Построение равноугольных жёстких фреймов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 12.2010

УДК 519.652

ПОСТРОЕНИЕ РАВНОУГОЛЬНЫХ ЖЁСТКИХ

ФРЕЙМОВ

А.Б. Певный, М.Н. Истомина, В.В. Максименко

Исследуется вопрос существования равноугольных жёстких фреймов. Для случая т=2п предлагаются алгоритмы построения равноугольных жёстких фреймов.

1. Введение

Пусть ш > п ) 2 и столбцы матрицы Ф = [<р1з • • •, размера пхт образуют равноугольный жёсткий фрейм в И™. Жёсткость фрейма равносильна выполнению равенства ФФТ = А1т где А — константа, 1П — единичная матрица порядка п. Равноугольность означает, что

11^11 = 1 при всех к е 1 : т и | <р8) | = с при кфё. (1.1)

Здесь с - фиксированное число. В докладе [2] выяснено, при каком значении с равноугольная система является жёстким фреймом. Справедливо

Предложение 1. Равноугольная система является жёстким фреймом тогда и только тогда, когда

(1.2)

Для равноугольного жёсткого фрейма константа А

т п

© Певный А.Б., Истомина М.Н., Максименко В.В., 2010.

2. Необходимое и достаточное условия существования равноугольного жёсткого фрейма

К сожалению равноугольные жёсткие фреймы существуют не для всех пар (n, тп). Чтобы выяснить для каких существуют, а для каких -нет, рассмотрим матрицу Грама G — = ФТФ. Для её эле-

ментов в силу равноугольности имеем

Gu = 1, г е 1 : га; Gik = ±с,гф к.

Кроме того, справедливо равенство

G2 = Фт (ФФТ) Ф = -G

п

Поскольку {(^i,..., (рт} - жёсткий фрейм, то

с =

т — п

п(т — 1)

и отсюда следует, что 0 < с < 1.

Рассмотрим матрицу

Q = - (G - 1т).

(2.3)

Тогда

Qu = 0, г е 1 : га; Qik = ±1 = sign (ср{, рк) при г ф к. Вычислим матрицу Q2 с учётом равенства (2.3):

Q2 = \(G2-2G + Im) = \(-G-2G + Im)

cz cz V n /

где

га — 2n т ч га — n

- (G - Im + -h

n n

= (m-l)Im + i

m — 2n m — 1

=-= (m- 2n) A —-.

nc \ n(m — n

(2.4)

(2.5)

Из равенства (2.4) при г Ф ] получим = откуда следует,

что является целым числом. Это одно из необходимых условий существования равноугольного жёсткого фрейма.

Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие введём понятие сигнатурной матрицы.

Определение 2.1. Симметричная матрица размера т х т называется сигнатурной, если

С^и = 0, г е 1 : т; (Зг/с = ±1 при ъ ф к.

Теорема 1. Для того чтобы при данных п и т, т > п ^ 2, существовал равноугольный жёсткий фрейм, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. число ¡Лт^п, определённое равенством (2.5) , является целым;

2. существует сигнатурная матрица ф такая, что

Я2 = (т - 1 )1т + (2.6)

Доказательство. Необходимость установлена выше. Докажем достаточность. Выведем матрицу

_ ^ I т - п

& = /ш + с(У, где с = а —-—.

у п{т — 1)

Тогда С и = 1, г е 1 : т; С^/с = =Ьс при % ф к. Вычислим С2. С учётом (2.6) элементарными вычислениями получим

С2 = 1т + 2 + с2д2 = /ш + 2Сд + с2(т - 1)/ш + =

777 777

= -(/т + Сд) = -С. (2.7)

п п

Из равенства С2 = — С следует, что матрица С имеет собственные числа ^ и 0. Обозначим кратность первого числа через р, тогда 0 имеет кратность т — р. Поскольку С ф О, то р ^ 1.

Тогда симметричную матрицу С можно представить в виде

в = РТЛР,

где Р - ортогональная матрица, Л = (Над..., 0,..., 0). Рассмотрим матрицу Ь размера р х т вида

'л/А 0 .. . 0 0 .. 0 "

А = 0 у/А .. . 0 0 .. 0

. 0 0 .. . у/А 0 .. .. 0.

где А = Тогда ЬТЬ = Л. Для матрицы Ф = ЬР справедливо равенство

ф' ф = р1 Ь1 ЬР = С.

Столбцы матрицы Ф образуют равноугольную систему.

Действительно, \\(Рк\\2 — — О а — 1,г е 1 : т;

фк) = = С(2г/с = Ф к'

Кроме того, матрицы ФТФ = С и ФФТ имеют одинаковые ненулевые собственные числа. Следовательно, матрица ффТ имеет только одно собственное число ^ кратности р и, значит,

лчлчТ 171 т фф = —1Т).

