О некоторых краевых задачах для одного уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа в пятиугольной области

Мамажонов М.; Мамажонов C.М.; Мамадалиева Х.Б.

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 2(13). C. 34-42. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-13-2-34-42

УДК 517.956.6

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В

ПЯТИУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

М. Мамажонов, C. М. Мамажонов, Х. Б. Мамадалиева

Кокандский государственный педагогический институт им. Мукимий, 113000, Узбекистан, г. Коканд, ул. Амира Темура, 37 E-mail: [email protected]

Настоящая статья является примером применения методов построения решения, интегральных и дифференциальных уравнений. Здесь рассматривается уравнение параболо-гиперболического типа вида ^Jx + Jy) (Lu) = 0 в пятиугольной области. Доказывается теорема об однозначной разрешимости одной из поставленных двух задач.

Ключевые слова: дифференциальные и интегральные уравнения, метод построения решения, краевые задачи, параболо-гиперболический тип, однозначная разрешимость

(с) Мамажонов М., Мамажонов C. М., Мамадалиева Х. Б., 2016

MSC 35M13

SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR AN EQUATION OF THE THIRD ORDER PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE IN A PENTAGONAL AREA

M. Mamazhonov, S. M. Mamazhonov, Kh. B. Mamadalieva

Kokand State Pedagogical Institute. Muqimiy, 113000, Uzbekistan, Kokand, st. Amir Temur, 37

E-mail: [email protected]

This article is an example of the application of methods for constructing solutions of integral and differential equations. Here we consider the equation of parabolic-hyperbolic type (jx + ¿|) (Lu) = 0 in a pentagonal area. We prove a theorem on the unique solvability of a set of two tasks.

Key words: differential and integral equations, a method of constructing solutions, boundary problems, parabolic-hyperbolic type, unique solvability

Введение

Настоящая работа посвящена изучению методики исследования некоторых краевых задач для одного класса параболо-гиперболических уравнений третьего порядка в пятиугольной области, которые используются при изучении задач математической физики. Эта работа является логическим продолжением работ [1] и [2].

Постановка задачи

В области Б плоскости хОу рассмотрим уравнение

(I+зу) 0- (1)

где

Lw =

"1хх - И1у, (х, у) е Бь и,хх - Иуу, (х, у) е Б, (г = 2, 3), ,

и (х, у) = и, (х, у), (х, у) е Б,- (г = 1, 2, 3, 4),

Б = Б1 и Б2 и Б3 и Б4 и / и /2 и /3 и /4, Б1 = {(х, у) е Я2: 0 < х < 1, 0 < у < 1} ,

Б2 = {(х, у) е Я2: -1 < у < 0, 0 < х < у + 1} , £3 = {(х, у) е Я2: -1 < х < 0, -х - 1 < у < 0}.

Б4 = {(х, у) е Я2 : -1 < х < 0, 0 < у < х + 1},/1 = {(х, у) е Я2 : у = 0, 0 < х < 1}

/2 = {(х, у) е Я2 : у = 0, -1 < х < 0} ,/3 = {(х, у) е Я2 : х = 0, -1 < у < 0} ,

/4 = {(х, у) е Я2 : х = 0, 0 < у < 1}, то есть Б1 - прямоугольник с вершинами в точках А (0;0), В (1;0), В0 (1, 1), А0 (0, 1), Б2 - треугольник с вершинами в точках А (0; 0), В (1; 0), С(0, -1), Б3 - треугольник с вершинами в точках А (0; 0), Б(-1, 0), С(0,-1), Б4 -треугольник с вершинами в точках А(0;0), Б(-1, 0), А0 (0, 1), /1 -открытый отрезок с вершинами в точках А(0;0), В(1;0), /2 - открытый отрезок с вершинами в точках А (0;0), Б(-1, 0), /3 - открытый отрезок с вершинами в точках А (0;0), С(0,-1), /4 - открытый отрезок с вершинами в точках А (0;0), А0 (0, 1).

