Приближение функций времени методом интерполирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 191

1969

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ МЕТОДОМ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ

В. М. ОСИПОВ

(Представлена научно-методическим семинаром кафедры инженерной и

вычислительной математики).

Задача приближения функций времени или других функций, определенных на полубесконечном интервале, часто возникает в различных отраслях современной техники.

Если функция задана аналитически, то задача приближения наилучшим рбразом решается путем ее разложения в конечный ряд по той или иной системе ортогональных функций. В этом случае, как известно, ошибка приближения будет минимальной в смысле метрики соответствующего гильбертова пространства. Из всех систем такого рода наилучшими аппроксимирующими возможностями обладают экспоненциальные полиномы («е»-лолиномы) Чебышева I рода Tk*(t) (к—0, 1, 2, . ..) и «е»-функции Чебышева III рода Sk(t) (k= l, 2, . . .) [5]. Однако, если коэффициенты Фурье разложения по функциям Sfc(t) (k=l, 2, .. .) можно получить с помощью экспоненциальных моментов для весьма широкого класса функций времени [6], то разложение по «е»-поли;ном|ам Tk*(t) (k=0, 1, 2 ...), как правило, найти не удается [5]. Между тем приближенные значения коэффициентов обоих разложений, лишь незначительно отличающихся от коэффициентов Фурье, можно получить в результате интерполяционного процесса, в котором узлами интерполирования служат нули «е»-полинома Tn*-(t) или функции Sn+i (t). Такой путь определения коэффициентов разложения является наиболее простым и совершенно естественном, когда функция времени, подлежащая разложению, задана в виде некоторой эмпирической зависимости, т. е. графически.

Замечательное свойство обычных ортогональных полиномов, определенных на конечном интервале, заключающееся в том, что они ортогональны не только в смысле интегрирования, но и в смысле суммирования по узлам интерполирования [4], без всяких изменений распространяется на «е»-функции Чебышева Tk*(t) и Sk(t), что существенно упрощает процедуру вычисления.

Задачи интерполирования с помощью ортогональных функций з связи с этим удобно рассматривать с точки зрения простейших понятий функционального анализа.

Возможны различные схемы интерполирования с помощью «е»-функций Tk*(t) и Sjc(t) (k=0, 1, 2, п), каждой из этих схем соответствует единственный ортогональный базис, порождающий некоторое подпространство «п»-мерного эвклидова пространства Rn. Ниже рассматриваются некоторые из этих схем.

1. Ортогональные базисы некоторых подпространств

а) Подпространство 1?птт Пусть Т0*(О, Т(*(1), ... Тп—х(1) —«п» первых «е»-'Полиломов Чебыше-ва I рода [5]. Предположим, что № (1=1, 2 ... п) —нули «^»-полинома 1 п *(1). Образуем систему из «п» векторов Тк (к = 0, 1... п—1). «п» координат каждого 1ве;ктора этой системы определяются как значения «е»-полинама Тк*(1:) в ¡нулях «»-полинома Тп*(^), т. е.

Тк={Тк*(^), .... Тк*(^т)}. (1-1)

Построенная система векторов образует ортогональный базис некоторого подпространства Нптт эвклидова пространства Ип [1], так как [приложение 1]

(Тк, Тш)=0 к^=т

11ТкН2='(Тк,Тк)= ~ (1-2)

Любой вектор Г^Ид™ представим в форме [1]

{т = 2!ь/тк. (1-3)

к=о

В частности, предположим, что задана некоторая ограниченная функция ¡({) (о ^ 1; оо), удовлетворяющая условию [5]

/

еНг|ВД]-

VI

(11 <

со

е'

а.

тогда ома может оыть разложена в сходящим ряд по «е»-полиномам Тк*(1)

ад = ¿ЬкТК*(о

I Г"-!

Рассмотрим отрезок ряда

п — 1

'О

ад ^ + 2ЬКТК*(1). (1-4)

I к

Положим последовательно = (1 = 1, 2, .... п), тогда получим систему из п.лилейных уравнений, которую в векторной форме можно записать следующим образом:

г = П2ЬКТТК, (1-5)

к = о

где вектор Гт имеет вид

ф2т), г (1пт)}, (1-6)

Ькт (к = 0, Л, .. ., п— 1) —скалярные величины, несколько отличающиеся от коэффициентов Ьк (к=0, 1, п —1) в разложении (1-4).; Тк (к = О, К . . . , п — 1) — система векторов, определяемая формулой (1-1} и образующая ортогональный базис подпространства Кптт, причем вектор Т0 берется с весом

Равенство (1-5) совпадает с (1-3). Оно означает, что существует оператор 1лтт, осуществляющий изометрическое отображение подпространства Иптт на пнмерное даклидово пространство т. е.

