Обратные коэффициентные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 35М10

ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

К.Б. Сабитов

Институт прикладных исследований Республики Башкортостан, ул. Одесская, 68, г. Стерлитамак, 453103, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Для одного класса уравнений смешанного тина в прямоугольной области изучена начально-граничная задача с краевыми условиями третьих) рода. Установлен критерий единственности. Решение построено в виде суммы ряда но системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При обосновании сходимости возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость ряда. При условии, когда отношение сторон прямоугольника, являющегося областью гиперболичности, является рациональным числом, показана сходимость ряда в классе регулярных решений. После чего приведены постановки обратных задач для данного уравнения смешанного типа с неизвестными коэффициентами при неизвестной функции и граничных условиях. Опираясь на теорию обратных задач Штурма-Лиувилля доказаны теоремы единственности поставленных обратных задач и для некоторых из них приведены необходимые и достаточные условия их разрешимости.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, прямая и обратные задачи, единственность , существование.

§1. Прямая начально-граничная задача

1.1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

iU - ихх + q(x)u = 0, t> 0, (!)

\utt - Uxx + q(x)u = 0, t < 0,

в прямоугольной области D = {(x,t)| 0 < x < п, —a < t < в} гДе а и в _ заданные положительные числа. Потенциал (или коэффициент теплообмена) q(x) - определенная на [0, п] достаточно гладкая функция, причем q(x) > 0.

В начале рассмотрим случай, когда потенциал (или коэффициент теплообмена) q(x) известен, т.е. изучим следующую прямую начально-граничную задачу.

Начально-граничная задача. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую следующим условиям:

u(x,t) в C\D) П Cl{D+) П C2(D_); (2)

Lu(x,t) = 0, (x, t) G D+ U D-; (3)

Ux(0, t) — hu(0,t) = 0, Ux(n,t) + Hu(n, t) = 0, —a < t < в; (4)

u(x, —a) = <^(x), 0 < x < п, (5)

где к и Н - заданные положительные постоянные, <^(ж) - заданная достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условиям согласования с граничными условиями (4):

Отметим, что предложенная начально-граничная задача (2)-(5) впервые изучена в нашей работе [1] при д(ж) = Ь2 =со^, и(0,Ь) = и(п,Ь) = 0 —а < Ь < в, где установлен критерий единственности и решение задачи построено в виде суммы ряда Фурье.

На необходимость изучения задач с условиями сопряжения дня волнового уравнения в одной части области и уравнения диффузии в остальной части области было указано Гельфапдом И.М. |2|, Стручипа Г.М. |3|, Уфляпд Я.С. |4|, Золипа Л.А. |5| показали важные приложения этих задач в различных областях. Затем краевые задачи дня уравнений смешанного параболо-гинерболического тина изучались многими авторами |6, 7| (см. приведенную там библиографию). В последние годы значительные результаты получены в работах Капустина Н.Ю. |8|, В этих работах краевые задачи изучались в смешанной области, у которой гиперболическая часть представляет характеристический треугольник. Теоремы единственности доказывались па основании принципа максимума или метода интегральных тождеств, а существование - методом интегральных уравнений или априорных оценок.

В этом параграфе единственность решения задачи (2)-(5) доказана на основании свойства полноты соответствующей одномерной задачи па собственные значения. Ранее такой подход применялся в работах Смолицкого Х.Л. |9|, Ильина В.А. 110, 111 при доказательство единственности решения началыю-граничных (смешанных) задач дня уравнений гиперболического и параболического типов. Существование решения задачи (2)-(5) построено в виде суммы ряда но системе собственных функций. При обосновании сходимости возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость ряда. При условии, когда число а/п является рациональным, получена оценка об отделенное™ от нуля малого знаменателя. Эта оценка при определенных условиях на функции д(ж) и <^(ж) позволяет доказать сходимость построенного ряда в пространстве функций (2).

