Роль аналитических функций в определении условий стационарности стохастического процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.22./25

РОЛЬ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОПРЕДЕЛЕНИИ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОСТИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Т. А. Рыжкина, З. П. Старовойтова

THE ROLE OF ANALYTICAL FUNCTIONS IN DETERMITION OF STOCHASTIC PROCESS STATIONARITY TERMS

T. A. Ryzhkina, Z. P. Starovoytova

Использованы известные механизмы создания псевдослучайных последовательностей. На основании предельных теорем теории вероятностей методом композиции равномерно распределенные случайные числа R преобразуются в случайные величины zk с одинаковыми числовыми характеристиками. При неограниченном увеличении k (k > 12) распределение zk близко к нормальному распределению N(0; 1). Сформированные числовые наборы имитируют временные ряды как реализации стохастического процесса. Цель - получение устойчивых авторегрессионных моделей с возможностью воспроизводства данных в условиях одного испытания. Текущее значение временного ряда выражается через конечную линейную совокупность предыдущих значений и случайные остатки. Стационарность в слабом смысле авторегрессионной модели связана с длиной входящего потока и свойствами авторегрессионного оператора. Этот линейный оператор действует на линейном многообразии, допускающем понятие сходимости. Множество сходящихся последовательностей коэффициентов автокорреляции по лагу составляет ядро автокорреляционного оператора. Образом ядра при отображении авторегрессионным оператором является нулевой элемент. Текущие значения устойчивого процесса аппроксимируются моделью на основе конечного числа предыдущих значений, входящих в сходящиеся последовательности. Случайные ошибки с элементами этого входного потока не коррелируют. Норма авторегрессионного оператора, действующая в комплексном пространстве, таким образом, равна нулю. Это приводит к исследованию характеристического уравнения модели. Ее устойчивость обеспечивается нахождением всех корней характеристического уравнения вне единичного круга. Проверка полученных моделей на устойчивость выполняется по принципу аргумента аналитической функции в замкнутом единичном круге и его следствию в виде теоремы Руше. Количество нулей аналитической функции внутри замкнутого контура без непосредственного их вычисления также может быть определено по данной теореме.

последовательность случайных чисел, имитационная модель, стационарность, авторегрессия, автокорреляция, оператор, характеристический полином, теорема Руше

The known mechanisms of creation of pseudo-random sequences are used. On the basis of limit theorems of the probability theory, using composition method uniformly distributed numbers of R are transformed in the identically distributed

numbers zk. At an unlimited increase k (k > 12) zk distribution approaches normal N (0;1) distribution. The formed numerical sets imitated by temporal rows as realization of the stochastic process. The purpose of the article is to obtain steady autoregressive models with possibility of reproduction of experimental data in conditions of one test. The current value of the temporal row is expressed through the eventual linear aggregate of previous values and casual residues. Stability or steadiness in weak sense of autoregressive model depends on the length of incoming stream and properties of autoregressive operator. This linear operator acts on a linear variety that allows for the concept of convergence. A manifold of convergent sequences of autocorrelation coefficients by log is the autocorrelation operator kernel. The kernel image when displaying by autoregression operator is a zero element. Current values of the sustainable process are approximated by model based on a finite number of previous values included in the convergent sequences. Random errors with the elements of this input do not correlate. Autoregressive operator norm acting in a complex space thus equals to zero. It results in the research of characteristic equation of the model. Its stability is provided by the presence of all roots of the characteristic equation out of a unit circle. Checking of the obtained models for stability is performed on the principle of the analytical function argument in the closed-loop unit circle and its consequence as Rouche theorem. The number of zeros of the analytical function in a closed loop without their direct calculation may be defined by Rouche theorem.

random number sequence, simulation model, steadiness, autoregression, autocorrelation, operator, characteristic polynomial, Rouche theorem

ВВЕДЕНИЕ

Интерес в данной работе представляет получение моделей, лежащих в основе процедуры прогнозирования. Различия между случайным стационарным, хотя бы в слабом смысле, процессом X(t) и порожденным с его помощью временным рядом xt не делается [1, 2].