1ПТТ • ^ = ЬТ, (1-7)

где

Ьт= (ЬоТ, .... Ьп_!т). (1-8)

Выясним структуру оператора 1птт. Умножим (1-5) скалярно на вектор Тт, тогда в силу (1-2) будем иметь

Ьтт = = ^1т)Тт»(1,т)(га = 0,1)2...п - 1). (1-9)

1 т II п 1 = 1

Совокупность этих уравнений можно записать в форме (1-7). Следовательно, оператор 1ПТТ определяется матрицей пХп с элементами

= = -|-Тк*(^т)(к = 0,1. .п - 1)0 = 1,2.,.п).

Формула (1-9) определяет приближенное значение коэффициентов в разложении (1-4), полученное в результате интерполяционного процесса по нулям первого из отброшенных «е»-полиномов в (1-4), т. е. по нулям Если произвести нормирование векторов Тк (к = 0, 1,

п—1), то получим ортонормированный базис подпространства Нптт, который можно рассматривать как совокупность собственных векторов некоторого самосопряженного оператора Ат. Система уравнений для

нормированных векторов Тк = 1/ ^ • Тк имеет вид

_ V П

Ат • Тк = А.к • Тк (к=0, 1, .... п-1), С 1-Ю)

Ак (к —0, 1, п—1) —собственные значения оператора Ат. Введем матрицу пХп ипт, столбцы которой есть координаты векторов Тк (к = 0, К . . . , п-1). Очевидно,

Ьгпт ■ ипт='Е, (1-11)

где Е — единичная матрица, а символ (~) означает транспонирование.. Можно видеть также, что

и следовательно,

_ 2

1птт.1птт __ Е. (1-13)

Умножим уравнение (1-7) на 1птт, тогда получим

Г = -Н-1ПТТЬТ (1-14)

Это уравнение эквивалентно векторному уравнению (1-5), полученному в результате интерполирования, поэтому матрицу 1ПТТ естественно назвать интерполяционной матрицей. Столбцами этой матрицы

. 2

служат векторы Тк (к = 0, 1, п— 1), умноженные на —

Найдем структуру оператора Ат, собственные векторы которого образуют ортонормированный базис рассматриваемого подпространства. Введем диагональную матрицу X

А0 о о ... о о /м о ... о

ООО. . X

п-1

(1-15)

и напишем матричное уравнение

Ат-ипт = ипт^ (1-16)

Оно эквивалентно всей совокупности уравнений вида (1-10) [4]. Умно-

жим (1 -16) справа на транспонированную матрицу ипт. Учитывая (1-11), будем иметь следующее представление для матричного оператора

Ат = и,Д.ипт = ~1п"->-Г„тт. (1-17) б) Подпространство Rnss

Ортогональный базис, порождающий подпространство Rnss, можно получить аналогично предыдущему.

Возьмем п первых «е»-фун|Кций Чебышева III рода Si(t), Sn(t)

[5]. Пусть tjs (i — 1, 2, п) есть нули функции Sn+i(t), т. е. нули «е»-полинома Чебышева И рода Un*(t), так как

Sn+1(t) = 2-e-Vl-e^at -b'n^t).

Образуем п векторов по формуле

Sk={Sk(t,s), Sk(t2s), Sk(tns)} (k = I, 2, . .., n). (1-18) Можно показать [приложение 1], что

(SK, Sm) = 0 к^ш |

(SK,SK)==,|SK||^H+Lj- (1-19)

поэтому система ¡векторов Sb S2, . Sn .может быть принята в качестве ортогонального базиса некоторого подпространства, которое мы обозначим через Rnss.

