Представление класса субгармонических функций в верхней полуплоскости комплексной плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53, 517.54

DOI 10.21685/2072-3040-2018-2-8

О. В. Охлупина

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССА СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Аннотация.

Актуальность и цели. Теория субгармонических функций постоянно развивается и вызывает к себе интерес многих исследователей. Еще в начале прошлого столетия Ф. Рисс в своих исследованиях показал важную связь теории субгармонических функций с теорией потенциала. Особое место в теории субгармонических функций занимают интегральные представления классов субгармонических функций в различных областях. Целью данной работы является рассмотрение класса субгармонических в верхней полуплоскости комплексной плоскости функций с характеристикой Неванлинны из ¿/»-весовых пространств.

Материалы и методы. Для доказательства основного результата применяются методы комплексного и функционального анализа. При построении доказательства использованы вспомогательные утверждения, сформулированные в виде лемм.

Результаты. Проведено полное описание класса субгармонических в верхней полуплоскости комплексной плоскости функций с характеристикой Неванлинны из ¿/-весовых пространств, которые допускают представление в виде суммы потенциала и гармонической функции.

Выводы. Проблемы, касающиеся описания различных классов аналитических и субгармонических функций, рассматривались и ранее, однако методы их доказательства позволяли получить решение с определенными ограничениями, например на величину параметра р. В представленной работе построено параметрическое представление класса субгармонических в верхней полуплоскости комплексной плоскости функций с характеристикой Неванлинны из ¿р-весовых пространств для всех значений параметра р.

Ключевые слова: субгармоническая функция, потенциал, гармоническая функция, представляющая мера, характеристика Неванлинны.

O. V. Okhlupina

A REPRESENTATION OF A CLASS OF SUBHARMONIC FUNCTIONS IN THE UPPER HALF-PLANE OF THE COMPLEX PLANE

Abstract.

Background. The theory of subharmonic functions is constantly evolving and raises the interest of many researchers. At the beginning of last century by F. Riesz in their studies have demonstrated important links between the theory of subhar-

© 2018 Охлупина О. В. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

monic functions, potential theory. A special place in the theory of subharmonic functions is integral representations in classes of subharmonic functions in various fields. The aim of this paper is to consider the class of subgarmonic functions in the upper half-plane of the complex plane with the characteristic of the Nevanlinna from Lp-weighted spaces.

Materials and methods. Methods of complex and functional analysis are used to prove the main result. The auxiliary statements formulated in the form of lemmas are used in the construction of the proof.

Results. A complete description of the subgarmonic class in the upper half-plane of the complex plane of functions with the characteristic of the Nevanlinna from Lp-weighted spaces, which allow the representation of the sum of the potential and the harmonic function, is carried out.

Conclusions. Problems concerning the description of different classes of analytic and subgarmonic functions were considered earlier, however, the methods of their proof allowed to obtain a solution with certain restrictions, for example, on the value of the parameter p. In this paper, we construct a parametric representation of the subgarmonic class in the upper half-plane of the complex plane of functions with the characteristic of the Nevanlinna from Lp-weight spaces for all the values of the parameter p.

Key words: subharmonic function, potential, harmonic function, representing measure, Nevanlinna characteristic.

Введение

Венгерский математик Ф. Рисс в начале прошлого столетия в своих исследованиях доказал, что всякая субгармоническая функция представима в виде суммы потенциала и гармонической функции [1]. Тем самым он показал важную связь теории субгармонических функций с теорией потенциала. Это направление является обширной областью исследований. Помимо этого, следует также отметить связь субгармонических функций с актуальными проблемами математической физики. В последние годы по теории классов субгармонических функций и теории потенциала опубликовано несколько монографий, что подчеркивает интерес к данному разделу и указывает на актуальность подобных исследований.

Проблемы, касающиеся описания различных классов аналитических и субгармонических функций, рассматривались и ранее [2-4], однако методы их доказательства позволяли получить решение с определенными ограничениями, например на величину параметра p [5].

Данная работа посвящена построению параметрического представления класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из Zp-весовых пространств (0 < p <+>). Этот результат обобщает хорошо известную теорему Неванлинны [6].