1.2. Единственность решения задачи. В уравнении (1), разделяя переменные и(ж,Ь) = X(ж)Т(¿), относительно X(ж) получим спектральную задачу:

Как известно [12, §2], что при д(ж) € С:[0,п] задача (7) и (8) имеет счетное множество положительных собственных значений Ага, п € N0 = N и {0}, все они являются простыми, а соответствующая система собственных функций {Хга(ж)} = {X(ж, Ага)}+=0 ортогональна и полна в пространстве Ь2[0,п], и поэтому в нем образует ортогональный

п

р'(0) — М0) = 0, р'(п) + Нр(п) = 0.

(6)

Х''(х) + (А — д(ж))Х(ж) = 0, 0 < ж < п,

(7)

X'(0) — кХ(0) = 0, Х'(п) + НХ(п) = 0.

(8)

XJx) = cos пх + ^^ + (10)

n \ n2

ап = / clx = - + О [ —

п ~ /1

0

п / x

ш = h + Н + - J q(íг) <ir , £ra(;r) = sin nx í--- + h + - J q(r) dr

00 числа (Ara,ara}ra>0 называются спектральными данными задачи (7) и (8).

Справедлива также теорема В.А. Стеклова о разложении 113, с. 173 |: если функция f (x) £ C 1[0,п] и удовлетворяет граничным условиям (6), то справедливо разложение в

1 п

f(x) = y*JnXn(x), fn =— / f(x)Xn(x)dx,

t¿ a» I

причем данный ряд сходится абсолютно и равномерно на [0, п], и справедливо равенство замкнутости системы Xn(x):

i р

= /2(x) n=° °

Пусть существует решение u(x,t) задачи (2)-(5). Рассмотрим функции

п

*.(«) = / ЗДЧМ) n € N°. (11)

0

Дифференцирую равенство (11) по ¿при t > 0 один раз, при t < 0 два раза, затем учитывая уравнение (1) и интегрирую по частям два раза интеграла, содержащего производную uxx, с учетом граничных условий (4) и (8), получим

<(t) + AnUn(t) = 0, t> 0, (12)

u"n(t) + AnUn(t) = 0, t < 0. (13)

Дифференциальные уравнения (12) и (13) имеют соответственно общие решения

un(t) = Н-4 ¿ > (14)

lan cos pnt + bn sinpnt, t< 0,

где an, bn и cn - произвольные постоянные.В силу (2) для функций (14) справедливы условия сопряжения

Un(0 + 0) = Un(0 - 0), <(0 + 0)= un(0 - 0). (15)

п

Удовлетворяя функции (14) условиям (15), получим ап = сп, Ьп = —спрп, Тогда функции (14) примут вид

!с р-р2пг г > 0

- г . г) ;>0' (16)

сДсой РпЬ — Рп йт РПЬ) , г < 0.

сп

формулой (11):

п

ип(—а) = р(х)Хп(х) а!х = ^п' (17)

Тогда удовлетворяя (16) к граничному условию (17), найдем

n

¿«(n)

при условии, что при всех n G No

^«(n) = cos pna + pn sin pna = 0. (19)

Подставляя (18) в (16) найдем окончательный вид функций

(18)

м() = \ * >о. (20)

1 (n) [cos Pnt - Pn Sin Pnt], t < 0.

Докажем теорему единственности решения задачи (2)-(5). Пусть <р(я) = 0 и выполнены условия (19) при всех n G N0, Тогда pn = 0 и из формул (20) и (11) следует,

п

/ U(X-t)Xn(x) = »■ n = »■ 1- 2-- ■

o

Отсюда в силу полноты системы {Xn(x)} в пространстве L2[0, п] следует, что u(x,t) = 0 почти всюду на [0,7г] при любом t G [q-, ¡3]. Поскольку u(x,t) непрерывна на D, то и(х, t) = 0 в D.

Пусть при некоторых а и n = p G N0 нарушено условие (19), т.е. ¿a(p) = 0. Тогда однородная задача (2)-(5) (где р(ж) = 0) имеет нетривиальное решение

up(x,t)= И'ВД. 0 (21)

I (cosppt — ррsinppí)Xp(x), t< 0.

