Параметрическое представление классов субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой из Lp-весовых пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК - 517.53

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ФУНКЦИЙ С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

ИЗ Ьр -ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

О.В. Охлупина

В работе получено описание одного класса субгармонических функций в верхней полуплоскости комплексной плоскости.

Ключевые слова: субгармоническая функция, гармоническая функция, мера.

Введение

Пусть О +=| г е С :1т г > 0}, г = х + 1у , 0 <а<+да, 0 < р <+да,

О+р = {г е □ : 1тг > р], р > 0. Через SH ^ Ообозначим множество всех субгармонических функций в полуплоскости. Введем в рассмотрение класс $ир (О+ ) субгармонических в о+ функций и , для которых выполняются следующие условия:

+Ю ^\Р

I у“ 1 I u +(x + iy) dx

о

dy <+да; (1) sup I |u (x + iy)|dx - СУо <+^ УУо > 0; (2)

У>Уо -Ш

lim sup yu (iy) > 0. (3)

у^+да

Рассмотрим также следующие факторы, введенные А. М. Джрбашяном и Г. В. Микаеляном (см. [1]):

;( z,C) = exP

2 m -і

r pdr

(r+a; - iz)

/3+1

, (4)

где

с Є G+, -1 <£<+« . При P = G: aG(z,£) =

C-z C-z

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы субгармоническая функция и принадлежала классу SHP (О+),

0 <р < +да, 0 <а < , необходимо и достаточно, чтобы в О+ и допускала представление:

'(2 )=Л1пМ 2,0 к к (2), (5)

UI

где h (z) - гармоническая функция в G+, удовлетворяющая условию:

+<Ю Ґ +W ЛP , ,

I Уа11 I h(x + iy)|dx I dy <+<X), -

0 J

+OT у 4

j yPya~lnP (у)dy < , где n (у) = M [G+y ), p

неотрицательная мера в G+, для которой

а -1 ,

>--------+1.

Замечание. При р — 1 результат получен К.Л. Аветисяном в работе [2]. Доказательство вспомогательных утверждений

Доказательство теоремы основано на следующих вспомогательных утверждениях. А.М. Джрбашяном в работе [3], была установлена

Лемма 1. Пусть z,^e G+, -1 < ft < +*. Тогда справедлива следующая оценка:

( V+1

ln\ap( z,C)\^ СР

ImC

. (6)

Следующее утверждение установлено Аветисяном К. Л. (см. [2]).

Лемма 2. Пусть субгармоническая в О+ функция и (г) для любого р> 0 удовлетворяет

+ад

условию 8ир | и (х + 1у )| с1Х < С < , где С р> 0 . Тогда для любого р > 0 имеет место формула

Г'Р -т типа Иенсена:

1 +ВД +ад 1

— |и(х + 1р)ёх (/- р)ёп(/) + — Нт эирЯи(^Я), (7)

2^ -да р 2

где п) - значение меры Рисса ^, ассоциированной с и(г), в полуплоскости О+р,

О+р = {г е □ : 1т г > р}, то есть п(р) = Ц. (Ор ), а последний предел в формуле конечен.

Лемма 3. Пусть и - произвольная субгармоническая функция из класса SИР (О+),

0 < р < +<ю, п (у) = ц (Оу ) . Тогда справедливы оценки:

\p

+да / +да

1) I ya 1 I U (x + iy)| dx dy < СI ya 1 I u +(x + iy) dx

0 \-да

+да

0 \-да

+да

dy,

dy < +ад.

2) J yPya lnP (y) dy < С J ya 11 J u+ (x + iy) dx

0 0 \-да

Доказательство. Так как u Е G, то, согласно лемме 2, имеет место формула

(7). Учитывая, что u = u+ — u , получим:

1 +ад +ад 1

— J (u +(x + iy)- ux + iy))dx (t - y)dn(t) + — lim supRu (iR),

2^ '2 2

—ад y

где n ( y ) = ^(G+y^ .