Стационарным в слабом смысле называют стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение. Автоковариация зависит только от длины лага т = t1 -t2 между рассматриваемыми переменными t1, t2, [1, 2].

1. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Целью является разработка достаточно устойчивой статистики. Под устойчивостью результатов имитации понимается степень их нечувствительности к изменению входных условий.

Случайное поле X(t) генерируется методом композиции. Теоретические характеристики процесса X(t) аппроксимируются состоятельными выборочными характеристиками x, d, о временного ряда xt.

Для упрощения записи формул применяется переход к центрированным стандартизованным случайным функциям X(t) с характеристиками mx(t) = 0,

Ox(t) = 1.

Автокорреляционной функцией стандартизованного центрированного процесса X(t) называется выражение

o o

Px ft, t2) = M[X ft) • X (t2)], (1)

Zk 1 k rpr 1 I к

^ ^ ' х \ х л ¿t 1 О А/ 1 О '

j=112 V12

где X), X(t2) - сечения центрированного стандартизованного X(t). «Стационарный белый шум» - система одинаково распределенных нормальных, независимых случайных величин (СВ). Она не является нормальной, но стационарность в слабом смысле у этого процесса имеется [1-3].

2. ГЕНЕРАЦИЯ ОДНОМЕРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ На основании предельных теорем теории вероятностей [3] доказывается возможность представления одной СВ в виде комбинации достаточно большого

числа СВ, имеющих более простые и легко реализуемые законы распределения.

к

Сумма случайных величин X = t Ri с характеристиками

i=1

к

t 2 2' ~х v~x I

позволяет рассмотреть распределение СВ Z в виде преобразования

г=тш (I R -k} (3)

которое при неограниченном возрастании k приближается к нормальному распределению N(0; 1), где R - равномерно распределенные на интервале [0; 1]

числа из последовательности случайных чисел (ПСЧ). Достаточно взять k > 12,

0

чтобы СВ Z (3) считать центрированной величиной X.

Технически генерация случайных (точнее, псевдослучайных) чисел может быть выполнена в «Пакете анализа» приложений Excel.

3. ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ АВТОРЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ОДНОМЕРНОГО ПРОЦЕССА Текущее значение временного ряда xt выражается через конечную линейную совокупность значений xt-p (p > 1) и «стационарный белый шум» et. Для центрированных значений ~ = xt — х авторегрессия принимает следующий вид:

xt = a + tb xt-i +et ,t = p + 1,...,n, b = const. (4)

i=1

Прямая зависимость (4) без входящего потока а:

~ р ~

xt = tb, ~—i +et,t = P + 1,...,n, bl = const. (5)

i=1

Коэффициенты формулы (5) могут быть получены по классическому критерию наименьших квадратов.

Пусть действие линейного оператора лага L имеет вид

Lbp~t—p = bpLP,p > o. (6)

р

Авторегрессионный оператор порядка р принимает форму 9(L) = 1 — t bL

i=1

[1]. Формулы (4), (5), соответственно, принимают следующий вид:

( р \ ( р \

1 -а-^bfi xt = 8, 1 -IЬгП xt = 8. (7) i=1 ) V i=1 ) Компактно формулы (4), (5), (7) записываются так:

ф(Х)х; =8t. (8)

Инструментом построения устойчивой формулы (7) служит автокорреляционная функция (1). Величины xt_k для разных значений к являются

разными центрированными сечениями xt, а остатки регрессии 8t.k, 8t -некоррелированными. С учетом формул (5), (8) функция (1) есть линейная комбинация коэффициентов автокорреляции

Pk =& Pk-i, k = 1,...,n/4. (9)

i=1

Число к ограничивается величиной n/4, чтобы не ослаблять поле корреляции, иначе соотношение (9) можно записать так:

