CC BY
29
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 20141, № 4 (1), с. 311-316
УДК 517.977.1
СТРУКТУРА ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С ОДНОЙ ПОРОЖДАЮЩЕЙ СЕДЛОВОЙ ТОЧКОЙ
© 2014 г. Н.В. Киселева, В.П. Савельев
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]
Поступила в недакцию 30.06.2014
Методами качественной теории дифференциальных уравнений изучается структура границы множества неуправляемости нелинейного локально управляемого осциллятора, содержащей в своем составе лишь одну порождающую седловую точку.
Ключевые слова: допустимое управление, а-продолжение, го-продолжение, связная компонента множества неуправляемости, непродолжаемая траектория.
Введение
Настоящая работа является продолжением работы [1] по изучению структуры границы Г связной компоненты множества неуправляемости локально управляемого нелинейного осциллятора
х + /(х, х) = и(?), д < и(?) < р, (1) где кусочно-непрерывная функция и (?) задает управляемое воздействие, а непрерывно-дифференцируемая в Я2 функция /(х, х) задает
неуправляемое воздействие (воздействие среды) на движение объекта. Сохраняются определения, обозначения и терминология, введенные в [1].
Постановка задачи
Вследствие локальной управляемости системы (1) множество управляемости и является открытой связной областью. Множество неуправляемости N замкнуто и представляет собой, как правило, совокупность связных множеств, которые называются связными компонентами множества неуправляемости. Отметим следующее важное свойство: любая допустимая траектория объекта (1) либо целиком принадлежит множеству управляемости и , либо целиком принадлежит множеству неуправляемости N, либо существует разделяющая точка Я, такая, что положительная полутраектория у+ (Я) принадлежит множеству N, а отрицательная полутраектория у- (Я) принадлежит множеству и. В работе [2] проведено локальное изучение структуры границы множества управляемости объекта (1) в окрестности как
простых точек, так и состояний равновесия автономных систем
х = у, у = р - /(x, y), (2)
х = у, у = д - /(х у). (3)
Показано, что граница Г множества управляемости и состоит только из траекторий или дуг траекторий систем (2) и (3), которые будем называть соответственно р-системой и д -системой. В частности, точки оси ОХ, принадлежащие границе Г , подразделяются на левосторонние, правосторонние, двусторонние и несущественные, в зависимости от того, с какой стороны от этой точки расположена область управляемости. Возможные варианты локальной структуры границы Г в окрестности левосторонней точки показаны на рисунке 1.
В работе [3] показано, что кроме нескольких простых типов связных компонент множества неуправляемости (они указаны) любая связная компонента содержит в составе своей границы хотя бы одну седловую точку вместе с ее ю-сепаратрисами одной из указанных систем (2) и (3) (если она одна, она называется порождающей седловой точкой соответствующей связной компоненты). В работе [4] в предположении, что область управляемости расположена в ограниченной части фазовой плоскости, изложен алгоритм построения границы Г, из которого следует, что ее структура может быть чрезвычайно сложной при большом числе седловых точек систем (2) и (3). В работе [1] предложен метод классификации связных компонент множества неуправляемости объекта (1), содержащих в составе своей границы лишь одну порождающую седловую точку, в предположении, что объект (1) удовлетворяет условиям:
У ЧУ 1+(Н)
1-1 ТрСБ» --> 7р(А) __ __
7 Vе \ у1' я У ^ с ч ч
Л ' о А Р ' И ;Х
/ V ./+ & *-*4 X *>> ч£т о"— Т,Т(А) У
1Г(Р> — & — & ¡5,(1Е+11)
Рис. 2. Связная компонента типа К (2Е + II ,1Е)
a) системы (2) и (3) имеют лишь простые состояния равновесия [5];
b) положительные полутраектории ^-системы и д-системы не имеют вертикальных асимптот;
c) любая а-непродолжаемая в полуплоскости О + = {(х, у): у > 0} (в полуплоскости О" =
= {(х, у): у < 0}) полутраектория у + (М) (у+ (М))
является а-ограниченной, то есть имеет конечную точку («условие эффективности торможения»).