Рассмотрим задачу интерполирования с помощью функций Sk(t) (k—1, 2, ..., п). Функцию f(t) (0^t<oo) подчиним дополнительному условию

f (о) = f((oo) = о. (1-20)

Задача состоит в определении коэффициентов частной суммы

f(t) ~ >] .SkSJI), (1-21)

k = 1

которая имеет ¡векторный аналог

is=ipKsSK (1-22)

k-i

Смысл равенства (1-22) состоит в том, что вектор fs, принадлежащий подпространству Rnss, раскладывается по ортогональному базису этого подпространства, поэтому

?kS = = (k = 1, 2 ... п), (1-23)

где f(tis)—значения функции f(t) в узлах интерполирования, т. е. координаты вектора fs. Аналогично предыдущему мы можем ввести интерполяционную матрицу Inss, столбцы которой есть координаты

2

соответствующих векторов ортогонального базиса, умноженные Han_|.j С помощью этой матрицы (1-22) можно записать в форме (1-14)

fS = JL+_LInssßS) (1-24)

где = (р2^ - —вектор гнмерного эвклидова пространства

Ип. Таким образом, П ' * 1п38 есть матрица, осуществляющая изоморф-

ное соответствие между пространством Ип и его подпространством Ип5555. Учитывая, что

п 1 т ээ 'Г ээ _ р

2 Ап ' 1п

можно получить решение уравнения (1-24) относительно вектора рэ

= (1-25)

которое объединяет всю совокупность скаля,р:ных уравнений (1-23). Отметим также, что ортонормированный базис Бь Бг, . .., Эп рассматриваемого подпространства есть особенные векторы матричного оператора А3, структура которого определяется формулой

А8 = 1п55

в) Подпространство КП8Т

Пусть имеет место конечное разложение (.1-21). В качестве узлов интерполирования выберем не нули «е»-/пол1инома ип*(0> как в предыдущем случае, а нули «еэмполинома Тп*(1;). Векторное разложение получит вид

- 2Ркт^кт, (1-26)

к = I

где ¡т есть (¡1-6), а вектор Эк1 определяется формулой

Эк^^И^), 5к(12т), .... 5к(Ьт)}. (1-27)

Система векторов Экт (к='1, 2, ..., п) также обладает свойством ортогональности [приложение 1]

(5к\5тт)-0 к^т

(вк1^) =||8КТН2=-^| °"28)

и, следовательно, может служить ортогональным базисом порождаю щим некоторое подпространство Кпьт. Все ранее полученные формулы сохраняют свой вид. В частности, если ввести интерполяционную матрицу 1П5Т, столбцы которой есть координаты соответствующих векторов ортогонального базиса, умноженные на то (1-26) можно за-

писать в форме

Г = -

2

{Т = п 1п8Т ^

где

рТ=(р!Т, Р2Т, .... РпТ). (1-30)

Будем также иметь

,8кт = = -^-у ^,Т)-8К(1,Т) (к •■= 1, 2 . . . п) (1-31)

или более компактно

рт^т.р п„32)

Совместное решение (1-29) и (1-14) дает

2

п

^ i ST Т TT KT ln ' ln * ü J

2

InTT*InST.ßT. (1-33)

Эти векторные равенства связывают коэффициенты разложений (1-4) и (1-21), найденные интерполированием по одним и тем же узлам для

одной и той же функции. Матрицы 1П5Т * 1птт и 1птт* 1п8Т есть

матрицы преобразования вектора рт в вектор Ьт и наоборот.

2. Связь с численным интегрированием

Целью рассматриваемых интерполяционных процессов является получение приближенных значений коэффициентов Фурье в конечных разложениях по «е»-фу.нкциям Тк*(<;) и Бк^) (к = 0, 1, п). Коэффициенты Фурье этих разложений есть определенные интегралы [5], поэтому полученные интерполяционные формулы есть формулы численных квадратур. Покажем, что они относятся к группе квадратурных формул ¡наивысшей точности, т. е. к так называемым гауссовым квадратурам [3].

Рассмотрим интеграл

со

к ] VI — е-а(

О

Сделаем подстановку x = e~at, тогда получим

2 Г <р*(х)

J V х(1 - X)

dx. (2-2)

о

Весовая функция Р(х) = ^ — есть частный случай весовой

Ух( 1 х)

функции Якоби Р °)(х) = х?(1 — х)° , соответствующий значениям Y = ö =---^ Этот частный случай характеризуется тем, что полиномы

Якоби преобразуются в смещенные полиномы Чебышева Tn*(x) (п = 0, 1, 2, . ..), которые образуют полную ортогональную систему функций