Кроме того, области Б, (г = 2, 3, 4) запишем в следующем виде: Б, = Б,1 и Б^и АС,_1, здесь Б21 - треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(1;0), С1 (2, -2), Б22 - треугольник с вершинами в точках А(0;0), £1(0;-1), С1 (2, -2), Б31 - треугольник с вершинами в точках А (0; 0), £1 (0; -1), С2 (-2, -2), Б32 - треугольник с вершинами в точках А(0;0), £2(-1;0), С2 (-2, -1), Б41 - треугольник с вершинами в точках А (0;0), А0 (0; 1), С3 (-1,1), Б42 - треугольник с вершинами в точках А (0; 0), £2 (-1; 0), С3 (-1, 2), АС1 - открытый отрезок с вершинами в точках А (0; 0), С1 (2, -2), АС2 - открытый отрезок с вершинами в точках А(0;0), С2 (-2, -2), АС3 - открытый отрезок с вершинами в точках А(0;0), С3 (-2, 2), то ест} АС1 = {(х, у) е Я2: 0 < х < 1, у = -х}, Б21 = {(х, у) еЯ2: - 2 < у < 0, -у < х < у + 1}, Б22 = {(х, у) е Я2 : 0 < х < 2, х - 1 < у < -х}, АС2 = {(х, у) е Я2 : - 2 < х < 0, у = х}, Б31 = {(х, у) е Я2 : -2 < х < 0, -х - 1 < у < х}, Б32 = {(х, у) е Я2 : -1 < у < 0, -у - 1 < х < у}, АС3 = {(х, у) е Я2 : - 2 < х < 0, у = -х} ,Б41 = {(х, у) е Я2 : -1 < х < 0, -х < у < х + 1}, Б42 = {(х, у) е Я2: 0 < у < 1, у - 1 < х < -у}.

Для уравнения (1) ставится следующая задача: Задача 1. Найти функцию и (х, у), которая

1) непрерывна в замкнутой области О;

2) удовлетворяет уравнению (1) в области О при х = 0, у = 0;

3) удовлетворяет следующим краевым условиям:

И1 (1, у) = ф (у), 0 < у < 1, "2|Е, = Щ1 (х) , 0 < X < 1,

U3 Ie2 = ¥2 (x) , - 2 < x < 0, дщ = ¥3 (x), -1 < x < 0,

д n

D

1

u4 |A0E3 = ¥4 (x) , - 2 < x < 0,

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

4) удовлетворяет следующим непрерывным условиям склеивания на отрезках /1 и ]2:

щ (x, 0) = Щ2 (x, 0) = = т1 (x), 0 < x < 1, (7)

"1y (x, 0) = "2y (x, 0) : = v1 (x), 0 < x < 1, (8)

"1yy (0, y) = "2yy (0, y) = fr (x), 0 < x < 1, (9)

"3 (x, 0) = = щ4 (x, 0) = T2 (x), -1 < x < 0, (10)

"3y (x, 0) = = u4y (x, 0) = = v2 (x), -1 < x < 0, (11)

"3yy (x, 0) = = "4yy (x, 0) = = (x), -1 < x < 0, (12)

"2 (0, y) = = "3 (0, y) = T3 (y), -1 < У < 0, (13)

"2x (0, y) = = "3x (0, y) = = V3 (y), -1 < y < 0 (14)

"2xx (0, y) = = "3xx (0, y) = = fr3 (y), -1 < У < 0, (15)

U3 (0, y) = "4 (0, y) = = T4 (y), 0 < y < 1, (16)

"3x (0, y) = "4x (0, У) : = V4 (y), 0 < y < 1, (17)

"3xx (0, y) = "4xx (0, У) = fr (y), 0 < y < 1. (18)

Здесь щ (1, 2, 3, 4), ф1 (заданные достаточно гладкие функции, а т1, у1, д1, т2, у2, д2, т3, у3, д3, т4, у4, д4 (неизвестные пока достаточно гладкие функции, причем выполняются условия согласования т1 (1) = ф1 (0) = щ1 (1).

Задача 2. Эта задача отличается от задачи 1 лишь тем, что здесь вместо условия (4) и (6) берется условие

и3 |О = Щ2 (х), -1 < х < .0

Остальные условия остаются без изменений.

Здесь мы будем ограничимся рассмотрением только задачи 1. Теорема. Если ф1 е С3 [0, 1], щ1 е С3 [0,1], щ3 е 2 [-1, 0], щ2, щ4 е3 [-1, 0], причем выполняется условие согласования щ1 (0) = щ2 (0), то задача 1 допускает единственное решение.

Доказательство. Теорему докажем методом построения решения. Для этого уравнение (1) перепишем в виде

и1хх - и1у = «1 (х - у), (х, у) е Б1, (19)

Ихх - Иуу = «(х - у), (х, у) е Б, (, = 2, 3, 4), (20)

где введено обозначение и (х, у) = и, (х, у), (х, у) е Б, (,' = 1, 4), причем функции <«■ (х - у), , = 1, 4 неизвестные пока достаточно гладкие функции.

