CC BY
14
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2004. № 3. С. 57-59.
\Т TTV коп 1 7Q
( Омский государственный университет УДК
О ВЫБОРЕ ОПТИМАЛЬНОМ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ФОРМЫ ЯДРА ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ДЕЛЕНИЯ
А.В. Машковцев, С.В. Хайдуков
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55a1
Получена 20 марта 2004 г.
Comparison different shape parametrizations of fissoning nucleus with the results of "exact" numerical solution of a variational problem obtained by Strutinsky is presented. Calculations show a good agreement our results for a two-parametric families of shapes with Strutinsky's results for all values of fissility parameter X.
Введение
При физическом моделировании распада атомного ядра неизбежно возникает вопрос о форме делящегося ядра. В модели жидкой капли немаловажную роль играет выбор коллективных координат. В настоящее время не существует единого подхода к выбору деформационных параметров. В связи с этим были разработаны различные способы задания профильной функции р^^(г), которая описывает аксиально симметричную поверхность, заключающую в себе ядерную материю. Деформационные параметры, входящие в форму профильной функции, и являются коллективными координатами при описании динамики деления.
В данной работе рассмотрены только зеркально симметричные ядерные формы. Это обусловлено двумя причинами. Во-первых, ядерное деление при энергиях возбуждения больших 1,5— 2,0 МэВ является симметричным. Во-вторых, для сравнения результатов, полученных при применении прямых вариационных методов, с численным решением вариационной задачи, предложенной Струтинским для зеркально симметричных форм.
Форма ядра
Фигуры, соответствующие барьерам деления, дают максимум потенциальной энергии ядра, которая является суммой поверхностной и кулонов-ской энергий ядра V = Е8 + Ес .В работе Стру-тинского [1] введен параметр, характеризующий
деформацию ядра О. В качестве О выбиралась половина расстояния между центрами масс будущих осколков. Фиксируя параметр О, можно определить семейство экстремальных фигур, чтобы определить зависимость потенциальной энергии от параметра О. Потенциальный барьер, определяемый значением параметра деформации О = О*, описывается условием равенства в этой точке нулю производной функции потенциальной энергии по параметру О . Профильная функция для выбранного значения О является численным решением вариационного уравнения Эйлера, в которое входит параметр делимости X.
Таким образом, полученная профильная функция р3(г) задана численно. Для упрощения динамических расчетов форма ядра должна описываться аналитически. Это семейство форм станет определяться конечным числом параметров. Первый шаг в этом направлении был сделан в работе Коэна и Святецкого [2], в которой профильная функция описывается девятью деформационными параметрами, входящими в разложение по полиномам Лежандра:
Р2(в) =
Ro
N
1 + anPn(cos в)
n=2
(1)
1 e-mail: mashkovtsev [email protected], [email protected]
где Ко - радиус сферического ядра, А - множитель, обеспечивающий условие сохранения объема, ап - параметры, задающие форму, Рп(cosв) - полиномы Лежандра, п = 2, 4, 6, 18. Несмотря на то что результаты этой работы согласуются с численным решением Струтинского, а профильная функция задается аналитически, девять параметров делают невозможным проведе-
58
А.В. Машковцев, С.В. Хайдуков
ние динамических расчетов, т. к. нынешнее развитие техники позволяет моделировать динамику деления максимум с четырьмя параметрами. Вместе с тем понятно, что уменьшение числа параметров находится в прямой зависимости с качеством описания динамики деления. Компромиссным числом параметров, позволяющих, с одной стороны, получать достоверные результаты и достаточно реалистично описывать распад - с другой, является три-четыре [3], а для зеркально симметричных форм достаточно двух.
В последнее время было создано несколько параметризаций, однако часто используемыми и наиболее популярными остаются три: {с, /г, а\, описанная в [3], параметризация, основанная на семействе овалопдов Кассини [4-6], и параметризация, разработанная в работе [7].
Параметризация {с, /г, а\ считается наиболее удобной, с - параметр удлинения, /г - параметр, определяющий толщину шейки, а - параметр асимметрии. Профильная функция для симметричных форм {а = 0) имеет вид:
2/ V _ Г с-2(с2-,2)(Лс2+В,2), 0;
рЛг) - { с-Цс2 -г2)Лс2ехр(Всг2) , В < 0,
(2)
где А3, В — параметры, взятые из работы [3].
Параметризация, основанная на семействе овалопдов Кассини, долгое время давала хорошие результаты. В последнее время она получила развитие благодаря введению нового параметра к~, определяющего аксиальное сжатие формы. Параметр кр = к~ определяет радиальное сжатие [8]. В симметричном случае (параметр асимметрии х = 0) профильная функция определяется выражением
где е - деформационный параметр, определяющий удлинение фигуры, с„ - масштабный фактор.
Параметризация Тренталэнжа [7] отличается от вышеперечисленных тем, что в профильную функцию можно включать достаточно много как симметричных, так и асимметричных параметров. Естественно, точность результатов прямым образом связана с количеством деформационных параметров. Профильная функция в данном случае записывается так:
N , .