1 +ад 1 +ад +ад 1

— J u+( x + iy) dx ■=—J u( x + iy) dx - J (t - y)dn (t) + — lim sup Ru (iR) (8)

2n 2n 2R

—ад —ад y

Все слагаемые в правой части неотрицательны. Следовательно,

1 +да 1 +да

----J u+ (x + iy)dx >-J u (x + iy) dx. Далее, из того, что \u\ = u+ + u~,

имеем:

2л J 2л

—да

ьад f+ад \p

J y“-1 J |m(x + iy)|dx I dy =| y-1 |(w+(x + iy) + u(x + iy))dx dy

—да

\p +ад f +ад

<

< C (p)

+ад i +ад

Лp +ад f +ад Лp

J ya-11 J u +(x + iy) dx dy +| ya-11 J u (x + iy) dx dy

0 V-ад J 0 V-ад J

<

+ад г +ад

Y

< С— | уа 11 | и +(х + iy ) ёх ёу <+(ю

0 V-» У

То есть |и| е 8Ира (О+).

Покажем выполнимость второй оценки. Из неотрицательности слагаемых в правой части

формулы (8) следует, что:

— | и+ ( х + iy) ёх > -1 (г - у ')ёп (г). (9)

2п

—да у

Проинтегрируем интеграл в правой части по частям:

+да +да

-1 (г - у)йп(г) =(г - у)п(г)р + | п(г)Я, п(г) - убывающая функция.

у у

Покажем, что —(г — у)п(г) ^ 0, г ^ +да.

Пусть и е БИ£ (о +) п С(2} (о +).

+да +да

Тогда п(г)= | | Аи(£,^)d£d^, ёп(г) = -| Аи(г,^)ёц

г г

г - у > г — = — Г 2 2

+ ии +ии / +ии

-|( г - у УЦ г) -|( г - у )1-|л и (г ,^) ёц

у у \ -ж

ш г - у) Аи(г,^)ё^ёг < С, г > 2у, у < —,

у

+(ю г

С > | (г - у)| Аи(г,^)ёцёг > | — | Аи(г,^)

у —да 2 у 2 —да

+да +да +да +да

| г | Аи (г,^) ёг!<1г > 2у || Аи (г ,^) ёг!<1г

2 у -да

Пусть 2у = р.

+да +да

2 у -да

Тогда |г| Аи(г,^)ё^ёг^р| | А»(г,^)ё^ёг рп(р)^0, р

2 у —да р —да

+да +да

Из последней оценки получаем: -К г - у )ёп (г) = | п (г )ёг.

у у

— +да +да

С учетом этого ( 9 ) примет вид: -| и+ (х + ту) ёх > | п (г^ёг .

+да (+да \р +да ^+да А Р +да 2 у

+да > С | у“ — | и +(х + Ту) ёх ёу >| у“-1 | п (г)^г ёу >| у“-1 | п (г)^г

\—да

у

>| у“-1пр (2у)у-ёу [

0

+да

= -— Г га+р-1пр (г) ёг

^р+а J V /

2 у = г г

у = т

V у

ёу >

1 г г\ г\ 1 Т

— ГI — пр±г) - ёг — Г ей1 (11

2 J I 2 2 2 р+“ ^ ^ ^

0

То есть:

\р

+ад > С | уа 11 | и+ (х + Ту) ёх ёу > | уа+р 1пр (у ) ёу .

0 \-да у 0

Что и доказывает лемму при и е ^И^ (О+ ^ П С ^ ^ О+ ).

В случае произвольной функции и е SИ(;- ^О+ ^ доказательство проводится с

использованием аналога для случая полуплоскости леммы 2 о слабой сходимости из работы [4] (с. 62).

Лемма 4. Пусть п(у) = /и(О^ . Тогда условие

I ур уаХпр (у)ёу <+да (10)

0

равносильно:

А1 ^

<+да, (11)

к=0 2

£ пр (2к ) 2к(“+р. (12)

к=1

Доказательство. Пусть выполнено условие (10).

