CC BY
34
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
ПОСТАНОВКА И МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
М. Мамажонов1, Х.М. Шерматова2, Х. Мукадасов1
1 Кокандский государственный педагогический университет им. Мукини,
113000, Узбекистан, г. Коканд, ул. Амира Темура, 37
2 Ферганский государственный университет, 150100, Узбекистан, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19
E-mail: [email protected]
Настоящая работа посвящена изучению методики исследования некоторых краевых задач для одного класса параболо-гиперболических уравнений третьего порядка в вогнутой шестиугольной области, которые воспользуется при изучении задач математической физики в магистратуре.
Ключевые слова: краевые условия, условие склеивания, интегральное уравнение Вольтерра второго рода
(с) Мамажонов М., Шерматова Х.М., Мукадасов Х., 2014
MATHEMATICS
MSC 35M13
FORMULATION AND METHOD OF SOLVING CERTAIN BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A CLASS OF EQUATIONS THIRD ORDER PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE
M. Mamajonov1, H.M. Shermatova2, H. Mukadasov1
1 Kokand State Pedagogical Institute by Mukini, 113000, Uzbekistan, Kokand, Amira Temura st. 37
2 Fergana State University, 150100, Uzbekistan, Fergana c., Murabbiylar st., 19 E-mail: [email protected]
This paper studies the methods of investigation of some boundary value problems for a class of parabolic-hyperbolic equations of the third order in the hexagonal concave areas that take advantage of the study of problems of mathematical physics in the magistracy.
Key words:operator boundary conditions, the condition of bonding, Volterra integral equation of the second kind
(c) Mamajonov M., Shermatova H.M., Mukadasov H., 2014
Введение
Развитие уравнений в частных производных обусловлено широких кругом прикладных задач в физике, экономике, биологии и в других науках. В рамках теории уравнений математической физики как дисциплины, читаемой в магистратуре, большой интерес представляют уравнения смешанного типа. Такие уравнения могут быть использованы при описании различных физических процессов от пространственных околозвуковых течений идеального политропного газа, гидродинамических течений с переходом через скорость звука до бесконечно малых изгибаний поверхностей.
Уравнения смешанного типа рассматриваются в разных областях с границей (линией вырождения). На этой границе задаются условия сопряжения или склеивания.
Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. И.М. Гельфандом [1]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [2], Я.С. Уфлянд [3], Л.А. Золина [4] показали другие применения этих задач. Так, например, Я.С. Уфлянд задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке полубесконечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки.
Математический аппарат уравнений параболо-гиперболического типа описан в работах [5]-[6]. В настоящей работе предложена методика изучения краевых задач для уравнения параболо-гиперболического типа.
Постановка задачи
Рассмотрим в области О уравнение
О = О и О2 и О3 и / и /2, О = {(х, у) € В2 : 0 < х < 1, 0 < у < 1} ,
О2 = {(х, у) € В2 : 0 < х < 1, х- 1 < у < 0} ,АВ = {(х, у) € В2 : у = 0, 0 < х < 1} ,
О3 = {(х, у) € В2 : 0 < у < 1, у — 1 < х < 0} , АА0 = {(х, у) € В2 : х = 0, 0 < у < 1} , то есть О— вогнутая шестиугольная область с вершинами в точках
дд
а— + о— + с
(1)
A (О, О),C (О,-1),B (1, О),Во (1,1),Ao (0,1),D (-1, О).
Области О2 и Оз разделим по две части каждой с помощью отрезка
Тогда эти области можно записать в виде
В
D2 = D21 UD22 UAEl,Dз = Dзl UDз2 UAE2
где
D21 = <{ (x, у) Є R : - 2 < у < 0, -у < x < у + 1 [>,
D22 = <{ (x, у) Є R : 0 < x < 2, x - 1 < у < -x [>,
Dзl = <J (x, у) Є R : 0 < у < ^, у - 1 < x < -y [>, AE1 = <J (x, у) Є R2 : 0 < x < 1, у = -x }>,
2
1
D^ = ї (x, у) Є R2 : - 2 < x < 0, -x < у < x + 1 }>, AE2 = <J (x, у) є R2 : 0 < у < 1, x = -y !>,
, а Е (2, 2) , Е2 ( 2, 2) .
Теперь переходим к постановке краевой задачи для уравнения (1). Перед тем, как
приступить к постановке задачи запишем все краевые условия и условия склеивания
на линиях изменения типа, которые воспользуются при постановке задачи.