р2(,) = д2^«„рп - , (4)
п=0
где До - радиус сферического ядра, N - число рассматриваемых параметров, ап — деформационные параметры, Рп — полиномы Лежандра
порядка п, ¿о - половина длины фигуры. При рассмотрении симметричных форм индексы п должны принимать только четные значения.
Потенциальная энергия
Одним из основных критериев, позволяющих проводить сравнение различных параметризаций при описании формы ядра, является величина барьера деления. Чем она ближе к экспериментальному, тем лучше считается описание. В единицах поверхностной энергии сферического ядра
17(0)
Ь8 ее можно записать так:
У (а) = В, (а) - 1 + 2Х (Вс( а) - 1) , (5)
где В3(а.) и Вс(а) - безразмерные функционалы, зависящие от формы ядра, А" = Е^ - параметр делимости, под а в зависимости от параметризации понимаются такие наборы коллективных координат: а = {с, /г}, {е, А'г}, {аг, «4}.
Результаты и обсуждение
В рамках данной работы были построены карты потенциальной энергии в различных параметризациях. В каждой из них было определено дно долины деления. Поиск максимального значения при движении вдоль дна от сферического состояния к разделившейся форме и давал величину потенциального барьера. Расчеты были проведены для ядра 213А1, (см. рис. 1). Полученная при теоретических расчетах величина потенциального барьера лежит в интервале значений 6,464-6,56 МэВ. Наименьшее значение было получено в параметризации,основанной на семействе овалопдов Кассини.
В седловых точках были построены формы, принимаемые ядром. Как видно из рисунка 1, седловые формы весьма схожи во всех трех параметризациях. Для более детального анализа седловых форм (в том числе и работ Струтинского и Коэна и Святецкого) обычно сравнивают два универсальных параметра, определяющих форму: длину фигуры - расстояние между точками пересечения профильной функции с осью г (Итах) и толщину шейки - значение профильной функции при £ = 0 (Ит гп). Результаты этих расчетов в зависимости от различных значений параметра А" на интервале 0,1-1,0 представлены на рисунке 2. Все три параметризации дают удовлетворительные результаты и согласуются с работами [1, 2], где описание формы получено более точными методами. Не стоит забывать о том, что профильная функция уже описывается всего двумя, а не девятью параметрами и тем более не задана численно.
Выбор параметризации формы ядра
59
Рис. 1. Карты потенциальной энергии для различных параметризаций: овалоидов Кассини - а), Тренталэнжа -Ь) и {с, к, а} - с). На каждом из графиков штриховой линии соответствует дно долины деления - наиболее вероятный путь процесса деления. Тонкими линиями на каждом из рисунков обозначены формы, которые претерпевает ядро при делении. Седловые формы закрашены. Значения потенциальной энергии приведены в МэВ
Заключение и выводы
Проведенные исследования показали, что все три рассмотренные параметризации адекватно и достаточно точно описывают статические характеристики формы ядра и, как показали динамические расчеты в параметризациях {с, Н, а} и ова-лоидах Кассини, удобны при динамических расчетах. Результаты настолько схожи, что трудно отдать однозначное предпочтение какому-либо одному из трех описаний, а выбор параметризации в основном обусловлен удобством именно динамических, а не статических расчетов. Снижение числа параметров с девяти до двух не вносит большой погрешности в описание формы ядра, однако для некоторых динамических за-
Рис. 2. Параметры седловых форм, полученные в работах Коэна и Святецкого (сплошная линия), Струтинского (точечная линия), овалоидов Кассини (о), Тренталэнжа (штриховая линия) и {с, к, а} параметризации (•). Верхней части рисунка соответствует длина седловой формы (Ятах ), а нижней - толщина шейки (Ят{п )
дач необходимо увеличение числа коллективных координат до трех-четырех.
Седловые формы, полученные во всех параметризациях, очень схожи и практически совпадают с результатами, полученными в работах [1] и [2]. Для более полного описания проблемы необходимо сравнить случаи зеркально асимметричного ядерного деления.
Авторы выражают глубокую благодарность Г.Д. Адееву и П.Н. Надточию за полезные стимулирующие обсуждения.
[1] Strutinsky V.M., Lyashenko N.Ya., Popov N.A. // Nucl. Phys. V. 46. P. 639 (1963).
[2] Cohen S., Swiatecki W.J. // Ann. Phys. V. 22. P. 406 (1963).
[3] Brack M. et al. // Rev. Mod. Phys. V. 44. P. 320 (1972).
[4] Adeev G.D., Cherdantsev P.A. // Phys. Lett. V. B39. P. 405 (1972).
[5] Pashkevich V.V. // Nucl. Phys. V. A169. P. 275 (1971).
[6] Ставинский В.С., Работнов Н.С., Серегин А.А. // ЯФ. Т. 7. С. 1051 (1968).
[7] Trentalange S., Koonin S.E., Sierk A.J. // Phys. Rev. V. C22. P. 1159 (1980).
[8] Shuwei X., Zhengda W. // Phys. Rev. V. C37. P. 1968 (1988).