Возникает вопрос о существовании нулей уравнения ¿a(p) = 0. Для этого его представим в виде

$а{р) = \J 1 + Рр SÍll(ppQ' + 7р) = 0, (22)

ГД° 1р = агсвт 1/Отсюда видно, что уравнение (22) имеет счетное множество нулей относительно а:

ке (23)

Рр Рр

Таким образом, нами установлен критерий единственности.

Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(5), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (19) при всех п € N0.

1.3. Существование решения задачи. Поскольку а - любое положительно число, то выражение ¿а(п) при больших п может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема "малых знаменателей"|1|, Поэтому дня обоснования существования решения задачи (2)-(5) надо показать существование чисел а, при которых выражение ¿а(п) при п

Лемма 1. Если а = а/п является рациональным числом, то существуют положительные постоянные С0 и п0 (п0 € М0), такие, что при п > п0 справедлива оценка

Мп)|> С > 0. (24)

□ На основании представлений (9) и (22) при больших п имеем |£«(п)! > п |э1п + 7„)| = п

_ au

sm 7ma H---h jn

n

(25)

Пусть а = р € N. Тогда выражение (25) примет вид

(ри

15a(n)\ > n sin (i--h Jn

n

Отсюда на основании неравенства sin x > 2x/n, 0 < x < п/2, при больших n, получим

2p(h + H )

\Sa(n)\ > — (—+7n) > п V n /

так как nyra — 1 при n —

п

рр

Пусть а = -. £ N. УРА) = 1- ~ ^ N. Разделим пр па д с остатком: пр = зд + г.

д д

где г € 0 < г < д. Если г = 0 т0 этот случай сводится к предыдущему, когда а -натуральное число. Пусть г > 0. Тогда 1 < п < д — 1, д > 2, и из (25) будем иметь

|¿a(n)| > n

nr pu

sm (--1---h 7,-

q n

(26)

Поскольку последовательность уга - бесконечно малая, то существует конечный предел

Иш

п

( nr pu

81П

+ — + %

\ q qn

nr nr

= sm — = sm —

q q

п

q

(27)

Тогда из соотношений (26) и (27) следует, что

\5а(п)\ > /г sin — > sin — > 0.

Тем самым справедливость оценки (24) установлена. ■

Отметим, что если 5 является иррациональным числом, то на основании множества

(23) можно подобрать такие числа, которые являются нулями ¿a(n) = 0.

Если теперь для чисел 5 го Леммы 1 выполнены условия (19) при n £ [0, no] и оценка

(24) при n > n0, то решение задачи (2)-(5) можно определить как сумму ряда

u(x,t) = J] ura(t)Xra(x), (28)

n=0

где ura(t) определяются по формулам (20), a Xra(x) - система собственных функций задачи (7), (8).

n > n0 n

оценки

K(t)| < Cin|<pra|, K(t)| < C2n2|^ra|, -а < t < в,

K(t)| < Can3|^ra|, -а < t < 0 ,

где Ci - здесь и далее положительные постоянные, независящие от x, t, <^(x) и n.

Доказательство этих оценок, в силу Леммы 1. непосредственно следует из формулы (20).

Ряд (28) и его производные первого порядка в замкнутой области D мажорируются числовым рядом

C4£ n2|^ra|. (30)

n=0

В силу теоремы Стеклова ряд

(x) . (30)

n=0

сходится абсолютно и равномерно на [0,п], тогда <p(x) £ C3[0,n], q(x) £ C 1[0,п] и

р(0) = <р(п) = 0, </'(0) - V'(0) = 0, </'(п) + Яр''(п) = 0 . (31)

Действительно, в силу условий (6)-(8) имеем

п п

= J ^(x)AraXra(x) dx = J <^(x)[q(x)Xn(x) - X"(x)] dx = 00

п п

= У tp(x)q(x)Xra(x) dx — J^ ^(x)X"(x) dx = 00

= J [^(х)д(х) - р''(х)]Х„(х) <^х = J ^(х)Хга(х) <^х = . 0 0

Поскольку функция ^(х) € С:[0,п] и в силу (31) удовлетворяет условиям (6), то на основании теоремы Стеклова ряд (30) сходится абсолютно и равномерно на [0,п],

Отсюда следует сходимость ряда (29), так как из сходимости ряда Ага-0П (см.[13, с.