1. Формулировка основного результата

Введем предварительно некоторые обозначения:

C + ={z е C :Imz > 0}, z = x + iy, 0 <a<+>, 0 < p <+> , C+ ={z е C : Imz >p},p> 0.

ЗН (С + ) - множество субгармонических функций в С +. Пусть ЗН^ (с + ) - класс субгармонических в С + функций и, удовлетворяющих

условиям:

+L

( +L

V

J ya 1 J u + (x + iy)dx

' < +L;

+l

sup J |u(x + iy)|dx<Cy <+l, Vy0 >0; lim supyu(iy)>0.

У >Уо -l 0 y^+l

Пусть £ С +, -1 < в < , тогда ав(г, 0 =ехР

2ImZ

J

гв dr

0 (r + iZ~iz )

B+1

(1)

Т - г

факторы из работы [7] (в случае в = 0 : а0 (г,С) ==-).

С-г

Теорема. Для того чтобы и £ ЗН^ (с +), 0 < р < , 0 <а< , необходимо и достаточно, чтобы в С + она была представима в виде

и (г )= \ 1п |ор (г, С) ф(С) + Н (г), (2)

С+

+L (+L

-+. I ..u-i ,,.|dx

<+L ;

где Н(г) - гармоническая функция в С+ : | уа 1 | |Н(х + ¡у)|

0 \

ц(С) - неотрицательная мера в С + такая, что | уруа-1пр (у)<3у <+°°,

0

п(у) = ц(Су+), в>а-1 +1.

2. Доказательство вспомогательных утверждений

Для доказательства теоремы воспользуемся утверждениями из работ [5, 7], которые сформулируем в виде лемм 1 и 2 соответственно.

Лемма 1. Пусть г, С, £ С +, -1 < в < , тогда

ln |°р( Z)|< CP

( ^ Im Z

l-z

(3)

0

Лемма 2. Пусть uе SH(С+ ), которая Vp >0 удовлетворяет оценке:

sup J |u (х + iy)|dx < Cp < (Cp > 0). Тогда Vp > 0 имеет место формула типа Иенсена:

— J u(x + ip)dx = -J (t— p)n(t) + 2 lim supRu(iR)

(4)

где n(t) - значение меры Рисса ц, ассоциированной с u(z), в C+, Cp ={zе C: Im z >p}, n (p) = Ц (C+ ), причем lim sup Ru (iR) конечен.

Сформулируем также еще несколько вспомогательных утверждений [6]. Лемма 3. Пусть u е SH^ (c +), 0 < p < , n(y) = ц(с+). Тогда справедливы оценки:

p

p

1) J ya-1 J |u (x + iy |dx dy < C J ya-1 J u +(x + iy )dx

0 V

j 0 f

p

2) J ypya—1np (y )dy < C J ya—1 J u +(x + iy )dx

0 0 V

Лемма 4. Пусть n(y) = ц(с+), тогда условие

' < .

J ypya—1np (y)dy < +

0

равносильно оценкам:

-n 12?

Z-

p(2k\2h (a+p)

<+oo, Znp (2k )2 k=1

< .

— ~к(а+р) к=0 2 ^

Лемма 5. Пусть функция и е 5И (с + ), допускающая представление (2), где - неотрицательная мера в С +,

J ypya—1np (y)dy <+-, n(y) = ц(с+), 0 < p

.

h (z) - гармоническая функция в C+

+L (+<

V

J ya-i J \h(x + iy)|dx

о a-1 i

' < +L , p >-+ i.

P

Тогда u e SHP (C+), 0 <a<+L.

3. Доказательство теоремы

1. Необходимость. Пусть и £ ЗН^Р (с +), 0 < р <+о . Рассмотрим

и (г) — Ур(г) = Н(г). Покажем гармоничность Н (г).

