ПОСТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ИЗ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

ПОСТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

ИЗ Lp - ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ (0 < p < +да) О.В. Охлупина

ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет»

В работе описан класс субгармонических в полуплоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp - пространствам (0 < p < +да).

Ключевые слова: субгармоническая функция, мера, гармоническая функция, характеристика Неванлинны.

Введём предварительно следующие обозначения: C+ - верхняя полуплоскость комплексной плоскости, Cp = {z е C :Im z > р}, р > 0, z = x + iy, SH (C+ ) - множество субгармонических функций в C+.

Рассмотрим класс SHP (C+) (0 <а<+ш>, 0 <p <+да) субгармонических в C+ функ-

f \p

ций u, для которых: J y"-1 I J u +(x + iy)dx dy <+да; lim supyu (iy)> 0;

0 V-® у y^+<»

j U (

y >y0 -Ш

А. М. Джрбашян и Г. В. Микаелян (см. [1]) ввели факторы 2m rpdr

' где ^gC+ , -1 <3<+да. В случае 3= 0:

sup J |u (x + iy)| dx < Cyo < Vy0 > 0.

ap( z,C) = exP

a0

Ь ( г + ¡С- ¡г

(*.С)=^.

С-г

Основным результатом статьи является

Теорема. Субгармоническая функция и принадлежит классу 8Иа (С+ ), 0 < р < 4<»,

0 < а < , тогда и только тогда, когда в С+ и допускает представление: и(г)= 11п\ар (г,С) ё/(С) + И(г), где И (г) - гармоническая функция в С+ , удовлетво-

C+

Y

ряющая условию: J ya 11 J |h(x + iy)|dx dy <+да, ju(C) - неотрицательная мера в C+ , для

0 V-Ш У

которой | уруа 1пр (у) dy <+да, п (у) = /(С+у), ¡> —1 +1. о Р

Доказательство теоремы основано на следующих вспомогательных утверждениях. Лемма 1. Пусть и - произвольная субгармоническая функция из класса 8Иа (С+),

0 < р < , п (у) = / (С+у ). Тогда справедливы оценки:

+<ю (\р (\р

а) | Уа-1 | \и (х + ¡У)| dx I ёу < С | уа-11| и+(х+¡у)dx ёу,

\-ш у 0 \-ш у

+« I +«

б) \ уру—-1пр (у) йу < С \ у—-11 \ и+(х + ¡у) йх йу <+«.

0 0 V-« У

Лемма 2. Пусть п (у) = ц(С+). Тогда условие | уруа-1пр (у) йу <+«

п

равносильно следующим: ^

(—+р)

<+«, ^пр(2к)р' <+« .

¿=0 2-" ¿=1

к (—+р)

Лемма 3. Пусть и - произвольная субгармоническая функция в С+, допускающая представление и(г)=| 1п|ад(г,С)|йц(С) + И(г), где ц(С) - неотрицательная мера в С+ ,

С+

для которой | уруа-1пр (у) йу <+«, п (у) = ц(С+), 0 < р <+«, И (г) - гармоническая функ-

+« / +«

V

ция в С+ , удовлетворяющая условию | у" 11 | |И(х + ¡у)|йх йу <+«, где ¡¡> ——1 +1. То-

0 V-« У р

гда и е 8Ир (С+), 0 < — < +«.

Доказательство теоремы.

1. Необходимость. Пусть и е 8Ир (С+), 0 < р <+« . Покажем, что и допускает представление из леммы 3. Рассмотрим разность и (г)- Ур (г) = И (г) и покажем, что она является гармонической функцией.

Пусть Д - круг радиуса г, 0 < г < 1. Д = Д П С+ . По теореме Рисса для Д запишем представление субгармонической функции и :

= + , где У(2) - гармоническая функция в Д,

4-

11п|<^ — - субгармоническая функция в Д, при этом точка г так выбрана из Д,

4-

чтобы | 1п С - г йц (С) .

Рассмотрим фактор ар (, Се С +, -1 < 3 < +« :

а,

( г,С) = ехр

21тС -1

г3 йг

а

^ I 21111

(гС)=а (гСОле'ехр I-!

0 (г + ¡С-¡г) 2ЬтС г3йг

. ¡1

| Т йг

=ехр г!

0 (г + ¡С-¡г)

1

. \р+1

( г + ¡С - ¡г )

21тС

йг

ехр I! (г+¡с- ¡г)

21тС • ехр 1-!

г3йг

(г + ¡С - ¡г)

. \р+1

= а0 (ехр

21тС

1

• + ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡2)

. N.¡+1

йг

0

0

о

г

с - г

Покажем, что а0 (2,С) = =-. Пусть С = ^ +¡Л . Тогда, подбирая главную ветвь лога-

С-а

рифма, получаем:

[ Т+С^ = [ ё 1п (г+¡ (С-г)) = 1п (г+¡ (С-г ))|

= 1п (21шС + < (С-г))- 1п (<■ (С- г )) = 1п2'"С +''Сг > = 1п

21тС

21тС

21тС О

' (С-г)

С учётом этого получим, что:

21тС

а.