п

Отсюда следует, что система {<^1,..., (рт} - жёсткий фрейм в Но тогда по предложению 1 справедливо равенство

т — р

с = '

р(т — 1) Отсюда

т — п т — р

п(т — 1) р(т — 1)'

то есть р — п. Построили равноугольный жёсткий фрейм в Мп. Теорема доказана. □

3. Оценки числа элементов равноугольного жёсткого фрейма

В докладе [2] приведено простое доказательство следующего предложения.

Предложение 2. Пусть т > п ^ 2. Если {<^1,..., (рт} - равноугольный жёсткий фрейм в Мп; то

п(п + 1) ,

т < 1 2 ) (3.8)

Это неравенство в сочетании с теоремой 1 позволяет установить другое ограничение на число га.

Предложение 3. Пусть п ^ 2, т > п + I. Если {<^1,..., срт} -равноугольный жёсткий фрейм в Мп; то

т < (ш"п)(^~П + 1) (3.9)

Доказательство. По теореме 1 фрейму {<р1з..., срт} соответствует сигнатурная матрица (3, удовлетворяющая уравнению

Я2 = (т - 1 )1т +

где цт^п задано формулой (2.5). Заменим в этой формуле п на га — п. Получим

( ,171—1

1^т.т—п {¿Т1 ТП)а ~ г ¡1тп.

и (га — П)П

Поэтому сигнатурная матрица —ф удовлетворяет равенству

{-Я)2 = (гп - 1 )1т + /Хш,т-п(-ф).

Поскольку га — п ^ 2, га > га — пто по теореме 1 существует равноугольный жёсткий фрейм {т/^, ..., фт} в пространстве Мш_п.

По предложению 2 справедливо неравенство (3.9). Предложение доказано. □

Неравенство (3.8) и (3.9) вместе с требованием целочисленности цт^п позволяют отбросить многие пары (п, га), для которых заведомо не существуют равноугольные жёсткие фреймы. Приведём ряд примеров для случая п ^ 2, т > п + 1.

Пример 1. п — 3. Неравенство (3.8) имеет вид т ^ 6.

При т = 5 не выполнено неравенство (3.9).

При т — 6 оба неравенства (3.8) и (3.9) превращяются в равенства. Возникает подозрение, что в случае (3, 6) есть равноугольный жёсткий фрейм. В явном виде он выписан в докладе [2].

Пример 2. п — 4. Неравенство (3.8) имеет вид т ^ 10.

При т = 6, 7 не выполнено неравенство (3.9).

При т — 9,10 число не целое.

При т — 8 выполнены неравенства (3.8) и (3.9) и число — 0. Как будет показано далее, в случае (4, 8) равноугольный жёсткий фрейм не существует.

4. Необходимое условие существования равноугольного жёсткого фрейма при т = 2п

Это условие установлено в работе [3].

Случай т = 2п является довольно исключительным. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть п ^ 2, т = 2п. Если существует равноугольный жёсткий фрейм {<^1,..., срт} в Мп; то п - нечётное и т — 1 является суммой двух квадратов целых чисел.

В качестве иллюстрации приведём примеры.

При чётном п = 4 и т = 8 равноугольный жесткий фрейм не существует (см. п. 4).

При п = 5, 7, 9 числа т — 1 = 2п — 1 являются суммами квадратов двух целых чисел:

9 = З2 + О2, 13 = З2 + 22, 17 = 42 + I2.

В случаях (5,10), (7,14), (9,18) существование равноугольных жёстких фреймов подтверждается расчётами (см. п. 4).

При п = 11, т — 22 число т — 1 = 21 не представимо в виде суммы двух квадратов и по теореме 2 равноугольный жёсткий фрейм не существует.

5. Нахождение равноугольных жёстких фреймов в случае га = 2п методом перебора сигнатурных матриц

При т = 2п число цт^п равно нулю и по теореме 1 для существования равноугольного жёсткого фрейма необходимо и достаточно существование сигнатурной матрицы (5, удовлетворяющей равенству

Я2 = (т- 1 )1т. (5.10)

По определению сигнатурная матрица Я симметрична. Поэтому если через Qi обозначить ъ-ю строку (5, то условие (5.10) запишется в виде

Условие Я^) — т—1 выполняется автоматически так как каждая строка Qi содержит один 0 и т—1 элементов, равных ±1. Так что нужно только обеспечить ортогональность строк: О?) =0 при г ф

Отметим, что если сигнатурная матрица Я удовлетворяет (5.10), то после умножения j—тo столбца и строки (¿^ на —1 снова получим решение (5.10). Поэтому можно считать, что в первой строке стоят единицы: = (0,1,1,..., 1).

Далее можно пытаться строить строки • • •, Ят так? чтобы каждая строка была ортогональна предыдущим строкам.

