CC BY
42
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 1. С. 39-43.
УДК 539.173
М.В. Чушнякова, И.И. Гончар, С.Н. Крохин
ТРЁХМЕРНОЕ ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕЛЕНИЯ ВОЗБУЖДЁННЫХ АТОМНЫХ ЯДЕР: УСЛОВИЕ РАЗРЫВА
Изучается процесс деления возбужденных ядер, вопрос о том, как влияет на вычисляемые значения наблюдаемых величин условие разрыва ядра на осколки. Разработана модель для исследования этого вопроса в отношении среднего значения распределения множественности предразрывных нейтронов, среднего значения распределения кинетической энергии осколков деления, дисперсии массового распределения осколков и дисперсии распределения кинетической энергии осколков. При моделировании отмечено, что возбуждённое атомное ядро может разделиться и/или испустить лёгкую частицу. В компьютерном коде, реализующем динамическую модель, учтены три коллективные координаты, описывающие временную эволюцию формы ядра. Выявлено, что условие разрыва сильно влияет на дисперсии кинетической энергии и массы, тогда как чувствительность двух других наблюдаемых величин к варьированию этого условия заметно слабее. Обсуждается возможное влияние обнаруженного эффекта на согласие результатов моделирования с экспериментальными данными.
Ключевые слова: деление атомных ядер; массово-энергетическое распределение осколков; уравнения Ланжевена.
Введение
Процесс деления атомных ядер, открытый более 70 лет назад, в настоящее время хорошо исследован экспериментально. Накоплен огромный объём данных о массово-энергетическом распределении осколков деления и множественностях предразрывных нейтронов [1-9].
Сложность теоретического описания процесса деления обусловлена тем, что в нём существенную роль играют сразу три коллективные координаты, отвечающие за удлинение ядра, образование шейки, зеркальную асимметрию. В последние 15 лет проведено большое количество расчётов наблюдаемых с помощью диффузионной модели, в которой учтены две или три моды коллективного движения [10-16]. Расчёты в диффузионной модели проводят, решая численно стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения движения (уравнения Ланжевена) для воображаемой броуновской частицы. Фактически уравнения Ланжевена заменяют дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка (уравнение Фоккера-Планка) [17].
В этих расчётах обычно удавалось достичь согласия с экспериментальными данными для среднего значения распределения множественности предразрывных нейтронов (СРПН), среднего значения распределения кинетической энергии осколков деления (СРЭ) и дисперсии массового распределения осколков (ДРМ). Воспроизвести экспериментальные значения дисперсии распределения кинетической энергии осколков деления (ДРЭ) оказалось намного труднее. Старая задача о возрастании ДРЭ с утяжелением делящегося ядра [2; 3; 18-20], по сути, не решена полностью до сих пор [16].
Основные ингредиенты работ [11-16] более или менее одинаковы. Для потенциальной энергии делящегося ядра используется модель жидкой капли с размытым краем (модель с конечным радиусом взаимодействия) [21]. Инерционный тензор рассчитывается с помощью метода Вернера-Уи-лера [22]. Фрикционный тензор рассчитывается в рамках модели одно© М.В. Чушнякова, И.И. Гончар, С.Н. Крохин, 2016
тельной диссипации [23; 24] по формулам «стена+окно» с редукцией вклада от стены (см. детальное описание в [14]). Безразмерный коэффициент редукции этого вклада 0< ks <1 является единственным варьируемым параметром подхода [12-16].
Отдельно надо остановиться на граничном условии (условии разрыва ядра на осколки). Обзор встречающихся в литературе условий разрыва дан в [14; 15]. Влияние трёх условий разрыва на среднее значение распределения кинетической энергии исследовано в [15]. В диффузионной модели [11-14; 16] используется только одно условие: динамическое моделирование прекращается, когда радиус шейки ядра равен 0,3 радиуса равновеликой сферы. Нам не удалось обнаружить в литературе систематического обсуждения вопроса о том, как влияет изменение этого разрывного радиуса на наблюдаемые величины, получаемые в результате вычислений. Заполнению этого пробела посвящена данная работа.