( г,с) = ехр —^1 = ехр 1п

г + ¡С-¡г

1311 ар( а,С)| =131 Вернёмся к разности

С-*

С-г

+ Яе

21тС

т

С-г

С-г ]_£-г С-гI С-г

Р

\Р+1

• + ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡г)

ёг

И (г) = и (г) - 11п а (г, С)(С) :

= и(2)-\

1п

С-г

+ Яе

21тС

т

• + ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡г)

. чр+1

- \

ёг >

У

ё/(С) =

(г)-| 1п|С-#/(С) Шр^тё/(С)-

4 ) Ьг С а

-|Яе

21тС

т

• + ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡г)

. чР+1

ёг

ё/(С)

г1 1 Функция I 1п=-г ё/(С) является гармонической (1п =- - аналитическая функ-

вг С - а С - а

ция в С+ , поэтому её вещественная часть - гармоническая функция в С+ ).

С-г

С-г

> 1, г,С ^ С +. Прологарифмируем обе части неравенства:

1п |С-г + 1пр^ < 0,

1С-г

1—гё/(С)> 11п|С — ^ё/(С)>-да. Следовательно, Д. С - А д.

11п_1 | ё/(С)<

к С-А

Рассмотрим функцию

21тС

Рр( а,С)= \

1

+ ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡г)

. чР+1

ёг =

о

г

о

о

г

0

+«

J г -Х- 1Г

г + ¡С - ¡г

1 -

( г + ¡С - ¡г )

. ¡1

+« л

йг - « -1-

211с г + ¡С- ¡г

1—

( г + ¡С- ¡г )

. ¡1

йг =

= ФД г ,С)-^з( г С)

Функция Фз (г, С) (при фиксированных С е С+ ) голоморфна в

С \ {г = С - 0 < h < +«}, а на луче {г = С + ¡И, 0 < И < +«} постоянна. Действительно:

( V"

+« 1

Фз(С+¡И,СН-

г + И

1 -

(г + И )3

+« л

йг =

Л ( -у

0 ^ +1

1 -

и (г+1

V VИ у у

йг =

Сделав замену < = —, посчитаем:

+« | ! <+о

1 -

<+1

й<=с .

Очевидно, что интеграл сходится, если ¡> 0.

По теореме единственности голоморфная функция Фр (г,С) всюду постоянна. Функция г, С) (при фиксированных Се Ор +) голоморфна в

С \ {г = С - 0 < h < +«|, в частности, в С+ .

Следовательно, | Яе^ (2,С)йц(С) гармонична в С+ .

ог

В силу произвольности г е(0;1), получим, что И (г) является гармонической функцией в С+ .

Покажем, что И (г) удовлетворяет условию:

+« I +«

! у" 11 ! И (х + ¡у) йх йу <+« . 0 V-« У

Рассмотрим разность и (г) - Vр (г) = И (г). Т.к. и (г) < и + (г) , то по лемме 1:

И+ ( г) < и + ( г) + Vp + ( г) < и + ( г) + С |

С у+1

1т С

С-г

йц(С)

У

Лр

Лр

! И+(х + ¡у)йх <1 ! и+(х + ¡у )йх + С (р)

V-« У V-« У

Воспользуемся теоремой о среднем значении.

+«

! мо\

г \

1т С

С

- г

¡+1

йх

И = ! И (С) йт2 (С)

\С-Щ < к

0

+

С

—да <

жЯ2И (R)= J h (Ç)dm2 (C)= J [h+(Ç)—h-(Ç)ym2(Ç)--

\Ç—iR\<R \Ç—iR\<R

2R R

0 — R

JJ[h+(£ + Щ)—h (£ + iV)~]dÇdV

2R R 2r R

J J h~(<^ + v) dd < J J h+ (Ç + iv) dÇdv + nR

0 -R

2R R 2r R

J J |h (£ + v)\ dÇdv< J J h+(^ + iv) dÇdv + С

0 -R

0 -R 0 -R

Устремляя R к бесконечности, получим:

+да f +да Лр +да f +да Лр

J ya—1IJ \h (x + /y)^ dy <J ya—1 |J u+(x + iy)dx ,

dy +

+C,( p )J ya—1 J d^(C)J

/ y+1 Y +œ' ImC

^ — z

dx

dy

Оба интеграла в правой части сходятся. Сходимость первого вытекает из принадлежности функции u ( z ) классу SHp (С+), 0 < p <+да, сходимость второго доказана в лемме 3.

+да i +да \p

Следовательно, J yа—11 J |h (x + iy) dx dy < +да.

0 V—да У

2. Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего пункта и леммы 3. Теорема доказана.

Список литературы

1. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморф-ных функций. - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 153 с.

2. Хейман, У., Кеннеди П. Субгармонические функции. - М.: Мир, 1980. - 304 с.

Сведения об авторе

Охлупина Ольга Валентиновна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: [email protected]

CONSTRUCTION OF THE PARAMETRIC REPRESENTATION FOR A CLASS OF SUBHARMONIC FUNCTIONS WITH CHARACTERISTIC FROM LP -WEIGHT SPACES (0 < p < +да)

0

O.V. Okhlupina

Bryansk State engineering-technological University

The class of subharmonic functions in the half-plane with the Nevanlinna characteristic from Zp-weight spaces is described in this paper.

Keywords: subharmonic function, measure, harmonic function, Nevanlinna's characteristic.

References

1. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Introduction to the theory of the Zp-weight classes of meromorphic functions. - Bryansk: Group of companies «Ten», 2009. - 153 p.

2. Heyman W., Kennedy P. Subharmonic functions. - M.: Mir, 1980. - 304 p.

About author

Okhlupina O.V. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate professor of Department of Mathematics, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: [email protected].