CC BY
109
УДК 551.466
В.Н. Зуев, В.В. Семенистый, А.И. Сухинов
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ СУММ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Доказывается предельная теорема для последовательности сумм линейно независимых случайных величин. Асимтотическое поведение такой последовательности сумм случайных величин описывается нормальным законом распределения.
Предельная теорема; случайная величина; формула Тейлора; нормальный закон рас.
V.N. Zuev, V.V. Semenistay, A.I. Sukhinov
LIMIT THEOREM FOR LINEARLY INDEPENDENT PROBABLE
VALUES SUM
The limit theorem proof for linearly independent probable values sum is given. The characteristic function decompose by the Taylor's formula and equivalent infinitesimals is used. The probable values' chain conduct is described by asymptotic normal distribution law.
Limit theorem; probable value; Taylor's formula; normal distribution law.
.
случайных величин и изучаются в законах больших чисел. В работе доказывается одна из предельных теорем.
Пусть
5Г52............5 „■■■■
- последовательность линейно независимых случайных величин, имеющих конечные моменты второго порядка. Без ограничения общности положим . Будем рас-
сматривать эти случайные величины как векторы со скалярным произведением
(5„ |, ) = Е5,5, = соу(5,- , 5, ) = а2
j
5-.5- ■
Систему линейно независимых векторов 52>■■■>5П>---М0ЖН0 ПРеобра-
зовать в систему ортогональных векторов ПрП2>■■■>Пп>---С помощью метода Грама-Шмидта [1] по следующей схеме:
n, = 5i.
e (52. n,)
n2 = 52 np
(nP n,)
e (53. n2) (53. n,)
"з = 5з “7-----------------Гn2 “7---------ГnP
(n^ n2)
e (54. n3)
n4 =54 "з
(nP n,) (54. n2)
("v n3) Cn2. n2)
n,
(5 4, n,) (nP n,)
nv
(,)
Векторы Пр П--п„.- - ортогональны. Это значит, что скалярное произведение этих векторов равно
СП,-,Л]) - - соу(пг,лр = .
П,
0,
что равносильно некоррелированности случайных величин П, и П • •
; ]
Якобиан преобразования (1) равен единице
9(11!,П2, П) =
Э(^ ^2,---, ^п ) =
дП1 9^1 9^1
Э^1 д^2 Э^з Э^п
9^2 дП2 дП2 Эп2
Э^1 Э^2 Э^з д^п
Эпз Эпз Эпз ЭПз
Э^1 д^2 Э^з Э^п
дПп дПп дПп ЭПп
Э^1 д^2 Э^з -- Э^п
1 0 0 0
- (^2> V К. Пх) 1 0 0
(^2> П1) Ц. Л1) ^ П2^ 1 (п^ П2); -1 1 0
1
= 1.
Пр П2-■>Пп -
дет такой же, как и функция распределения случайных величин ^^2 ■, ^п [3].
Положим
в.
п
где
к-1
к-1 к-1
п
п
п
Теорема. Если случайные величины ПрП2’■■■’Пп,■■■ некоррелированы и имеют конечную дисперсию, отличную от нуля, то при п —— равномерно по
X Е (—)
х г
ііш ¥ (х) = ¥(х) = \— [ е 2 йг
Доказательство. Пусть / (г) - характеристическая функция случайной
величины Я . По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеем:
где
ііш Оір = 0.
(2)
г—0 { 2
Представим остаточный член О (2 ) в гаде
о(г2) - г V е(г).
8Сп
Здесь О —— 0 при г —— 0 . Очевидно, не зависит от п . Так как
О п п п
ЬСп - 0, ЬС„ =°8сп - Пк - £ ОПк - аПк - ст? ,
к-1 к-1 к-1
(1)
.22 ? СТз
.2 п
I ^ 2 ,,2
= 1
к=1
(1 - 2() ) =
П
к =1
2 ^ Лк 2 к=1
',2 п N
У ст2
2 ^ Лк
V к =1 у
1 - — стП + ?2стП є(0
2 Пк Пк ч'
< =
о аъ).
