Точность формулы Крамерса для двухпараболического потенциала Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

*

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НАУКИ

удк 539.173(04) и. И. ГОНЧАР

Е. Г. ПАВЛОВА И. А. ДРОЗДОВА А. Л. ЛИТНЕВСКИЙ

Омский государственный университет путей сообщения

ТОЧНОСТЬ ФОРМУЛЫ КРАМЕРСА ДЛЯ ДВУХПАРАБОЛИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

Показано, что в случае двухпараболического потенциала формулы Крамерса, описывающие тепловой распад метастабильного состояния, приводят к погрешности, достигающей иногда 20 %. В работе выполнено систематическое сравнение кра-мерсовых скоростей с долговременным пределом динамической скорости для режима апериодического затухания. Оказалось, что интегральная формула Крамерса согласуется с результатами динамического моделирования намного лучше, чем общеупотребительное экспоненциальное выражение.

Ключевые слова: тепловой распад метастабильного состояния, скорость Крамерса, уравнение Смолуховского.

Множество явлений находит своё количественное объяснение с помощью модели теплового распада метастабильного состояния [1]. В своей классической статье [2] Крамерс указал на три таких явления: бинарная химическая реакция, коагуляция в коллоидных растворах и деление возбуждённых ядер. И в наше время формулы, полученные Крамерсом для скорости теплового распада квазистационарного со-

стояния (КСС), часто служат основой теоретического исследования таких явлений.

В данной работе рассматривается деление возбуждённых ядер. В последнее время появились серьёзные свидетельства того, что коллективное ядерное движение носит апериодический характер [3]. В этом случае обычно используют формулу Крамерса:

Зависимость Сь и Сс от О

О 0,1 0,2 0,4 0,6 1,0 2,0 4,0 6,0 7,0

Сь 171 93 54 41 31 23 19 18 18

сс 17 19 22 25 31 47 78 109 124

'■

" п

Г* иь

2яг|

ехР| ~

(1)

которую мы будем называть экспоненциальной (экспоненциальная крамерсова скорость).

Здесь

RO — крамерсова скорость деления для случая сверхзатухания ^еМатршд);

П П

иь , ис — вторые производные от потенциальной энергии, отвечающие барьеру деления (Ь) и ква-зистационарному состоянию (с);

П — коэффициент сопротивления коллективному ядерному движению;

В{ — высота барьера деления;

Т — температура ядра, которая в ядерной физике совпадает с тепловой энергией.

Крамерс получил формулу (1), решая аналитически уравнение Смолуховского с помощью следующих приближений:

1) высота барьера деления много больше температуры;

2) потенциал и(^) вблизи экстремальных точек может быть представлен параболами с жёсткостями

иЬ, и С;

3) коэффициент сопротивления очень велик, так что р>>юЬ, р>>юс;

4) точка разрыва (поглощающая граница) находится достаточно далеко от точки барьера;

5) квазистационарная точка (дно ямы) находится достаточно далеко от точки барьера.

Здесь юЬ юс — частоты коллективных колебаний, отвечающие барьеру деления и КСС соответственно;

в — коэффициент затухания коллективного ядерного движения.

В работе Крамерса [2] подразумевается ещё одна формула для вычисления квазистационарной скорости деления

и(у)

т

Ча

бу | ехр

Чс

т

1-1

(1х>

(2)

Эр _ 8 ( р сШ ді 0<?\т| сід у

+ Д

^Р.

“дд2

(3)

Здесь р=р(я^) — плотность вероятности в конфигурационном пространстве;

q — коллективная координата (параметр деформации);

Dq=T/n — коэффициент диффузии в конфигурационном пространстве.

Зависящая от времени скорость деления вычисляется с использованием решения уравнения (3) следующим образом

д,.(0=

р(дЛ)сШ(д) г] сід

-“Р(<7.0 Л дд

¡р(дЛ)с1д

(4)

Ч=Чі

Здесь q. — координата точки, в которой вычисляется скорость деления. В данной работе в роли таких точек выступают барьер деления ^Ь(^) и точка разрыва ^)).

Принимая во внимание приближение (2), при котором справедлива формула Крамерса (1), естественно предположить, что она должна лучше всего согласовываться с результатами динамического моделирования для потенциала, составленного из двух парабол:

и (я )=

qc )2,q < qm^'

с

С (q - qb)2 + я > Ят.