В качестве наблюдаемых величин, чувствительность которых мы собираемся исследовать, выступают среднее значение распределения множественности предразрывных нейтронов (СРПН) (прге), среднее значение распределения кинетической энергии осколков деления (СРЭ) (W), дисперсия распределения кинетической энергии осколков деления (ДРЭ) Ow, дисперсия массового распределения осколков (ДРМ) Gm .
Модель
Наш подход является обобщением одномерного динамическо-статистического подхода, разработанного в [25; 26], и во многом напоминает многомерную модель [14].
Физические представления, на которых основывается наша модель, обсуждались неоднократно (см., например, [11; 14; 25]), и мы коснёмся их только вкратце. Процесс деления описывается в рамках флуктуационно-диссипативной динамики с помощью стохастических дифференциальных уравнений для трёх безразмерных коллективных координат 0,5 < q0 < 3 (удлинение), 0< <1 (шейка), —1 < q2 < 1 (зеркальная асимметрия) и сопряжённых им импульсов pi.
Уравнения движения в дискретной форме имеют вид (i = 0, 1, 2):
-&Pt, (1)
-Mi, (2)
ДР; = —{(di^jk)pjpk/2 + Vij^jkPk-Ki}T +
g,ijbj4r, (3)
(4)
Верхние индексы отражают два момента времени, разделенные промежутком т, который равен временному шагу моделирования. В правой части формулы (3) все величины берутся в момент времени т. Символом di обозначена частная производная по координате
(п+1) (п)
Pi -Pi
(п+1) (п)
Ti = ч\ +
Д^ЛрГ+РГО/2.
qi. Временная эволюция системы определяется обратным инерционным тензором да, фрикционным тензором пп движущими силами К, случайными силами Амплитуды случайных сил связаны с температурой и компонентами фрикционного тензора флуктуационно-диссипативной теоремой
ёисёц =Тг1ц. (5)
Случайные числа Ь/, входящие в случайные силы, распределены нормально с нулевыми средними и дисперсией 2.
Потенциальная энергия делящегося ядра вычисляется с помощью модели с конечным радиусом взаимодействия [21]. Инерционный тензор рассчитывается с помощью метода Вернера-Уилера [22]. Фрикционный тензор рассчитывается в рамках модели од-нотельной диссипации [23; 24] по формулам «стена+окно» с редукцией вклада от стены. Безразмерный коэффициент редукции этого вклада к3 = 0,25.
Компоненты движущей силы выражаются через производные от энтропии 3 по координатам при постоянной полной энергии возбуждения Е:
к 1 = т(Щ . (6)
Температура Т и энтропия возбуждённого ядра связаны с полной энергией возбуждения Е через внутреннюю энергию возбуждения
Ещг = Е - и{д,П - ^■кр]рк/2 (7)
и выражаются соотношениями модели Ферми-газа:
Б(Е,д,}) = (8)
(9)
Здесь ] - угловой момент ядра, -
его эффективная потенциальная энергия, включающая в себя гладкую (жидкокапель-ную) часть иь^) и центробежное слагаемое (F(q) - момент инерции):
и(я,п = и1(ч)+§£. (10)
Заметим, что закон сохранения энергии при ланжевеновском моделировании иногда нарушается за счет того, что случайные числа Ь/ в формуле (3) могут принимать сколь угодно большие значения. Технически этот вопрос решается так, что значения, нарушающие закон сохранения энергии, просто отбрасываются. В обсуждаемых ниже расчётах таких событий ничтожно мало.
Все расчеты, представленные в данной работе, проводились для реакции 20№+240Ри ^ 260К£ Для нахождения распределения составных ядер по спину использовались аппроксимации из [25] и [27].
Уравнения (1) - (4) моделировались с помощью алгоритма Эйлера-Маруямы [28], который обычно используется при моделировании процесса деления [14; 16; 29; 30]. Алгоритм учёта испускания лёгких частиц, использованный нами, подробно изложен в
[11]. Формулы для ширин (скоростей) испускания нейтронов, заряженных частиц и гамма-квантов приведены в [31; 32].