на (0,1) с весом р(~~2~'~ т) (х) [3, 4]. Согласно общей теории гауссовых квадратур [3] приближенное значение интеграла (2-2) можно получить по п ординатам функции <р*(х) ib точках xiT (i=l, 2, . . ., п), где

Х.Т = C0S2 (21~п1)д (i = 1, 2 . . . П) (2-3)

есть нули полинома Тп*(х) [приложение 1]. Таким образом,

о i- 1

где Rn(cp*) —остаточный член, имеющий вид [3] 138

(2-4)

Rn(4>*) = -¿=2 • О < S < 1- (2-5)

Вернемся к прежней переменной, тогда, очевидно,

оо at

-т- i 7r=lödi = + R"T(cp)- (2"6)

о

Здесь tiT (i = 1, 2, . . ., п) есть .нули «е»-полинома Чебышева I рода Tn*(t) [приложение 1]. Положим

q7(t)=cpT(t)=f(t)TkMt) (k=0, 1,2,----n—1), (2-7)

тогда интеграл (2-1) будет определять коэффициенты Фурье функции f(t)

с» at

ък = — Г ■ ^(t)TK*(t) dt _ _ _ n_

K TT J Vi — e~ai

О

т. е. коэффициенты в конечном разложении функции f(t) по «^»-полиномам Чебышева I рода [5]

f(t) = +SbKT/(t), (2-9)

I k=l

Согласно (2-6), учитывая (2-7) и (2-8), получим

п

bK = J •Tk*(t)dt = -|"2%Т)Т^№Т) + КЛс?т)-(2"10)

о '

Если иметь в виду (1-9), то можно написать

bk=bkT+RnT (фт), (2-11)

где

V - -|"Sf(tiT)TK*(tiT) (1-9)

n i = l

есть приближенное значение коэффициента Фурье в разложении (2-9), полученное в результате интерполирования по нулям «е»-полинома Tn*(t).

Остаточный член Ипт(<рт) имеет вид

1 сРп

НЛ?т) = - ~d^f(t)Tk*(x)] О < X < со. (2-12)

(2п)!

Положим теперь

<p(t) =<ps(t) =f (t) • Sk(t) .(k = l, 2, . .., n), (2-13)

причем будем считать, что f(ö) = f (оо) =0. Это требование не уменьшает общности, так как при f(0)^0 и f(oo)^0 можно рассматривать функцию

fx(t) = f(t) - f(0)e~V - f(oo)(l -.e"T).

Случай f(0) = оо и f(оо) = оо исключается.

Sk(t) (k=-l, 2, . .., п) «е»-функции Чебышева III рода [5]. Подставим (2-13) в (2-1), тогда значения интегралов

оо at

ßk = Г е 2fW. sK(t)dt (k = 1, 2 . . . n) (2-14)

11 J Vi-

- at

e

будут давать коэффициенты Фурье разложения функции f(t) в конечный ряд по ортогональным функциям Sk(t) [5]

f(t) = 2 PkSkW. (I-21)

k-l

Если подставить (2-13) в квадратурную формулу (2-6), то будем иметь

Рк = ^-if(tiT)-SK(t,T) + R„t(9s) (k = 1, 2 . . . n).

П i = l

Согласно (1-31)

__ 2 Jl

Рк1

й T - — 2f(tiT)-SK(t,T) (k = 1, 2 . . . n) (1-31)

n i = i

есть приближенное значение коэффициентов Фурье в разложении (1-21), полученное в результате интерполирования по нулям «е»-поли-нома Тп*(0.

Квадратурная формула (2-6) позволяет получить приближенное значение интеграла по п ординатам функции ф(1), взятым в нулях «»-полинома Тп*(1:). Этот результат является следствием ортогональности полиномов Тк*((:) (к=(0, 1, 2, п) с весом

а

-at

е

P(t),

но с таким же весом ортогональны «е»-функции Чебышева III рода Sk(t) (k=l, 2, ...), которые являются также собственными функциями соответствующего дифференциального оператора Штурма-Лиув'илл л [1, 4]. Это обстоятельство позволяет, ничего не меняя по существу, получить квадратурную формулу по ординатам функции ф (t), взятым в нулях функции Sn+i (t), т. е. в точках tis (i='l, 2, ..., п+1) [приложение 1]. Будем иметь п-Н2 ординаты qp»(tis) (i=0, 1, 2, ..., n+1), включая значения на границах интервала. Если выполняется естественное требование ф(0) =<р(оо) = о, то квадратурная формула принимает вид

