О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

18

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

УДК 519.651

О ПРИМЕНЕНИИ ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ МАРКОВА В ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ

О. Б. Арушанян1, С. Ф. Залеткин2

Предложен способ применения квадратурной формулы Маркова с одним наперед заданным узлом для вычисления коэффициентов разложения функции в смещенный ряд Чебышева. Изложены аппроксимационные свойства частичной суммы ряда с приближенными коэффициентами. Предложенный способ может быть использован для построения численно-аналитических методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: квадратурные формулы Маркова, ряды Фурье-Чебышева, смещенные ряды Чебышева, ортогональные разложения, интерполяционные многочлены.

A method of using Markov's quadrature with a fixed node is proposed to calculate the coefficients of the expansion of a function in a Chebyshev shifted series. Approximation properties of a partial sum of the series with approximate coefficients are considered. This approach can be used to construct a number of numerical analytic methods for solving ordinary differential equations.

Key words: Markov's quadratures, Fourier-Chebyshev series, Chebyshev shifted series, orthogonal expansions, interpolation polynomials.

Настоящая работа посвящена изучению вопросов, связанных с приближением функций посредством ортогональных разложений по смещенным многочленам Чебышева первого рода (рядов Чебышева). Для вычисления коэффициентов разложения существует метод линейных рекуррентных соотношений [1—4], используемый, как правило, при приближении таких неявно заданных функций, которые могут быть представлены в виде решения линейных задач, например линейных дифференциальных или интегральных уравнений. Однако этот метод имеет ряд ограничений и свои трудности в применении.

В данной статье предлагается иной подход, основанный на вычислении коэффициентов разложения с помощью квадратурной формулы. Конечная сумма Sk(x, f ) ряда Чебышева функции f (x) не только является многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения степени k функции f (x), но и в ряде случаев дает хорошее приближение в равномерной норме; такая сумма почти совпадает с многочленом наилучшего равномерного приближения функции f (x) и на практике может его заменить. Чтобы при вычислении коэффициентов разложения сохранить эти ценные аппроксимационные свойства частичной суммы, для их вычисления целесообразно использовать квадратурную формулу, дающую наибольшую точность. Имея в виду дальнейшее применение предлагаемого способа определения коэффициентов разложения к построению решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в виде ряда по многочленам Чебышева, следует принять во внимание значения искомой функции и ее производной, известные из начальных условий дифференциальной задачи. Тем самым выбор квадратурной формулы естественным образом приводит к формуле численного интегрирования Маркова, включающей заданную начальную точку в число фиксированных узлов интегрирования. Здесь рассматривается квадратурная формула Маркова с одним наперед заданным узлом. Обсуждаемый круг вопросов включает в себя вычисление коэффициентов Фурье-Чебышева по формуле численного интегрирования, приближение функции частичной суммой ряда Чебышева и построение оценки точности данного приближения.

Предложенный в статье способ положен в основу построения приближенных методов решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Этим методам посвящена отдельная работа.

1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лабораторией Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arush@srcc. msu. ru.

Залеткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

19

1. Частичная сумма смещенного ряда Чебышева, коэффициенты которого вычислены по

квадратурной формуле Маркова. Для функции /(ж) € Ьг(0,1;р(ж)), где р(х) = — -, построим

л^х(1 — х)

ряд Фурье по смещенным многочленам Чебышева первого рода Т*(х):

те

Е' / ] Т*(Х), (1)

г=0

где

1

а*[/] =< = 11 р(х)/(х)Т*(х) (1х, г = 0,1, ... , (2)

о

символ ^^ определен формулой ^^ а= — щ + + ... + аг, г ^ I. Для вычисления интеграла (2)

3=1

применим квадратурную формулу Маркова [5] с одним наперед заданным узлом и п нефиксированными узлами, принимая в качестве подынтегральной функции произведение /(х)Т*(х):

* [f ] = (xj )T* (xj ) + R(fT*). (3)

j=0

B =

Абсциссы, коэффициент и остаточный член в (3) определяются по формулам

(2j - 1)п 1 + cos ^-

х0 = О, Xj =--, j = 1, ... , п, (4)

4 1 (fT*)(2n+1) (n)

—— , R(fT*) = -i- ^Ц^--pi, 0 < Tj < 1, f(x) G C?^1.

2n + l KJ %) 24ra (2n +1)! ' ' JU I0,1!