Для всех траекторий моделирование начиналось из сферического состояния (до = 1,00, ql = 0,38, q2 = 0) с нулевыми коллективными импульсами. Поскольку барьер деления составного ядра очень низок, все траектории приводят к делению за разумное время моделирования (3 асек = 3 • 10"18 сек).
Остановимся отдельно на том, как вычисляется наблюдаемое значение кинетической энергии осколков Ш. В литературе для перехода от динамических переменных к Ш наиболее распространён алгоритм Самад-дара [33]. Этот алгоритм состоит в том, что после прекращения динамического моделирования величина Ш вычисляется для одно-связной конфигурации делящегося ядра по формуле:
ш = иС1 + ип1 + шрге. (11)
В формуле (11) иС1 >0 - кулоновская энергия взаимодействия будущих осколков, т.е. двух частей ядра, разделённых вертикальным разрезом в самом тонком месте фигуры; ип1 <0 - энергия сильного ядерного взаимодействия будущих осколков; Шрге >0 -кинетическая энергия относительного движения будущих осколков. По порядку величины ис[ ~ 200 МэВ, 1ип11 ~ 10 МэВ, ШрГе ~ 10 МэВ. Таким образом, главный вклад в Ш вносит кулоновская энергия взаимодействия будущих осколков, а ип1 и Шрге в значительной степени компенсируют друг друга.
Величина иС1 вычисляется с помощью метода Беринжера [34], который был нами несколько модифицирован [35]. В работе [34] этот метод был развит для вычисления полной кулоновской энергии однородно заряженной односвязной аксиально-симметричной конфигурации. Суть этого метода состоит в том, ядро «разрезается» на N дисков одинаковой толщины, и кулоновская энергия вычисляется как сумма энергии взаимодействия каждого диска с каждым плюс сумма собственных энергий всех дисков. В нашей модификации иС1 вычисляется как сумма энергии взаимодействия каждого диска левого осколка с каждым диском правого.
В формуле (11) отсутствует слагаемое, связанное с вращением делящегося ядра в точке разрыва. Таким образом, подразумевается, что вся вращательная энергия диссипи-рует в точке разрыва за счёт взаимодействия осколков и переходит в их внутреннюю энергию возбуждения. С другой стороны, диссипация предразрывной кинетической энергии Шрге не учитывается вовсе. Вопрос о прохождении точки разрыва, по-видимому, требует дальнейшего исследования, и наиболее адекватным здесь был бы зависящий от времени самосогласованный метод Хартри-Фока [36].
Результаты
Результаты расчётов иллюстрируются рисунком.
230 220
5 210
л 200
V
190 180
400
гч >
4)
300 200
с
V
0
550
500
9- 450 £
400 "с 350 300 250
а)
И4
Ь)
6——ф
с)
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
г Ж
песк 0
Зависимость четырёх наблюдаемых величин от разрывного значения радиуса шейки в единицах радиуса равновеликой сферы
На рисунке треугольниками и кругами показана зависимость четырёх наблюдаемых величин, рассчитанных с помощью нашей модели, от разрывного значения радиуса шейки. Горизонтальные линии соответствуют экспериментальным значениям этих наблюдаемых из работы [7], которые, разумеется, от разрывного радиуса шейки не зависят. Мы видим, что варьирование условия разрыва заметно влияет на согласие расчёта с экспериментом в отношении СРЭ (рис. а). Расчётные значения СРПН (рис. с), дисперсии кинетической энергии осколков (рис. Ь) и дисперсии массового распределения (рис. (() не дотягивают до экспериментальных даже при самом малом радиусе шейки из исследованных.
Результаты наших расчётов оказались не зависящими от того, какую аппроксимацию для спинового распределения составных ядер использовать: старую из работы [25] (ей на рисунке соответствуют круги) или новую из [27], которой на рисунке соответствуют треугольники. Это особенность данной реакции, в которой все составные ядра делятся с вероятностью 100 % независимо от спина. Мы ожидаем, что в реакциях, приводящих к более легким составным ядрам, результаты расчетов могут зависеть от аппроксимации.