Разобьем интеграл (10) на две части:

+да 1

I уруа~1пр (у) ёу +=[ уруа-1пр (у) ёу / + /2 < +да

1 0

Оценим интеграл /1.

->к +1 '■>£+1

+да +да 2 +да 2

+“> /1 I уру“^1пр (у) ёу =£ I у”-1* V (у) ёу п (2к+1) | у”-1* рёу =

^ пр (2к+1)((2к+1 )“+р - 2к-+р ^ пр (2к+1 )• 2к(“+р2“+р -1)>

к=0 ' ' к=0

к=0 2к

+ад

к=0

+ад +ад

> С0£пр (2к+1 )• 2к(“+р) ^тр (2” )• 2°

г-1)(а+р)

к=0

£пр (2” )• 2”

[а+р)

Перейдем К оценке /2 .

к

2

•.к 2к

к =0 1

0( к+1) р к=0 2 1

>

п I —г

1 2

/ 1 \

«-1

к=0

2<к+1) р

1 1

2к 2'

к+1

1 +да

=—У

ор+1

п I Т"

+<» | 2к

Докажем обратное утверждение. Предположим, что выполняется условие (12). Покажем сходимость интеграла /1.

Имеем, что:

2к 2к

пр (2к )• 2к(а+р ]> пр ( 2к ) | у“+р-Чу > | пр (у) у“+р-Чу.

2кч 2кч

Суммируя, получим сходимость интеграла /1.

Проводя аналогичные рассуждения при выполнимости условия (11), несложно получить сходимость /2 . Что позволяет сделать вывод о сходимости интеграла (10).

Лемма полностью доказана.

Лемма 5. Пусть и - произвольная субгармоническая функция в О+, допускающая представление (5), где ) - неотрицательная мера в О+, для которой:

+да / ч

| уруа~1пр (у)ёу < , п(У) = М\Оу ), 0< р < ,

0

л (г) - гармоническая функция в О+, удовлетворяющая условию:

'\р

| у-11 Iл (х + Ту)|ёх I йу < +го,

+1. Тогда и е (О+), 0 <а <+да .

р

Доказательство. Введем следующее обозначение: пусть

УАг) = ДО1пМг,0. Т0ГДа и(г) = Ур{г) + Л(г).

О+

Учитывая, что и ( г ) < и ( г ) , а также справедливость оценки (6) из леммы 1, запишем:

и + (г) ^ |Л (г)|+ ¥Р (г) ^ |Л (г)|+ СЛ|

Г У+1

1т С

С-г

Проинтегрируем обе части неравенства по х от —да до , возведем обе части в степень р и применим неравенство Минковского:

+ 00

| и+ (х + Ту У^х

\—да

< 2р

/

\р

| Л(х + Ту)^х + Ср(р)

\—да

V

а-1

У

+ 00

Яё мо!

1т£

С- г

\

\р+1 л

ёх

Умножим обе части на у и проинтегрируем по у от 0 до :

/+<Ю \р +СЮ /+<Ю Лр

| уа 1 | и +(х + Ту^ёх ёу <| уа 1 | |Л (х + Ту)^х

\—<ю

+оо

+СД р )| у""1

+оо

Я а р(0{

0 \-ю

л^+1 у

ёу +

1т С

С-г

ёх

ёу

Первый интеграл в правой части сходится по предположению. Покажем сходимость второго интеграла правой части. То есть остается показать принадлежность Ур[ г) классу SИI^ ^ О, а

именно:

I у"1 | Ур( х + Ту ) ёх

\—да

ёу < +да.

4^+1

1т С

У„( г)< у;(г)< .

О+^р г

Пусть £ = % + Щ , г = х + Ту .

+да т

Применим оценку: Г______________ж_____

^ I— а+2

^ - х - гу

Тогда:

С (а)

(у + лТ

а >-1.