га=1

184|) получим, что

I I

\Фп\ = + оо. (32)

„=0

Тогда из (31) и (32) найдем оценку:

2I I \ I I I /I 1/1 2

П \(рп\ < Лп 11рп | = 1фп\ = —= <-( — +£.

V Ап 2 \ Ап

п / >

из которой вытекает уже сходимость ряда (29).

Ряды из производных второго порядка по х и £ соответственно в замкнутых областях и мажорируются рядом

С5 X] п3Ы. (33)

га=гао+1

Дня обоснования сходимости ряда (33) рассмотрим равенство

п п

А„^2) = / </(х)А„Х„(х) ¿х = //(х)[д(х)Хга(х) - X'(х)] ¿х =

п

(л^" с

= у </ (х)д(х)Хп(х) ^х -у </ (х)ХП (х) ^х. (34)

00

Последний интеграл интегрируя два раза но частям, с учетом условий (8) и (31), будем иметь

п п

У р''(х)ХП'(х) ^х (х)Хп(х) ^х. (35)

00

Тогда из равенств (34) и (35), получим

п п

А„^П2) = У [?(х)р''(х) - (х)]Хп(х) а!х = у #(х)Х„(х) а!х. 00

Если функция д(ж) = д(ж)^''(ж) — (ж) € С 1[0,п] и удовлетворяет условиям (6), т.е. когда <р(ж) € С5[0,п] и ^''(о) = </(п) = 0 ^(5)(0) — М4)(0) = 0 <р(5)(п) + Я^(4)(п) = 0,

то но теореме Стеклова ряд

]>]Л„^П2)Хга(х) (36)

п=0

сходится абсолютно и равномерно на [0,п], Из равенства (31) следует, что

Ли^и = ¡п — , (37)

п

где ¡и = / д(ж)^(ж)Хп(ж)^ж, X] ¡пХп(ж) - сходится абсолютно и равномерно на [0,п] к

0 и=1

функции ¡(ж) = д(ж)^(ж), так как ¡(ж) € С^0,п] и ¡(0) = ¡(п) = 0.

Подставляя (37) в ряд (36), будем иметь

£(>пД — ЛП^и)Хи(ж). (38)

и=0

Если функция ¡(ж) € С3[0, п] и удовлетворяет условиям (6), т.е. когда д(ж) € С3[0, п], д'(0) = д'(п) = 0 и функция <р(ж) удовлетворяет условиям (6), то аналогично обоснованию сходимости ряда (30) получим, что ряд

]>]Лп№(ж) (39)

и=0

сходится абсолютно и равномерно на [0,п], Тогда из рядов (38) и (39) следует абсолютная и равномерная сходимость ряда

£ЛП^Хп(ж),

и=0

из которого вытекает сходимость ряда (33).

Если для чисел а, указанных в лемме 1, при некоторых п = п1; п2,..., пт, оде 0 < /?1 < П'2 < ... < пт < п0, щ, г = 1, т, и т - заданные неотрицательные целые числа, выполняется равенство Да(п) = 0, то для разрешимости задачи (2) - (5) необходимо и достаточно, чтобы

п

<Рп = J ^(ж)Хп(ж)^ж = 0, п = П1, П2, ..., Пт (40)

0

В этом случае решение задачи (2) - (5) определяется в виде суммы ряда

П1-1 Пт — 1 \

(ж,*) = (£+... + + ^ Мп(^)Хп(ж) + ^ Дрмр(ж,^), (41)

п=0 п=пт-1 + 1 п=пт + 1/ р

где в последней сумме р принимает значения п1; п2,..., пт, - произвольные постоянные, функции ир(х,£) определяются по формуле (21), если в конечных суммах в правой части (41) верхний предо.;: меньше нижнего, то их следует считать нулями.