(5)

которую мы будем называть интегральной (интегральная крамерсова скорость). Формула (1) получается из (2), если в последней разложить потенциальную энергию до членов второго порядка малости по (q—qс) и (q—qЬ), а также расширить пределы интегрирования до плюс (минус) бесконечности.

В ряде работ [4 — 6] было показано, что RO неплохо согласуется с долговременным пределом скорости деления, полученной с помощью численного моделирования. При таком моделировании динамика процесса описывается с помощью стохастического редуцированного уравнения Ланжевена (см., например, [7, 8]) или с помощью уравнения Смолуховского (как это было сделано недавно в работе [9]):

Здесь СЬ, Сс — жёсткости потенциала в точке барьера и КСС;

qm — координата точки сшивки парабол, которая находится из условия равенства потенциалов и первых производных.

В данной работе мы фиксируем высоту барьера деления (В/=5,35 МэВ, это примерно соответствует А = 250 и 2=98), положения квазистаци-онарной, седловой и разрывной точек ^с=0,37, qЬ =1,20, qa = 3,00), а также коэффициент затухания Р=10-10-21 с. Главным варьируемым параметром является 0=С /Си.

с Ь

Типичные потенциалы и соответствующие им скорости деления показаны на рис. 1. Видно, что по истечении времени релаксации динамические скорости стремятся к квазистационарным значениям RD. Последние заметно отличаются от RO, когда 0*1. Это отличие и является предметом исследования в данной работе. О нём впервые сообщалось в статье [10], однако там это отличие не было изучено систематически.

На рис. 2 показано влияние отношения жёсткостей на скорости деления и на относительные разности

4сш :

■Кг

(6)

(7)

и

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

-10 12 3

(Ґ.

time, zs

time, zs

time, zs

Рис. 1. Зависимость потенциала от координаты (вверху) и скоростей деления от времени (внизу) для трёх значений параметра □=Сс/Сь: 0=0,2 (левая колонка), 0=1,0 (средняя колонка), 0=5,0 (правая колонка).

На нижних панелях толстые сплошные кривые соответствуют скоростям деления в седловой точке КЬМ, тонкие штриховые кривые — скоростям деления в точке разрыва ЯаШ, горизонтальные прямые — крамерсовым экспоненциальным скоростям, вычисленным по формуле (1).

Расчёты выполнены при 7=1,2 МэВ

На верхней панели рис. 2 видно, что при отклонении О в любую сторону квазистационарная скорость деления возрастает независимо от метода расчёта. Для качественного понимания этого эффекта перепишем формулу (4) для точки барьера:

Ч=Чь

¡p(q,t)dq

-1

(8)

Поток вероятности (первая скобка в формуле (8)) и населённость ямы (вторая скобка) определяются жёсткостями С, и С соответственно. Табл. 1 пока-

Ь с

зывает, как эти жёсткости изменяются при изменении О.

Когда яма широкая, а барьер узкий (0<1, см. верхнюю левую панель рис. 1), то поток вероятности велик, но велика и населённость в КСС (вторая скобка в формуле (8)). Если сравнить сами жёсткости при переходе от случая 0=1 к случаю 0<1 (см. табл. 1), легко видеть, что эффект увеличения потока доминирует: Сь изменяется более чем в 5 раз, тогда как Сс — не более чем в 2 раза.

В обратном пределе (0>1, см. верхнюю правую панель рис. 1 ) можно ожидать уменьшения потока из-за утолщения барьера, но и населённость уменьшается из-за сужения ямы. Значения жёсткостей из таблицы показывают, что второй эффект доминирует: жесткость ямы изменяется в 4 раза, тогда как жёсткость барьера — менее чем в 2 раза.

Мы полагаем, что в случае 0=1 очень хорошее согласие Ro и RD является результатом случайной компенсации ошибок, возникающих при получении выражения (1) из (2). Оказывается, достаточно задать отличное от единицы отношение жёсткостей парабол, составляющих потенциал, чтобы ошибки перестали компенсироваться.

Рис. 2. Зависимость скорости деления (вверху) и относительной разности скоростей (внизу) от отношения жёсткостей 0. Треугольники — Я0 (вверху) и \00 (внизу), круги — К (вверху) и (внизу).