+т ^+т Лр +т ( ^+1

/уа1 IIур(х+уёх ёу-С(^)|уа1 \т~—

V О+

(у+л)

ёу <

0

О

0

,0+1

V

* С (р)\ у-' £|т-^т ём(0

к=-ю о

(у + ч)

ёу,

1

1

2к+1 * 2к I

Пусть 0 < р < 1. Тогда (а + Ь)Р < ар + Ьр (а > 0, Ь > 0) . С учетом этого получим:

,Р+1

р

/ <С(Р)\у-1 X \7Л—жМО

0 к=-”^Ок (у + ^)

ёу (13)

Оценим внутренний интеграл Г ^ с^(С), у ^ 0, —1<-^, С ^ Ок .

(у+л)Р 2+1 2

1

■)(к+1)(Р+1)

1 < У

Ок

р+1 1

1 у (у + лу 2

у 1 и

V ^ У Используя (13), получим:

/ ±С (ЛЕИ о))р I

1

у + к+1

V 2

у

.а-1

к=-да

0 'укр(Р+1)

/

/ + 211.

,Рр

ёу <

+* (п(2к)) -

* С (ЯХ

+да у«-1

к=-да

\Рр

ёу.

Рассмотрим интеграл

1

у

.а-1

2

кр(Р+1) 1 / л \Рр

01 у I

ёу.

1 7 у“ч

2кр(р+1) 0 ( 1 Iу+2^

= /1 + /2. (14)

Оценим /1 в (14).

1 1

Рр

ёу =

1

1

-,к+1

у

■)кр(Р+1)

укр(р+1)

1 2'

-<

у+2^

(к+1) рр

Рр

ёу + -

1

у

)кр(р+1)

2к+1 | у + 2к+1

Рр

ёу =

С(£) <С(£)

->к +1

рР £%2' к+1)а 2кр(^+1)+( к+1)а 2к( р{Р+1)+а-рР) 2к^ р+“)

Рассмотрим интеграл /2 .

1 +да с£—1 1 1

______у__________су <_______1____ Г ё

(^+1) J 7 1 \ррау - пкр(Р+1) J

/.

2 2кр(^+1)

Рр-а-1

С (I)

пкР(Р+1)

у

С(Р) С(Р)

3-“ _к( р(р+1)-рР+а) 2 к( р+0

>к +1

Учитывая последние оценки, получаем:

0

+* +<ю пР (2к )

I ур“-'"р (у к * С X Тккг

л к=—да 2

< +ад.

Рассмотрим случай 1 < р < +да . Пусть Ьр (у) - множество всех измеримых в О+

1

(а 1 ^ р

функций (// :

)=1 1К^тг)Я 11^(г)|рёт2(г) I < +да, где ёт2 (г) - плоская мера Лебега

на О+, т.е.

Тогда

кр (у)

кх

\—да

ку

{ «-1 ч

І у р І Ур( х + іу) кх

ёу

< +да.

а-1

Ы,ч 51

а-1

Оценим интеграл /' = | у р у/(у) | У + (х + Ту) ёхёу. Применив (13), получим:

а-1

I'<С(Р)\ур у)|

ц>

(у + л)

п

^цку. Изменим порядок интегрирования:

а-1

г'<С(£){ п(Л)^\

у р у{у)

(у +л)р

1

ур у(у)

кукц

а-1

а-1

С(Р)\п—\гс!ус!л+ с(Р)\п(п)^ | Т

уру( у)

(у+ч)

=С (д)[ і;+12]

+да ^ р / \

Перейдем К оценке І[ . І| = Г п ^ у

0 і (у+л)

а-1

кукц ■

а-1

1 1

— < —.