Если учитываем виды областей Б,, (, = 2, 3, 4), которые написаны наверху, то уравнение (20) (, = 2, 3, 4) можно переписать в виде

и,кхх - и^у = «к (х - у), (х, у) е Б,к (, = 2, 3, 4; к = 1, 2), (21)

где введены обозначения и, (х, у) = и,к (х, у), ю, (х - у) = ю,к (х - у).

Рассмотрим сначала задачу в области Б31. Запишем решение уравнения (21) (, = 3; к = 1), удовлетворяющее условиям (13),(14):

у+х х у+х-п

и31 (х, у) = Т3 (у + х) + Т3 (у - х) + 2/^3 (О Л + 1/dп I «31 (п - 5) d5 (22)

у-х 0 у-х+п

Условие (5) можно переписать в виде

/ д и31 + д и31 \

V д х + д у )

= л/2уз (x). (23)

y=— x— 1

Дифференцируя (22) по хи у и подставляя их в (23), затем дифференцируя полученное уравнение и меняя 2х - 1 на х - у, находим

Ю31 (х - у) = л/2^3 ^х - 2 - ^ , 0 < х - у < 1. (24)

Теперь переходя в уравнениях (21) (, = 2; к = 2) и (21) (, = 3; к = 1) к пределу при х ^ 0 и учитывая (13), (15), получим уравнения д3 (у) - т3' (у) = ю22 (-у) и д3 (у) -(у) = Ю31 (-у). Из этих уравнений видно, что «22(-у) = «31 (-у). В этом равенстве меняя -у на х- у, в силу (24) получим

«22 (х - у) = Ю31 (х - у) = /2^3 ^х - 2 - ^ , 0 < х - у < 1 (25)

Подставляя (22) в (4), затем дифференцируя полученное уравнение и меняя -2х-1 на у, приходим к соотношению

т3 (у) - У3 (у) = 51 (у), -1 < у < 0, (26)

где ¿1 (у) - известная функция.

Переходим в область Б22. Запишем решение уравнения (21) (, = 2; к = 2), удовлетворяющего условиям (13), (14):

у+х х у+х-п

и22 (х, у) = Т3 (у + х) + Т3 (у - х) + 2/V3 (О dt + Ц dn / «22 (п - 5) d5 (27)

у-х 0 у-х+п

Подставляя (27) в (3) и дифференцируя полученное уравнение и меняя 2х — 1 на у, получим соотношение

т3 (у) + У3 (у) = ¿2 (у), —1 < У < 0, (28)

где ¿2 (у) - известная функция. Из (26) и (28) находим

У3 (у) = 2 [¿2 (у) — ¿1 (у)], (29)

т3 (у) = 1 [¿2 (у) + ¿1 (у)].

Интегрируя последнее равенство от -1 до у, имеем

у

Т3 (у) = 1/[¿2 (0 + ¿1 (0] л + щ (0). 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, мы нашли функции «31 (х, у) и «22(х, у).

Теперь переходим в область О21. Запишем решение уравнения (21) (г = 2; к = 2), удовлетворяющего условиям (7), (8):

х+у у х+у—п

«21 (х, у) = Т1 (х + у) + Т1 (х — у) + 2/ V (0 А — 1/¿П / ©21 (<§ — п ) ^ (30)

х—у 0 х—у+п

Дифференцируя (27) и (30) по х и у и подставляя их в условие ^"«Г1 + "дТ1)

/Э«22 + д «22 \

V д х + д у ) находим

+

д у I

у=—х

и дифференцируя полученное равенство, затем меняя 2х на х—у,

у= -х

х — у — 1

«21 (x - y) = ©22 (x -y) = V2¥3 ^x 2 1)

2 ,, 0 < х — у < 1. (31)

Теперь будем пользоваться условием «21 (х, — х) = «22(х, —х). Подставляя (31) в это условие и дифференцируя полученное равенство, затем меняя 2х на х, имеем следующее соотношение:

У1 (х) = т1 (х) — «1 (х), 0 < х < 1, (32)

где а1 (х) - известная функция.

д д

Теперь, применяя оператор ——+ — к уравнению (18) и переходя в полученном

дх ду

равенстве к пределу при у ^ 0, получим следующее соотношение:

< (х) + < (х) — V* (х) — (х) = 0. (33)

Аналогично, переходя в уравнении (20) (г = 2; к = 1) к пределу при у ^ 0, получим соотношение

< (х) — Д1 (х) = ©21 (х) (34)

Исключая из (32), (33) и (34) функции у1 (х) и (х), получим уравнение

т1'' (х) - т'' (х) = 1 [а"1 (х) - а'1 (х) - «21 (х)].