Толстая сплошная кривая на верхнем рисунке отвечает Горизонтальные прямые на нижнем рисунке указывают двухпроцентный интервал. Расчеты сделаны при 7=1,55 МэВ

Итак, даже в случае двухпараболического потенциала общеупотребительная экспоненциальная формула Крамерса, описывающая тепловой распад метастабильного состояния, может приводить к значительной погрешности. Эта погрешность растёт, при отклонении параметра П = C/Cb от единицы, достигая 20 %. Оказалось, что интегральная формула Крамерса согласуется с результатами динамического моделирования намного лучше, чем общеупотребительное экспоненциальное выражение.

Библиографический список

1. Hanggi, P. Reaction Rate Theory: Fifty Years After Kramers / P. Hanggi, P. Talkner, M. Borkovec // Reviews of Modern Physics. — 1990. - № 62. - P. 251-342.

2. Kramers, H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions / H.A. Kramers // Physica. — 1940. - № 7. - P. 284-304.

3. Moller, P. Brownian shape motion on five-dimensional

potential-energy surfaces: Nuclear fission-fragment mass

distributions / P. Moller, J. Randrup // Physical Review Letters. -2011. - № 106. - P. 132503.

4. Gontchar, I. I. A consistent dynamical and statistical description of fission of hot nuclei / I. I. Gontchar, P. Frebrich, N. I. Pischasov // Physical Review. - 1993. - C 47. - P. 2228.

5. Frobrich, P. Langevin description of fission of hot metallic clusters / P. Frobrich, A. Ecker // The European Physical Journal. - 1998. - № 3. - P. 245-256.

6. Edholm, O. The accuracy of Kramers theory of chemical kinetics / O. Edholm, O. Leimar // Physica. - 1979. - № 98A. -P. 313-324.

УДК 532.5:536.25

Введение. Возросший в последнее время интерес к задачам конвекции с испарением обусловлен проведением экспериментов в наземных условиях, в условиях параболических полетов и подготовкой новых экспериментов на Международной космической станции [1]. Эксперименты имеют целью

7. Гончар, И. И. Ланжевеновская флуктуационно-дисси-пативная динамика деления возбужденных атомных ядер / И. И. Гончар // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1995. - Т. 26. - С. 932- 1000.

8. Ye, W. Significant role of deformation in probing postsaddle nuclear dissipation with light particle emission / W. Ye // Physical Review. - 2010. - C 81. - P. 054609.

9. Gontchar, I. I. Integral Kramers formula for the fission rate versus dynamical modeling: The case of deformation-dependent temperature / I. I. Gontchar, R. A. Kuzyakin // Physical Review. -2011. - C 84. - P. 014617.

10. Gontchar, I. I. Disentangling effects of potential shape in the fission rate of heated nuclei / I. I. Gontchar, M. V. Chushnyakova, N. E. Aktaev, A. L. Litnevsky, E. G. Pavlova // Physical Review. -2010. - C 82. - P. 064606.

ГОНЧАР Игорь Иванович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), профессор кафедры физики и химии.

ПАВЛОВА Елена Геннадьевна, аспирантка кафедры физики и химии.

ДРОЗДОВА Илга Анатольевна, кандидат физикоматематических наук, доцент (Россия), доцент кафедры физики и химии.

ЛИТНЕВСКИЙ Андрей Леонидович, кандидат физико-математических наук, преподаватель кафедры физики и химии.

Адрес для переписки: [email protected] Статья поступила в редакцию 04.10.2012 г.

изучить особенности движений жидкостей под действием сопутствующих потоков газа в условиях гравитационных полей различной интенсивности. Сопутствующий поток газа включает часто пар, который полагается пассивной примесью в газе, а следовательно, требуется изучать процессы диффузии

О. Н. ГОНЧАРОВА

Алтайский государственный университет, г. Барнаул

КОНВЕКТИВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОПУТСТВУЮЩИХ ПОТОКОВ ГАЗА:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ________________________________

В данной статье представлен обзор результатов математического моделирования конвективных движений жидкостей в областях с границами раздела, построены примеры решений специального вида, описывающих трехмерные конвективные течения несмешивающихся жидкостей.

Ключевые слова: конвекция, граница раздела, математическая модель, точные решения.

Работа выполнена в рамках проекта № 73975.2011 Алтайского государственного университета (при поддержке Министерства образования и науки РФ) и гранта РФФИ (проект 10-01-00007).

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