-их) г/

Тогда і'< | п(гі)пР\

ур Н у)

Р

Обозначим за % ^ у^ =---------, 0 <у < 1. Умножим и разделим последний интеграл на

уУд

данную функцию:

а-1

+да //

і;< |п (^)|

0 0

ур у(у)хг (у)

хЛ у)

а-1 з

Хг( у)

1

0

а-1

I пр Х7(л)\ ^Дф-?? | пр

а-1

Р

1 му)

а-1

хЛ у)

| п(4)4 р

0 ц1

ц

рд 0

У

рд

-+1

рд 0

У

рд

Применим неравенство Гельдера к последнему интегралу:

1

/

А'*

+00

| пр ^р-^

V 0

/

\д

л

1 Му)

г

-+1

„ рд 0 -------------------

// Т

у

рд

<

< С

1 Му)

г

-+1

„ рд 0 --------------------

7/

у

рд

\д Л д у = уг/ Г г

у= у V +да

-Л С I 0

' У 0 <у< 1 V ^

д

V

-^-+1 рд 0

-7

(ут?)

рд

=С

д

г/рдц |^(ул)

УV

„рд 0 --------------

//

V

урд у

= С

II

д

-V

-Л

\ У

Применим неравенство Минковского.

1

/

1 +« /;< С | |

/ лд

у(уу)

\

V V рд )

^ С-I | у/д(У7])ёч

У

1

0 у рд V 0

1 V д У7] = и

-У и

У ц =-

V

^1 ( +да ^7 »д ^1 ( +да

= С}—г |^д(и)— -у =С| _у_ ! |^д (и-

0 у рд V 0

0 у рд д V 0

-у -

С11И^« 'I

1

0 у рд д

Так как уе( 0;1), то 1 _ < 1. Следовательно, Г

д рд ^

-у

Х+1 0 у рд д

■<+»•

То есть 1[ < С1

\1? '

0

1

(у+л)

При ц < у < +ад верна оценка ^ + у > у, —1— <1. Поэтому:

а-1

+да +да р / \ +да

/2=| п(ц)цр | -—у^-у-ц = | п(п)цр [

; I ур о I у У

л+у у

а-1

+да

~—]гРу^-у-л.

0

Рассмотрим функцию у . Продифференцируем её.

а-1

V

у

р-1

( а-1 \'

уТ

~Р+1

у

а-1 . Р

-Р +1

Л а-1_р

р , у >0.

у

У

у”-1

V У

/у _ 1 /у _ 1

Данная функция является убывающей при_______________р +1 < 0, то есть при р >_________|_ 1.

В связи с этим, получим: / '<| п р у ^-у-ц . Изменим порядок

у

/ \ у а~1

интегрирования: I' < | ^у^ |пР 'П-'Л-у.

0 у 0 Применим неравенство Гёльдера:

а-1 V

I \ д [ 1 ^

12^1 (у)-у ■ |1-|п(л)л р ^

V 0 у 0 I у 0

-у

<

<

\ьч

а-1 \р

| у р I |пр 77-^

-у

У

V 4 'У

Воспользуемся неравенствомХарди (см. [5], с. 319):

1

12^

\ьч

I у“-1пр (у) у'-у

V 0

Следовательно,

< С

У

получаем, а-1

21г ' что

принадлежит

классу

ЗИР( G ), 0 < р <+да, Р>——- + 1. Из чего вытекает принадлежность функции и классу а ’ р 8Ира(G+), 0<р < +да . Лемма доказана.

3. Доказательство теоремы.

1. Сначала докажем необходимость. Пусть и е 8ИР ( G), 0 < р <+да . Покажем, что и

допускает представление (5). Рассмотрим разность и(2) — Ур(2) = Ь(2) и покажем, что она является гармонической функцией.

Пусть Ог - круг радиуса г , 0 < г < 1. Лг = П С+ . По теореме Рисса для I)г запишем

представление субгармонической функции и:

0

0

и (2 ) = V (2 ) + ЯЦ-А-№) ■ где V (г) - гармоническая функция в Иг

Iг

и 1п- субгармоническая функция в ])г .

