Прецизионные вычисления скорости деления возбуждённых атомных ядер Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 4. С. 84-87. УДК 539.173

И. И. Гончар, С.Н. Крохин

ПРЕЦИЗИОННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ СКОРОСТИ ДЕЛЕНИЯ ВОЗБУЖДЁННЫХ АТОМНЫХ ЯДЕР

Показано, что квазистационарную скорость деления можно вычислить с помощью уравнений Ланжевена с погрешностью, не превосходящей 2 %. Это справедливо даже в случае довольно низких энергий возбуждения, когда количество «полезных» траекторий чрезвычайно мало.

Ключевые слова: скорость деления, уравнения Ланжевена, формула Крамерса.

Деление возбуждённых атомных ядер является основой современной атомной энергетики. Однако далеко не все особенности этого процесса поняты. В настоящее время при его теоретических исследованиях часто используют формулу Крамерса [1]:

ехр[-Т]. (1)

Л, = °

2шоъ

в

У

Здесь Лк — скорость деления; ооЬ(с) — частоты коллективных колебаний, отвечающие барьеру деления (Ь) и квазистационарному состоянию (с); в — коэффициент затухания коллективного ядерного движения; В^ —

высота барьера деления; Т — температура ядра, которая в ядерной физике совпадает с тепловой энергией.

Крамерс получил формулу (1), решая уравнение Фоккера—Планка с помощью многочисленных приближений. В ряде работ [2—7] на качественном уровне было показано, что Лк даёт неплохое приближение к скорости деления, полученной с помощью численного моделирования. При таком моделировании динамика процесса описывается с помощью стохастических уравнений Ланжевена (см., например, обзоры [8; 9]):

dq = pmГldt, (2)

dp = -

п dU т dq

dt + ■dW . (3)

Здесь dt — временной интервал, в течение которого коллективная координата (параметр деформации) q и сопряжённый ей импульс р возрастают на dq и dp соответственно; W — винеровский процесс, приращение которого dW имеет нормальное распределение с дисперсией dt (dW ); П и т — фрикционный и инерционный параметры, соответ-

ственно, которые в данной работе считаются деформационно-независимыми (в = п /т ).

Уравнения Ланжевена решаются численно с помощью генератора псевдослучайных чисел [10]. «Решение» представляет собой последовательность Nы траекторий, моделирование каждой из которых прекращается не позже достижения момента времени tD . Те траектории, которые достигли за это время поглощающей границы (точки разрыва) qa (см. рис. 1), вносят вклад в скорость деления. Она вычисляется по формулам:

1 N.. а) - N.. (?.,) Л (0=----^-, (4)

© И.И. Гончар, С.Н. Крохин, 2012

(I) = ).

(5)

Здесь ЛЫ/ ) -

число траектории, дос-

тигших точки разрыва в течение промежутка времени Л? = - ,.-т; Nf ) - число траектории, которые достигли точки разрыва до наступления момента времени .

?

-10

—' (Г

Рис. 1. Зависимость потенциальной энергии от координаты (вверху) и скорости деления от времени (внизу): на верхней панели: Б/ - высота барьера,

Еы - полная энергия возбуждения (горизонтальная штриховая линия); на нижней панели: горизонтальная линия - скорость Крамерса, вычисленная по формуле (1)

Типичная зависимость потенциальной энергии от координаты и скорости деления от времени показаны на рис. 1. После релаксационной стадии поведение скорости деления становится квазистационарным, хотя налицо большие флуктуации. Нас интересует не детальная зависимость Я (?), а квазистационарная динамическая скорость (КДС, ЯВ), которая определяется как среднее значение Я (?) на квазистационарном участке:

яв =т ).

к .=Ь-к

Здесь Ь = ,В / Л? - полное число бинов, соответствующее времени моделирования; к - число последних бинов, использованных для нахождения ЯВ (первые (Ь - к) бинов отбрасываются). Задача состоит в том, чтобы показать, что ЯВ в пределах статистической погрешности не зависит от ширины бина Л?, числа к и полного числа траекторий Ntot. Мы также докажем, что относительная статистическая погрешность

Я

Ык-т £ () - Я» )'

(7)

убывает как и что КСД действительно вычисляется с погрешностью, не превосходящей 2 %.

Важность этого доказательства обусловлена, в частности, следующим обстоятельством. Любой генератор псевдослучайных чисел рано или поздно начинает повторять предыдущую последовательность, так что числа можно считать случайными лишь до наступления этого момента. Соответственно, будут периодически повторяться и значения физических наблюдаемых, вычисляемых в ходе моделирования. Предсказать период такого повторения теоретически очень трудно, а избавиться от периодичности совершенно необходимо.

