CC BY
58
УДК 539.374.
ОСОБЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЕЙ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Г.В. Панфилов, Е.Ю. Хвостов, П.В. Судаков
Приведены установленные соотношения геометрических параметров и правила аналитического построения полей линий скольжения, схематизирующих пластические участки, примыкающие к свободным прямолинейным пластическим границам, в осесимметричных технологических задачах теории пластичности. Обоснована аппроксимация указанных пластических участков полями логарифмических спиралей.
Ключевые слова: поле линий скольжения, осесимметричная задача, аналитический метод, свободная пластическая граница.
Развитие алгоритма и математического аппарата аналитического конструирования и описания полей линий скольжения, схематизирующих пластические области в осесимметричных задачах теории пластичности, играет весьма важную роль в исследовании технологических операций обработки металлов давлением. В работах [1, 2] обоснована целесообразность совместного решения дифференциальных уравнений равновесия с условием «полной пластичности», обусловливающим возможность использования хорошо развитого метода линий скольжения для строгого решения осесимметричных задач.
Особенностью расчета величины среднего напряжения вдоль линий скольжения в задачах осевой симметрии является учет их зависимости от значений радиальной координаты. В работе [3] получены результирующие интегральные соотношения, позволяющие анализировать изменения средних напряжений при интегрировании вдоль граничных линий скольжения в зависимости от соответствующего изменения не только характеристического угла, но и радиальной координаты.
В значительном большинстве технологических задач конструирование поля линий скольжения начинается от пластической границы, свободной от контакта и внешних нагрузок. Известно, что уравнения самих линий скольжения (характеристик) в задачах, поставленных для условий плоской деформации и осевой симметрии, совпадают. Однако необходимость соблюдения в осесимметричных задачах постоянства на свободной пластической границе среднего напряжения о = ±к приводит к специфическим особенностям конструирования полей линий скольжения (в отличие от условий плоской деформации), вызванным именно зависимостью значений среднего напряжения от радиальной координаты. На основании
изложенного очевидно, что в общем случае решения осесимметричных задач использование треугольных полей равномерного напряженного состояния, применяемых в задачах плоской деформации и состоящих из отрезков прямых линий скольжения, неприемлемо для схематизации пластических участков, примыкающих к свободным прямолинейным пластическим границам. Это подтверждается многими численными решениями различных технологических задач осесимметричнго пластического течения деформируемого материала [3, 4].
Для изучения влияния радиальной координаты на изменение среднего напряжения вдоль линий скольжения, особенно вблизи оси симметрии (т.е. при г0 ® 0), в работе [5] использовали указанное треугольное поле прямых линий скольжения (свойственное условиям плоской деформации), примыкающее к прямолинейной свободной границе АВ вблизи круглого штампа (с плоским, коническим или сферическим основанием), вдавливаемого в полуплоскость. При этом свободная граница АВ в различных вариантах расчетов приближалась и удалялась от оси симметрии и наклонялась под углом у (положительным или отрицательным) к радиальной координате г (рис. 1).
При различных комбинациях значений начальной радиальной координаты Г) и угла у, как и положено, в точке А свободной прямолинейной границы АВ задавалось значение среднего напряжения о а = -к и по зависимости (1), преобразованной из общей формулы для расчета средних напряжений вдоль линий скольжения в осесимметричных задачах [3], устанавливалась величина среднего напряжения в точке В
о(В ) = о( А)- к
+1) • 1п ГГ^ + (ctgj +1)- 1п ГГС) ГС) Г(В )_
(1)
В реальных задачах величина о в не должна отличаться от -к, однако значения полученных расхождений характеризуют интенсивность изменения средних напряжений вдоль граничных линий скольжения АС и СВ именно от величины начальной радиальной координаты Г) (т.е. расстояния от оси симметрии до начала прямолинейной свободной границы - точки А) и
угла наклона у. Соответствующие графические зависимости о в =—В от
к
- г
г = —, где г - радиальная координата середины длины I свободной границы АВ , приведены на рис. 1.