¿г 1-е 1 = 1

Пусть ф(0 определяется формулой (2-13), тигда слева получим точное значение коэффициента Фурье Рк- Таким образом,

Рк = :Нг7 2 ВД^,8) + 1?п8Ы (2-16)

п • 1 Т=г

или по-другому

Рк=Рк5 + Кп5(фз),

где есть приближенное значение коэффициента Фурье, определяемое формулой (1-23)

Рк8 = ^Зад-Эк^). (1-23)

3. Погрешности и сравнение интерполяционных процессов

Точность рассматриваемых интерполяционных процессов определя-

ется абсолютным значением остаточных членов в соответствующих

квадратурных формулах. Однако сравнение точности на такой основе провести практически -невозможно, так как требуется значение 2п производной разлагаемой функции в некоторой неизвестной точке, расположенной в интервале (0, оо).

Ниже рассматривается другой подход к этой проблеме, очень удобный для целей сравнения.

Пусть есть непрерывная и ограниченная функция

во всем интервале, тогда ее разложение в бесконечный ряд по «е»-по-линомам Чебышава Тт*(1;) будет сходиться равномерно и точно представлять 1(1) в каждой точке

Ш) = ^ + 2 ЬшТга*(1)

(3-1)

Ш = 1

Первые п коэффициентов этого разложения мы можем приближенно определить, интерполируя по нулям «е»-полинома Тп*(1;), т. е. по формуле (1-9)

2 2 ^Т)-ТК*(^Т) (к = 0,1, ... п - 1). (1-9)

ь т

ик

п

1=1

Положим в (3-1) 1 = ит и подставим в (1-9). тогда получим

Ь0 £ -...... . 2

Ь„т =

^ 2 т%(1,т) + 2 Ьш 2 тт*а1т)-тк*(^).

Если иметь в виду [приложение 1], что

8ш(ш — К)тг (Ш — К)тт

БШ

то можем написать

* 1 = 1 ^Иш = 1

2п

зт(т — к)тс (т —

81П(Ш + К)тг

. (ш + вт -

(3-2)

эт

2п

2п

эт(т + к)х . (т + к)тг

5Ш—2Н-

(3-3)

Раскрывая неопределенности при ш = у2п±к (V=0, 1, 2, ...), будем иметь (при любых других значениях ш (3-3) равно нулю)

Ь„т

v = l

Ьк + 2 (Ьою-к + Ьч2п+к) (К - 0,1 ... п - 1) (3-4)

(3-5)

или в развернутой форме

ЬкТ = Ьк+,Ь2п-к+Ь4п-к+ . . . +Ь2п+к+Ь4п+к+ - • •

Выоажение

(3-6)

N — 1

есть, очевидно, ошибка рассматриваемой интерполяции. При малых к (по сравнению с п—1) ошибка невелика, однако с ростом к ошибка растет и при значениях к, близких к п—1, она может быть соизмерима со значением Ькт. Так, при п = 7 получим следующую картину:

Ьот = Ьо+2Ь14+2Ь28+... ,

Ь1т=,Ь1+Ь13+Ь15+ ... ,

Ь5Т = Ь5+Ь9+Ь19+... ,

Ьет = Ь6+Ь8+Ь2о+ - - - .

Если функция f(t) достаточно гладкая, т. е. ряд (3-1) сходится быстро, то погрешность интерполяции будет мала. Наложим дополнительное ограничение на разлагаемую функцию f (t). Потребуем выполнения равенства

f(0)=f(co)=0, (3-7)

тогда разложение по ортогональной системе Sm(t) (т=1, 2, .. .) будет сходиться равномерно

ад

2 ?mSm(t).

Ш - 1

(3-8)

Если воспользоваться интерполированием по нулям «е»-полинома Тп*(1;), то приближенное значение первых п коэффициентов разложения (3-8) .можем определить по формуле (1-31)

О п

= ^-Sf(tiT)SK(tiT) (к = 1, 1с . . . п).

п

(1-31)

\--.i

Поступая аналогично предыдущему, получим

iVr = --¿ьт 2 sm(V).sK(t^).

П

i-1

Учитывая, что [приложение 1]

i- 1

будем иметь

2п 2d

т-1

sin(m — к)тг (ш —

sin

о.