Такая классификация была реализована для связной компоненты множества неуправляемости в предположении, что ее ближайшая к началу координат левосторонняя граничная точка положительной полуоси ОХ является как раз порождающей седловой точкой (вариант a) на рисунке 1). В настоящей работе изучается структура границы Г для остальных трех вариантов левосторонней граничной точки.
Результаты исследования
Изучение структуры границы Г мы начнем для случая, когда вместе с ближайшей к началу
координат левосторонней граничной точкой А в границу Г входят непродолжаемая в О~ положительная полутраектория у+ (А) и непродолжаемая в О+ положительная полутраектория у+ (А) (вариант с) на рисунке 1).
Теорема 1. Пусть граница связной компоненты К множества неуправляемости имеет единственную порождающую седловую точку и вместе с ближайшей к началу координат левосторонней граничной точкой А в границу Г входят не-продолжаемые в О~ и в О + положительные полутраектории у+ (А) (вариант с) рисунка 1). Тогда:
a) единственной порождающей седловой точкой этой компоненты будет седло р-системы, расположенное на отрицательной полуоси ОХ;
b) связная компонента имеет лишь один вариант К(2Е +11,1Е) (рис. 2).
Доказательство
а) Рассмотрим поведение а-непродолжаемой в О~ полутраектории у+ (А). В соответствии с условием эффективности торможения и в силу
выбора точки А эта полутраектория обязательно имеет конечную точку, а значит, и конечную граничную точку В на отрицательной полуоси ОХ. Вместе с этой правосторонней граничной точкой в состав границы Г может входить либо непродолжаемая в О + положительная полутраектория у + (В), либо непродолжаемая в О + отрицательная полутраектория у- (В) (полностью
или частично). Во втором случае точка В становится порождающей седловой точкой для компоненты К.
Покажем, что первый случай не имеет места, то есть невозможен. Действительно, в силу условия эффективности торможения а-непро-должаемая в О + полутраектория у + (В) должна
иметь конечную точку, а значит, и конечную граничную точку на оси ОХ. Однако эта точка не может быть расположена на интервале (ВО) оси ОХ. Если допустить, что такая точка С существует, то, проведя луч Ь- (С), мы получим область, ограниченную дугой ВС полутраектории у + (В), отрезком [СБ] луча Ь (С) и дугой
БВ полутраектории у+р (А) (рис. 2). В соответствии с построением эта область должна принадлежать области управляемости, однако это невозможно, поскольку через точки отрезка [СБ] луча Ь- (С) допустимые траектории могут только входить в эту область, а выйти из нее они могут лишь пересекая границу Г и тем самым входя в множество неуправляемости. В силу выбора точки А конечная точка С не может лежать и на интервале (ОА) оси ОХ. Если же точка С совпадает с точкой А, то мы получаем одну из связных компонент множества неуправляемости, граница которой не содержит ни одной порождающей седловой точки. Предположим, что точка С лежит правее точки А. Но тогда мы проведем луч Ь+ (А) и получим область, не содержащую начало координат и расположенную вне замкнутой кривой, образованной отрезком [АЕ] луча Ь+ (А), дугой АВ полутраектории у+ (А) и дугой ВЕ полутраектории у + (В), в которую все допустимые траектории объекта (1) могут лишь входить. Это значит, что эта область принадлежит множеству неуправляемости, что противоречит исходному предположению о вхождении в состав границы Г не-продолжаемой в О + полутраектории у+ (А).
Итак, вместе с правосторонней граничной точкой В в состав границы Г может входить лишь
непродолжаемая в О + отрицательная полутраектория у- (В), то есть эта точка является седлом р -системы и порождающей седловой точкой связной компоненты К.
Ь) Рассмотрим теперь поведение ю-непро-должаемой в О+ отрицательной полутраектории У- (В). Эту ю-сепаратрису седла В р-системы будем обозначать ^, в то время как дугу АВ а-непродолжаемой в О- полутраектории ур (А) будем обозначать S2. Отметим, что для отрицательной полутраектории ур (В) возможны три варианта различной структуры границы Г : 1) либо в состав Г входит ее дуга ЯВ, где точка Я является разделяющей точкой, этот вариант мы обозначим ^ (1Я); 2) либо в состав Г входит вся ю-непродолжаемая ю-неогра-ниченная в О + полутраектория у- (В), этот вариант мы обозначим S1(1F); 3) либо в состав Г входит ее дуга FB, где точка F является ее начальной граничной точкой, этот вариант мы обозначим ^(1Е) (рис. 2).