Основная цель нашей работы состояла в том, чтобы выяснить, какие из наблюдаемых величин чувствительны к условию разрыва и насколько. Чтобы дать количественный ответ на этот вопрос, мы, как обычно [11], вводим чувствительность наблюдаемой к изменению нашего параметра по формуле
2(хтах~хт1п )
max min
(12)
Здесь хтах(хтЫ) - максимальное (минимальное) значение, которое принимает наблюдаемая при изменении гпеск/К0 от 0,25 до 0,36. Вычисленные по формуле (12) чувствительности четырёх наших наблюдаемых приведены в таблице. Эти чувствительности следует соотносить, кроме всего остального, с экспериментальными относительными погрешностями £ехрх, которые приведены во второй строке таблицы. Видно, что варьирование радиуса шейки (или в более общей формулировке - условия разрыва на два осколка) существенно для согласования с экспериментом значений всех четырех исследованных наблюдаемых величин.
В заключение хотелось бы обратить внимание читателя на большие сплошные квадраты, которыми показаны на рисунке расчетные результаты работы [12], полученные при тех же значениях параметров: разрывного радиуса шейки и коэффициента к3. Мы видим, что наши расчеты находятся в хорошем согласии с результатами [12] для всех наблюдаемых величин, кроме средней множественности предразрывных нейтронов.
Чувствительность наблюдаемых величин к изменению разрывного радиуса шейки, определяемая формулой (12), и относительная экспериментальная погрешность [7]
х СРПН СРЭ ДРЭ ДРМ
fr.% 12 5.5 31 29
^■exp x, % 2.9 1.0 3.5 2.4
М.В. Чушнякова благодарит фонд Д.Б. Зимина «Династия» за финансовую поддержку.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Plasil F. et al. Kinetic energy - mass distributions from the fission of nuclei lighter than radium // Physical Review. 1966. Vol. 142. P. 696.
[2] Lazarev Yu. A. Variance of the energy distributions of fragments formed by low-energy fission // Atomic Energy Review. 1977. Vol. 15. P. 75.
[3] Oganessian Yu. Ts., Lazarev Yu. A. Heavy ions and nuclear fission. In Treatise on Heavy Ion Science (D.A. Bromley, ed.). N. Y. : Plenum Press, 1985. Vol. 4. P. 3.
[4] Gruzintsev Y. N. et al. New Experimental Data on the Formation of the Symmetric Fission Mode // Zeitschrift für Physik A. 1984. Vol. 316. P. 61.
[5] Грузинцев Е. Н. и др. особенности в зависимостях первых и вторых моментов энергетического распределения осколков деления от нук-лонного состава ядер // Ядерная физика. 1988. Т. 48. С. 312.
[6] Hilscher D., Rossner H. Dynamics of nuclear fission // Annales de Physique. 1992. Vol. 17. P. 471.
[7] Чубарян Г. Г. и др. Массово-энергетические распределения осколков и угловой момент при делении возбужденных ядер // Ядерная физика. 1993. Т. 56. С. 3-29.
[8] Иткис М. Г. и др. Деление возбужденных ядер с Z2^ = 20-30: массово-энергетические распределения осколков, угловой момент и капельная модель // Ядерная физика. 1995. Т. 58. С. 21402165.
[9] Русанов А. Я., Пашкевич В. В., Иткис В. В. Асимметричные барьеры деления нагретых ядер и экспериментальные распределения масс осколков // Ядерная физика. 1999. Т. 62. С. 595-609.
[10] Gontchar I. I. et al. Calculating energy-distribution moments of nuclear fission fragments by means of Langevin equations. Soviet Journal of Nuclear Physics. 1992. Vol. 55. P. 514.
[11] Гончар И. И. и др. Многомерная динамическо-статистическая модель деления возбужденных ядер // Ядерная физика. 2000. Т. 63. С. 17781797.
[12] Karpov A. V. et al. Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei // Physical Review C. 2001. Vol. 63. P. 054610.
[13] Nadtochy P. N., Adeev G. D., Karpov A. V. More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach // Physical Review C. 2002. Vol. 65. P. 064615.
