CC BY
36
УДК 519.214
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ПОРОЖДЕННЫХ УСЛОВНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ СИГМА-АДДИТИВНОЙ МЕРЫ КОШИ1
© 2005 Е.А. Савинов, С.Я.Шатских2
В работе изучается схема серий асимптотически независимых случайных величин, порожденных конечномерными условными распределениями сигма-аддитивной меры Коши на сепарабельном гильбертовом пространстве. Для нормированных сумм таких серий в случае, когда размерность условных распределений стремится к бесконечности, установлена слабая сходимость к гауссовскому распределению.
Введение
Пусть Н — вещественное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением < ■, ■ >, ортонормированным базисом [ві}?=і и борелевской о-алгеброй В(Н). Будем рассматривать на измеримом пространстве [Н, В(Н)} счетно-аддитивную меру Коши ^ с характеристическим функционалом
¥^(у) = ехр
2^ < у, вз >2 ]=і
1/2
у є Н,
где X1 > 0 и 2 \2. < +то.
1=1 1
Рассматривая линейные функционалы в качестве случайных величин, введем функцию распределения системы < ■,в\ >,...,< ■,еп >:
Р\...п(х\,..., хп) : = М-(Н е Н : < Н, е\ > ^ ... , < Н, еп > ^ хп}.
Обозначая через ^ знак пропуска элемента, рассмотрим
^•|1..:!..п(хг I х1,...,х?,..., хп)
1 Представлена доктором физико-математических наук профессором С.В. Асташкиным. Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ-1758.2003.1
2Шатских Сергей Яковлевич ([email protected]), Савинов Евгений Анатольевич, кафедра теории вероятностей и математической статистики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
— условную функцию распределения случайной величины < Н, е, > относительно системы случайных величин:
< Н, е1 >,...,< Н, е, >,...,< Н, еп > .
В работе мы будем изучать свойства следующей системы случайных величин
Ф-1 (^|1...г...п<Лкь Хп)), г = 1, и, (1)
где XI =< х, е,- >, х е Н и Ф-1(0 — функция, обратная функции стандартного гауссовского распределения Ф(-).
Введенная система (1) неоднократно являлась объектом исследований в связи с изучением свойств преобразований независимости негауссовских случайных величин. В частности, в работе [1] было установлено, что при п система случайных величин (1) является асимптотически независи-
мой и для нее имеет место усиленный закон больших чисел.
1. Основной результат
Введем вспомогательные обозначения для случайных величин системы (1)
Х|и)(х) := Ф-1 (^|1...г...и(Х-|хь .. , хп)), i=l, п. (2)
Целью настоящей работы является доказательство следующей предельной теоремы для схемы серий асимптотически независимых случайных величин.
Теорема. Для любого и е К
[Л < л: е Н : —— Х^\х) ^ и \ —» Ф(и), п —» оо. (3)
I 1 )
2. Вспомогательные утверждения
Следуя работе [1], введем функционал ^(х) и множество сходимости Г
ТО V
2 1 < х, ві >2
. _______ 1 4 \
1 П
э(х) := Нт — V
п—>со п
п^то п X2
і=і і
Г := [х є Н : 0 < ^(х) < “}•
В работе [1] установлено, что ^[Г} = 1.
Будем предполагать, что все вводимые далее случайные величины заданы на множестве Г, и для краткости опускать аргумент х.
Обозначим
<Х,Єі> 1 .
Ь := , . ,_л , Ц ■=—тт> 1= 1,2,....
Л^соО) ’ '' ' 5оо(х)’ ‘
Как показано в работах [1, 2], введенные случайные величины обладают следующими свойствами:
1) относительно меры ^ система случайных величин
(5)
(6)
П2, ?1 , ... , \п , ...
независима;
2) случайные величины имеют стандартное гауссовское распределение
^ ^ и} = Ф(и), V, е М;
3) плотность распределения случайной величины 5то(х) имеет вид
#(и) : = -~-[Л {^со(х) ^ и) = л -и~2е~1/2и2. аи У п
Заметим также, что из последнего соотношения следует, что случайная величина п2 = 2(х) является квадратом (0,1)-гауссовской случайной вели-
чины с плотностью распределения
рц2(и) = 1
-и/2
У2
и > 0.
(7)
пи
Кроме того, ввиду свойств (5) и (6)
п
— У1
Ниже мы будем использовать следующие вспомогательные обозначения:
(8)
А(п) : =
А
п- 1/2 Л2 + І %
- 1, В(п) : =
' і
к=1
\
п2 +1 32
к=1
кФі
- 1,
(9)
и(п) := іі
(хіп)
г
Т
1
Лемма 1. При п — то имеет место сходимость по мере ^ :
В(п) -Д 0.