Отбрасывая остаточный член, получим приближенное значение коэффициентов смещенного ряда Чебышева:

1 i П

а* = — [ p{x)f{x)T*{x)dx » (~1)t2/(0) + —У cos i(2j ~ 1)?Г f(xA (5)

г ^ J )J\ ) г\ ) 2п + 1 2п+1^ 2п + 1 J К 3'

0 j = 1 Рассмотрим частичную сумму ряда (1):

k

Sk(x,f ) = Е'<[f ] T*(x). (6)

=0

Все входящие в нее коэффициенты вычислим по формуле (3) (или (5)) при n = к и получим многочлен

к у к

f(xj)Ti (xj)

i=0 j=0

Теорема 1. Пусть все коэффициенты к-й частичной суммы (6) смещенного ряда Чебышева (1) функции f (x) вычислены по одной и той же квадратурной формуле Маркова (3) с n = к нефиксированными узлами; пусть многочлен Jk(x) представляет полученную таким образом частичную сумму (7). Тогда многочлен Jk (x) является интерполяционным для функции f (x) с узлами интерполирования xj, j = 0,1, ... ,к, определенными формулой (4).

Доказательство. Убедимся в том, что многочлены

kk

Jk(x) = Е' BE'f(xj)T*(xj) T*(x). (7)

n \ n—n /

Qj (x)= BE' T*(xj) T* (x), j = 0,1,...,k, (8)

=0

10 ВМУ, математика, механика, №6

r

n

являются фундаментальными многочленами интерполирования, для которых выполняются следующие характеристические соотношения:

Яз(X) = ^г, 3,1 = 0,1, ... ,к, ] = I = 0; Яо(хо) = 2.

1-й случай. Пусть I = 3 =0. Из тождества Кристоффеля-Дарбу для многочленов Чебышева первого рода [3] следует соотношение

к

4(х3 — XI)£'Т*(х3)Т*(хг) = Т*к+1(х3)Т*к(хг) - Т*к(х3)Т^+1(х1).

г=0

Преобразуем правую часть данного равенства:

^ / (2j - 1)п Ч / (2l - 1)п Ч / (2j - 1)п Ч / (2l - 1)п Тк+1 cos , ; Tfc cos vo; t' - Tfc cos , ; Tk+1 cos v 7

2k + 1 / 4 2k + 1 J 2k + 1/^4 2k + 1

. (j - k - 1)n (l + k)n i+l (l - k - 1)n (j + k)n

= (-l)J+l COS —-;-— COS -Ц----(-1 y+t COS --;-— COS -— = 0.

v ' 2k+ 1 2k+ 1 v ' 2k+ 1 2k+ 1

к

Так как по предположению j = l, то

XTT*(хз)Ti X) = Таким образом, Qj(хг) = 0.

i=0

2-й случай. Пусть l = 0 и j = 0. Тогда сумма в (8) принимает вид

■ 0 - 2к + 1

г=0

(2j - 1)п Ч / (2j - 1)п\

cos4kTT -т^1 hHkTT1 +

k(2j - 1)n

,к......(2j - 1)n (2j - 1)n (2j - 1)n

= (—1) cos---sin ——-— I sin

2(2k + 1) V 2k + 1

-1

Следовательно, Яз(хо) = 0. Равенство Яо(хг) = 0 при I = 0 доказывается аналогично. 3-й случай. Пусть I = 3 = 0. Тогда

к

2k + 1^ L г v Jn 2k + 1 г=0

±(U2k(2x3-l) + 2k) + ^

Поскольку 2хз — 1 есть нечетный корень многочлена Чебышева второго рода , то получаем Яз (хз-) = 1. 4-й случай. Пусть I = 3 = 0. Тогда

к

г=0 L J 1 \ /

J_/4* + 1 Г

2fc + 1 V 4 ' 1

к

Напомним, что многочлен Яо(х) входит в сумму Зк(х) = ^^'Яз(x)f (хз-) с дополнительным коэффициен-

з=о

том 1/2. Теорема доказана.

Формула (7) дает простое выражение коэффициентов Чебышева многочлена Зк (х), аппроксимирующего функцию f (х):

к

Зк ] = в^' f (хз )Т* х), I = 0,1,...,к. (9)

з=о

* г

а, 1

Установим зависимость этих коэффициентов от коэффициентов Чебышева самой функции.