Рассмотрим фактор ар( 2, £ ), £ е О+, — 1 < /3 < +да : 2Ьп^ гр-г

,(г,С) = ехр

I

ар{ 2,С) = а0 ( 2,С)'

-г

0 (г + /С-/А) 1

. \Р+!

а0 (2,С)

• ехр <

21ш^

-ш

г р-г

( г + /£ - /2 )

. 4^+1

21ш^ ехр ]-]

(г + /С- /2 )| I 2“р -г

' ехР^- ]

(г,с)- ехр

21ш£

I

21ш^

0 (г+/с-/А)

„р

• ехр <

21ш^

-I

г13-г

( г + /^ - /2 )

. \Р+1

г + /£- /2 ( г + /£- /2 )

• \Р+1

-г

Покажем, что а ^2 ^ £. Пусть £ = £ + /ц . Тогда:

05 с - 2

2!ш£

2!ш£

21ш£

г + /’£ - 12

=1п (21ш^+г (с-2))-1п (* (с-2)) 1п 21ш^^= 2 2

1п-

2Л+ /(£ + /ц^ 2) 1п2^ + /£-Ч-/2 ^ + /£_- /2 Лп/(^~2-^)

/ (с-2)

1п

1п-

'(С- 2) / (С- 2) / (С- 2)

= 1п

С-2

С-2

С учётом этого получим, что:

-г

2!ш£

а.

(2,С) = ехр]- |

1п \аР{ 2,0| =1п

а,

0 г + /£ - 12

(21ш£ |

ехр \ - 1п

1

С-_21 С- 2 С-2 I С-2

.Р

1п |а0 (2,£)| + Яе

21ш£

ш

г + /'£ - 12 (г + /'£ - 12)

,Р

-г

Р+1

-г

г + /'£- /2 ( г + /£- /2 )

• \Р+1

С-2 21ш£

1п + Яе- ш

С-2 0

г + /'£- /2 ( г + /£- /2 )

р+1

-г

Вернёмся к разности к ( 2 ) = и ( 2 )-Ц 1п\ар( 2,С)\- м(С)-

■ и

с С-2 21ш£

1п + Яе-

V С-2 0

г + /'£- /2 ( г + /£- /2 )

. \^+1

' Л

-г >

У

- м(С):

и

\

(2)_Д1п|£_21-^(0 -([ 1пу^—-^(с)

- - ц —2

-!! Яе

21ш£

1

г + /'£- /2 ( г + /£- /2 )

. \Р+1

-г

- м(С)

Функция ГГ 1п _1 -является гармонической (1п 1 - аналитическая функция в

) \^~ 2 п р-£

О+).

С-2

С" 2 С-2

> 1 2 ^ е О+. Прологарифмируем обе части неравенства:

1п

С-2

<

1п1,1п—г < 0,1п|с_А <-1^^^— С-2 С-2

-II 1п Т1 -т-<и(С)>Ц1п |с- £- м(С) ^ . Следовательно,

д. С _ 2 о г

И1п -^{с)

I

ог \С-2

Рассмотрим функцию

21ш£

рА 2 ,с)= I

1 + /'£ - 12 ( г + /'£ - 12)

. \Р+1

ёг =

21ш£ 1

-!—т—

0 г + /^ - /2

+'Х) л

- [ -----1----

•’ г + /'£ - 12

. \Р+1

21ш£

( г + /'£ - 12)

г Р

(г + /'£ - 12)^+1

( г + /'£ - 12 ^+1

-г Ф,(2,С)-^,(2,С)

ёг ■

Функция (2, ^) (при фиксированных ^ е Ор +) голоморфна в

2

С \ {2 = £ - /к,0< к < +да|, а на луче = £ + /к,0< к < +да| постоянна.

( У"

ФДС+/ -

г

— -а к

л

(а +1)

г + к

1 -

1=-

(г + к)

-г гу

г

0 к /г+1

1 -

к I - +1

к

ёг =

а +1

р

0

По теореме единственности голоморфной функции фД 2,^ всюду постоянна.

