CC BY
10
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 191
1969
К ВОПРОСУ О ПРИБЛИЖЕННОМ ОБРАЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
В. М. ОСИПОВ
(Представлена научно-методическим семинаром кафедры инженерной и
вычислительной математики).
Во многих случаях обращение преобразования Лапласа по классической схеме, т. е. путем вычисления контурного интеграла БрОгМвича, выполнить затруднительно. Так, в случае, когда преобразование Лапласа задано в в-иде рациональной дроби, обращение сводится к определению корней алгебраического уравнения, что является технически трудновыполнимой задачей, особенно при высокой степени уравнения. Кроме того, часто возникает задача аппроксимации трансцендентных операторных изображений более удобными разложениями в виде ра-ц ио ч а л ь н ы х дроб е й.
Ниже излагаются методы приближенного решения задачи обращения и аппроксимации, практически удобные и достаточно эффективные для широкого класса операторных изображений.
1. Обращение с помощью «е»-функций Чебышева III рода
Экспоненциальные функции Чебышева III рода [4]
Sn(t) =2e-rKl - UVi(t)
(n = l, 2, ...), (1-1)
где Un-i*(t) (n=l, 2, .. .) — <<е»-полиномы Чебышева II рода, являясь собственными функциями самосопряженного дифференциального оператора, образуют на интервале (0, оо) полную ортогональную систему с весовым множителем
W(t) = е"Т(1 - e-ai)"T.
Другими словами, ряд
f(t) = 2 Bksk(t), (1-2)
k=l
где
со at
В 21 Гsk(t)dt (k = 1, 2. . .) (1-3)
О
сходится во вейкой внутренней точке, являющейся точкой непрерывности f(t), если выполнено условие
J W(t)[f(t)]2dt < oo . (l-l)
0
В точках разрыва I рода t = ti (1 = 1» 2, ... , n) ряд (1-2) сходится к
значению —[f(ti + 0) — f(tj - 0)]. £
Коэффициенты Bk очень просто связаны с преобразованием Лапласа разлагаемой функции f(t).
Введем понятие об экспоненциальном моменте функции f(t). Это вещественная величина, определяемая выражением
о©
M*k_i = J e-katf(t)dt (к=1, 2, ...)• (1-5)
О
Пусть F(p) есть преобразование Лапласа функции f(t), т. е.
оо
F(p) = J e-Pli(t)dt.
О
Сравнивая с (1-6), цриходим к выводу, что
M*k-i = F (ka) или М*к —F[(k±l)a], (1-6)
Таким образом, экспоненциальный момент k-го порядка функции f(t) равен преобразованию Лапласа этой функции при p=<(k+i)a. Подставим (1-1) iB (1-3), товда получим следующую формулу для коэффициента Вк:
со
Bk = JVatf(t)UVi(t)dt. (1-7)
О
Явное выражение для «е»-1Полинома Uk-i*(t) имеет вид [4]
к —1
U*k_1(t)=^pkne-nat,
П— О
где (1-8)
В = (—l)°+K-i2n(n + k)1
Pkn (2n + l)(k - 1 - n)!ni(2n-l)H ' { !
Таким образам,
Вк = "V-S PknM% (k='.l, 2, 3, .. .), (1-Ю)
т. е. коэффициент Bk есть линейная комбинация «к» первых экспоненциальных моментов. (1-10) можно записать в матричной форме
_ 4а _
В = — рМ*, (1-Й) где вектор В = {ВЬ В2, .... Вт, ...}, а вектор М* = {М0*, Mt*,____
Коэффициенты треугольной матрицы р до к = 8 включительно даны в приложении П1; они же являются коэффициентами «е»-полиномов Uk-i*(t) (k='l, 2, ...,8). Ряд (1-2) будет сходиться значительно быстрее, если f(0) =f(oo) =ю. Это условие означает, что изображение F(p) функции f(t) не имеет полюсов в начале координат и на .мнимой оси и, ¡кроме того, существует предел
14S
lim p F (,p) =o.
P ^00
Пусть Ф(р) есть изображение по Лапласу функции <p(t). В общем случае ф(0)=^о и ф(оо)4^=о, тогда вместо (1-2) следует писать
at at оо
f(t) = «р(0)е"Т+ <р(оо)(1 - е~)+ ^ BkSk(t). (1-12)
k=l
Обозначим
f(t) = ?(t) - ср(0)е"Т - ср(оо) (1. - е~т) (1-13)
или в операторной фор(ме [Ф(fp) ф(t) ]
ф(0) Т" т(оэ) F(P) = Ф(Р) - ----, (1-14)
\ " / I d
Р+^Г Р P + -Ö
причем f(0) ={(оо) =0. Дело свелось, таким образом, к нулевым граничным условиям.