Доказательство. 1. Заметим, что при п — то последовательность случайных величин А(п) — 0 ^,-почти наверное:
Ve > 0, ^|А(п)| > е| — 0, п —— то.
п
Следовательно, существует последовательность е(п) I 0 такая, что
ц ||А(и)| > е(п)} ^ 0, п ^ю.
Обозначим
V" Ы
Тогда для любого ех > 0
ц{|с(п)А(п)| > е^ = ц[^С(п)А(п)| > е11 П {|А(п)| > е(п)}] +
+ц[{|С(п)(х)А(п)| > е^ П {|А(п)| ^ е(п)}].
Ввиду (8)
^{|с(и)| > = ф(——) +1 -ф(—=
1 т) \ г(п)) \е(п)1
= 2Ф1------—] —> 0, п —> со.
\ е(и)/
Из соотношений (10)-(12) получим
ц{|с(п)А(п)|> е11 ^ 0, п ^м.
2. Рассмотрим математическое ожидание квадрата суммы
Г/ п ч2^ п п
м | 2 ь«п) I = £ 2 м {ь/п’«Г1) =
1=1
1=1 /=1
пп
2 Мь2 в»’]2} + £ ^ м в”’).
г=1 г=1 /=1
1=1 у= 1 »'* з
Подсчитаем
то
0 :Кп
,п/2
X ехр
м{ьь /-в(п) в(й)}
л/й
Л+ £ $
-1
1 п
■ !><
к=1
к=1, к*1 2
л/п
(11)
(12)
(13)
1
к=1, к* /
А1 ... &п ds =
Г*.)-^г Г... Гехр 4 2
^ (2л) 2 ^ л-1 кФ1 1
0 ]£п-2 V к=1, к*>>3
X
ГГ^ Л 2и / \ / \
1 » »
К2 Л^ + I■ * ч V к=1, к* ^ ч V к=1, к* ]
X
2
X
X
X Лх... ds.
Нетрудно видеть, что двойной интеграл в квадратных скобках совпадает с выражением
т2
ТО
— г«
л[Ьі J
-фг
- 1
которое равно нулю, так как подынтегральная функция нечетна. Таким образом, для любых г ф ]
Б'4 Б'\
м{^уБ(п) Б(п)] = 0.
(14)
Далее, используя независимость системы случайных величин (5), с учетом свойства (4) и формулы (8) получаем равенство
м{^2 [в^]2} = м {^2} м { [в^]2} = м { [в^]2} .
Введем вспомогательное обозначение
У := м{^2 [в^]2} .
Тогда, учитывая предыдущее равенство, а также свойства (6), (7) и (9), будем иметь
г=— г... Г
(2л)и/2 J 3
кп
/ \ 2 / п \
1 - > п п к=1 .і ехр п 4ь2 1 к=1 ;
dtl ... dtn
Переходя к сферической системе координат [3, с. 402-403], получим
2пп/2 Г _„„2/0 л . п ГГ- Г(й21)
У =
2п/2 Г(п/2)
Г е-ир2/2 и-3(1 _ = п _ ^ _\2
Ї п~2 г(й
+1.
Далее, используя известную асимптотическую формулу для гамма-функций [4, с. 62], будем иметь
У=
п - 2
2
+ 1 =
п + 6 / 1
+ О
2п(п - 2)
Таким образом, при п
мИв'"ТЬ^
Тогда из соотношений (13)-(15) следует равенство
(15)
Ііш М <
п—— ТО
2>б?
(п)
1
Ґ
п
п
откуда, используя неравенство Чебышева, для любого е > 0 будем иметь
г П2А
> єі ^ —Ї— М<
НИ
(п)
*- і=1
1
2є2п
0
при п — то. Лемма доказана. Лемма 2. При п — то
* і=1
(16)
где 1{|і^0} _ индикатор случайного события ^ 0}.
Доказательство. Левую часть соотношения (16) ввиду равенств (9) можно переписать следующим образом:
1п
Ф^
ф
Л ■ ^ Ък
/ к=1, кФі
л/и - 1/2
к=1
1п ==2&1й>°} л2 + д ?2 і=1
А
1 +
?2
л2 + £ ?2
к=1, кФі
1
2п
(17)
По определению функционала 5то(х) при п ^ то имеет место сходимость ^,-почти наверное
л/й
1, п
к=1
Рассмотрим представление
1п
Ф^
\
1 +
?2
л2 + £ ?2
к=1, кФі
- л/1--2п
1п
-р У ?Д{1;>0}
\
1 +
?2
1
к=1, кФі
+
1п
+ -р У
11
2п
Вначале установим сходимость по мере
1(1; ^0}
1 " ~Г 2
Фи
1- л/1--2п
0, п — то.