Пусть Вг - круг радиуса г , 0 < г < 1. £>г = Вг П С + . По теореме Рисса для Е>г :

и (г )= V (г)+ 11п |С-ц(С),

D r

где V(г) - гармоническая функция в Г)г , 11п- субгармониче-

^ -оо . Восполь-

D r

ская функция в Ьг , при этом точка г £ £>г : 11п- М-(С)

£) г

зуемся фактором ор(г,С+, -1 <в<+о°:

°р (z, С) = a0 (z, С)"

a0(z,Z)

• exp

2ImZ Л*

- J

= a0 (zZ)"exP

2ImZ

m

0

0 (r +iZ- iz)' ,p

B+1

dr

г + ¡С- ¡г ( + ¡£- ¡г )в+1 Пусть С = ^ + ¡П . Подбирая главную ветвь логарифма, получаем

2ImZ 2Iml

dr

J 7+iZ— = J dln(r + i(Z-z)) = ln(r + i(

= ln(2ImZ + i(Z-z))-ln(i(Z-z)) = ln2ImZ + i(Z z) = ln Z-z

i(Z-z) Z-z

Следовательно,

a0 (z Z) = exP

2ImZ

dr

r + iZ - iz

= exp\ - ln

Z-z I . Z-zJ = Z-z ;

0

In |ap(z, z) = In

Z-z

Z-z

+ Re

2ImZ

J

0

r + iZ- К ( + iZ- iz)P+1

dr

h(z)= u(z)- J ln|ap(z,Z)^(Z) = u(z)- J ln|Z-z^(Z)

D r

D r

- J ln^d|i(Z)- J Re Z — z *

D r

D r

2ImZ

J

r +iZ- iz (r + iZ- iz)

P+1

r

d(Z).

Функция Г 1прД—т ^ - гармоническая (1п=^— - аналитическая

К 1Н г

функция в С +, поэтому ее вещественная часть - гармоническая функция

в C +). Получим:

Z-z

Z-z

> 1, г, £ е С + . Прологарифмируем обе части неравенства.

Jln FT~\d ^(Z)

Dr |Z z|

<+>.

Рассмотрим функцию

2Ьп£

F

(z, Z)= J

0

r P

= J ""b

J r + iZ- iz

r + iZ- iz (r + iZ- iz )P+1 rp

dr =

(r + iZ- iz )P+1

dr ■

J "4"

J ,.r + iZ-iz

2IJZ

,P

(r + iZ - iz)

dr = фр^, Z)-^p(z, Z),

Фр(г, £) (при фиксированных £еСр+) голоморфна в N \ {г = £- /Л,

2

0 < Л < , а на луче {г = £ + /Л,0 < Л < постоянна,

+> 1

Фp(Z+ih, Z)= J —

и J r + i

1 --

(r + h )p

= ¡-г1

J.I r

0 hi - +1

1 -

( ^ r

r+1

dr.

Пусть a = —, тогда h

+L

°p(Z+h Z)= J та

(° + 1)

1 -

c + 1

d a = Cp .

Интеграл сходится при в> 0. По теореме единственности Фр(г, £) всюду постоянна.

Функция ^р(г, С) (при фиксированных ) голоморфна

2

в N\{г = ¡Н, 0 <Н <+о} , в частности, в С + . Следовательно, | Яегармонична в С + .

Dr

Так как г £ (0; 1) - произвольное, то Н (г) - гармоническая в С+ . По-

кажем, что Н (г) удовлетворяет условию

+о {+о ЛР

| уа-1 | |Н (х + ¡у ))х ёу <+о, и (г)-Vр(z ) = Н (г).

0 \ -о /

Так как u (z) < u + (z), то по лемме 1:

h+(z)<u +(z) + Vp+(z)<u + (z) + Cp J

( ^ Im Z

( +»

\P

( +L

J h+(x + iy)x < J u +(x + iy)x

P

C+ (

+ CP(P)

J dn(()J

d ^(Z):

+L ( , ^

+ Im Z

P

C+

dx

1

Применим теорему о среднем значении Н (¡Я) =—^ i Н () (с):

пЯ |С-/Я|<Я

-о<пя2н(¡я)= i Н(с)ё«2(0= i [н+(0-Н(0 =

|£-гЯ| <Я |С-г'Я| <Я

2 Я Я

= i |[н+(+¡п)-н-(+¡п)]ё^п;

0 -R

2 R R

2 R R

J J h-( + in)d^dn< J J h+( + in)d^dn + nR2|h(iR));

0 -R

0 -R

2R R

2R R

J J \h(( + in)\d^dn< J J h+(( + in)dtyn + C .