Интегрируя последнее уравнение дважды от 1 до х, получим

т1 (х) - т1 (х) = а2 (х) + к1 (х - 1) + к2, (35)

где а2 (х) - известная функция.

Решая уравнение (35) при условиях т1 (1) = ф1 (0), т' (1) = ф' (0) + а1 (1), т'1 (1) = ф'' (0) + /2^3 (0), получим

х

т1 (х) = J ехр (х - ?) а2 (?) dí + к1 (ехр (х - 1) - х) + (36)

1

+к2 (ехр (х - 1) - 1) + к3 ехр (х - 1),

где к3 = ф (0), к2 = ф' (0) - ф (0) + 2«1 (1), к1 = /2^3 (0) + ф'' (0) - ф' (0) - 2 [а'1 (1) + «1 (1)].

Таким образом, мы нашли функцию и21 (х,у). Она определяется по формуле (30), а функции «21 (х - у), У1 (х) и т1 (х) - по формулам (31), (32), (36) соответственно.

Переходим в область Б32. Запишем решение уравнения (21) (, = 3; к = 2), удовлетворяющее условиям (10), (11):

х+у у х+у-п

и32 (х, у) = т2 (х + у) + т2 (х - у) + 2/ ^2 (0 Л - 1/dп / «32 (5 - п ) d 5 (37)

х-у 0 х-у+п

Дифференцируя (37) по х и у и подставляя их в условие \ д^32 + д^32 )

V д х д у ) у=_х_1 л/2^3 (х), затем дифференцируя полученное уравнение и меняя 2х + 1 на х - у, получим ( )

«32 (х - у) = х - 2 - ^ , -1 < х - у < 0 (38)

Теперь пользуясь из условия и32 (х, х) = и31 (х, х) и дифференцируя полученное уравнение и меняя 2х на х, получим

У2 (х) = -т2 (х) + в1 (х), -1 < х < 0, (39)

где в1 (х) - известная функция.

Теперь переходим в область Б42. Переходя в уравнениях (21) (, = 4; к = 2) и (21) (, = 3; к = 2) к пределу при у ^ 0, получим уравнения т2' (х) - д2 (х) = «42 (х) и т2' (х) -д2 (х) = «32 (х). Из этих уравнений видно, что «42 (х) = «32 (х), -1 < х < 0, тогда в силу (38) имеем

«42 (x — y) = /2^3 ^

), —1 < x — У < 0 (40)

Затем запишем решение уравнения (21) (, = 4; к = 2), удовлетворяющее условиям (10), (11):

хх+у ху х+ху-п

„42 (х, у)= т2 (х + у) + т2 (х - у) + 1 I У2 (,) _ 2 |dп ] «42 (5 -

х-у 0 х-у+п

Подставляя (39) в последнее равенство, имеем

х+у у х+у—п

«42 (х, у)= Т2 (х — у) + ^ (?) — 2/¿п I ©42 (^ — п) (41)

х—у 0 х—у+п

Далее, переходим в область О41. Запишем решение уравнения (21) (г = 4; к = 1), удовлетворяющее условиям (16), (17):

у+х х у+х—п

«41 (х, у) = Т4 (у + х) + Т4 (у — х) + Ц V4 (?) ¿? +1/¿п / ©41 (п — ) ^ (42)

у—х 0 у—х+п

Дифференцируя (41) и (42) по х и у и подставляя полученные равенства в условие

^ д"41 + д"41 ^ / д"42 + дW42 \

" " y=-x V дx дУ /

V дx + ду У

, затем дифференцируя полученное урав-

у=—х

нение и учитывая (40) и меняя 2х на х — у, находим

Далее, учитывая условия «41 (х, у)|у=_х = «42 (х, у)|у=_х и дифференцируя полученное уравнение и затем меняя —2х на у, получим

т4 (у) — V4 (у) = —2т2 (—у) + ¿3 (у), 0 < у < 1 (44)

где ¿3 (у) - известная функция.