(18)
(19)
(20)
1
1
Действительно, в силу неравенства Чебышева, для любого е > 0
^ е! ^
у
\^и
1- л/1-^-
2п
<
1
є л/й
1- л/1-1
2п
пМ {^1{5;^о}}
1
2еУ2
лп
1 + л / 1 _
2п
при и ^ю.
Займемся первым слагаемым в сумме (19) и покажем, что
1 п Фи
\
1 +
1
&=1, кФ1
Вначале, пользуясь известным неравенством Бернулли
1 + а ^ VI + 2а, а ^ О,
получим следующую оценку: О < 1 + —
А
?2
?2/2
п2 + £ ?2
к=1, кФЇ
п2 + 2 Ц
к=1, кФі
Отсюда находим
Фи
\
1 +
?2
1
к=1, кФі <
<
у~І= 1{|і>0} 2п У і=1
к= 1 , кФ і
Так как с учетом независимости (5) и формул (6) и (7)
п2 + £ ?2
к= 1 , кФ і
п2
(21)
(22)
то, переходя к пределу в соотношении (22) при п ^ю, пользуясь неравенством Чебышева и свойством независимости (5), для любого е > 0 будем иметь
' / \ ч
=і1 п 11 XV о ?2 і+ ' і п2 + £ ?2 к= 1 , кФ і ^ Є
1
и,
1
1
1
и
<
2е ф 4—f
у 1=1
k=1, k^i
л/й
(и - 2)е V2jt
0.
Далее, из формул (19)—(21) при n следует сходимость
1 n
А
i +
S2
п2 + Z
k=1, k^i
- а/1 - — 2n
0.
(23)
Таким образом, формулы (17), (18) и (23) влекут за собой утверждение (16). Лемма доказана.
1
U,
3. Доказательство теоремы
Разобъем сумму в формуле (3) на два слагаемых
nn
(n)
1
n
+-f2>
Тогда для доказательства справедливости утверждения теоремы достаточно показать [5, с. 111] сходимость по вероятности
n
^=2>
Фи
Xi _1_
ь
(n)
1
0, n
(24)
Как известно (см., например, [1]),
Fi|1...t...n(*i| ^1,..., %,..., Xn) =
1 - \в
1+2 x2/^2
k=l,k*i . n 1 2 ’ 2
1 + 2 x2 №
\ k=1
\B
1+ Ё xlA|
. n \ 2’ 2
1 + 2 x?a2
(25)
, xi < 0,
где В(■; а, в) — бета-распределение.
Воспользуемся известной оценкой (см. [1]) для бета-распределений
1 - Ф
1 nu n 1
^ -в\------------
2 \ 1 + nu 2 2
n
2
1 + nu
Из формул (2), (25) и (26) с учетом обозначений (4) получим
А
(n)
n - 1/2 Xi
-------------- < -— <
n £
п2 + £ Ш * \
k=1 >
n2 + z ?2
k=1, кФ'г
(26)
M-
n
Используя обозначения (9) и оценки (27) для любого г = 1,2,..., нетрудно получить неравенства
Переходя к пределу в этом неравенстве, на основе лемм 1 и 2 получаем
(24). Теорема доказана.
Литература
[1] Shatskih S.Ya. Asymptotic properties of conditional quantiles of the Cauchy distribution on Hilbert space // Journal of Math. Sciences. NY. 1999(4). V. 93. 4. P. 574-581.
[2] ШатскихС.Я. Устойчивые эллиптически контурированные меры в гильбертовом пространстве: асимптотические свойства условных распределений // Изв. РАЕН Сер. МММИУ. 1999. Т. 3. C. 43-81.
[3] ФихтенгольцГ.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T. 3. М.: Наука. 1969. 656 c.
[4] Бейтмен Г., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973. 296 с.
[5] ПрохоровА.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1986. 328 c.
Складывая эти неравенства и суммируя по i, будем иметь
Поступила в редакцию 31/V/2005; в окончательном варианте — 31/V/2005.
CENTRAL LIMIT THEOREM FOR RANDOM VARIABLES GENERATED BY CONDITIONAL DISTRIBUTIONS OF A SIGMA-ADDITIVE CAUCHY MEASURE3
© 2005 E.A. Savinov, S.Ya. Shatskikh4
The paper is devoted to the study of a triangular array scheme of asymptotically independent random variables generated by finite-dimensional conditional distributions of a sigma-additive Cauchy measure, defined on real Hilbert space. In the case, when the dimension of conditional distributions approaches infinity, the central limit theorem for triangular array scheme is proved.
Paper received 31/V/2005. Paper accepted 31/V/2005.
3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. S.V. Astashkin.
4Savinov Eugene Anatolievich, Shatskikh Sergei Yakovlevich, Dept. of Probability Theory and Mathematical Statistics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