Найдем изображение по Лапласу «е»-фу,н«ции Sk(t). Поскольку под-
становка
at . ; q at
е™ — cos т. е. а — 2arc cos е ,
превращает Sk(t) в sin kcc, а Tk*(t)—«е»-полином Чебышёва I рода в cos ka [4], то легко получим
_at_
dSk(t) - ka . 2 - T*k(t). (1-15)
dt у j_e-at
Имеем [4]
.ü! ,/-1, ^ +-4- П
е 2 1/«Г V а ■ 2 / n=iV а
k-i, р
V1 —e_at аГ / М n(JL + n
Таким образом,
ка]АГг -f" + 4- П (па - р)
п=11 а
к—1
sk(ü ^ (-1)к-'__-(1-16)
I Г ( ^ П^па + р)
причем П = 1.
п I
Преобразуя по Лапласу ряд (1-2), можем написать
-J р , 1
F(p) = VßuSk(t) = aV* ^ а ' 2 ) 2(-1)к-'кВкХ
к = 1
к—I
п (па - р)
-. (1-17)
П(па р) .:
И — 1
Положим теперь p = ma (m = l, 2, ...), топда будем иметь бесконечную систему линейных уравнений для определения Вк
— I 1 \ ~ k_I
УпГ Ш +-о- V1 П(П - ш)
MVi = F(ma) =-V TV / > 2di~ l^kBfe"^-,
ami (m) k=z П (n + m)
П =1
которая в развернутом ¡виде поинимает удойную треугольную форму, к—1
так как П (п — гп) =о ¡при гп^к—1. Имея в виду, что
п= 1
Y~tz Г ( m Н
2 ) т. 1-3-5- • • (2m - 1)
ПОЛУЧИМ
атГ(ш) 4а 2т~2т!
4а
М*0 = Bt
4а АЛ * -Mj* = тс 1 2 Bt +; в.,
4а -М*2 — 7Г 5 16 В, -в2 + 16вз
4а лл* «м 3 - 7 32 В, j-^ 32 В2 + 32 Вз 4 " 64 Bi
или в матричной форме
4а — _
— М* = р-'в,
откуда следует (,1-11). Таким образом, матрица коэффициентов системы (1-18) или (1-19) есть матрица, обратная ранее ¡введенной матрице р с элементами (1-9). Другими словами, коэффициенты Фурье ортогонального разложения (1-2) можно определить в результате интерполяционного процесса 1в -комплексной области, в котором узлами интерполирования служат нули операторного .изображения 5га(р); т. е. нули ¡первого ш отброшенных членов в усеченном операторном ряде (1-17).
2. Обращение с помощью интегральных «е»-полиномов Лежандра
Обращение в (виде отрезка ряда по экспоненциальным функциям
■■■■ ^
Чебышева III рода содержит иррациональный множитель вида yi—eat » что затрудняет аналитические операции с этим выражением. Применение для целей обращения «е»-полиномов Лежандра Pn*(t) [4] «с этой точки зрения оказывается более удобным. Однако разложение по «е»-полиномам Pn*'(t) сходится значительно медленнее, чем разложение (4-2). Этот недостаток может быть заметно ослаблен, если воспользоваться так называемыми интегральными «е»-полиномами Лежандра Vn*(t), которые позволяют значительно точнее восстановить функцию по ¡заданному числу экспоненциальных моментов, так как граничные условия удовлетворяются независимо от коэффициентов разложения.
Интегральные полиномы Лежандра, рассмотренные нами -в [3],
определены для интервала (0, 1), однако простой подстановкой х = е~а1 они преобразуются в «е»-полиномы Уп*(1)
Уп* (х)-^Уп* (е~а*) = УпМ0 О^^оо.
Основные функциональные соотношения сохраняют свой вид, однако необходимо учитывать, что
ЙУ*П(0 <1У*„(х) <1х
сН
В частности, будем иметь [3]
йх
<11
/х — е-
= - ае-а1Рп*(0
с! с
= - а|е-а'Рп*(1)с!1
2.(2 п+,1) У„*(Ц =Рп-!*а) -Ргж*а), Уп*(1) =е~а1(1-е-а1:)Р(-п + 1, п+й; 2; е-3'),
1 - е-а1 с1Рп*(0
(И
(2-1)
(2-2) (2-3)
(2-4)
ап(п + 1)
где РП*Ш—«е»-пол ином Лежандра [4].