Рис. 1. Графическая зависимость безразмерного среднего напряжения от радиальной координаты для различных углов наклона прямолинейной границы к радиальной оси при режиме В пластического течения
Анализ формулы (1) и графических зависимостей рис. 1 позволяет утверждать следующее:
среднее напряжение увеличивается, если текущая радиальная координата г увеличивается по отношению к начальной го, и уменьшается в противном случае;
независимо от режима А или В пластического течения поле прямых линий скольжения АВС становится полем равномерного (постоянного) на-
I Р / л ^0
пряженного состояния при угле у=±— (при этом угол ф = -45 и выражения в круглых скобках формулы (1) обращаются в ноль);
в локальных пластических областях, находящихся вблизи оси симметрии, интенсивность изменения вдоль линий скольжения среднего напряжения очень велика при изменении радиальной координаты, а в пла-
Г
стических областях, находящихся на удалении — = 10, максимальное отличие от условий плоской пластичности (когда среднее напряжение не зависит от радиальных координат) составляет о = ±0,266к, и этот диапазон обусловлен различными значениями угла у наклона прямолинейной свободной границы к радиальной координате;
влияние угла у на величину среднего напряжения в точке В в непосредственной близи от оси симметрии весьма и весьма существенно; так, при у= 450 характеристического угла ф = 900 и tgф = ¥; аналогично
при у=-450 ф = 00 и ^ф = ™; таким образом, при у = ±450 значение среднего напряжения в точке В стремится к бесконечности; при удалении значений углов у от этих критических значений это напряжение уменьшается по модулю, стремясь к -к, оставаясь наибольшим при Г0 = 0 .
Анализ полученных численными методами участков полей линий скольжения в осесимметричных задачах, схематизирующих пластические области, примыкающие к прямолинейным свободным границам в режиме пластичности В, которые приведены в работах [1, 3, 4], позволяет сделать следующие утверждения (рис. 2), определяющие некоторые правила построения таких полей:
граничная линия скольжения криволинейного треугольного поля, расположенная со стороны оси симметрии, является выпуклой, а противоположная - вогнутой;
радиальная проекция выпуклой граничной линии скольжения больше осевой проекции.
радиальная проекция вогнутой граничной линии скольжения меньше осевой проекции.
очевидно, что при увеличении начальной радиальной координаты Г0 ® ¥ (удалении пластической области от оси симметрии) радиусы кривизны граничных линий скольжения также должны стремиться к бесконечности, величины радиальных и осевых проекций обеих граничных линий скольжения сравниваются и конструкция поля приближается к симметричному треугольному, состоящему из отрезков ортогональных прямых линий скольжения и соответствующему условиям плоской деформации, при этом угол 8 изменения углового параметра вдоль граничных линий скольжения должен стремиться к нулю.
Изложенное позволяет предположить, что указанный участок поля линий скольжения целесообразно считать образованным логарифмическими спиралями (рис. 2). При этом предполагается следующая схема формирования пластической области (в частности для режима В пластического течения):
поле логарифмических спиралей определяется образующей окруж-
ностью (рис. 2), центр которой лежит на линии, являющейся продолжением прямолинейной свободной границы, в частности, при у = 0 - на радиальной координате г;
положение (радиальная координата) центра О и величина радиуса Щ образующей окружности (а, следовательно, и вся конструкция исследуемого пластического участка) зависят лишь от радиальной координаты Г) и длины I свободной прямолинейной границы;
очевидно, что минимальное значение Щ и соответственно максимальное значение угла 8 должны соответствовать положению, когда точка А примыкает к оси симметрии 2, т.е. при Г) = 0;
при увеличении Г) значение радиуса образующей окружности растет, и при значительных удалениях свободной границы от оси симметрии конструкция пластической области стремится к известному треугольному полю равномерного напряженного состояния, состоящему из отрезков прямых линий скольжения и соответствующему условиям плоской деформации.
Рис. 2. Схема конструкции пластической области, примыкающей к свободной прямолинейной границе, из линий скольжения, являющихся логарифмическими спиралями
Для установления геометрических параметров и зависимостей между ними рассматриваемой конструкции поля линий скольжения (рис. 2), в
котором известными заданными величинами являются ^, I и у, использовались:
условие неизменности величины среднего напряжения вдоль свободной границы АВ (в частности, для режима В пластического течения
°А = °В =~к );
условие равенства вертикальных проекций граничных линий скольжения АС и СВ;
условие равенства суммы радиальных проекций граничных линий скольжения АС и СВ радиальной проекции длины свободной границы I.