Ф(£)Рк= 0. (10)

Равенство нулю в (10) возможно только при условии, что норма ||ф|| = 0. Для любого ограниченного оператора справедлива теорема [4]:

W(z)\

||ф| = sup|ф(г)| = sup , z е C. (11)

|z| <1 z z

Это означает, что ||ф|| = 0 приводит к алгебраическому уравнению вида

р

1 -I btz = 0. (12)

1=1

Данное уравнение называют характеристическим [1] по отношению к (8). Устойчивость формулы (8) зависит от корней уравнения (12), обозначенных символами (С)"1, i = 1, • ••, Р , с учетом их кратности. Оператор ф(£) через корни характеристического уравнения можно записать следующим образом:

Ф(Ь) = П(1 -C,L), ||L|| < 1. (13)

i=1

Значения функции (9) для различных корней уравнения (12) представляются через Q в виде комбинации экспонент [1]:

Pk =I4 Cik, к = 1, ..., n/4.

i=1

(14)

С другой стороны, текущие значения процесса принимают вид

~ =ф-1(£)8t = 8t. (15)

i=1(1 -ciL)

Сходящиеся последовательности pk и ~ с ростом к, исходя из (14) и (15), имеют место при корнях уравнения (12) во внешности единичного круга [5], т.е.

|1/д > 1, i = 1,..., p, |С| < i. (16)

В частности, текущие значения процесса в случае р-кратного корня 1/С, 1С! < 1, приобретают вид

~t =i(-1)i+1 CPX'Xt_, + 8, t = p + l,...,n. (17)

i=1

4. ПРИМЕРЫ ГЕНЕРИРОВАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ И ПОСТРОЕНИЯ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

В основу моделирования положена формула интегрального закона нормального распределения N(a, а) [3, 6]

P(X < x) = 0,5 + Ф((х - a)/а), (18)

1 Х 2

где P - вероятность, Ф(х) = .— i e- / 2dt - функция Лапласа.

л/2я 0

По заданной вероятности (18) попадания нормально распределенной СВ X в интервал (-œ, х) возвращается точка x.

Пример 1. Пусть n = 30, поле «Случайное рассеивание» в построении последовательности случайных чисел (ПСЧ) не активировано. Выбор числа наблюдений сделан с учетом возможных значений лага p.

ПСЧ R(0, 1) упорядочивается для придания процессу xt некоторого прикладного смысла. С ростом t реализации xt (a = 1, а = 0,1) считаются менее возможными. Формируется ПСЧ ~ по виду (3), ~ = x-1 (табл. 1). К текущим значениям ~ применяется (5). Оператор Lp действует для p = 4, 3, 2, 1.

Таблица 1. Отклонения от среднего значения Table 1. Deviations from the mean value

t t t t t

1 0,2274 7 0,0783 13 0,0258 19 0,0034 25 -0,0380

2 0,1259 8 0,0664 14 0,0215 20 -0,0050 26 -0,0384

3 0,1076 9 0,0555 15 0,0179 21 -0,0124 27 -0,0513

4 0,0926 10 0,0421 16 0,0160 22 -0,0137 28 -0,0519

5 0,0873 11 0,0273 17 0,0079 23 -0,0311 29 -0,0866

6 0,0851 12 0,0272 18 0,0050 24 -0,0347 30 -0,0938

Формула с лагом р = 4 для значений ~, t = 5, ..., имеет вид:

~ = 1,20494 + 0,54774 ~(_2 - 0,81424 ~(_3 + 0,07916 х(_4 + е,. (19) Стандартная ошибка формулы (19) равна аост = 0,00858. По аналогичной схеме составляются формулы с лагом р = 3; 2; 1:

~ = 1,30664Х(_! - 0,12935 - 0,01727х(_3 + е,, аост = 0,00920; (20) ~ = 1,20446 ~_ - 0,22414 х(_2 + е,, аост = 0,00968; (21)

~ = 0,797481 + е,, аост = 0,01677. (22)

Пример 2 организуется с инициализацией генератора случайных чисел цифрой 2. Формируется ПСЧ R(0, 1) без упорядочивания, возвращаются отклонения ~ от нормального распределения xt с заданными параметрами a = 1, а = 0,1 (табл. 2).