Полиномы Уп*((:) удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению:
(1 - е-а()
сРУЛО + ас1Уп*(1)
сИ2
<И
+ а2п(п + 1)е-а1У„*0) = 0 (2-5)
и образуют 'на интервале (0, оо) полную ортогональную систему с ве-1
сом
а!
, т. е.
х - е
-ас
О п ф ш (11 = 1
п
ГТ1,
(2-6)
п(п + 1)(2п + 1)а
причем Уп4(о) =Уп*(оо) =о.
Явное выражение для «е»-пол и номов Уп* (¿) можно получить, развертывая гипергеометрический ряд в (2-3),
V/ (1)
а1<
е—С-е-'1)!^1 , Пк (п + к + 1)! ка{ п(п + 1) ¿0 1 ' (п ..........
к - 1)!к!(к + 1)!
Для нескольких первых значений «л» -будем иметь
VI* (1) = е~а1(1 — е~а4), У2* ^) = е-а1 (1 - е-а4) (1-2 е~а1), Уз* (1) = е-а4 (1 - е~а1) (1 - 5 е-а1+5 е~2ак), у4* (1) = е-аг(1 — е~а') (1 - 9 +21 е-2а*->14 е~3а4), у5*(1) =е-а4(1 -е-а*) (1 -14 е-а4+156 е-2а*-84е~3а1; + 42 е~4а4)
(2-7)
(2-8)
Найдем преобразование Лапласа полинома Уп*(1:). Введем обозначения: УпОр) -';-Уп*(*) и Рп(р) =РП*(1). Согласно (2-2) можем написать
2(2 п+|1)УпОр) —Рп-1 (р) — Рп+1 (р) (п = 1, 2, 3, ...)• (2-9)
Имеем [4] 152
D — 1 °П (k + - P — ~p~k?o (к + l)a + p
p iD) - _L ri (k + i)a-P
Fn+l(P) - p кИо (к + l)a + P Формула (2-9) дает ¡после преобразований
V ^ _ Н[(К + 1)3 - Р] а(а - П)(2а - р)----[(п - 1)а - Р] п(Р)"*ап[(к + 1)а + Р]~ (а + Р)(2а + Р)--[(п + 1)а + Р] '
к = 0
п-2
причем П [к + 1)а — р] — 1 при п=1.
к = 0
Рассмотрим вопрос о разложении произвольной функции {(1) в ряд по интегральным полиномам Уп*(1:). Предположим, что
ЦО)=Цос)=о. (2-11)
В силу полноты системы Уп*(1;) (п=|1, 2, . . .) можем написать
Щ) = 2 С„Уп*№ (2-12)
П=1
1-е
лах (0, оо). Учитывая свойства (2-6), будем иметь
V m I I I
Умножим обе стороны (2-12) на --^ и проинтегрируем в преде-
Сп = n(n + l)(2n + 1)а J i^JL dt,
о
f(t)V„*(t)
at
или. подставляя ¡выражение (2-4),
Сп = (2n + 1) f f(t)dPn*,(t) dt. (2-13)
J dt
0
Наконец, если учесть развернутое представление '(2-7), ¡получим
п(п + 1)(2п + 1)а - £ (п=1,2,...), (2-14)
где Mi* — экспоненциальный ¡момент «к»-по порядка функции f(t), а
„ _ / _ Пк_(n + к + 1)!__( „
^nk I i; (n _ к _ 1)1к!(к + 1)!n(n + !) • ^ LO>
Или б 1матрично-|векторной форме
'0=г]М*, (2-16)
где ч)—треугольная матрица с ¡компонентами (2-15), причем r]nk = 0 при k>n— 1, а С и М*—вектора коэффициентов и моментов соответственно, т. е.
С* С2 < п
6а * 30а ' * п(п + 1)(2п + 1)а * ' М* = {М0*, Мд Мп-Л ...}. В приложении приведена матрица ц для п=8 включительно. Ко-
153
эффициенты Фурье в разложении (й-12) могут быть найдены в результате интерполирования в области операторных изображений аналогично тому, как это делалось для коэффициентов разложения (1-2).