Таким образом, нами доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть д(х) € С3[0,п],р(х) € С5[0,п], (0) = <^(п) = 0 3 = 1, 2, 3; р(5)(0) - кр(4)(0) = 0 р(5)(п) + Ир(4)(п) = 0 и выполнена оценка (24) при п > п0. Тогда если 6а(п) ф 0 при всех п = 0, По, то существует едипствешюе решение задачи (2)-(5), и оно определяется рядом (28); если ¿а(п) = 0 при пекоторых п = п1;п2, ...,пт < п0, то задача (2)-(5) разрешима только тогда, когда выполнены условия (40) и решение определяется рядом (41).

§2. Обратные задачи

Отметим, что различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных, т.е. для параболических, гиперболических и эллиптических уравнений, изучены достаточно полно; усилиями многих математиков создана теория обратных задач (см. монографии |14-20| и приведенную там обширную библиографию). А также отметим работы |21, 221, посвященные вопросам разрешимости коэффициентных обратных задач для уравнений параболического тина.

Пусть теперь в постановке задачи (2)-(5) неизвестны функции и(х,£), д(х) и постоянные к и И, В связи с этим надо ввести дополнительные условия. Эти условия могут быть заданы но разному. На основании теории обратной задачи Штурма-Лиувилля |23, 12, 24| будем предполагать выполнение одного из следующих условий (АХ г =1,4:

- известны спектральные данные (Ага,ага}га>0 задачи (7), (8) с неизвестным потенциалом из класса С3[0,п] и неизвестными коэффициентами к и И (умовне (А));

- известны собственные значения Ап и рга соответственно спектральных задач (7), (8) и (7),

X'(0) - ^Х(0) = 0 , X'(п) - ИХ(п) = 0 , (42)

здесь ^ и И - действительные числа, к1 = к (условие (А));

х=п

и(п,£) = , -а < £ < в, (А)

или на стороне х = 0:

и(0,£) = , -а < £ < в, (АО

где и ^0(£) - заданные достаточно гладкие функции.

На основании условий (Д1^(Д4) можно поставить следующие обратные задачи для уравнения (1) в области Д

Первая обратная задача. Найти функцию и(х,£) и коэффициенты д(х), к и И, удовлетворяющие условиям (2)-(5) и (А)-

Вторая обратная задача. Найти функцию и(х, £) и коэффициенты д(х), к и И, удовлетворяющие условиям (2)-(5) и (А)-

Третья обратная задача. Найти функции u(x,t), q(x) и число h, удовлетворяющие условиям (2), (3), (5), (A3) и

Ux(0,t) - hu(0,t) = 0, Ux(n,t)= p(t), -а < t < в, (43)

где p(t) - заданная достаточно гладкая функция.

Четвертая обратная задача. Найти функции u(x, t) и q(x), удовлетворяющие условиям (2), (3), (5), (43) и (A4), здесь h - известная постоянная.

Отметим, что постановка задач 3 и 4 исходит из работы |18, с. 159-163|, где дня уравнения теплопроводности рассмотрены аналоги этих задач при h = H = 0 и доказаны соответствующие теоремы единственности.

Приведем дня удобства дальнейшего изложения точные формулировки теорем единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля |23, 12, 25|,

Теорема 3. Пусть q(x) и q(x) непрерывные на [0, п] функции, а наборы чисел {An,an}n>0 и {Ara,5ra}ra>o - спектральные данные задачи (7), (8) с соответствующими коэффициентами q(x), h, H и H(x), h, H. Тогда если An = Xn и an = an при всex n > 0, то q(x) = H(x) na [0, п], h = h ж H = H.

Отметим, что в случае симметричности функции q(x) относительно точки x = п/2, т.е. когда q(n — x) = q(x), и H = h для определения потенциала q(x) и коэффициента h достаточно задать только спектр {An}n>0,

Теорема 4. Если q(x) = q(n — x), A(x) = А(п — x), H = h, H = hiAn = An n > 0, ro q(x) = H(x) na [0, п] n h = h.

Теорема 5. Лусгь q(x) и A(x) - непрерывные па [0,п] функции, а {A„} и {An} -собственные значения задачи (7) и (8) с соответствующими коэффициентами q(x), h, H я A(x), h, H; {pn}n>0 и {An}n>0 ^ собственные значения задачи (7), (42) с соответствующими коэффициентами q(x), h1; H я A(x) h1; H. Тогда всех n > 0, го q(x) = H(x) па [0,п], h = h, H = H.