L lvm

sin(m

sin

(т

kU

2n

2n

sin(m + к)"

(m + к)тг

Sin ----0——

2n

sin(m -f k)t:

. (m + sin •

2n

(3-9)

Все члены этого ряда, у которых т^у2п±к (у = 0, I, ...), будут равны нулю. Раскрывая неопределенности при т=^2п±к (у = 0, I, . ..), получим

Ркт = рк+р2п-к~р4п-к+ ... - р2п+к+|34п+к-.....(3-Ю)

Все замечания, высказанные ранее, остаются справедливыми и для этого случая. Имеется, однако, одна особенность, заключающаяся в том, что последний коэффициент, соответствующий к = п, может быть определен -в результате интерполирования весьма точно. В самом деле, положим в (3-10) к = п, тогда

(Зпт = 2рп-2рзп+... ,

откуда с большой точностью можно считать-—- рпт = рп.

1

Таким образом, если последний коэффициент взять с весом ?

то полученное значение будет весьма мало отличаться от коэффициента Фурье (Зп. Другими славами, искомое разложение следует писать в форме

{(1)-ф1Т51(1) + р2Т52(1) + . . . +^-рпт5п(1), (3-11)

если коэффициенты определять по формуле (1-31). Найдем связь между коэффициентом полученным при интерпо-

лировании по нулям функции 5п+1(1), и коэффициентами Фурье в разложении (3-8).

Имеем

hs = ^Xii W)SK(t,s) (К = 1, 2 ... n). 11 1 i=l

Повторяя ту же процедуру, получим [см. приложение 1]

(1-23)

hs -

_J_v S

sin(m — k)tc-cos -

(m — K)TC

2(n + 1)

sin

sin(m + k)tt-cos

(m — к)тг 2(n + 1)

(m + K)tu

(n + 1)

sin

(rn + к)тг

(3-12)

откуда, раскрывая неопределенности при m = v2i(n+l) ±k (v = 0, .1, ...), найдем искомое соотношение

PkS = Pk p2(n+l)—k p4(n+l)—k • • • + P2(n4-I)+k+P4(n+l)+k"b • . . . (313)

Максимальная абсолютная ошибка при такой интерполяции будет оавиа

^ »

|PkS-Pk| = |P2(n+l)-k| + |p4(n+lbk|+...+ |P2(n+l)+k|+... (3-14)

В то время как при интерполировании по нулям «е»-полинома Tn*(t) она имеет вид

|pkT-pk| = |p2n-kI + |p4n-k|+-.-+ |P2n+k|+... - (3-15)

Если коэффициенты разложения (3-8), начиная с m>n, монотонно убывают по абсолютной величине, то

|рк8-рк|<|ркт-Ы.

т. е. коэффициенты, определяемые по формуле (1-23), -меньше отличаются от соответствующих коэффициентов Фурье, чем коэффициенты Ркт, определяемые интерполяционной формулой (¡1-31), при одном и том же количестве ординат. Другими словами, интерполирование по нулям Sn+i(t) заметно точнее, чем интерполирование по нулям Tn*>(t).

Для получения той же точности коэффициенты |3кт следует вычислять уже по п-Ы ординатам функции f(t), так как замена п на п+,1 в (3-15) дает (3-14).

Что касается коэффициентов bkT, определяемых интерполяционной формулой (1-9), то их отличие от соответствующих коэффициентов Фурье в разложении (3-1) будет определяться формулой типа (3-15), однако последний коэффициент bn_iT будет иметь значительную погрешность, поэтому такое интерполирование будет, вообще говоря, менее точным, чем при использовании функций Sk(t).

Последнее можно объяснить тем, что при использовании этих функций нулевые граничные условия удовлетворяются заранее, независимо от коэффициентов разложения, поэтому равенство в (3-11) фактически достигается не в п точках интервала (0, оо), а в п+2 точках, что не может не повлечь за собой некоторое увеличение точности.

Таким образом, из всех рассмотренных интерполяционных процессов наибольшей точностью обладает процесс, по которому определяются коэффициенты pks (k=l, 2, п), т. е. квадратурная формула (2-15).

Отметим, кроме того, что из равномерной сходимости разложений (3-1) и (3-8) следует bm-^o и рт-^0 при т-^оо. Учитывая это, можно

видеть из (3-5), (3-10) и (3-13), что при п->-оо приближенные значения коэффициентов Фурье стремятся к точным, т. е. интерполяционные процессы сходятся.