Отметим, что если функция <р({), подлежащая определению по своему операторному изображению ф(:р), не обращается в нуль на границах интервала, т. е. ф(0) Фо и ф(оо)=т^=о, то она ищется в виде
cp(t) = ср(0)е
~at
ср(оо)(1 - e~at) + 2 CnVn*(t).
п = 1
(2-17)
Коэффициенты разложения Сп (п = 1, 2, . . .) в этом случае определяются для функции
1(1) =ф(1) — ф (0) е~аХ — ф (оо) ■ (1 — е~а1), изображение по Лапласу, которой имеет вид
Р(Р) = Ф(р) ___а*(оо)
р + а р(р + а) '
Другими славами, экспоненциальные моменты в этом случае должны определяться по формуле
<р(0) ?(°о)
м*
п- 1
F(na)
(n + 1 )а п(п + 1)а
(n = 1, 2 . . . )3 (2-18)
а ф(0) и ф(оо) могут быть найдены по теоремам о начальном и предельном значениях.
Практически для целей обращения преобразования Лапласа удобней пользоваться нормированными интегральными «е»-полиномами Лежандра Уп*(^ ¡[3]:
2n(n + 1)
Vn*(t)
Г
п + 1
vn*(t).
(2-19)
(п - 1)!
Для этих полиномов и|меет место оценка
I I < 1 0 < 1 < оо.
Если разложение по «е»-полино>ма,м Уп*(1) представить в виде
ГП
« 2 Апуп*(1), (2-20)
П -1
то коэффициенты Ап будут связаны с коэффициентами С п следующем формулой:
(П - 1)!
Ап
2п(п + 1)
' п + 1
2
_ г 2
(2-21)
Преобразуя то Лапласу (2-20), получим, учитывая (2-10) и (2-19),
2"(n + 1) F(p) ~ V Ап-
1
п - 1
(п - 1)!
ПП [(к -!- 1)а - р к-=0_
И [(к + 1 )а -¡- q
к-О
т. е. операторное изображение И(р) аппроксимируется конечным разложением, каждый член которого есть рациональная дробь.
3. Определение параметра «а»
До сих ¡пор мы совершенно не касались вопроса о величине вещественного параметра «а». ¡Можно строго .показать, что бесконечные ряды вида (1-2) или (2-20) будут сходиться и ¡представлять искомую функцию при любом .конечном значении параметра «а». Обращение преобразования Лапласа с помощью экспоненциальных функций ори а=1 рассмотрено в {1, 2]. ¡Между тем значение параметра «а» оказывает существенное влияние на точность аппроксимации искомого оригинала отрезком ряда по функциям Sk(t) или «е»-полиномам Vn*(t). Поэтому значение a=il не ,может, в общем случае, обеспечить нужную точность аппроксимации оригинала конечным числом членов ряда. Для этого потребовалось бы практически неприемлемое число членов. Ряды (1 -2) и ,(2-12) асимптотически (т. е. при больших значениях t) с точностью до ¡постоянного множителя стремятся к нулю как экспоненты
е 2 или e_at соответственно, следовательно, параметр «а» должен быть определен таким образом, чтобы скорость затухания оригинала f(t) при больших ¡значениях t приблизительно равнялась скорости за-
_at_
тухания экспоненты е 2 или e_at.
Если преобразование Лапласа задано в виде рациональной дроби, то соответствующий оригинал представляется в виде суммы экспонент с комплексными (показателями в общем случае. Скорость затухания такого оригинала определяется членом, у которого показатель имеет наименьшую 'вещественную часть (а). Этот показатель может быть выделен по .методу, описанному в [5]. ¡Параметр «а» -в этом случае равен, очевидно, 2 а или а в зависимости от того, ¡какие функции используются для представления оригинала. ¡Сущность упомянутого метода состоит в том, что моменты оригинала, т. е. величины
mk = Jtkf(t)dt (к- 0, 1, 2,...),
о
с ростом к -все 'В большей степени определяются конечным участком кривой f(t), причем характер изменения моментной последовательности позволяет судить о характере кривой f(t) при больших значениях t [5]. Эта идея с успехом может быть применена для определения параметра «а» в том -случае, ¡когда заданное изображение не является рациональной дробью. Пусть заданное изображение F(p) некоторого оригинала f (t) является аналитической функцией во всей правой полуплоскости, .включая и мнимую ось, тогда в окрестностях начала координат существуют все производные. Предположим, что все они отличны от нуля.
В этом случае
lim р F (р) =iim f (t) =о.