Таблица 2. Отклонения от среднего значения (генератор 2) Table 2. Deviations from the mean value (generator 2)

t t t t t

1 -0,29948 7 -0,01376 13 -0,02894 19 -0,08303 25 -0,01141

2 0,123524 8 0,086556 14 -0,20859 20 0,119444 26 0,056909

3 0,063869 9 -0,0449 15 0,208053 21 -0,0421 27 -0,0908

4 0,010819 10 0,014838 16 0,01108 22 0,139273 28 -0,14468

5 0,128046 11 -0,09558 17 0,133982 23 0,019504 29 0,132092

6 0,025254 12 0,108161 18 0,145205 24 -0,07765 30 -0,07413

Авторегрессионное моделирование приводит к следующим результатам: xt = 0,018001xt-1 - 0,30482xt-1 + 0,004034xt-2 + 0,237016xt-3 - 0,1443xt_4 + et, (23) xt = -0,27168xt-1 + 0,055031xt-2 + 0,308748xt-3 - 0,2054xt-4 + et, (24) xt = -0,26784xt-1 + 0,087262xt-2 + 0,246727xt-3 + et, (25)

xt = -0,27872xt-1 - 0,07241xt-2 + et, (26)

xt = -0,29088xt-1 + et. (27)

5. ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННЫХ МОДЕЛЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ Характеристическое уравнение формулы (19) имеет вид:

г4 - 10,2860г3 + 6,9194г2 + 15,2216г - 12,6326 = 0. (28)

Левая часть (28) представляется в виде суммы функций:

Д(г) = 6,9194г2 + 15,2216г - 12,6326; ф(г) = г4 -10,2860г3. Модули этих функций удовлетворяют неравенствам на окружности

С = (И = 1}:

20,9348 < Д»| < 34,7736; 9,2860 < |ф(г)| < 11,2860; Д»| > |ф(г)|. По теореме Руше [5] число корней уравнения (28) в круге Б = (г < 1} совпадает с числом нулей Дг) в этой области. Функция Дг) имеет один нуль в Б. Итак, процесс (19) неустойчивый, не годится для прогноза вне поля корреляции. Для модели (20) с лагом 3 характеристическое уравнение принимает форму г3 + 7,4899г2 - 75,6600г + 57,9039 = 0. (29)

Левая часть (29) может быть представлена суммой функций: Дг) = -75,66и; ф(г) = г3 + 7,4899г2 + 57,9039.

На окружности С = (|г| = 1} удовлетворяется неравенство Дг)| > |ф(г)|. ФункцияДг) имеет нуль внутри Б. Формула (20) не устойчива. Корни уравнения

г2 - 5,3737г + 4,4615 = 0 (30)

модели (21), соответственно, равны 1,0262; 4,347.

На основании (16) модель (21) устойчивая, на грани единичного корня

[1, 2].

Устойчивость (22) проверяется по уравнению

1 - 0,797481г = 0 (31)

и его корню г = 1,2539484.

Устойчивый прогноз будущих значений х( в примере 1 на несколько шагов вперед возможен только с лагом р = 1, 2.

Модели (23)-(27) устойчивы, однако порядок случайных ошибок аппроксимации в этих формулах значительно выше, чем в формулах (19)-(22).