Теорема 6. Пусть u(x,t), q(x), h, H и H(x,t), H(x), h, H - решения первой обратной задачи и выполнены условия (19) при всех n £ N0. Тогда q(x) = H(x) на [0,п], h = h, Н = Н и u(x,t) = u(x,t) на D.

□ В силу теоремы 3 по спектральным данным {An, an}n>0 однозначно определяются коэффициенты задачи (7) и (8), т.е. q(x) = H(x), h = h и H = H. Тогда из теоремы 1 при условии (19) следует, что u,(x,t) = u(x,t) в D. U

Теорема 7. Пусть u(x,t), q(x), h, H я H(x,t) h(x), h H - решения второй обратной задачи и выполнены условия (19) при всех n £ N0. Тогда q(x) = H(x) па. [0,п], h = h,

Н = Н и u(x, t) = u(x, t) в D.

□

теорем 5 и 1. ■

Теорема 8. Пусть ui(x,t), qi(x) п u2(x,t), q2(x), h2 - решения третьей обратной задачи и выполнены условия (19) при всех n £ N0. Тогда q1(x) = q2(x) па. [0, п] п h1 = h2, Ui(rr,i) = U2(x,t) в D.

□ Пусть и(х,£), д(х) и к - решение третьей обратной задачи. Следуя [18, с. 160] введем функцию

в

г>п(х,р) = У в-р^п(£)м(х, £) ^ , (44)

—а

где р - комплексный параметр, £п(£) € а, в), 0 < £п(£) < 1, £п(£) = 0 при £ €

[-а, 1/(2п)] и [в - 1/2, в] и £п(£) = 1 при £ € [1/п, в - 1/п]. В силу определения функции £п(£) интеграл (44) примет вид

в

.„(х,р) = / е^пМЧМ) Л, 0

который является решением уравнения

в

гП(х,р) = (д(х) + р) гп(х,р) - J е-в*м(х, ¿)С(£) ^.

0

Переходя здесь к пределу при п — получим

г»''(х,р) - (д(х) + р)г>(х,р) = 0, 0 < х < п , (45)

V(0,р) - кг>(0,р) = 0 , (46)

в

V(п,р) ^ У е-р^(£) ^ = V(р). (47)

0

Рассмотрим функцию ад(х,р), которая является решением задачи Коши для уравнения (45) с начальными условиями

ад(0,р) = 1, ад'(0,р) = к. (48)

Функции у(х,р) и ад(х,р) являются решениями уравнения (45) и определитель Вронского в точке х = 0:

Ж [ад, V]

ад V ад' V '

ад(0,р)^'(0,р) - г>(0,р)ад'(0,р) = V(0,р) - кг>(0,р) = 0

в силу граничного условия (46). Тогда они линейно зависимы на [0, п], поэтому у(х,р) с(р)ад(х,р). Используя граничное условие (47), найдем

с(р) -

ад ' (п,р)

V(р)ад(х,р) . „ .

г' = ,, \ • 49

ад ' (п,р)

Пусть д(ж), мДж, *) и Н^, г = 1,2, - решения обратной задачи (2), (3), (5), (43), в

(А3); ^(ж,р) = / е^мДж, *) а!*, и>Дж,*) - решения задачи Коши для уравнения (45) с 0

д(ж) = ^¿(ж) и начальными условиями (48) с Н = Н^, № дополнительного условия (А3) следует, что у1(п,р) = у2(п,р). Тогда в силу формулы (49) имеем

и4(тг,р) «4(тг,р) '

Поскольку функции и>Дж,р) являются решениями уравнения (45) с д(ж) = д(ж) и начальными условиями (48) с Н = Н^, то и>Дж,р) и и^(ж,р) при фиксироваином ж как функции комплексной переменной р являются аналитическими во всей комплексной плоскости. Тогда отношения

ич(х,р) ^¿(ж,р)

также являются аналитическими па комплексной плоскости, за исключением пуней и^(ж,р), являющихся особыми точками. Из равенства (50) следует, что нули и особые точки функций