Покажем, что первые два варианта невозможны. Действительно, предположение о разделяющей точке Я ведет к тому [2], что вместе с ней в состав границы должна входить и положительная полутраектория у + (Я), непродолжаемая в О + . А это означает, что она имеет конечную граничную точку О на интервале ^В) оси ОХ. Если вместе с точкой О в состав Г входит непродолжаемая в О- полутраектория у- (О), то это будет еще одна порождающая
седловая точка в составе границы связной компоненты К, что противоречит исходному предположению. Если же вместе с точкой О в состав Г входит непродолжаемая в О- полутраектория ур (О), то ее а-продолжение в полуплоскости О-(как мы видели это с а-продолжением полутраектории ур (А)) опять приведет к еще одной порождающей седловой точке.
Предположение о том, что в состав границы Г входит вся ю-непродолжаемая ю-неогра-ниченная в О + полутраектория у- (В), также приводит к противоречию. Действительно, рассмотрим область, ограниченную лучом Ь+ (А) (справа от него), дугой АВ полутраектории ур (А) и ю-непродолжаемой ю-неограниченной
в О + полутраекторией у-(В). Эта область не
содержит начало координат, и все допустимые траектории объекта (1) могут лишь входить в нее. Значит, эта область должна принадлежать
множеству неуправляемости, что противоречит исходному предположению о вхождении не-продолжаемой в О + полутраектории ур (А) в
состав границы Г .
Итак, в состав Г входит дуга FB ю-непродолжаемой в О + полутраектории у- (В),
где точка F является ее начальной граничной точкой. Если вместе с точкой F в состав Г входит непродолжаемая в О- полутраектория ур ^), то
по той же причине, что и непродолжаемая в О-полутраектория у+ (А), это приведет к появлению еще одной порождающей седловой точки. Значит, вместе с точкой F в состав Г входит непродолжаемая в О- полутраектория у- (F).
Рассматривая ее ю-продолжение в О-, заметим, что это продолжение может иметь те же три варианта, что и ю-непродолжаемая в О + полутраектория у- (В). Однако вариант ^ (1Е + 1Я) с разделяющей точкой приводит к появлению еще одной порождающей седловой точки, а вариант ^(1Е + ^) с ю-непродолжаемой ю-неограни-
ченной в О- полутраекторией у- (F) также приводит к противоречию. Действительно, в последнем случае рассмотрим область, ограниченную лучом Ь+ (А) (справа от него), дугой АВ полутраектории ур (А), дугой FB непродолжаемой в О + полутраектории ур (В) и ю-непродолжае-мой ю-неограниченной в О- полутраекторией у- ^). Эта область не содержит начало координат, и допустимые траектории объекта (1) могут лишь входить в нее. Таким образом, эта область должна принадлежать множеству неуправляемости, что противоречит исходному предположению о вхождении непродолжаемой в О + полутраектории у+ (А) в состав Г . Остается лишь вариант S1 (2Е), соответствующий тому, что ю-непродолжаемая в О- полутраектория у- ^) имеет начальную граничную точку
на оси ОХ. Предположение, что эта точка расположена на интервале FB оси ОХ, приводит к появлению еще одной порождающей седловой точки в составе границы Г . Если допустить, что полутраектория у- ^) пересекает дугу АВ
полутраектории ур (А), то она не может входить в состав Г , так как, пересекая эту дугу, полутраектория у- (F) входит внутрь множе-
ства неуправляемости. Значит, начальная граничная точка Н полутраектории у- ^) располагается правее точки А.