В результате были получены следующие трансцендентные уравнения, связывающие геометрические параметры: в общем виде
Фс Фс Фв
г0 + | КАС (ф)•COS ф-Ф Г0 + | КАС (ф) ф- ёф - I КСВ ( ф) ф- ёф _
4 - фс = я - 4 - 0 + 2 -
ФA
ф A
Фс
(2)
фс фс фв
f0 + j R-ас (j)-sin jdj Г0 + j R-ас (j)-sin ф- d ф+ j Rcb (ф)- cos ф- d ф
ф A фА фС
после замены переменной и пределов интегрирования
+ j Rac (0,h)-cos (4 4-6=2-----<L V 4
r0 + j Rac (0 h)-cos ^ 4-g+h j- d h
r0 + j rac (0 h)-sin ^ p-g+h j- d h r0 + j Rac (0, h)- sin ^ p-g+h j - dh-j Rac (0, h)- cos ^ p-g+h j - d h-1 - sin g
(3)
Г0 +1 • cos g
Интегралы, входящие в зависимость (3), представляют собой соответствующие проекции граничных линий скольжения. При вычислении данных интегралов следует иметь в виду, что граничная линия скольжения
AC является внешней логарифмической спиралью по отношению к образующей окружности (рис. 2), а CB - внутренней, поэтому в обоих случаях интегрирование следует вести от точки C. Вычислим символические значения указанных интегралов (проекций граничных линий скольжения):
осевые проекции
5
DzAC = jRAC (0h)-cos
0
r p Л --g+h
- dh = Ro - [exp5-sing+sin(5-g)]; (4)
8 (P >
Dzcb = jRcb(x5)-sin ■— -g+5-X j• dx = Ro • [exP(-5)-sing+sin(5-g)]; (5)
0 v4 j
радиальные проекции
5 (p \
DrAC = j Rac (0, h)-sin —g+h - dh = Ro - [exp 5-cos g-cos (5-g)]; (6) о v4
5 (P ^
Агсв = j Rcb (X, 5)-cos —g+5-X - dX = Ro - [cos (8-g)-exp (-5)-cos g]. (7)
0 v 4 j
Подставляя значения (4)-(7) в (3), получим трансцендентное уравнение, связывающее геометрические параметры поля, в развернутом виде
2 - rо - sh5 + [exp5- sing+ sin(5-g)]
4 - 5 = 2--=---------------------------—
2-rо -sh5 + [exp5-cosg-cos(5-g)]
2 - r о - sh5 + [exp 5 - (cos g- sin g) - cos (5 - g) - sin (5-g) ] - 2 - sh5 - sin g
2 • shd-( r o + cos g)
Более наглядно и в ряде случаев удобно для практических расчетов зависимость (8) представить через проекции граничных линий скольжения на координатные оси:
4 •§ = 2_ Г0 + DzAC - r0 + DrAC-DzAC -l • sing . (9)
r0 + DrAC r0 +l •cos g
Анализ уравнения (9) показывает, что максимальное значение угла
5 и соответственно минимальное значение радиуса Ro будет наблюдаться, когда ro = 0 . Радиус образующей окружности определяется по зависимости
R0 =-------1—-—- = ——. (10)
exp 5- exp (-5) 2 • shd
Анализ уравнения (10) показывает, что при значительном увеличении радиальной координаты (ro ® ¥) величина угла 5 ® 0, тогда значение экспоненты exp 5® 1 с положительной стороны, а exp (-5)® 1с отрицательной стороны. Тогда разность exp5- exp(-5) будет стремиться к нулю, оставаясь малой положительной величиной, и соответственно при l = const радиус образующей окружности Ro будет стремиться к бесконечности, что приводит проектируемую конструкцию поля линий скольжения к треугольному симметричному полю прямых линий скольжения, соответствующему условиям плоской деформации.
Рассчитанные по уравнению (8) значения угла 5 конструкции поля линий скольжения для режима B пластического течения в зависимости от
удаления этих пластических участков от оси симметрии (rо) и угла наклона g прямолинейной свободной границы к радиальной координате приведены в табл. 1.
Далее по формуле (10) рассчитываются значения относительного радиуса образующей окружности R0 в зависимости от этих же параметров, т.е. r0 и g , которые приведены в табл. 2.