(3)
п
Здесь
0 ('3)=ТЕ ст-ст-
к,1=1 к * 1
4 п
2 ^ СТк СТ1
2 к,1=1 к * 1
є( г2)
+
’к^і
+4^ 2 2
' ст ^ст /
к,1 =1 у к *1 у
є (г2) +
.6 п ' _2 _2_2 / СТ/ СТ/ СТ
/і к 1 ш
к,1,ш =1 к *1 к * ш 1 * ш
/
є( г
.6 п
— > СТ, СТ7 СТ
^ к 1 ш
к,1,ш=1 к *1 к *ш
1 * и
1'2)
,6 п
т £
к,1,ш=1 к *1 к * ш 1 * ш
2 2 2 СТ СТ СТ
к 1 ш
є(2 I-
-,\п
V2,
\
Ш - 'Ъ‘Ш є"().
к=1 V к=1 )
Поэтому в дальнейшем остаточный член О (з ) в выражении (з) опускаем.
'В В
к =1 п п
Р
Характеристическая функция случайной величины С - ^ - _с^ в таком
Сп в
случае будет равна
лм- П
к=1
*2 2 .2 2 / ч
2В2 В2
V п )
(4)
Сделаем в выражении (4) замену:
т->2 2 ,
В = пст -2
ср
ср
СТ?
В результате получим:
/
4«> = П
к=1
2пст2 пст2
ср ср
\\
л/ пст
V сР УУ
Прологарифмируем последнее равенство:
п
ln4« - Ёln
к-1
1 -■
*2 2 t а
2па
*2 2 Ik. + _Пк. є
ср
па
ср
л/па
ср у
lnfc (і) - ln
n
і2-2 і2-2
----є
2па
ср
па
ср
л/"а
ср у
(5)
Так как при Л —— величина
более высокого порядка малости чем
t а„
2"аСр
/2а2 t а„
t
будет бесконечно малой
(5)
2па;
ср
пределу при Л —— бесконечно малыми
*2„2 t а.
2па
ср
t
4"а
\ ср /
можно пренебречь
и преобразовать это выражение к виду
lim lnf (t) - lim ln
•n__^" -n___
1 --
t а
2па
У а2
п.
1 к -і
ср у
па
ср
-- "%--1_. 2
па
ср
Последнее означает, что
lim f (t) - е 2
n
"—
/(t) = е 2 является характеристической функцией для «стандартной» нормальной функции распределения ф(х). Известно [3], что если f (t) — f{t) при Л —— , то в этом
случае F (х) — F(x) ) наоборот. Здесь f (t) - характеристическая функция, соответствующая функции распределения FQ (х), a f(t) - соответственно
^Л
функции распределения . Поэтому = Ф(х) .Теорема доказана.
Заключение. Доказана предельная теорема об асимтотическом нормальном законе распределения для сумм линейно независимых случайных величин.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука,1980. - 400 с.
2. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. - М. - Л., 1949. - 102 с.
3. Прохоров Ю.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1972. - 256 с.
n
є
п
є
2
п
2
t
Зуев Виктор Никанорович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88б34371б0б.
Семенистый Владимир Васильевич
E-mail: [email protected].
Тел.: 88б34371б0б.
Сухинов Александр Иванович
E-mail: [email protected].
Тел.: 88б34310599.
Zuev Viktor Nikonorovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78б34371б0б.
Semenistay Vladimir Vasiljevich
E-mail: [email protected].
Phone: +78б34371б0б.
Sukhinov Alexander Ivanovich
E-mail: [email protected].
Phone: +78б34310599.
УДК 534.22
..
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КОНЕЧНО-^ЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ХОХЛОВА - ЗАБОЛОТСКОЙ - КУЗНЕЦОВА
В работе приводится построение устойчивой конечно-рюностной модели для уравнения Хохлова — Заболотской — Кузнецова (ХЗК). При построении дискретной модели использованы схемы расщепления по физическим процессам, что обеспечивает устойчивость модели.
Звуковой пучок; устойчивость; сходимость; расщепление по физическим прогрессом.
T.A. Chistyakova
RESEARCH OF STEADINESS OF FINITE-DIFFERENCE SCHEMES FOR KHOKHLOV - ZABOLOTSKAYA - KUZNETSOV EQUATION
Building of steady finite-difference model for Khokhlov — Zabolotskaya — Kuzлеtsov equation is considered in this work. Schemes of decomposition on physical processes were used for building of discrete model. This method provide steadiness of model.
A sound beam; steadiness; convergence property; decomposition on physical processes.
1. Введение. Устойчивость разностной схемы означает, что малые возмущения аргумента в начальных данных и правой части разностной схемы приводят к равномерно малому изменению решения.