В приложении 2 приведены значения нулей «е»-1полинома Тп*0) и функции Зп_}_х (1) до п = 8. За недостатком места не приводятся интерполяционные матрицы. Их элементы могут быть найдены с помощью таблиц для тригонометрических функций. Так, элементами матрицы

-^-1ПТТ будут величины [приложение 1]

Тк*(^т)=созка1т - собк (21 ~ ^ (к= ,1 ... п - 1) (1 = 1, 2 ...п)

П П I 1

Для элементов матриц—— 1П5Т и—~—1ПЙ8 соответственно будем иметь формулы

тч _ —.. (21 - 1)«

Sk(t,T) — sinKa/ = sinK Sk(t,s) = sinkajs = sin

2n

n + 1

Столбцы этих матриц есть координаты ортогональных векторов, образующих базисы соответствующих подпространств. Что касается параметра «а», то о:н должен выбираться из условий, указанных в [6]. Необходимо, однако, помнить, что если f(0)=^=0 и f(oo)=^0, то коэффициенты разложения по функциям Sk(t) (k=l, 2, л) следует искать для новой функции вида

f, (t)=f(t) - f(0)е"т - f(oo) (l - e" П, тогда для заданной функции получим представление

f(t) - f(o)e"T + f(oo)(l - е-т) + j] pkSk(t).

k= 1

В качестве примера найдем приближенные значения коэффициентов Фурье bkT, PkT и Pks для функции

f (t) =e_t * cos 31. (3-16)

Эта функция имеет довольно сильно выраженный колебательный характер, однако мы попытаемся найти приближенное значение нескольких первых коэффициентов, взяв всего лишь восемь ординат. Результаты расчета по рассмотренным схемам приведены >в табл. 1 (а=1).

Таблица 1.

к 0 1 2 3 4 5 6

Ьтк 0,5159 0,5224 0,3480 —0,0390 —0,1400 0,0390 0,3969

Рт „ — — 0,6550 0,1204 0,2307 -^0,03!04 —0,0785 0,0415

|3®к — —0,6509 0,1137 0,2385 —0,0355 —0,0805 0,0647

Р„ — —0,6529 0,1175 0,2335 —0,0304 —0,0839 0,0544

Расчет приводился по шестизначным математическим таблицам Чемберса, однако взято лишь четыре знака, в некоторых случаях произведено округление. В последней строке приведены значения коэффициентов Фурье Рк (к = 1, 2, ..., 6), полученные по точным формулам [6]. Несмотря на столь малое число ординат для такой функции, как (3-16), погрешность для технических приложений вполне приемлема.

Приложение 1

Доказательство ортогональности базисных векторов

Подстановка e-at=-oos2-^-или t=--—In cos(Л1-1) преобра-

Z а I

зует последовательности «е»-полиномов Чебышева I рода TK*(t) (k = 0, 1, 2, . . .) и «е»-функций Sic(t) (k=l, 2, . ..) в последовательности тригонометрических функций cos ка и sin ка (к = 0, 1, 2, . . .) соответственно [5].

Корни уравнения -cos па =0 (О^а^я) определяются формулой

... V М - (i 1.2...»), (HI-:)

поэтому нули «е»нполинома Tn*(t) располагаются в точках

tiT ^ - -^-ln cos (2i — 1) -—J- (1 = 1,2... п). (П1-3)

Для уравнения sin (n-b 1 ) а= 0 на открытом интервале (0, я) будем иметь п корней:

«is = n ^ l (i = 1, 2 ... п). (П1-4)

В соответствии с этим нули «е»-функции Чебышева Sn+i,(t), совпадающие с нулями «е»-полинома Un*(t), располагаются в точках

tis = - 1й COS (1 = 1, 2 . . , п). (П1-5)

а) Покажем, что

0 ш ф к

(Тк, Т.) = STkW,T.W) = JLm = к (™-6)

ii 2

Поскольку

Tk*(tiT) — cos kctiT, а Tm*(tiT)-cosrnaiT, задача сводится к доказательству соотношения

0 m ф к cos ka^-cos majT — n

_, m

i1

Имеем

coska^-cosma^ = -^-[cos(k — m)aiï + cos(k + т)ос|т]

10. Заказ 907.

