. Доказательство принадлежности указанных функций выделенным классам проведем последовательно.

1. Функция /1 (х1 . хп ) (поле 1).

В работе [5] рассматривалась к-значная функция /к(х ... х ), удовле-

1/ \ 1 ? Э п '

творяющая условию

/к (, хп ) =

> а, 0 < а < (к _ 1) , <5, 0 < 5 < к _ 1

= а

\ + XV

где 1 < v1 < v2 < v3 < n .

Было показано, что если s > 25, то комбинация

Y Y + Л Y

= а

а

а

(12)

является обобщенным запретом функции

/к (х1. х„),

где Л = V _v1, £ 2 =^3 _ V .

Положим а = 1, 5 = 0. Рассмотрим комбинацию знаков (12). Согласно диаграмме, представленной на рис. 8, комбинация (12) порождает систему а + Ь > 1

с < 0 с < 0

ь + а > 1

V < 0 с + V > 1 ^ и < 0

что приводит к противоречию.

1

Таблица

Соотношение между запретами и полузапретами 1-го, 11-го рода Л-значной функции

х\ х2 хз f

а а

а

Комбинация знаков, состоящая из одного знака у. =а, является полузапретом

1-го рода, при котором определяется переменная с = 0. Действительно, равенство

Га + Ь > 1

у. = а порождает систему < , из

/2 [ с < 0

которой следует доказываемое равенство. Комбинация знаков

у. у. , = а а

' ц ' /3 + 1г

является полузапретом 11-ого рода, при котором на переменную с накладываются нетривиальные ограничения. Рассмотрим систему, порождаемую комбинацией у. у. +1 ,

Ь + ё > 1 V < 0 Г V = 0

\ И ^ с > 1,

с + V > 1 [с > 1 _ V и < 0

т.е. с Ф 0, что и требовалось доказать.

2. Функция (х) (поле 2).

Данная функция рассматривалась в примере 3 ( /24 (х) = (2( х) ) и не имеет полузапретов 1-го рода. Знаки у^ = 0 и у^ = 1 -

полузапреты 11-го рода функции. Комбинация знаков, состоящая из одного знака у1 = 3, является запретом функции, т.к. ра-

2

венство х = 3(шоё 4) ни при каком входе х не выполняется.

3. Функция /34(х1, х2) (поле 3).

Для анализа данной функции обратимся к примеру 5. Для рассматриваемой функции из таблицы, как и для функции

(3 (х1, х2 ), представленной на рис. 7, свойство (11) выполняется для любого преобразования из G( /4) = (ст),

( 0 12 3 ^ где ст = .

^ 1 2 3 0)

Таким образом, по теореме 7 исследуемая функция не обладает полузапретами. По графическому заданию функции в поле 3 нетрудно заметить, что данная функция не принимает значение 3. Следовательно, знак у^ = 3 - запрет.

4. Функция /4 (х) (поле 4). Данная функция, очевидно, обладает

полузапретом 1-го рода. Любая фиксация

значения функции /к (х) = а дает полузапрет о = а. Функция не имеет запрета, т.к. является линейной по своей крайней переменной и обладает политомическим в обе стороны графом де Брейна [5].

5. Функция /54 (х1, х2 ) (поле 5).

Из графического задания функции в поле 5 нетрудно сделать вывод о том, что действие преобразования

^0 1 2 3Л

ст =

10 3 2

на переменные функции не меняет ее значение. Преобразование ст не обладает неподвижными точками, поэтому, по теореме 5, представленная функция полузапрета 1-го рода не имеет. Что касается полузапретов 11-ого рода, то при появлении знаков у. = 0 и

у. = 1 накладываются нетривиальные ограничения на переменную х2 , а именно х2 е {0,1}. Аналогично при уг = 2 и у. = 3

переменная локализуется в пределах х2 е {2,3}. Запретов рассматриваемая функция не имеет, исходя из того соображения, что при любой фиксации переменной х1 = 8

функция реализует подстановку по х2 . Поэтому граф де Брейна функции /к (х1, х2 ) -

политомический в прямую сторону, и рассматриваемая функция запретов не имеет [5].

Отметим, что в работе [6] уже рассматривался пример другой функции, обладающей таким свойством. Графическое задание этой функции приводится на рис. 9.

3

□—п—(

2 Г—У

1 о—<>

-о

0 6

0

-о-

1

о I = 0

• I=1

□ I = 2

О I = 3

3

Рис. 9

6. Функция /6 (х1, х2) (поле 6). Данная функция рассматривалась в примере 5 (/¡¡(х^ х2) = ф^(х1, х2)) и не

имеет полузапретов 1-го, 11-го рода. Значения данной функции представляют собой латинский квадрат, т. е. образуют подстановку и по переменной х1 , и по х2 , что говорит

о политомичности в обе стороны графа де Брейна функции, а следовательно, об отсутствии у функции запретов [5].

2

Таким образом, возможны любые соотношения между рассматриваемыми свойствами. Это обстоятельство нельзя признать изначально очевидным, тем более, что при определенных условиях, налагаемых на эффективность полузапретов, из их существования вытекает наличие запрета (см. теорему 3, 4).

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (НШ-2358.2003.9)

Библиографический список

1. Смирнов, В.Г. Системы булевых уравнений рекуррентного типа / В.Г. Смирнов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. - Т. 2. - Вып. 3. - 1995. - С. 477-482.

2. Использование запретов двоичных функций при решении систем уравнений / О.В. Колесников // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. - Т. 2. - Вып. 3. - 1995. -С. 483-493.

3. Сумароков, С.Н. Запреты двоичных функций и обратимость для одного класса кодирующих устройств / С.Н. Сумароков // Обозрение приклад-

ной и промышленной математики. - М.: ТВП. -Т. 1. - Вып. 1. - 1994. - С. 33-55.

4. Никонов, Н.В. О классификации всех булевых функций от 3-х переменных с обобщенными запретами / Н.В. Никонов // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2004. -№ 5 (36). - С. 177-188.

5. Никонов, В.Г. Запреты к-значных функций и их связь с проблемой разрешимости систем уравнений специального вида / В.Г. Никонов, Н.В. Никонов // Вестник РУДН. Серия прикладная и компьютерная математика. - Т. 2. - № 1. -2003. - С.79-93.

6. Никонов, В.Г. О проблемах локальной разрешимости и совместности систем к-значных уравнений сдвигового типа / В.Г. Никонов, Н.В. Никонов // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2004. -№ 1 (32). - С. 137-142.

7. Никонов, Н.В. О классах к-значных функций без полузапретов / Н.В. Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ОПиПМ. - Т. 12. - Вып. 1. - 2005. -С.168-169.

8. Никонов, Н.В. О соотношениях между запретами и полузапретами I, 11-го рода к-значных функций / Н.В. Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ОПиПМ. - Т. 12. -Вып. 3. - 2005. - С.755-756.