Преемственность в подготовке магистров математики на базе математической теории устойчивости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

3. Постройте как можно больше точек, у которых координаты — противоположные числа (у = -х).

4. Постройте как можно больше точек, у которых абсцисса противоположна числу 3

(х = -3).

5. Постройте как можно больше точек, у которых ордината противоположна числу -3

(у=-(- 3)).

6. Постройте как можно больше точек, у которых абсцисса равна модулю числа -2

(х = |-2|).

7. Постройте как можно больше точек, у которых ордината равна модулю абсциссы (У = |х|).

8. Постройте как можно больше точек, у которых ордината на две единицы больше абсциссы (у = х + 2).

Внимание! Далее задания на построение графиков даются уже в обычной форме: Постройте график.

9. у = х + 3. 10. у = х + (-2). 11. у = х + (- 3).

12. у = 2 + х. 13. у = 3 + х. 14. у = |х| + 2.

15. у = |х + 2|. 16. у = -х + 2. 17. у = -х + 3.

18. у = |-х|. 19. у = —|х| + 2. 20. у = х - 2.

21. у = х —1. 22. у = |х| - 4. 23. у = 2х.

24. у = -3х. 25. у = х2 (то есть у = хх).

28. у =

12

Поступила 17.02.12.

X

УДК 517.922.51

ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ В ПОДГОТОВКЕ МАГИСТРОВ МАТЕМАТИКИ НА БАЗЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Ю. И. Голечков (Московским государственным университет путем сообщения),

А. Н. Наумкина, А. В. Щенников, Т. Н. Явкина

(Мордовским государственным университет мм. Ж Л. Огарева)

Показано, каким образом в подготовке магистров математики используется общий курс математической теории устойчивости на материале функций Ляпунова для автономных нелинейных систем дифференциальных уравнений.

ключевые слова: магистр математики; радиальная базисная функция; функция Ляпунова; асимптотическая устойчивость.

Хорошо известно, с какими трудностями сталкиваются студенты-математики при изучении методов нахождения функции Ляпунова. В данной статье рассмотрим один из таких методов — метод радиальных базисных функций [1], предложенный П. Гизлом [2; 3] для автономного дифференциального уравнения

dx/dt = g (х),

g£ С(к\Я",Я"), к > 1. (1)

Данный метод последовательно используется в подготовке как бакалавров, так и магистров математики.

Обозначим через Ф(t, у) решение х^) начальной задачи х(0) = у уравне-

ния (1). Так как функция g(x) принадлежит, по крайней мере, к классу С(1), то существует единственное решение начальной задачи х(0) = у. Если g(xo) = 0 , то точка хо є Яп называется состоянием равновесия уравнения (1).

Введем некоторые определения и обозначения.

Пусть задано линейное уравнение в частных производных на множестве Г вида

Ли = / (2)

Здесь Г— область в Яп, а А — линейный дифференциальный оператор

© Голечков Ю. И., Наумкина А. Н., Щенников А. В., Явкина Т. Н., 2012

№ 2, 2012

Аи{х) = £ Сб(х) В 6 м(х), (3)

|б| < т

где коэффициент гладкости Ca(x)£ C“»(Г,R). Это означает, что производные порядка Ь при |в| < а существуют и непрерывны на Г.

Рассмотрим далее граничные задачи вида

и(х) = F(х), х £ ЭГ. (4)

Дифференциальный оператор задан в виде орбитальной производной функции и(х) относительно обыкновенного дифференциального уравнения (1)и определяется соотношением

А(и(х)) = (Уы(х), g (х)) = £ gJ■ (х)Эи(х) .(5)

к ]=1 ]

Пусть далее Жр (Г) — пространство Соболева всех и(х) со слабыми производными Паи £ Ьр (Г), |а|< к. Тогда соответственно для норм будем иметь

\и^р, (Г) £ \а\=к т\а D и р Ьр (Г) 5 (6.1)

У 1 0

Г /р

\иЬкр (Г) = £ чМ<к 1 т^а D и р Ьр (Г) У (6.2)

В случае р = ¥ имеем

\и\ш¥(Г) 8ир|а=к

Ваи

Ьр (Г)

\rWwp, (Г) 8иР

Баи

Ьр (Г)•

(7.1)

(7.2)

Орбитальная производная функции V £ С(1)(КИ, К) в силу дифференциального уравнения (1) определяется соотношением

йм(^ х(г))

= (Vv( х(г), х(г^ =

(1)

V Эv(х) . .