Теорема 2. Если функция /(х) разложена в ряд Чебышева

те

/(х) = 52'а1 [/] Т*(х) (10)

1=0

и .многочлен 3к(х) имеет вид 3к(х) = ^^'а*[3к] Т*(х), где а*[3к] определены в (9), то

г=0

те

а*3] = а*[/]^(—1)'(а*д{2к+1—[/]+а*д{2к+1)+>[/]), 0 <г < к,

те

а0 [3к ] = а0 [/] + 2^(—1)< а*д(2к+1)[/]■

д=1

Доказательство. Подставим разложение (10) в (9):

тек

^ ('ь3 )Тг (х3

[3к ] = В^'аП/Е 'Т*(хз )Т*(хз), г = 0,1,...,к. 1=о 3=0

Для произвольных целых неотрицательных чисел ц и г справедливо равенство

Т*{2к+1)±г (хз) = ( — 1УТг*(х3). (11)

Для каждого I ^ 0 существуют такие целые числа Ц ^ 0 и —к ^ г ^ к, что I = Ц(2к + 1) + г. Из (11) следует

Т1 (х3) = Т*2к+1)+г(х3 ) = ( — 1)'1Т\г\(х3). Для коэффициента а* [3к] получаем выражение

тек

а* [3к ] = В^' (—1)'а* [/]^ 'Ч\(х3 )Т* (х3). (12)

1=0 з=0

При г, г = 0,1, ... ,к из ортогональности смещенных многочленов Чебышева на [0,1] вытекает, что

к [ 0, г = г';

В^' Т*(х3 )Т*(хз) = ¡2, г = г = 0; (13)

3=0 [1, г = г> 0.

В силу (13) внутренняя сумма в (12) отлична от нуля для фиксированного 0 < г ^ к только тогда, когда |г| = г, т.е. при I = г, 2к + 1 — г, 2к + 1 + г, 4к + 2 — г, 4к + 2 + г, ...; тогда

а* [3к] = а*[/ — а2к+1-г[/] — а*2к+1+г[/ + а4к+2-г[/] + а4к+2+1[/ — — . (14)

В частности,

ак [3к] = ак[/] — ак+1[/] — а3к+1[/] + а3к+2[/] + а5к+2[/] — .... (15)

Для г = 0 внутренняя сумма в (12) отлична от нуля только при I = 0, 2к + 1, 4к + 2, 6к + 3, ...; тогда

а0[3к ] = а0[/] — 2а2к+1[/] + 2а*4к+2[/] — 2а*6к+3 [/] + .... (16)

Теорема доказана.

На основании формул (14)-(16) можно сделать вывод о том, что если последовательность {а* [/]} достаточно регулярно стремится к нулю, то коэффициент а* [3к] ~ а* [/] и имеет наибольшую абсолютную

11 ВМУ, математика, механика, №6

погрешность при i = к; при i = к — 1,к — 2, ... ,1 эта погрешность меньше, а наименьшую погрешность имеет коэффициент a0[Jk].

2. О погрешности приближения функции частичной суммой ряда Чебышева. Погрешность аппроксимации функции частичной суммой ряда Чебышева складывается из остаточного члена тк(х, f) ряда и ошибок Ri из-за неточностей в приближенных значениях коэффициентов, входящих в частичную сумму:

к

f (x) — Jk(x) = E'RiT*(x) + Гк(x, f), (17)

i=0

где

1i

Ri = RUT*) = 24fc(2fc + 1), EC2fc+if(2k+1-l)(v)T*{l\v), 0 < r, < 1. (18)

Для Гк(x, f) справедливы следующие оценки, которые могут быть выведены из неравенства Лебега с привлечением прямых теорем о наилучших приближениях непрерывных функций алгебраическими многочленами [6-8]:

Здесь Mn = \\f(n)(x)\U ci = const, cp — постоянная, зависящая от p и не зависящая от к. Из (19) следует, что если функция f (x) достаточно гладкая (т.е. f (x) Е CCjpO i]), то Гк(x,f) быстро стремится к нулю при к — ж. В силу теоремы 1 погрешность аппроксимации может быть выражена через остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа, которая в данном случае имеет вид

T * (x) + T * (x)

f{x) - Jk{x) = fcjfc+1(fc+fc1}! f{k+l)(0, 0 < e < max{Vl}, (20)

откуда получаем

I f, , w M ^ |/(fc+1)(6| „ Mk+1 \f{x) - Jk(x)\ ^ ' <

22к(к + 1)! ^ 22к(к + 1)! "

Если функция f (х) задана на [х0,х0 + К\, то для функции ф(а) = (хо + аК), 0 ^ а ^ 1, формулы (17)-(20) приводят к следующей асимптотической оценке погрешности аппроксимации относительно длины сегмента К:

р(а) - Зк(а) = 0(Кк+1), К — 0.

3. Заключение. Предложенный в статье прием рассматривается нами в качестве средства конструирования численно-аналитических методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения задачи Коши построены на основе рядов Чебышева и описанного выше способа вычисления коэффициентов Чебышева. Этим методам посвящена отдельная работа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961.

2. Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Нау-кова думка, 1988.

3. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983.

4. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972.

5. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1998.

6. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Физматгиз, 1962.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Физматлит, 2000.

Поступила в редакцию 19.02.2009