Устойчивую модель на основе ПСЧ примера 2 дает формула (17), если кратный корень порядка р характеристического полинома 2 = 1/£, |г| > 1. Этой формулой можно описать многомерный колебательный процесс ~ относительно нуля [7]. Устойчивые формулы преобразуются к исходным уровням х,.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования могут быть представлены следующим образом:

- использованы известные механизмы построения случайных полей с точки зрения, определенной авторами;

- достаточно строго математически описан инструмент проверки авторегрессии на стационарность в виде характеристического уравнения;

- предложен способ проверки стационарности модели с помощью теоремы

Руше;

- чем больше элемент случайности, тем проще сформировать стационарную модель лаговой длины р > 4 с постоянным входным потоком или без него;

- для физических случайных процессов подтверждается оптимальная длина стационарной модели авторегрессии р > 2.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Лукашин, Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: учеб. пособие / Ю. П. Лукашин. - Москва: Финансы и статистика, 2003. - 416 с.

2. Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: учебник / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - Москва: Высшая школа, 2000. - 383 с.

3. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей: учебник для вузов / Е. С. Вентцель. - Москва: Высшая школа, 1999. - 575 с.

4. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа: учебник / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - Москва: Наука, 1972. - 496 с.

5. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - Москва: Наука, 1965. - 716 с.

6. Рыжкина, Т. А. Преобразования плоского «белого шума» с определенными свойствами выходных характеристик / Т. А. Рыжкина, З. П. Старовойтова // Научные труды Дальрыбвтуза. - Владивосток. - 2012. - Вып. 27. - С. 71-82.

7. Кловский, Д. Д. Обработка пространственно-временных сигналов (в каналах передачи информации): моногр. / Д. Д. Кловский, В. А. Сойфер. -Москва: Связь,1976.-208 с.

REFERENCES

1. Lukashin Ju. P. Adaptivnye metody kratkosrochnogo prognozirovanija vremennyh rjadov: uchebnoe posobie [Adaprive methods of short-term forecasting of temporal rows: student's book]. Moscow, Finansy i statistika, 2003, 416 p.

2. Ventcel' E. S., Ovcharov L. A. Teorija sluchajnyh processov i ee inzhenernye prilozhenija: uchebnik [Theory of random processes and its engineering applications: student's book]. Moscow, Vysshaja shkola, 2000, 383 p.

3. Ventcel' E. S. Teorija verojatnostej: uchebnik dlja vuzov [Probability theory: student's book for universities]. Moscow, Vysshaja shkola, 1999, 575 p.

4. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Jelementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza: uchebnik [Element of function theory and functional analysis: student's book]. Moscow, Nauka, 1972, 496 p.

5. Lavrent'ev M. A., Shabat B. V. Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo: uchebnoe posobie [Methods of function theory of a complex variable: student's book]. Moscow, Nauka, 1965, 716 p.

6. Ryzhkina T. A., Starovojtova Z. P. Preobrazovanija ploskogo "belogo shuma" s opredelennymi svojstvami vyhodnyh harakteristik [Transformation of flat noise with certain properties of output characteristics]. Nauchnye trudy Dal'rybvtuza. Vladivostok: Dal'rybvtuz, 2012, vol. 27, pp. 71-82.

7. Klovskij D. D., Sojfer V. A. Obrabotkaprostranstvenno-vremennyh signalov (v kanalahperedachi informacii) [Processing of spatial-temporal signals (in information transfer paths)]. Moscow, Svjaz',1976, 208 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Рыжкина Тамара Александровна - Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет; кандидат физико-математических наук; доцент кафедры «Прикладная математика и информатика»;

E-mail: [email protected]

Ryzhkina Tamara Aleksandrovna - Far-Eastern State Technical Fishery University;

PhD in Physics and Mathematics; associate professor of the department of applied

mathematics and informatics;

E-mail: [email protected]

Старовойтова Зоя Павловна - Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет; доцент кафедры «Высшая математика»;

E-mail: [email protected]

Starovoitova Zoya Pavlovna - Far-Eastern State Technical Fishery University; associate professor of the department of advanced mathematics;

E-mail: [email protected]