Краевые условия:
и (1, у) = ф1 (у), 0 < у < 1, (2)
Ux (1, у) = ф2 (у) , 0 < у < 1,
u|BC = Щ1 (x), 0 < x < 1,
u|BE1 = Щ1 (x) , 1 < x < 1,
2
u (x, 0) = f1 (x), -1 < x < 0,
uy (x, 0) = f2 (x), -1 < x < 0,
uyy (x, 0) = /з (x), -1 < x < 0,
д u д n
д u д n
д u д n
= щ2 (x), 0 < x < 1,
BC
= Щ4 (y), 0 < у < 1,
AoD
= Щ4 (y), 0 < у < 1,
(3)
(4)
(5)
(6) (7) (В)
(9)
(10)
(11)
E2D
и (0, у) = фз (у), -1 < У < 0, (12)
Ux (0, у) = ф4 (у) , -1 < У < 0, (13)
b
Uxx (0, у) = ф5 (у), - a < у < 0, (14)
Uxx (0, у) = ф5 (у),-1 < у < 0. (15)
Условия склеивания на линиях изменения типа:
и (x, -0) = и (x, + 0), 0 < x < 1, (16)
иу (x, -0) = иу (x, +0), 0 < x < 1, (17)
иуу (x, -0) = иуу (x, +0), 0 < x < 1, (18)
и (-0, у) = и (+0, у), 0 < у < 1, (19)
Ux (-0, у) = Ux (+0, у), 0 < у < 1, (20)
Uxx (-0, у) = Uxx (+0, у) , 0 < у < 1, (21)
где <рг- (г = 1, 5) , tyj (j = 1,2, 4), f (k = 1,2, 3) - заданные достаточно гладкие функции, n - внутренняя нормаль к прямым x - у = 1 и x - у = -1.
b
В зависимости от коэффициентов a и b, т.е. от углового коэффициента у = -
, д д характеристик bx - ay = const оператора a+ bуравнения (1) ставятся различные
краевые задачи. Приступим к постановке краевой задачи для уравнения (1).
Задача Требуется найти функцию и (x, у), удовлетворяющую следующим условиям:
Таблица
Классификация краевых задач
Случаи Краевые условия Условия склеивания
1o. a = 0, b = 0 (у = ~) (2), (4), (6), (7), (9), (10) 0) (2 - 16)
2o. a = 0, b = 0 (y = 0) (2), (4), (6), (7), (9), (10) (16), (17), (19) - 18)
3o. 0 < Y < І (2), (5), (6) - (10), (12), (14) (16) - (21)
4o. y = І (2), (6) - (8), (12), (13), (15) (16) - (21)
5o. І < y < (2), (5), (6) - (9), (12), (15) (16) - (21)
6o. -~ < y< -І (2) - (4), (6), (7), (9), (10) или (2) - (4), (6), (7), (9), (11) (16) - (20) или (16) - (21)
7o. -І < y< 0 (2) - (4), (6), (7), (9), (10) 0) (2 - 16)
1) непрерывна в замкнутой области D;
2) удовлетворяет уравнению (1) в каждой из областей D; (г = 1, 2, 3);
3) удовлетворяет следующим краевым условиям и непрерывным условиям склеивания на линии изменения типа:
Мы здесь будем указать идею решения поставленной задачи лишь в случае 1o. В этом случае уравнение (1) имеет вид:
b— + с ) (Lu) = 0. ду
Это уравнение можно привести к уравнению второго порядка с неизвестной правой частью следующим образом: введя обозначение Lu = v, получим уравнение b-г—+
- у
cv = 0. Общее решение последнего уравнения имеет вид: v = о (x) exp (-Су^. Тогда получим Lu, = (x) exp (-Су^, где введено обозначение:
и (x, у) = Ui (x, у), (x, у) е Di (г = 1, 2, 3). (22)
Последнее уравнение можно записать в виде:
U1xx - и1у = «1 (x) exp (- , (23)
Uixx - игуу = «■ (x) exp (-(г = 2, 3), (24)
где a (x) (г = 1, 2, 3) - произвольные достаточно гладкие функции, подлежащие
определению.
В уравнении (24) (г = 2) введем обозначения:
U2 (x, у) = U2k (x, у) , «2 (x) = «2k (x) (x, у) G D2k (k = 1, 2) .
Тогда уравнение (24) имеет вид:
U2kxx - U2kyy = «2k (x) exp (- Су) (k = 1, 2) . (25)
После обозначения (22) условия склеивания (16) - (21) переходят к виду
и2 (x, 0) = и1 (x, +0) = т1 (x), 0 < x < 1, (26)
u2y (x, 0) = u1y (x, 0) = v1 (x), 0 < x < І, (27)
U2yy (x, 0) = U!yy (x, 0) = Ді (x), 0 < x < І, (28)
Uз (0, y) = U1 (0, y) = T2 (y), 0 < y < 1, (29)
U3x (0, y) = Uix (0, y) = V2 (y), 0 < y < 1, (30)
И3хх (0, У) = Мзхх (0, у) = Д2 (у), 0 < у < 1, (31)
Здесь т1, У1, т2, У2, д1, д2 - неизвестные пока достаточно гладкие функции, подлежащие определению, кроме того выполняются следующие условия согласования: Т1 (0) = Т2 (0) = /1 (0), У1 (0) = т2 (0) = /2 (0), Т1 (1) = ф1 (0).