145

1 /0. п к - ш)« 1 ч (к -т- m)~ = —r-cos(2i — l)v—s—-----— eos 2i — 1) —-0 -

2 2n ü 2n

Если учесть, что [2]

V cos(2i — l)x f? i

1 sin nx

51П X

то можно написать

п

coslía^'-cosmaj

sin(к* — m)^ sin(k + m)~

. (k — m)* sin

2n

(k -i- mH sin ~—^—— 2n

При любых неравных кит это выражение равно нулю (к-Ьш^2п ц к —ш^=2п). При к = ш, раскрывая неопределенность, получим Таким образом, соотношение (П1-6) доказано, б) Покажем, что

О к ^ ш (ЗкД„) =У5к(*18)8т(Ъ8) =п + 1

(П1- )

i 1

2

к = т

Аналогично предыдущему задача сводится к доказательству соотношения

п 0 к Ф m

\ Sinka:s-sima=s ~ п+1

¿шЛ -77- к = ш.

i-I

2

Используя (П1-4) и выполняя преобразование, получим

¿ • i s • s 1 - (к ™ ш

у. sinkaf-sinmaj =■ —У, cosí ------r~'i

¿ rt n + 1

Для любого х имеет место тождество [2]

п

2

1 " . (к + ш)к

Т S C0S1 п + 1

COS1X

п + 1 . X eos —2-x-smn-g-

^ sin2(n + l)x-cos

sin

sin

о П + 1

— eos--2— x-

r[ (k - m)* (к + m)~

Подставляя X-* -;—:- И X -> v

n + 1 n 1

преобразований

n

sinka^-sinmocf

sin(k — m)-*cos

получим после простых (к - т)п

2(п + 1)

. (К — гл)~

sm Vv/ ■ 1ч 2(n -f- I)

TZ

1 . /, , v (k + m) T S¡n(k + m)u'C°S 2(n + 1)

51П

(к + т)тг 2(n + 1)

sink^'sinm^.

При это выражение равно нулю; при к = т, раскрывая неопре-деленность, получим---, что и доказывает (П1-7).

в) Покажем, что

О к ф m

(skT, smT) - У sk(tiT).sm(t|T) - ji

k=m*

(П1-8)

i = l

Замена (П1-3) дает

и

(SkT, SmT)

i = l

sinka^'sinmaj'

sin(k т)к sin(k + m)~

(к — т)к . (к+ш)к

sin ---—— sin -—--

2n 2n

откуда и следует (Ш-8).

Приложение 2.

Нули полинома Tn*(t)

п ati aiz aU aU ! i aU aU at? a{s

1 0,69315

2 0,15835 1,9210-8

3 0,06934 0,69315 2,7022

4 0,0388 0,3691 1,1755 3,2686

5 0,02678 0,23080 0,69315 1,5794 3,71024

6 0,01628 0,15835 0,45764 1,00171 1,9380 4,12610

7 0,01261 0,11550 0,33275 0,69315 1,2613 2,21560 4,3786

8 0,01065 0,08803 0,25130 0,51492 0,91017 1,50411 2,47379 4,64615

Нули Sn + l(t) 0<t< oo

n ah aU i a t3 i a\b at(i CLt- tft.s

1 0,69315

2 0,28768 1,38629

3 0,15835 0,69315 1,92108

4 0,10036 0,42387 1,06279 2,3487

5 0,06934 0,28768 0,69315 1,38629 2,70325

6 0,0508 0,20857 0,59223 0,94485 1,76996 3,05836

7! 0,03880 0,15835 0,36912 0,69315 1,1755 1,92108

8 0,03062 0,12440 0,28768 0,53313 0,88388 1,38629

ЛИТЕРАТУРА

3,26859 2,14577

3,50145

1. Б. 3. Вулих. «Введение в функциональный анализ». Физматгиз, М., 1958.

2. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений», Физматгиз, М., 1962.

3. В. И. Крылов, JI. Т. Шульгина. «Справочная книга по численному интегрированию», «Наука», М., 1966.

4 К. Ланцош. «Практические методы прикладного анализа». Физматгиз, М., 1961.

5. В. М. Осипов. «Экспоненциальные полиномы и разложение некоторых типовых сигналов». Изв. ТЛИ, т. 180, Томск, 1969.

6. В. М. Осипов. «К вопросу о приближенном обращении преобразования Лапласа». (Настоящий том).