р -» о
Учитывая, что
оо
F<k>(o)=i(-<l)k f tkf(t)dt=(-l)kmk. (3-1)
о
Можем найти последовательность моментов mk (к=1, 2, ..п) или но-
1 (— 1)к
следозательность величин = ~rj- mk = --р—F(k)(0). Если
К! К!
эта последовательность монотонно изменяется без перемены знака, то это означает, что оригинал f (t) при больших значениях t стремится к нулю приблизительно по закону экспоненты e~ai . В этом случае для достаточно больших значений к
Если же моментная последовательность Мк (к= 1, 2, ...) меняет знак, то стремление к нулю оригинала имеет колебательный характер, причем огибающая этого колебательного процесса приблизительно меняется по экспоненциальному закону. В этом случае [5]
а 1 Мк+2-Мк-1 - Мк+!-МК 1 (3 3)
2 М*ь+1 - Мк-Мк+2
Таким образом, а = 2а, если для целей обращения используются «е»-функции 5П(1:) и а = а, если применяются «е»-полиномы Уп*(^-
Иногда значение а, определяемое формулой (3-2), не стабилизируется с ростом к. Это означает, что искомый оригинал при больших значениях I заметно отличается от акспонеты. В этом случае параметр «а» может быть найден следующим приемом. В ряде (М7) ограничимся всего двумя членами, т. е. положим
¥(р)ыВ181>(р)+В2$2(р). (3-4)
При р=о будем иметь
F(0) « —(В, - В2).
а
Учитывая, что
получим
В! = 4г" р(а) и В2 = — [ - 2F(a) + 4F(2a)],
F(0) - 3F(a) — 4F(2a). (3-5)
Решая любым приближенным методом уравнение (3-5), найдем некоторое значение «а», которое и следует принять за расчетное.
Идея, лежащая 1в основе этого приема, состоит в том, что поведение оригинала при ¡больших значениях Ь определяется поведением его изображения по Лапласу в окрестностях начала координат, поэтому, определив параметры отрезка разложения (3-4) из условия равенства значениям Р(р) при р = о, а, 2 а, мы сформируем в основном те значения оригинала, которые соответствуют большим значениям 1.
Заметим, что найденное значение «а» следует уменьшить в два раза, если для целей обращения используются интегральные «е»-по-линомы Лежандра Уп*(1). В качестве примера рассмотрим обращение преобразования Лапласа, являющегося трансцендентной функцией переменного р.
Пусть операторное изображение некоторой функции <р((;) имеет вид
Р + Р
Найдем приближенное выражение для оригинала. (1-1), запишем в виде
Ь
(Р + Р)т(р) = ехр , л р Дифференцирование этого выражения с учетом (I-I) дает тожде
ство
(р + Ь + Р) ф (р) + (р + р)2ф' (р) =0. (1-П)
Продифференцируем его к раз и положим р = 0. Учитывая, что
д ^ (р + Ь + Р)ср(р) (и + Ь + ¡%<к>(р) + к<р(к-1)(р),
ар
^(Р + ЮУ(Р) = (р+?У¥к+1)(р)+2к(р + Р)ТМ(р) + к(к-1)Т(к-1)(р),
¿Р
получим следующее рекуррентное соотношение для производных в начале координат:
ку*"1) (0) + [(2к+1)р + Ь]ф!к)(0) + РУк+1,(0)=о. (МП)
Положим для определенности Ь = р = 1, тогда соотношение получит вид
к2ф<к-Ч(0)+2(к+-1)ф<к)(0)+ф^+1>(0)=о (к=0, 1, 2, ...)•
Последовательно лепко найдем ф'(о), ф"(о), . .., а затем и величины
к к!
Расчеты дают:
М] = 2 ф(0); М2=3,5ф(0); М3 = в,5ф(0); М4=8,7ф(0); М5=12,8ф(0); М6 = 18,5Ф(0); М7=26ф(0);М8=Э5,9ф(0); М9=48,5ф(0);Мю = 64,8ф(0).
Моментная последовательность монотонно изменяется без перемены знака, следовательно, можем воспользоваться формулой (3-2). Для различных значений к формула дает
^ , 0,68; ^ = 0,69; $ = 0,71; ^ = 0,725. М- = о,74; М» = 0,75.
