CC BY
50
УДК 517.51+517.98
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФРЕЙМОВ ПАРСЕВАЛЯ
И. С. Рябцов
Самарский государственный университет,
443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.
E-mails: tiimulion@mail. ru
Работа посвящена исследованию свойств фреймов Парсеваля в конечномерных пространствах, а именно возможности представления одних фреймов как суммы других. Даётся новый подход к построению произвольных фреймов Парсеваля, а также описывается алгоритм разложения произвольного фрейма в сумму. В 'работе описывается ряд особых свойств равноугольных жёстких фреймов применительно к поставленным задачам.
Ключевые слова: фреймы Парсеваля, эквивалентность фреймов, представление фреймов, равноугольные фреймы, жёсткие фреймы.
Введение. Пусть М, N — натуральные числа, М ^ N. Пространство наделяется стандартным скалярным произведением ( • , • ) и согласованной нормой ||ж|| = д/(X, х).
Определение. Набор элементов F = {fi}f£ 1 называется фреймом в пространстве Rw, если существуют числа А, В > 0 такие, что для всех х € Kw выполняется двойное неравенство
м
-4INI2 < /*>I2 < В\М2-
г=1
Оговоримся, что среди векторов фрейма нет нулевых и коллинеарных векторов. В данной работе ограничимся рассмотрением фреймов в конечномерных пространствах с конечным числом элементов.
Числа А и В называются границами фрейма. Они определены неоднозначно, супремум множества всех нижних границ и инфимум множества всех
верхних границ фрейма называются оптимальными границами фрейма. Если оптимальные нижние и верхние границы фрейма совпадают и выполняется равенство
м
аы\2 = ^2\{х, ш2, (1)
г=1
то будем называть такой фрейм жёстким. Если при этом А = 1, то фрейм будем называть фреймом Парсеваля. Для жёстких фреймов выполняется равенство, которое эквивалентно равенству (1):
м
Ах = J^(x, (1')
г=1
Игорь Сергеевич Рябцов, аспирант, каф. функционального анализа и теории функций.
Если норма каждого вектора фрейма равна единице, то фрейм будем называть нормированным. Доказательство приведенных утверждений и более полную информацию по теории фреймов можно найти в работах [1,2].
Определение. Определим оператор Т для произвольного фрейма F = = Шг= 1- ПУСТЬ существует пара векторов Д, /р Є F с (Д, /р) = ||Д||||/Р|| и к ф р. Тогда оператор действует на фрейм по следующему правилу:
T(F) = F\{fk, /р} U |у/||Д||2 + ||/р||} • (2)
Если такой пары векторов не существует, то T(F) = F. Действие оператора на фрейм можно упростить по формуле
T(F) = F\{fk,fp}UT({fk,fp}). (2')
Легко видеть, что этот оператор фактически заменяет пару коллинеарных векторов на один.
Определение. Поскольку число коллинеарных векторов в конечном фрейме конечно, то, применяя оператор Т достаточное число раз, получим фрейм без коллинеарных векторов. Обозначим такой оператор
Too = Т о ■ ■ ■ о Т.
Основные результаты.
Определение. Будем называть фрейм Парсеваля F = {/¿}^£i составным, если существует набор неотрицательных констант {скг}^'£1 такой, что система
векторов Fa = {cafi}i£i — также фрейм Парсеваля, при этом хотя бы одно
щ равно нулю. Будем называть фрейм Парсеваля F = {/¿}^£і простым, если он не является составным.
Теорема. Для любого простого фрейма Парсеваля F = {/г}^ и ортогональной матрицы Q система векторов {Qfi}^Li является простым фреймом Парсеваля.
Доказательство. Проведём доказательство методом от противного. Предположим, что {fi}fil —простой фрейм Парсеваля, a {Qfi}f£i —составной фрейм. Тогда по определению существует набор коэффициентов трансформации такой, что фрейм {ttiQfi}f£i — фрейм Парсеваля, при этом
какая-то из констант щ равна нулю. Но тогда согласно определению фрейма Парсеваля имеем
м м
ж = Q^2(QQTx> Qaifi)aifi =
i= 1 i= 1
M M
= Q^2(QTx, OLifi)aifi = ^2(x, aifi)atifi. i= 1 i= 1
Получаем, что система {Д}f£1 —составной фрейм Парсеваля, но это противоречит первоначальному предположению. □
і= 1
будем называть фрейм Парсеваля, который состоит из векторов
Число векторов в результирующем фрейме не превосходит М\ + М2. Данная операция является коммутативной, ассоциативной.