Завершая процесс построения связной компоненты, рассмотрим поведение а-непро-должаемой в О + полутраектории ур (А). Вначале покажем, что вариант, когда в границу Г входит вся а-непродолжаемая а-неограничен-ная в О + полутраектория ур (А), не имеет места. Действительно, в этом случае область, расположенная справа от луча Ь+ (А) и слева от полутраектории у+ (А), должна принадлежать
множеству неуправляемости, так как допустимые траектории объекта (1) могут входить в эту область лишь через точки луча Ь+ (А), а выходить лишь через точки полутраектории ур (А), принадлежащие множеству неуправляемости. Таким образом, полутраектория у+ (А) будет располагаться внутри множества неуправляемости. Это означает, что а-непродолжаемая в О+ полутраектория ур (А) должна иметь конечную
граничную точку. Мы покажем, что если эта точка не совпадает с точкой Н, то это приводит к появлению еще одной порождающей седловой точки. Пусть конечная граничная точка Р расположена левее точки Н, то есть на интервале (АН) оси ОХ. Проведя луч Ь (Р), мы получим область PABFQ, ограниченную отрезком PQ (слева от него) луча Ь (Р), дугой АР а-непродолжаемой в О + полутраектории ур (А), дугой АВ а-непродолжаемой в О- полутраектории у+ (А), дугой FB ю-непродолжаемой в О + полутраектории у-(В) и дугой QF полутраектории у- ^) (рис. 2). Эта область не
содержит начало координат, и все допустимые траектории объекта (1) могут в нее лишь входить. Это означает, что область PABFQ принадлежит множеству неуправляемости, и вместе с точкой Р в состав Г не может входить непро-должаемая в О- полутраектория у + (Р), поскольку она будет располагаться в области PABFQ, а должна входить непродолжаемая в О- полутраектория у- (Р), то есть точка Р становится еще одной порождающей седловой точкой. Предположим теперь, что конечная граничная точка Р расположена на оси ОХ правее точки Н. Если вместе с этой точкой в состав
Г будет входить непродолжаемая в О" полутраектория у" (Р), то это опять означает появление второй порождающей седловой точки. Значит, вместе с точкой Р в состав Г будет входить непродолжаемая в О" полутраектория у + (Р). Аналогично тому, как это было показано для а-непродолжаемой а-неограниченной в О+ полутраектории у+ (А), показывается, что в состав границы Г не может входить вся а-непродолжаемая а-неограниченная в О" полутраектория у + (Р). То есть она должна иметь
конечную граничную точку Т на оси ОХ. Если эта точка расположена на интервале (ИР) оси ОХ, то она обязательно становится второй порождающей седловой точкой (показывается по аналогии с точкой Р, расположенной левее точки И). Если же эта точка Т будет расположена на отрицательной полуоси ОХ, то есть левее точки Е, то либо она является второй порождающей седловой точкой, либо выходящая из нее непродолжаемая в О + полутраектория у+р (Т)
будет иметь конечную граничную точку на интервале (ТЕ) оси ОХ, которая обязательно станет второй порождающей седловой точкой.
Таким образом, конечная граничная точка а-непродолжаемой в О + полутраектории у+ (А)
обязательно совпадает с точкой И, образуя связную компоненту К(2Е +11, 1Е).
Аналогичным образом доказываются теоремы 2 и 3 о возможной структуре связных компонент, имеющих в качестве ближайших к началу координат левосторонних точек точки типа Ь) и ф рисунка 1.
Теорема 2. Пусть граница связной компоненты К множества неуправляемости имеет единственную порождающую седловую точку и
вместе с ближайшей к началу координат левосторонней граничной точкой А в границу Г входят непродолжаемая в О" положительная полутраектория у+ (А) и непродолжаемая в О+
отрицательная полутраектория у" (А) (вариант
ф рисунка 1). Тогда:
a) единственной порождающей седловой точкой этой компоненты будет седло р-системы, расположенное на отрицательной полуоси ОХ;
b) связная компонента может иметь один из следующих вариантов (пит- натуральные числа):
1) К(пЕ, 1Е + пЕ), К((п + 1)Е, 1Е + пЕ), К((п + +2)Е, 1Е + пЕ), если сепаратриса Б2 имеет вид Б2(1Е + пЕ);
2) К((п + 1)Е + 1Л, пЕ + 1Л), если сепаратриса имеет вид Б2 (пЕ + 1Л);
3) К((п +1)Е +11, пЕ), если сепаратриса Б2 имеет вид Б2 (пЕ);
4) К (пЕ, (п + 1)Е +11), если сепаратриса Б2 имеет вид Б2((п +1) Е +11) (рис. 3, п=1).