При т — 6 это удаётся проделать вручную и получить матрицу

1 1 1 1 1

0 -1 -1 1 1

-1 0 1 -1 1

-1 1 0 1 -1

1 -1 1 0 -1

1 1 -1 -1 0

удовлетворяющую равенству Q2 = 5/ß (этот же пример приведён в [1]).

При т — 8 можно с помощью компьютерной программы перебирать элементы Qij = ±1, г Е 2 : 7, j Е i +1 : 8. Всего 21 элемент и 221 комбинаций ±1. Полный перебор приводит к выводу, что сигнатурная матрица, удовлетворяющая равенству Q2 = 7/g не существует, и, следовательно, не существует равноугольный жёсткий фрейм при п = 4, т = 8.

При /77 = 10 программа нашла сигнатурную матрицу

1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

-1 0 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 0 1 1 1 1 -1 -1

-1 1 1 0 -1 -1 1 -1 1

-1 1 1 -1 0 1 -1 1 -1

1 -1 1 -1 1 0 -1 -1 1

1 -1 1 1 -1 -1 0 1 -1

1 1 -1 -1 1 -1 1 0 -1

1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 0

удовлетворяющую равенству Q2 = 9/ю-

Далее с помощью компьютерной системы Maple 9.5 проводим символьные вычисления, указанные в оказтельстве теоремы 1: строим матрицу G = /ю + cQ, находим её ортогональное разложение G = РТАР, строим матрицу Ф размера 5 х 10:

■10х/3 -Юл/3 10х/3 10х/3 10х/3 Юл/3 0 0 0 0'

6л/5 6л/5 -6л/5 6л/5 -6л/5 6л/5 12л/5 0 0 0

2\/30 2л/30 -2л/30 2\/30 3\/Ш -Зл/ЗО -л/Ш 5\/30 0 0

10\/2 Юл/2 10\/2 -10\/2 5л/2 -5л/2 5\/2 20\/2 0

10 10 10 -10 10 -10 10 -10 -10 30

С помощью Maple 9.5 легко проверяются равенства ФФТ = 2/5 и ФТФ = G. Тем самым столбцы матрицы Ф образуют равноугольный жёсткий фрейм в М5.

Точно также программа нашла сигнатурные матрицы при m — 14 и 18, а с помощью Maple 9.5 построены равноугольные жёсткие фреймы в М7 и М9.

6. Метод попеременного проектирования для построения равноугольных жёстких фреймов

Для чисел 4 = |ис = \J ri(m-i) ввеДём Два множества матриц:

<gA = |g g Mmxm | G = GT; G имеет собственные числа 0,..., 0)},

n раз

= {я e Emxm | Я = Ят; Я[/г, fc] = 1, k E 1 : m; |Я[Л, /]| < с при к ф /}.

Множество является ограниченным и выпуклым.

Матрица Грама С равноугольного жёсткого фрейма принадлежит как так и . Справедливо и обратное утверждение.

Предложение 4. Если существует матрица С* Е ^а П , то существует равноугольный жёсткий фрейм из т векторов в пространстве Мп.

Доказательство. Поскольку С* Е У а, т0 С* можно представить в виде

о, = РТЛР,

где Р — ортогональная матрица,

Л = . „, А, 0,..., 0).

п раз

Введём матрицу V размера п х т:

0 ... 0 " 0 ... 0

0 ... 0 _

Тогда УТ V = Л. Положим Ф = УР — эта матрица размера п х тп как раз и будет матрицей равноугольного жёсткого фрейма. Действительно,

фтф = рт ут УР = РТА Р = <3*,

то есть С* является матрицей Грама системы столбцов Ф = [(^1, <^2, • • •, Поскольку матрицы Ф Фт и ФТФ = С* имеют одинаковые ненулевые собственные числа, то ффТ имеет собственные чис-ла = А, к Е 1 : п. Других собственных чисел нет. Поэтому

ФФт = А1п,

так что система Ф = [<¿>1, <¿>2, • • •, '■Рт] является жёстким фреймом. Поскольку С* е , то

||<^а;||2 = с*[к,к] = 1, к Е 1 : т,

(6.11)

1(^,^)1 = |С*[М]| < с, кф\.

V

у/А 0 ... 0 0 у/А ... 0

0

0 ...у/А

171 — П

п(т — 1)

Введём фреймовый потенциал

т к,1=1

Ввиду (6.11) справедлива оценка

Р(Ф) < т + (т2 — т) с2 = т + т (т — 1)

тп + т(т — п) т2 п п

С другой стороны, для Р(Ф) справедлива оценка [4]

р( ф) > ^.