Вероятность проявления периодичности генератора тем выше, чем больше траекторий смоделировано. Необходимость в моделировании большого количества траекторий возникает при низких энергиях возбуждения ядра, когда скорость деления мала, и процент полезных событий низок.

Значения параметров, при которых были выполнены расчёты, приведены в табл.

Удобно анализировать не саму КСД, которая является случайной величиной, а относительную разницу между ней и скоростью Крамерса:

£ = ЯК - ЯВ (8)

£КВ =--- . (8)

ЯВ

Эта относительная разница, а также относительная погрешность КДС, которая является абсолютной погрешностью £КВ, показаны на рис. 2. На верхних панелях видно, что при увеличении интервала времени, по которому осуществляется усреднение, величина £КВ вначале не изменяется существенно, флуктуируя в пределах двухпроцентного интервала. Это как раз то, что мы хотим доказать.

(6)

N,0, ?В , зс Б/,МэВ Е,,, МэВ Т, МэВ Nf в, 1/зс

4 • 106 100 5,35 12 0,76 6964 2,0

86

И.И. Гончар, С.Н. Крохин

40 30 20 10 0

ш 4

II-Ш—V

\

X

а

о

..... 60 40 20 0 100 80 60 40

А1 (гв) (гэ)

Рис. 2. Зависимость относительной разницы между скоростью Крамерса и КДС (вверху, квадраты с погрешностью) и её относительной погрешности (внизу, кружочки) от величины интервала времени, по которому производилось

усреднение:

ширина бина для левых панелей - 1 зс, для правых - 2 зс; горизонтальные линии на верхних рисунках - двухпроцентный

интервал; кривые без символов на нижних рисунках отвечают зависимости (Д, )

в крайних правых точках

и подогнаны к значениям е

Л

Когда время усреднения превышает длительность квазистационарной стадии (примерно 60—70 зс, см. рис. 1), начинает монотонно возрастать. Этого и следовало ожидать, так как в процесс усреднения оказывается вовлечена переходная стадия, на которой динамическая скорость деления заметно меньше квазистационарной.

На нижних панелях рис. 2 мы видим, что еЛ ведёт себя с увеличением интервала времени, по которому осуществляется усреднение, в соответствие с законом (Яъ) 12, где Nъ — число бинов, участвующих в вычислении ^ . Когда в процесс усреднения оказывается вовлечена переходная стадия, погрешность резко возрастает, отклоняясь от статистического закона.

Можно быть уверенным, что периодичность генератора не сказывается на величине ^, если с увеличением числа траекторий относительная погрешность убывает как (NШ) 12, а скорость деления стремится

к постоянному пределу. Результаты, приведённые на рис. 3, показывают, что эти требования выполняются в наших расчётах.

В заключение ещё раз сформулируем наш основной результат. Квазистационарная скорость деления атомных ядер может быть вычислена с погрешностью, не пре-

вышающей 2 % довольно низкой энергии возбуждения. 10

ии5

-5

-10 4 3 2 1 0

: N у •

XI г -ф

I 1 ■

■ --------------- I * *

> -.

:

0

N,„,(10°)

Рис. 3. Зависимость относительной разницы между

скоростью Крамерса и КДС (вверху, квадраты с погрешностью) и её относительной погрешности (внизу, кружочки) от числа траекторий

ЛИТЕРАТУРА

[1] Kramers H. А. // Physica. 1940. 7, 284.

[2] Bao J.-D., Jia Y. // Jour of Stat. Phys. 2006. 123, 861.

[3] Karpov A. V., Nadtochy P. N., Ryabov E. G., and Adeev G. D. // Jour. of Phys. 2003. G 29, 2365.

[4] Fröbrich P. and Tillack G. R. // Nucl. Phys. 1992. A 54G, 353.

[5] Fröbrich P., Ecker A. // Euro. Phys. Jour. 1998. D 3, 245.

[6] Guantes R, Vega J. L, Miret-Artes S. // Jour. of Chem. Phys. 2003. 119, 2780.

[7] Sadhukhan J. and Pal S. // Phys. Rev. 2009. C 79, 064606.

[8] Fröbrich P., Gontchar I. I. // Phys. Rep. 1998. 292, 131.

[9] Adeev G. D., Karpov A. V, Nadtochy P. N., Vanin D. V. // Phys. Part. Nuclei. 2005. 36, 733.

[10] Kloeden P. E, Platen E, Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiment. Springer-Verlag, 1991.