Функция 2,£) (при фиксированных о +) голоморфна в

С\{ 2 = С- /к, 0 < к < +а>|, в частности, в О+ .

Следовательно, Я Я Р„( А С)- 1л{С) гармонична в О+ .

В силу произвольности г е (0;1), получим, что к(2) является гармонической функцией в О+ .

У

Покажем, что к (2) удовлетворяет условию: | уа11 | |к(х + 1у)|-х с

-у < +да.

Рассмотрим разность и ( 2) — V/g( 2 ) = к ( 2) . Т.к. и ( 2 )< и +( 2 ) , то по лемме 1:

к (2) < и + (2) + ур+ (2) < и + (2)+ср\\

г у+1

!ш£

С- 2

Интегрируя неравенство по X, возводя в степень р , применяя неравенство Минковского,

имеем:

\р

\р

| к+(х + /уу-х <1 | и +(х + /у- + СДр)

з у ч-<» У

Воспользуемся теоремой о среднем значении. к ^^ к ^ -т2 ^

1ш£

С- 2

V

4/8+1 ^ -х

(15)

\£-/я\< Я

-да < л Я2 к (/Я) Я- к(С)-т2(С) =|| [к+(С)-к (С)]-т2(С) =

|С-/Я|<Я |С-/Я|<Я

2 Я Я

= | \\_к +(£+ *п)- к~(% + ^)]-%-Ч

0 - Я

2 Я Я 2Я Я

II к"(£ + /'^)-%-ц =|| к+(^ + /'^)-%-ц-лЯ2к(1Я)<

0 - Я 0 - Я

2Я Я

<|| к+(£ + /^) -%-ц+лЯ2 |к (1Я )|

0 - Я 2 Я Я

2 Я Я

Я к + /'^)|-^-ч < || к+ (£ + /'^)-^-ц + С (16)

0 - Я

0 - Я

Устремляя Я к бесконечности в (16), а также из (15) получим:

\р

\—да

| уа 1 | |к (х + /у)-х -у <| у"1 | и +(х + 1у)-х

0

1ш£

+СД р)! у1

J 0 \,-да

/ У+1 V

-у +

Я - м(01

С-2

-х

-у

Оба интеграла в правой части сходятся. Сходимость первого вытекает из принадлежности функции и(г) классу БИ^О, 0 < р <, сходимость второго доказана в лемме 5.

0

О

+(Ю f

Следовательно, J ya~11 J |h(х + iy)|dx dy <+го •

0 J

То есть U ( z ) допускает представление (5).

2. Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего пункта и леммы 5.

Теорема доказана.

In this paper we received description of one class of subharmonic functions in a half-plane of complex plane.

The key words: subharmonicfunction, harmonicfunction, measure.

Список литературы

1. Джрбашян, A.M. Построение и свойства одного семейства функций типа Бляшке для полуплоскости / А.М. Джрбашян, Г.В. Микаелян // Изв. АН Арм. ССР, Математика, 1980. Т.15, №6. С. 461-474.

2. Аветисян, К.Л. Потенциалы типа Грина и представимость весовых классов субгармонических функций / К.Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении, Математика, 1995. Т. 30, № 2. С. 98-120.

3. Джрбашян, А.М. Параметрические представления некоторых классов мероморфных функций с неограниченной характеристикой Цудзи / А.М. Джрбашян // Изв. АН Арм. ССР, Математика. 1987. Т. 22. № 5. С. 422-451.

4. Охлупина, О.В. Характеризация некоторых классов субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности / О.В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета. № 4 (2009): Математика. Физика. Биология. Химия. Брянск: РИО БГУ, 2009.181 с., с. 61-73.

5. Стейн, И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И.М. Стейн. М.: Мир, 1973.

Об авторе

Охлупина О.В. - кандидат физико-математических наук, доцент Брянского

государственного университета имени акдемика И.Г. Петровского.