му м,0
Таким образом, с ростом к значение а не стабилизируется. Найдем «а* из уравнения (3-5). Поскольку
Нгп р ф (р) =1,
р -> со
будем иметь
1 1 1 2 Р(р) = <Р(р)--— = „ , 1 е р+1 -
Р
р + 1 с 2р + а '
2
откуда легко получим
¿(0) = е - 9
а
1
р(а)= ~ ! ге
За '
1
2аП 2
е
Р"(2а) = 2а + 1 5а "
Уравнение (3-5) получает вид
1 г
1 1 _ 3 а + 1 4 2а+ 1
"4~ е ~ Юа ~ а + 1 е ~ 2а + Г 6
Приближенное значение положительного корня этого уравнения, т. е. параметра «а», равно 1,09 (расчет производился на счетной ли нейке). Расчет первых 6 экспоненциальных моментов приведен в табл. 1. Там же приводится значение коэффициентов Вп для разложения по «е»-функциям Чебышева III рода Sn(t). Если ограничиться 4 членами, то искомый оригинал запишется в виде
<p(t) «е-0-545 t+o,22266 Sr (t) -0,0917 S2(t)+0,00566 S3(t)+0,0054 S4(t), причем максимальная абсолютная ошибка будет не более 0,0015.
Таблица .1
п 1 2 3 4 5 6
1 1,09 п+1 0,478468 0,314465 0,234192 0,186567 0,155038 0,132625
1 1,09п+1 1,613601 1,369527 1,263886 1,2051050 1,1677032 1,141822
9(па) 0,772057 0,430668 0,295992 0,224833 0,1810392 0,151435
2 0,611620 0,160437 0,222659 0,366972 0,063696 —0,091720 0,262123 0,033868 0,005652 0,203873 0,020959 -0,005428 — 0,166805 0,014233 0,001328 - 0,141143 0,010292 -0,000215
1,09(2п + 1) М*п--1 Вп
Таблица 2
п 1 2 ! 3 4 5 6
1 0,54on+i 1 0,647249 0,47846 0,37950 0,31446 0,26845 0,23419
o,545n-r 1 е 1,91'027 1,61360 1,46156 1,36952 1,30794 1,26388
cp(na) 1,23642 0,77205 0,55467 0,43066 0,35112 0,29599
3 0,91743 0,31-8995 0,2615 0,61162 0,1604372 -0,00325 - 0,45871 0,09595 -0,00974 0.36697 0,30381 0,26212 0,03386 - 0,0035
0,545(n + l) M*n-I An 0,06369 —"0,00708 - 0,04531 - 0,0044
В табл. 2 приведены результаты расчета коэффициентов для представления оригинала в виде отрезка ряда по нормированным интегральным «е»-полиномам Уп*(*)- Значение параметра «а» в этом случае равно 0,545. Приближенное представление имеет вид
Ф^) ^е-°-545 40,26156"У^) -0,00325 У^) -0,00974 \Г3* а) --0,00708 У4* ([) -0,0044 У5* (1).
В заключение отметим, что точное значение оригинала равно
где 10(2У1) — модифицированная цилиндрическая функция нулевого порядка. Отметим также, что вычисление экспоненциальных моментов Мп-1* должно производиться с весьма высокой степенью точности в связи с быстрым ростом элементов матриц ]3 и т), в то время как для определения параметра «а» достаточно точности обычной счетной линейки.
Приложение П1
1. Матрица р
(- 1)П+К~12п(п + к)!
1 —2 Jkn (2n + 1)(к — п - 1)!п!(2п — 1)!!
4
3 — 16 16
—4 40 —96 64
5 —80 336 —512 256 .
—6 140 —896 2304 —2560 il024
7 —224 2016 —7680 14080 - —(12288 4096
—8 336 —4032 21,120 —56320 79872 —57344
2. Матрица г\
rink = (— 1)
К_(П + к + 1)!
(п - к 1)!к!(к + 1)!п(п + 1)
—2
—5 5
—9 121 — 14
—14 56 —84 42
—20 100 —300 330 —132
—27 226 —825 1485 —/1287 429
—35 385 —1925 5005 —7007 5005
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Дёч. «Руководство к практическому применению преобразования Лапласа». «Наука», М., 1965.
2. К. Ланцош. «Практические методы прикладного анализа». Физматизд., М., 1961.
3. В. М. Осипов. «Интегральные полиномы Лежандра и приближение функций». (Настоящий том).
4. В. М. Осипов. «Экспоненциальные полиномы и разложение некоторых типовых сигналов». Изв. ТЛИ, том 180, Томск, il969.
5. В. М. Осипов. «Определение нулей и полюсов лередаточной функции минимально-фазового типа методом моментальных последовательностей». Изв. ТЛИ, том 192, Томск, 1969.