0 -R 0 -R

Пусть R стремится к бесконечности, тогда

f ЛР f N\p

J Уа-Х J \h (x + iy ) dy < J ya—1 J u + (x + iy )dx

0 V / 0 V

+

f

+C

(p) J ya—1

0

J dn(C) J

-f ImZ

\Р

C+

z

vi ~ i/

dx

Оба интеграла в правой части сходятся (первый, так как и е (с + ), 0 < р , второй - согласно лемме 5). Следовательно,

f■+>

\Р

J ya—1 J \h(x + iy)dx

' < . То есть u (z) допускает представление (2).

0 V -»■

2. Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего пункта и леммы 5. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Hayman, W. K. Subharmonic functions / W. K. Hayman. - London, Acad. Press etc., 1989. - Vol. 2. - P. 591.

2. Неванлинна, Р. Однозначные аналитические функции / Р. Неванлинна. - М. : ИМГИТТЛ, 1941. - 388 с.

3. Джрбашян, М. М. К проблеме представимости аналитических функций / М. М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. -1948. - Вып. 2. - С. 3-35.

4. Шамоян, Ф. А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф. А. Шамоян // Сибирский математический журнал. - 1999. - Т. 40, № 6. - С. 1422-1440.

5. Аветисян, К. Л. О представлениях некоторых классов субгармонических функций в единичном круге и в верхней полуплоскости / К. Л. Аветисян // Известия Национальной академии наук Армении. Математика. - 1994. - Т. 29, № 1. -C. 3-15.

6. Охлупина, О. В. Потенциалы типа Грина и интегральные представления весовых классов субгармонических функций : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 / Охлупина О. В. - Брянск, 2012. - 118 с.

7. Джрбашян, А. М. О граничных свойствах произведений типа Бляшке / А. М. Джрбашян, Г. В. Микаелян // Известия Национальной академии наук Армении. Математика. - 1991. - Т. 26, № 5. - С. 435-442.

References

1. Hayman W. K. Subharmonic functions. London, Acad. Press etc., 1989, vol. 2, p. 591.

2. Nevanlinna R. Odnoznachnye analiticheskie funktsii [Single-valued analytical functions]. Moscow: IMGITTL, 1941, 388 p.

3. Dzhrbashyan M. M. Soobshcheniya instituta matematiki i mekhaniki ANArmSSR [Proceedings of the Institute of mathematics and mechanics of AS ArmSSR]. 1948, iss. 2, pp. 3-35.

4. Shamoyan F. A. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal [Siberian mathematical journal]. 1999, vol. 40, no. 6, pp. 1422-1440.

5. Avetisyan K. L. Izvestiya Natsional'noy akademii nauk Armenii. Matematika [Proceedings of the National Academy of Sciences of Armenia. Mathematics]. 1994, vol. 29, no. 1, pp. 3-15.

6. Okhlupina O. V. Potentsialy tipa Grina i integral'nye predstavleniya vesovykh klassov subgarmonicheskikh funktsiy: dis. kand. fiz.-mat. nauk: 01.01.01 [Green's type potentials and integral representations of wight classes of subharmonic functions: dissertation to apply for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences]. Bryansk, 2012, 118 p.

7. Dzhrbashyan A. M., Mikaelyan G. V. Izvestiya Natsional'noy akademii nauk Armenii. Matematika [Proceedings of the National Academy of Sciences of Armenia. Mathematics]. 1991, vol. 26, no. 5, pp. 435-442.

Охлупина Ольга Валентиновна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики, Брянский государственный инженерно-технологический университет (Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3)

E-mail: [email protected]

Okhlupina Ol'ga Valentinovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics, Bryansk State Engineering and Technological University (3 Stanke Dimitrova avenue, Bryansk, Russia)

УДК 517.53, 517.54 Охлупина, О. В.

Представление класса субгармонических функций в Верхней полуплоскости комплексной плоскости / О. В. Охлупина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2018. - № 2 (46). - С. 77-85. БОТ 10.21685/2072-3040-2018-2-8.