= £"ЭГ^(х)

3=1 Эх}

Орбитальная производная является линейным дифференциальным оператором вида

АЧх) = ^'(х) = £ 8] (х)Э 7у(х)'

7=1

Точки, в которых (5 0 А) = 0, являются особыми точками уравнения (1). Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Пусть:

1) V £ С(1)(ЯИ, К);

2) Q с Кп — компактное множество такое, что хо £ Ql, где 22 — внутренность множества Q;

3) 2 = {х £ и(у(х) < г)}

где и — окрестность множества Q,

г £ К; г ,

4) v/(x) < 0 при "х £ Q \ {хо }.

Тогда множество Q принадлежит области притяжения П(хо), т. е.

(2 £ П(хо).

Доказательство теоремы 1 является непосредственным следствием теоремы 2.24 работы П. Гизла [2].

Легко построить функцию Ляпунова, если это уравнение нелинейное и допускает линеаризацию в окрестности точки

Пусть все собственные числа якобиана Dg (хо) имеют отрицательные действительные части. Тогда на основании классической теоремы Ляпунова состояние равновесия х0 системы (1) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова. В этом случае область притяжения определяется соотношением

Р(хо) = 1У £ Я”, Нт Ф0, у) = хо 1. (7.3)

йх

й

^(хо)( х - хо).

(8)

Уравнение (8) имеет функцию Ляпунова вида

v(x) = (х - хо)тК(х - хо),

если К — определенно-положительная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения Ляпунова

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

^ (хо))тК + КТ^ (хо) = -1,

где I — единичная матрица.

Функция v(x) в данном случае является функцией Ляпунова как для линеаризованного уравнения, так и для нелинейного уравнения (1) в окрестности точки хо .

Теорема 2. Пусть:

1) действительные части собственных значений на Dg (хо) отрицательны;

2) определена функция Ляпунова

v(x) = (х - хо)тС( х - хо),

г' г>пХп

где С £ К — единственное решение матричного уравнения

(хо))Т С + С^(хо) = -|.

Тогда существует компактное множество М такое, что хо £ 2 и, кроме того, имеется окрестность и множества Q, обладающая свойством

v/(x) < о "х £ Q \ {хо },

2 = {х £ и | у(х) < г}, г > о.

и м2

Примем И(х) = х - хо . П. Гизлом дается следующее определение [2]: множество М с Кп называется гиперповерхностью Ляпунова, если оно: а) компактно; б) / (х) = о тогда и только тогда, когда х £ М; в) /'(х) < о "х £ М; г) для каждого х£ П(хо)\{хо} существует момент времени т(х) £ К такой, что

Ф(т(х), х) £ М .

Теорема 3. Пусть М — гиперповерхность Ляпунова и F £ С(к)(М, К). Тогда существует функция Ляпунова

Г, £ С(к) (П( хо)\ {хо }, К Т такая, что Ау1 = /¡(х) = -с "х£ р(хо)\{х0} (9.1)

v1 = F(х) "х £ М. (9.2)

Заключение теоремы 3 следует из теоремы 2.46 работы [2].

Теорема 4. Пусть действительные части собственных значений якобиана Dg (хо) отрицательны и для

И(х) £ С(к)(Кп, К) выполнены условия:

а) И(х) > о для х ф хо ;

б) к(х) = о(|х - хо |22), а > о, при х ® хо;

в) для всех е > о функция И(х) имеет меньшую показательную оценку на множестве Кп \ В(хо,е), где В(хо,е) — шар с центром в хо и радиусом е > о .

Тогда существует функция Ляпунова

У2 Е С <* > (П (Хо)\(х0 })

такая, что

^2(х0) = 0.

(10.1)

АУ2 = /2(х) = -Н(х) "х£ П(хо). (10.2)

Заключение теоремы 4 следует из теоремы 2.38 работы [2].

Теорема 4 приводит к решению задачи

А&2(х) = АУ2(х) = -к(х) х£ П(хо) .

Теорема 5. Пусть максимальная действительная часть всех собственных значений Dg (хо) отрицательна, где хо — состояние равновесия уравнения (1).

Предположим, что функция g(x) ограничена на множестве П(хо) и У,( х) — функция из теоремы 3, тогда для всех значений р > о множество

Iх£ П(хо)\{хо}:у,(х)< р}и{хо} компактно. Кроме того, существует взаимно однозначное С(а)-дифференцируе-мое отображение

5 £ С(к) (^п-1, {х £ П(хо): У, (х) = р}

П-1

= {с

е Яп : С||2 = 1}.

где 5

Заключения теоремы 5 следуют из предложения 2.4.4 и теоремы 2.4.6 работы [2].

Справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Выберем множество Г с гладкой границей и числа С1 = |_г J> 1 + ” /2 и у = [г ]. Пусть хо — состояние равновесия уравнения (1) такое, что вещественные части всех собственных значений якобиана Dg (хо ) отрицательны. Функция g (х) ограничена на множестве П(хо),

^ £ W2 (П( xо), К Т, v2 £ ^ (П(хо)\{хо }, К Т, м £ W^2 — пространство Соболева.

iliiiiiiiifflli № 2,

Тогда функция Vj(x) относительно оператора Au (х) = (Vu( х), g (x)) и мно-

2012

ІУ 2

тг II s' rk—1/ 2||тт-

'^1(Г) -cfX2r ІГ2

k+(n+2)/2

(Г)

жества X е Г={х £ П(хо): У,(х) < р}\{хо], с > о, удовлетворяет неравенству

II / ТТГ\\ II &.1 II ^

Г1- у111 ь.(Г) = 11У1 + Чь,(Г) < с.

Для доказательства утверждения данной теоремы применяется теорема 3.5 работы [3] при т = 1. В этом случае множество Г имеет гладкую границу.

Теорема 7. Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), для которого точка хо £ К п

является таким состоянием

равновесия, что действительные части собственных значений якобиана Dg (хо) отрицательны. Пусть функция g(x) ограничена на множестве П(хо) и функции

’’1 £ W2t(П(xо),КТ

’’2 £ W2t(П(хо)\{хо},КТ

являются функциями Ляпунова из теорем 3 и 4.

Тогда справедливы утверждения.

1. Реконструкция У1 функции Ляпунова относительно оператора Аи (х) = (и( х), g (х) и множества X с Г = {х£ П(хо) : У1 (х) < г}\ {хо } удовлетворяет неравенству

II / ТТ/|| _ Г к—1/2 Цтт" ||

У1 - У11 Ь¥(Г) = с/х у111 W2k(n+1)2(Г).

2. Пусть М = {х £ П(хо) \ {хо }: /(х) = о} есть гиперповерхность Ляпунова и

Г = {П(хо) \ {хо }: У2 (х) < ^ /(х) ^ о}, где г > о . Тогда справедливо условие

{х£ П(хо)\{хо}: У2(х) = г}ПМ = 0.

Реконструкция У2 функции У2 относительно краевой задачи

Аи(х) = ^и(х), g(х)), и(х) = о = F(х)

относительно множеств Х1 с Г и X2 с М имеет вид

I / т// | ^ Г к-1 / 2 | |т/ |

у2 - г2|Ь (Г) < С/Х[Г г 2 ^к+(”+2)/2(г),

Доказательство теоремы осуществляется с применением следствий 3.6, 3.11 и 3.12 работы [3]. ~

Теорема 8. Пусть Q — компактное множество такое, что х0 е Q с П(х0). Пусть Cj — приближение Vj, как в теореме 7, причем

Г = {хе Р(xq)| К2(х) < r}\{{}, где г > 0 достаточно велико, а fx достаточно мало.

Тогда ~

$Р е R~Q с {хе Г : Cj (х) < р}.

Пусть Q — компактное множество такое, что ~

х0 е Q сП(х0).

Пусть &2 — приближение V2, как в

теореме 7, причем

г = {х еП(х0 ) \ {х0 }| V2 (х) < г, f(x) > 0} где г > 0 достаточно велико, а fхх и fx2 достаточно малы, и пусть

U = {х е П(х0) : f (х) < 0}. Тогда

$р е R Q с UU {хе Г : V2 (х) < р}.

Утверждения теоремы следуют из теорем 5.1 и 5.3 работы [2].

Итак, нами были рассмотрены методологические особенности построения функций Ляпунова для нелинейных систем дифференциальных уравнений. Знание указанных особенностей поможет студентам при написании выпускной бакалаврской работы и магистерской диссертации.

СПИСОК

ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Buhmann, M. D. Radial Basis Function, Cambridge Monographs on Apllied and Computational Mathematics / M. D. Buhmann. — Cambridge : Cambridge University Press, 2003.

2. Giesl, P. Construction of global Lyapunov functions using radial basis functions / P. Giesl // Lecture Notes in Mathematics. 1904. — Heidelberg, 2007.

3. Giesl, P. Meshless Collocation : Error Estimates with Application to Dynamical Systems / P. Giesl, H. Wendland // STAM J. Numerical Analysis. — 2007. — Vol. 45, № 4. — P. 723—724.

Поступила 17.10.11.