[14] Адеев Г. Д. и др. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2005. Т. 36. С. 733-820.
[15] Nadtochy P. N., Adeev G. D. Dynamical interpretation of average fission-fragment kinetic energy sys-tematics and nuclear scission // Physical Review C. 2005. Vol. 72. P. 054608.
[16] Nadtochy P. N., Schmitt C., Mazurek K. On some limitations of current Langevin calculations // Phys-ica Scripta. 2013. Vol. T154. P. 014004.
[17] Risken H. The Fokker-Planck equation. Second Edition. Berlin, 1989.
[18] Адеев Г. Д., Гончар И. И. Флуктуационно-дисси-пативная динамика формирования энергетических распределений осколков деления // Ядерная физика. 1984. Т. 40. С. 869-881.
[19] Adeev G. D., Gontchar I. I. A simplified two-dimensional diffusion model for calculating the fission-fragment kinetic-energy distribution // Z. Phys. 1985.Vol. A322. P. 479-485.
[20] Адеев Г. Д. и др. Диффузионная модель формирования распределений осколков деления //
Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1988. Т. 19. С. 1229-1298.
[21] Sierk A. J. Macroscopic model of rotating nuclei // Physical Review C. 1986. Vol. 33. P. 2039-2053.
[22] Davies K. T. R, Sierk A. J., Nix J. R. Effect of viscosity on the dynamics of fission // Physical Review C. 1976. Vol. 13. P. 2385-2403.
[23] Blocki J. P. et al. One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei // Annals of Physics (New York). 1978. Vol. 113. P. 330-386.
[24] Blocki J. P., Feldmeier H., Swiatecki W. J. Dynamical hindrance to compound nucleus formation in heavy-ion reactions // Nuclear Physics A. 1986. Vol. 459. P. 145.
[25] Гончар И. И. Ланжевеновская флуктуационно-диссипативная динамика деления возбужденных атомных ядер // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1995. Т. 26. С. 932-1000.
[26] Gontchar I. I., Frobrich P. Damping coefficient of the fission mode: analysis of experimental data with a combination of a dynamical and statistical model // Physics of Atomic Nuclei. 1994. Vol. 57. P. 1249-1254.
[27] Chushnyakova M. V., Gontchar I. I. Approximating the spin distributions in capture reactions between spherical nuclei // Nuclear Physics A. 2015. Vol. 941. P. 255-264.
[28] Kloeden P. E, Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Berlin, 1992.
[29] Дёмина Е. Г., Гончар И. И. Точность приближённых формул Крамерса для скорости деления:
канонический и микроканонический ансамбли // Ядерная физика. 2014. Т. 77. С. 882.
[30] Nadtochy P. N. et al. Incorporation of a tilting coordinate into the multidimensional Langevin dynamics of heavy-ion-induced fission: Analysis of experimental data from fusion-fission reactions // Physical Review C. 2014. Vol. 89. P. 014616.
[31] Frobrich P., Gontchar I. I. What are sensitive probes for nuclear friction in heavy-ion induced fission? // Nuclear Physics A. 1993. Vol. 563. P. 326348.
[32] Gontchar 1.1., Litnevsky L. A., Frobrich P. A C code for combining a Langevin fission dynamics of hot nuclei with a statistical model including evaporation of light particles and giant dipole - quanta // Computer Physics Communications. 1997. Vol. 107. P. 223-245.
[33] Samaddar S. K. et al. Role of Thermal Fluctuations in a Classical Dynamical Model for Fission // Phys-ica Scripta. 1982. Vol. 25. P. 517-521.
[34] Beringer R. Coulomb self-energy of axial figures // Physical Review. 1963. Vol. 131. P. 1402-1406.
[35] Гончар И. И., Чушнякова М. В.- Крохин С. Н. К вопросу о расчёте кулоновской энергии взаимодействия осколков деления атомных ядер вблизи точки разрыва // Вестник Омского университета. 2015. Т. 4(78). С. 21-26.
[36] Simenel C. Nuclear quantum many-body dynamics: From collective vibrations to heavy-ion collisions // The European Physical Journal A. 2012. Vol. 48. P. 152.