п

Если хоть в одном из неравенств 1(^,^)1 < с будет строгое неравенство, то Р(Ф) < , что невозможно. Значит, = с при всех к ф /, то есть Ф — равноугольный жёсткий фрейм. □

Замечание. В точке пересечения С* множеств и все

ограничения, задающие множество выполняются как равенства:

|бг*[&, /]| = с при всех к ф I. С геометрической точки зрения С* является крайней точкой множества Ж®.

Ниже приведена схема метода попеременного проектирования.

Поясним рисунок. Все матрицы С из ^а имеют одинаковые нормы:

н<2||2 = £ (С[к, I])2 = А(С2) = пА2 = — ,

А—' п

к,1=1

то есть множество ^а лежит на сфере Sr радиуса R = тп/у/п. Все крайние точки множества Жс° имеют вид

G*[k, к] = 1, к е 1 : га; G*[k, I] = ±с, к ф /,

и также лежат на сфере :

2

тп

\\GJ\2 = га + га (га - 1) с2 = — = Л2.

п

Множество заполняет не всю сферу Sr. Точка пересечения ^а и Ж^ находится методом попеременного проектирования. Он подробно рассмотрен в [5].

СЛЕДСТВИЕ. Для существования равноугольного жёсткого фрейма необходимо и достаточно выполнение условия У\ П Ж® ф 0.

Приведём результаты численных расчётов для случая п = 7, га = 14, когда

га /га — п

— — 5 ^ — \ / 7 г — •

п у п (га — 1) 13

Вычисления проводились в системе Maple. В качестве начального приближения мы брали матрицу, на главной диагонали которой стоят 1, а внедиагональные элементы равны у/с. При е — 0.01 неравенство ||Gk — Нк+1\\ < е выполнилось на 79-м шаге. Далее строим сигнатурную матрицу по формуле

Q = {QM = 0, Q[iJ] = sign Н79[г, j] при i Ф j}

и проверяем выполнение равенства Q2 = 13/14 .

Дальнейшие вычисления повторяют собой вычисления вышеизложенного метода: построение матрицы G = Iu + cQ, нахождение её ортогонального разложения G = РТАР и построение матрицы Ф размера 7 х 14:

-0.4214 0.3771 0.0602 -0.6056 0.2329 0.1176 0.4899

0.2649 -0.1165 0.1489 -0.6657 -0.5434 0.3258 0.2253

0.0696 0.2487 0.1128 -0.2336 0.2358 0.8805 -0.1903

-0.3938 -0.0810 0.7188 -0.0499 0.3574 -0.4319 0.0789

-0.4429 0.2692 0.6080 0.0840 -0.4522 0.3666 0.1230

0.3823 0.2731 0.1848 -0.6041 0.0578 -0.6140 0.0412

-0.0998 0.7667 -0.2122 0.4032 0.0553 0.2972 0.3184

0.5460 -0.0037 0.7921 -0.0205 -0.0267 0.1240 -0.2365

0.3698 0.2590 0.2108 0.0260 0.8129 0.0407 0.2989

-0.4481 -0.6048 0.1208 -0.0803 -0.1906 0.0413 0.6127

0.5252 -0.6295 -0.0046 0.0619 0.1867 0.4743 0.2520

0.1454 -0.0839 0.4286 0.7354 -0.0093 -0.0558 0.4933

0.3719 0.0702 -0.3355 -0.0795 -0.0595 -0.1468 0.8445

0.4111 0.4470 0.1149 0.1990 -0.7211 -0.2239 0.0889

С помощью системы Maple легко проверяются равенства Ф Фт = 2 /7 и ФТФ = G. Значит, столбцы матрицы Ф образуют равноугольный жёсткий фрейм в М7.

Литература

1. Holmes R. В., Paulsen V. I. Optimal frames for erasures // Linear Algebra Appl 2004. V. 377. P. 31-51.

2. Малозёмов В. H., Певный А. Б. Равноугольные системы векторов и жёсткие фреймы //Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 18 сентября 2007 г. http://dha.spb.ru/reps07.shtml #0918

3. Sustik М. A., Tropp J. A., Dhillon I. S., Heath R. W. On the

existence of equiangular tight frames // Linear Algebra Appl. 2007. V. 426. P. 619-635.

4. Малозёмов В. H., Певный А. Б. Четвёртое определение жёсткого фрейма // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 30 мая 2007 г. http://dha.spb.rU/reps07.shtml#0530

5. Истомина М. Н., Певный А. Б. Метод попеременного проектирования для построения равноугольных жестких фреймов // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 2 июля 2008 г. http://dha.spb.ru/reps08.shtml #0702

Summary

Pevnyi А.В., Istomina M.N., Maksimenko V.V. Construction of equiangular tight frames

Investigate the question of the existence of equiangular tight frame. For the case m = 2n proposed algorithms equiangular tight frames.

Сыктывкарский университет

Поступила 12.04.2010