Аналогично можно определить сумму конечного числа фреймов с аналогичными свойствами:
Взвешенная сумма (Ai.Fi) ф (Аг-Рг) пары фреймов Парсеваля и при условии А2 + Аз — 1 снова даёт фрейм Парсеваля.
Теорема. Любой составной фрейм Парсеваля і7 = {/¿}^£і можно представить как сумму конечного числа простых фреймов Парсеваля.
Доказательство. Для начала докажем, что любой составной фрейм Парсеваля можно представить в виде суммы двух простых или сложных фреймов. Действительно, по определению составного фрейма существует набор констант такой, что Эк : 1 ^ к ^ М, для которого ак = 0, и
система векторов {оііЇіУ^і является фреймом Парсеваля.
Рассмотрим двойственный набор коэффициентов {А}^:
Покажем корректность определения набора {А}^- Докажем, что У к : 1 ^ к ^ М константа /Зк имеет смысл и является вещественным числом, при этом набор {аг}]^=1 не совпадает с набором {/Зг}^. Для этого достаточно
С^шах — Ш.СІХ \СХі .
Двойственная система является фреймом Парсеваля:
^<Ж, /?г/г)А/г = ^<Ж
г= 1
М
г=1
М
тах
доказать, что атах > 1 при любом выборе системы {(Хг}^£ц так как числитель в силу своей природы неотрицателен.
Предположим противное, что существует набор констант {сц}]^=1 такой, что Эк : 1 ^ к ^ М, для которого ак = 0, и система векторов {оц/^1^=1 является фреймом Парсеваля, но при этом атах ^ 1- Оценим сверху границу фрейма
мм м
'У у | (ж, СКг/г) | ^ ^ |®г| | (®, /г) | ^ ®тах ^ у К®) /*) I ®тах‘
г= 1 г= 1 г=1
Строгое неравенство обеспечивается наличием нулевых компонент в набо-
ре {сц}^1- Противоречие с первоначальным предположением доказывает то, что сктах 1.
Для любой пары двойственных наборов {аг}]^=1 и {/З^}^ существуют номера 10^МиКр^М такие, что к ф р и при этом
ак = 0, (Зк ф 0, ар /0, (Зр = 0.
Это свойство следует из определения соотвествующих наборов. Оно завершает доказательство корректности определения набора {/Зг}^1-
Любой составной фрейм Парсеваля раскладывается в объединение фреймов {аг/г}^'£1 и {А/г}^!- Возьмём конкретные значения Аа и А^:
\ ^ \ V ^max \ z I \ z I -^шах ^ -i
— ---------> лв — ---------> Ла ' Л8 — ~"о-----------------------1-9- — 1
®max Ömax ®max ®max
и вычислим Fa ® Fß. Поскольку фрейм F коллинеарных векторов не содержит, то единственными парами коллинеарных векторов в сумме могут быть только (Xkfk и ßkfk Для 1 ^ к ^ М. Подействуем на эту пару оператором Т согласно (2):
Т({А«аг/г, Xßßifi}) = J\\Xaaifi\\2 + \\Xßßifi\\2 \\ =
v Н^а^г/гН v
rv2 rv2 - 1 rv2 - rv2 rv2 4- rv2 - rv2 \2^2 | \ 2 o2 ^i | umax x umax ' umax ^i -i
“ * + Aßßi - 2 + a2 a2 _ l ~ a2 ~
umax umax umax umax
Таким образом, получим представление фрейма F в виде
F = (АaFa) ® (АßFß).
Если полученные фреймы Fa и Fß являются простыми, то процесс разложения окончен. В противном случае, чтобы получить разложение в сумму простых фреймов Парсеваля, нужно применить приведенный выше метод несколько раз. Введём оператор D по следующей рекурсивной формуле:
D(F к) = i ^aD(F»-> к+ 1)® XßD(Fß, к + 1), F — составной фрейм,
\ F ~ простой фрейм.
Остаётся доказать, что глубина рекурсии к не превосходит некоторой константы. Согласно только что доказанному свойству при увеличении к на единицу также на единицу уменьшается число векторов в фреймах Ра и Р^\
1^1 <И-1, |*>| <И-1.