Сначала поставленную задачу будем исследовать в области ^2.
Записывая решение уравнения (25) (к = 1), удовлетворяющее условиям (26), (27) и подставляя это решение в (9), находим неизвестную функцию ©21 (х) в промежутке
1 < х < 1.
2 “ “
Затем введя обозначения:
^22 (0, У) = Тз (у) , М22х (0, у) = Уз (у) (-1 < У < 0) ,
где Тз (у), Уз (у) - неизвестные пока функции, подлежащие определению и записывая решение уравнения (25) (к = 2), удовлетворяющее этим условиям и подставляя
это решение в условие (9), находим неизвестную функцию ©22 (х) при 0 < х <-. Используем условие:
f дU22 , д U22^\
AE1
AE1
находим неизвестную функцию ©21 (х) в промежутке 0 < х < 2.
Подставляя решение уравнения (25) при к = 1 в (4) после некоторых выкладок, получим первое соотношение между неизвестными функциями Т1 (х) и У1 (х):
т( (х) + у1 (х) = а (х), 0 < х < 1, (32)
где а (х) — известная функция.
После этого записывая уравнение (1) в области ^1 в виде
Ьи1хху + си1хх Ьи1уу си1у = 0
и переходя в этом уравнении к пределу, при у ^ 0 с учетом условий (26)-(28), имеем второе соотношение между неизвестными функциями Т1 (х), У[ (х) и Д1 (х):
Ьу^ (х) + ст1 (х) — Ьд1 (х) — су1 (х) = 0. (33)
Теперь переходя в уравнении (25) (к = 1) к пределу в промежутке у ^ 0, получим третье соотношение между этими неизвестными функциями:
т1 (х) — Д1 (х) = ©21 (х). (34)
Исключая из системы (32), (33), (34) функции у1 (х) и д1 (х) после некоторых выкладок, мы приходим к дифференциальному уравнению относительно Т1 (х). Решая это уравнение при условиях т1 (0) = /1 (0), т( (0) = / (0), Т1 (1) = ^1 (1), мы находим
неизвестную функцию ^ (х) и тем самым - функции у1 (х), м21 (х, у) в _021.
Воспользуясь условиям М22 (х, —х) = М21 (х, —х) и (4), мы получим две соотношения между неизвестными функциями Тз (х) и Уз (х), из которых находим эти функции.
Тем самым - и функцию М22 (х, у) в ^2. Таким образом, мы нашли функцию м2(х, у) в области ^2 единственным образом.
Переходим в область ^з. Аналогично, как и в области ^2, определяются неизвестные функции ©з1 (х) и ©з2(х).
В области £з из формулы решения при х ^ 0 мы получим первое соотношение между неизвестными функциями Т2 (у) и У2 (у).
Переходим в область ^1. Запишем решение уравнения (23), удовлетворяющее условиям (2), (26), (29). Дифференцируем это решение по х. Затем в полученном равенстве полагаем х ^ 0, тогда в силу условия (30), получим второе соотношение между функциями Т2 (у) и У2 (у). Исключаем из полученных двух соотношений функцию У2(у), тогда мы приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно функции т2(у). Ядро этого уравнения имеет слабую особенность, а правая часть непрерывна. Поэтому это уравнение допускает единственное решение из класса непрерывных функций. Решая это уравнение, находим функцию т2 (у) и тем самым - функции т2(у), У2(у), м1 (х,у) и м2(х,у).
Заключение
Таким образом, мы нашли единственное решение поставленной задачи 1 в случае
1 0. Аналогично исследуются остальные случаи. При решении поставленной задачи
1 применяются методы дифференциальных и интегральных уравнений.
В работах [5]-[6] рассмотрен ряд краевых задач для таких уравнений.
Библиографический список
1. Гелъфанд И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // УМН. 1959. Т. XIV. Вып. 3 (87). С. 3-19.
2. Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инженер.-физ. журн. 1961. Т. 4. № 11.
С. 99-104.
3. Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инженер.-физ. журн. 1964. Т. 7. № 1. С. 89-92.
4. Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т.6. № 6. С. 991-1001.
5. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986. 220 с.
6. Джураев Т.Д., Мамажанов М. О корректной постановке краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. №1. С. 37-50.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 07.04.2014