Теорема 3. Пусть граница связной компоненты К множества неуправляемости имеет единственную порождающую седловую точку и вместе с ближайшей к началу координат левосторонней граничной точкой А в границу Г входят непродолжаемая в О" отрицательная полутраектория у" (А) и непродолжаемая в О+
положительная полутраектория у+ (А) (вариант
Ь) рисунка 1). Тогда:
а) единственной порождающей седловой точкой этой компоненты будет седло р-системы, расположенное на положительной полуоси ОХ;
Ь) связная компонента может иметь один из 1. Савельев В.П. О классификации связных ком-следующих вариантов (п и m - натуральные понент множества неуправляемости нелинейного числа): осциллятора // Вестник ННГУ. 2012. № 3. Ч. 1.
1) K(nE + 1R, (n -1)E + 1R), если сепаратриса S2 имеет вид S2 ((n - 1)E + 1R);
2) K(2E + mI, 1E + (m - 1)I), если сепаратриса S2 имеет вид S2(1E + (m -1)I) (рис. 4, m=2).
Заключение
В работе методами качественной теории дифференциальных уравнений исследована возможная структура границы связной компоненты множества неуправляемости нелинейного локально управляемого осциллятора, содержащей в своем составе лишь одну порождающую седловую точку.
Список литературы References
С. 155-162.
2. Савельев В.П. Классификация связных компонент множества неуправляемости одномерного движения // Межвузовский сборник «Динамика систем». 1975. Вып. 5. С. 118-144.
3. Савельев В.П., Павлючонок А.Г. О наличии седловых точек в составе границы области управляемости нелинейного объекта второго порядка // Межвузовский сборник «Дифференциальные и интегральные уравнения». 1978. Вып. 2. С. 116-123.
4. Бутенина Н.Н., Павлючонок З.Г., Савельев В.П. Качественные методы глобального исследования областей управляемости на плоскости // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 4. С. 555-568.
5. Андронов А.А., Леонтович-Андронова Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1986. 568 с.
// Mezhvuzovskij sbornik «Dinamika sistem». 1975.
STRUCTURE OF A CONTROLLABILITY SET BOUNDARY OF A NONLINEAR OSCILLATOR WITH ONLY ONE GENERATING SADDLE POINT
N. V. Kiseleva, V.P. Savel'ev
The structure of an uncontrollability set boundary having only one generating saddle point of a nonlinear locally controllable oscillator is studied by the qualitative theory of differential equations.
Keywords: admissible control, a-continuation, w-continuation, connected component of uncontrollability set, non-continuable trajectory.
1. Savel'ev V.P. O klassifikacii svyaznyh komponent mnozhestva neupravlyaemosti nelinejnogo oscillyatora // Vestnik NNGU. 2012. № 3. Ch. 1. S. 155-162.
2. Savel'ev V.P. Klassifikaciya svyaznyh komponent mnozhestva neupravlyaemosti odnomernogo dvizheniya
Vyp. 5. S. 118-144.
3. Savel'ev V.P., Pavlyuchonok A.G. O nalichii sed-lovyh tochek v sostave granicy oblasti upravlyaemosti nelinejnogo ob"ekta vtorogo poryadka // Mezhvuzovskij sbornik «Differencial'nye i integral'nye uravneniya». 1978. Vyp. 2. S. 116-123.
4. БиЛепта NN Рау1уисЬопок г.О., 8ауе1'еу У.Р. КасЬе81уеппуе те1;ос1у g1oba1'nogo iss1edovaniya оЬ-1а81е] uprav1yaemosti па p1oskosti // Differencia1'nye игатаетуа. 1995. Т. 31. № 4. 8. 555-568.
5. Andronov Л.Л., Leontovich-Andronova Е.А., Gordon 1.1., Мя^ег А.О. Kachestvennaya teoriya dinamicheskih sistem vtorogo poryadka. М.: Nauka, 1986. 568 s.