Исходя из того, что фреймы Парсеваля с наименьшим числом векторов — это ортонормированные базисы, получаем оценку к ^ М — N, где М —размерность фрейма при к = 0 , а N — размерность пространства. □
Равноугольные жёсткие фреймы.
Определение. Будем называть нормированный фрейм Р = {/г}^ 1 равноугольным, если существует константа с € [0,1) такая что, для всех г ^ выполняется следующее равенство:
</„/,> = { ±‘;
В работе [5] доказывается, что равноугольная система является жёстким фреймом тогда и только тогда, когда
I М-N С У N(M-l)-
Для любой пары М и N существует не более одного равноугольного жесткого фрейма, причём для большинства пар таких фреймов нет. Известными примерами равноугольных жёстких фреймов являются ортонормированные базисы, системы Мерседес-Бенц и другие [5].
Теорема. Для любого равноугольного жесткого фрейма F = {fi}f£i существует один и только один фрейм Парсеваля, получаемый перенормиров-
е ГГ7 'I М
кой \ \/ jj fi \ векторов фрейма, причём этот фрейм простой.
г ГТ7 'I М
Доказательство. Докажем, что система \ у jjfi} является фреймом Парсеваля. Это утверждение является тривиальным следствием того, что граница любого нормированного жёсткого фрейма равна M/N [2].
Докажем, что полученный фрейм — простой. Для этого воспользуемся определением (2). Подставим вместо х каждый из векторов перенормированного фрейма и получим необходимое условие того, что фрейм является фреймом Парсеваля:
М __ _ 2 /Vм
k = l,2,...,M, = 1 => м^2\Ик,Ш2Ы2 = i-
i= 1 i= 1
Введём обозначение yi = Ickî 12 • Получаем систему уравнений
Су = е, С = (N/M)circ {1, с2,..., с2} , е=(1,...,1)Т.
Матрица С является невырожденной при с2 ф 1, система уравнений имеет единственное решение. Подстановкой легко проверить, что решение всегда положительно и имеет следующий вид:
ук = (N/M) (с2(М - 1) + 1) , ак = л/(М/М){^(М^1)ТТ).
Это противоречит определению составного фрейма, где требуется хотя бы одно значение ак, равное нулю, так как это автоматически влечёт равенство нулю всех констант. Это противоречие доказывает, что полученный фрейм Парсеваля — простой. □
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Christensen О. An introduction to frames and Riesz bases. Applied and Numerical Harmonic Analysis. Boston, MA: Birkháuser Boston, Inc., 2003. 440 pp.
2. Casazza P. G., Tremain J. C. A brief introduction to Hilbert-space frame theory and its applications: preprint posted on www.framerc.org.
3. Истомина M.H., Певный А. Б. О расположении точек на сфере и фрейме Мерседес-Бенд / Матем. проев., сер. 3, Т. 11. М.: Изд-во МЦНМО, 2007. С. 105-112. [Istomina М. N., Pevnyi А. В. On disposition of points on a sphere and Mercedes-Benz frame/ Mat. Pros., Ser. 3, 11. Moscow: Izd-vo MCNMO, 2007. Pp. 105-112].
4. Novikov S. Ya., Ryabtsov I. S. Optimization of Frame Representations for Compressed Sensing and Mercedes-Benz Frame// Proc. Steklov Inst. Math., 2009. Vol. 265. Pp. 199-207.
5. Casazza P. G., Redmond D., Tremain J. C. Real equiangular frames / In: Proc. 42th Annu. Conf. Information Sciences and Systems (CISS 2008). Princeton, NJ, 2008. Pp. 715-720.
Поступила в редакцию 20/XII/2010; в окончательном варианте — 10/V/2011.
MSC: 42С15
ON REPRESENTATION OF PARSEVAL FRAMES
I. S. Ryabtsov
Samara State University,
1, Academician Pavlov St., Samara, 443011, Russia.
E-mails: tinnulion@mail. ru
This paper investigates properties of Parseval frames in finite dimensional vector spaces, namely, the possibility of representing some frames as sums of others. A new approach in constructing arbitrary Parseval frames and, the decomposition arbitrary frame into the sum are described. Besides there is a number of special properties of equiangular tight frames.
Key words: Parseval frames, frame equivalency, frame representations, equiángulo,r frames, tight frames.
Original article submitted 20/XII/2010; revision submitted 10/V/2011.
Igor S. Ryabtsov, Postgraduate Student, Dept, of Functional Analysis and Fucntions Theory.