Теперь подставляя (42) в (6) и дифференцируя полученное уравнение, затем меняя 2 х + 1 на у , имеем

т4 (у) + V4 (у) = ¿4 (у), 0 < у < 1 (45)

где ¿4 (у) - известная функция. Из (44) и (45) получим

V4 (у) = т2 (—у) + 2 [¿4 (у) — ¿3 (у)] , 0 < у < 1, (46)

т4 (у) = —т2 (—у) + 1 [¿4 (у) + ¿3 (у)], 0 < у < 1. (47)

Интегрируя (47) с учетом условия Т4 (0) = Т2 (0), находим

у

Т4(у) = Т2(—у) + 2/[¿4(?) + ¿3 (?)]¿?, 0 <у < 1 (48)

0

Теперь переходим в область О1. Переходя в уравнении (19) к пределу при у ^ 0, затем в полученном уравнении меняя х на х— у, получим

Переходя в уравнениях (21) (г = 4; к = 1) и (19) к пределу при х ^ 0, получим уравнения д4(у) — т4(у) = «41 (—у) и д4(у) — т4 (у) = «п (-у). Исключая из этих уравнений функцию Д4(у), находим

«11 (—у) = < (у) — т4 (у) + «41 (—у).

В этом равенстве меняя —у на х — у, получим следующее соотношение:

«11 (х — у) = < (у — х) — т4 (у — х) + «41 (х — у). (50)

Дифференцируя (47), находим

1

< (у) = < (—у) + 2 '4 (у) + 5'з (—у) , 0 < у < 1. Подставляя (47) и (51) в (50), получим

«11 (х — у) = Т2 (х — у) + т2 (х — у) + 71 (х — у)

(51)

(52)

где у1 (х — у) - известная функция.

Теперь запишем решение уравнения (19), удовлетворяющее условиям (2), (7), (16):

"1 (x, y) =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

у У 1

У Т4 (n) G§ (x, y; 0, n) dn - J (n) G§ (x, y; 1, n) dn + J Ti (§) G (x, y; §, 0) d§ -

0

у П у 1

— У dn ^ «11 (^ — п) G (х, у; , п) d— ^ dп^ «12 (<§ — п) О (х, у; , п) ^

0 0 0 п где функции

(53)

1

G (x, y; §, n) = Nfo y; §, n) / Vy-n

E ^exp

' (x - § - 2n)2" T exp [ (x + § -2n)2

_ 4 (y - n) _ _ 4 (y n)

являются функциями Грина первой и второй краевых задач для уравнения (17). Дифференцируя (53) по х и полагая в полученном равенстве х ^ 0, имеем

y

V4(y) = -'4(n)N(0,y; 0, n)dn +

y i

1=jVi (n) N (0, y; 1, n) d n + T'i (§) N (0, y; §, 0) d § -

y y n

2^/«ii (-n) N (0, y; 0, n) dn - 2^7^/dn |«' 11 (§ - n) N (0, y; §, n) d§ +

2^

0

y n

«' 11 (§ -

00 y 1

1П J «12 (1 - n) N (0, y; 1, n) dn - 27^/dnj «'12 (§ - n) N (0, y; §, n) d§.

0n

n= —X

Дифференцируя это равенство и учитывая (51), (52), после некоторых вычислений имеем

у

тГ (—у) + / К (у, п) т//;2 (—п) ¿п = В (у), (54)

0

где К (у, п), В (у) - известные функии.

Уравнение (54) является уравнением типа Вольтерра второго рода. Решая его, находим функцию т2// (—у), а следовательно и все неизвестные функции Т2 (—у), V2 (—у), т4(у), (у), ©11 (у), «32(х,у), «41 (х,у), «42(х,у), «1 (х,у) единственным образом. □

Заключение

В работах [3],[4] был рассмотрен ряд краевых задач для более общего уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа в области с одной линией изменения типа.

Список литературы

[1] Мамажонов М., Шерматова Х. М., Мукадасов Х., "Постановка и метод решения некоторых краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2014, №1(8), 7-13.

[2] М. Мамажонов, Х. Б. Мамадалиева, "Постановка и изучение некоторых краевых задач для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа вида дх= 0 в пятиугольной области", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2016, №1(12), 32-40.

[3] Джураев Т.Д., Мамажанов М., "О корректной постановке краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа", Дифференциальные уравнения, 19:1 (1983), 37-50.

[4] Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М., Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа, Фан, Ташкент, 1986, 220 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 05.03.16

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мамажонов М., Мамажонов C. М., Мамадалиева Х. Б.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Мамажонов М., Мамажонов C. М., Мамадалиева Х. Б.

SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR AN EQUATION OF THE THIRD ORDER PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE IN A PENTAGONAL AREA

Текст научной работы на тему «О некоторых краевых задачах для одного уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа в пятиугольной области»