Таблица 1
Рассчитанные значения угла 8 в зависимости от г0 и у
г о 0 10 20 30 40 50
у 1 Значения угла 8, град / рад
00 15,533/ 0,271 1,301 /0,0227 0,682/ 0,0119 0,464/ 0,0081 0,350/ 0,0061 0,261/ 0,0046
200 15,229/ 0,2658 1,490/ 0,0260 0,805/ 0,0140 0,544/ 0,0095 0,420/ 0,0073 0,325/ 0,0057
4 О о 15,004/ 0,2619 1,639/ 0,0286 0,920/ 0,0161 0,629/ 0,0110 0,491/ 0,0086 0,381/ 0,0066
6 О о 14,853/ 0,2592 1,755/ 0,0306 1,007/ 0,0176 0,699/ 0,0122 0,546/ 0,0095 0,442/ 0,0077
8 О о 14,759/ 0,2576 1,832/ 0,0320 1,092/ 0,0191 0,750/ 0,0131 0,588/ 0,0103 0,471/ 0,0082
Таблица 2
Рассчитанные значения радиуса образующей окружности Яо
в зависимости от г0 и у
Г0 ® 0 10 20 30 40 50
у Относительные значения радиуса образующей
1 окружности Я0
00 1,823 22,025 42,016 61,728 81,967 108,695
2 о о 1,859 19,229 35,713 52,631 68,493 87,719
4 О о 1,887 17,480 31,055 45,454 58,139 75,757
6 О о 1,908 16,337 28,408 40,983 52,631 64,934
8 О о 1,920 15,622 26,176 38,167 48,543 60,975
Приведем иллюстрирующие графические зависимости изменения величин углового параметра 8 вдоль граничных линий скольжения (рис. 3)
и относительного радиуса Яо образующей окружности (рис. 4) от
значений начальной относительной радиальной координаты го и угла наклона у прямолинейной свободной границы к радиальной оси координат.
<5,
град
12
у=0° /
Г- ' 1 40* /
ж 60° [ . 80‘
ГП
О 10 20 30 40 50 I
Рис. 3. Графическая зависимость углового параметра Ъ от относительной начальной радиальной координаты г о для различных значений угла у
К
80
60
ьо
20
\
20- у/
¿¿7* 60* / ,
во* \
г0
О 10 20 30 Ш 50 I
Рис. 4. Графическая зависимость относительного радиуса Яо образующей окружности от относительной начальной радиальной координаты г о для различных значений угла у
Полученные расчетные данные подтверждают соблюдение предполагаемых тенденций трансформации размеров и формы конструкции участка поля линий скольжения, схематизирующего пластические области в осесимметричных задачах, выходящие на свободные прямолинейные границы, при изменении начальной радиальной координаты Г).
Список литературы
1. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии / Сб. переводов «Механика». 1957. № 1. С. 102-122.
2. Панов А. А., Панфилов Г.В., Шуляков А.В. Оценка интенсивности изменения напряжений в меридианальной плоскости осесимметричных задач теории пластичности // Известия ТулГУ. Технические науки. 2010. Вып. 2. С. 34-43.
3. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 704 с.
4. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990. 272 с.
5. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Хвостов Е.Ю. Особенности многооперационной холодной штамповки остроконечных стержневых соединительных элементов // Кузнечно-штамповочное производство. 2011. № 12. С. 20-25.
Панфилов Геннадий Васильевич, д-р техн. наук, проф., [email protected]. Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Хвостов Евгений Юрьевич, канд. техн. наук, [email protected]. Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Судаков Павел Владимирович, асп., (4872) 35-14-82, [email protected]. Россия, Тула, Тульский государственный университет
FEA TURES OF ANALYTICAL CREA TION OF FIELDS OF LINES OF SLIDING IN AXISYMMETRIC TASKS OF THE THEORY OF PLASTICITY
G.V. Panfilov, E.Y. Hvostov, P.V. Sudacov
The established ratios of geometrical parameters and the rule of analytical creation of fields of lines of the sliding schematizing plastic sites, adjoining free rectilinear plastic borders, are given in axisymmetric technological tasks of the theory of plasticity. Approximation of the specified plastic sites by fields of logarithmic spirals is proved.
Key words: field of lines of sliding, axisymmetric task, analytical method, free plastic
border.
Panfilov Gennady Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, [email protected]. Russia, Tula, Tula State University,
Hvostov Evgeny Yuryevich, candidate of technical sciences, [email protected]. Russia, Tula, Tula State University,
Sudacov Pavel Vladimirovich, postgraduate, [email protected]. Russia, Tula, Tula State University