и>1(п,р) ^2(п,р) - и -

Ч(п,р) ^2(п,р)

совпадают. Покажем, что нули функций ^(^р) и и>1(п,р) не совпадают. Допустим, что р = р0

и>1(п,ро) = ^1(п,ро) = 0 . (51)

По построению функция и^(ж,р0) является решением уравнен ия (45) с д(ж) = д1(ж) и удовлетворяет нулевым начальным условиям (51). Тогда ад1(ж,р0) = 0 на [0,п], что противоречит тому, что ад1(0,р0) = 1. Таким образом, нули функций ^(^р) и и>1(п,р) не совпадают. Аналогично не совпадают нули функций и>2(п,р) и и>2(п,р), Тогда из (50) следует, что все нули функций ^(^р) и и>2(п,р) совпадают, также совпадают все нули функций и4(п,р) и Ц(п,р).

Пусть р = р0 является нулем функции и>Дп,р), г = 1, 2. Покажем, что Л0 = —р0 являются собственным значением задачи Штурма-Лиувилля

—у'' + ф(ж)у = Лгу, (52)

у'(0) — Нгу(0) = 0 , у(п) = 0 . (53)

В самом деле, поскольку функция и>Дж,р) является решением уравнения (45) с д(ж) = ^(ж) и р = р0, то функция уДж) = и>Дж,р0) является решением уравнения (52) с Л = Л0 = — р0- Первое граничное условие го (53) следует из (48), а второе из того, что р0 нуль функции и>г(п,р). Это решение ненулевое, так как в силу (48) уД0) = и>Д0,р0) = 1. Следовательно, Л0 являются собственным значением задачи (52), (53), т.е. любой нуль функции и>Дп,р), взятый со знаком минус, является собственным значением этой задачи. Справедливо и обратное утверждение. Если Л0 являются собственным значением, а Уг(ж) - соответствующей собственной функцией задачи (52), (53), то р0 = —Л0 является

нулем функции и>Дп,р), Таким образом, существует биекция между нулями функции и>Дп,р) собственными значениями задачи (52), (53) с д(х) = ^(х) и к = к^, Аналогично, можно показать, что существует биекция между нулями функции и^(п,р) и собственными значениями сиоктралыюй задачи дня уравнения (52) с граничными условиями

у'(0) - кгу(0) = 0,у'(п) = 0 . (54)

Пусть А!, п = 0,1, 2,.... собственные значения задачи (52), (53), аи!,- собственные значения задачи (52), (54). Из падения нулей функций ^(п/р) нХ(п,р) следует равенство А^ = А^ при всех п € М0, а го совпадения нулей функций и>1(п,р) и и>2(п,р) следует, что и! = и! п € М0. Следовательно, спектральные задачи (52), (53) и (52), (54) с (х), ^ и (х), к2 имеют одинаковые собственные значения. Тогда в силу теоремы 5 получим, что (х) = д2(х) при х € [0,п] и к1 = к2, При д1(х) = д2(х) = д(х), к1 = к2 = к и функции и(х,£), г =1, 2, являются решениями задачи (2), (3), (5) и (43). Их разность и(х,£) = и1(х,£) - и2(х,£) является решением однородной задачи (2), (3), (5), (42) с и(£) = 0 и р(х) = 0. Теперь, применяя теорему 1 при условии (19), получим, что и\(х,1) = и>2(х, ¿) в Л. Ж

Теорема 9. Пусть и(х,£) и %(х), г = 1, 2, решения четвертой обратной задачи с 5г(х) = ф(п - х) я к = И = 0, я выполнены условия (19) яри всех п € М0. Тогда

д1(х) = д-2(х) па [0,7т] и щ(х,1) = щ(х,1) в Б. □

ция (44) и для предельной функции у(х,р) получаем задачу (45)-(47). Точно также определяется функция и>(х,р) и устанавливается справедливость равенства (49). Из условия переопределения (А4) имеем, что у1(0,р) = у2(0,р). Тогда из представления (49) с учетом условия ад1(0,р) = и>2(0,р) = 1, получим

Ч(п,р) ^2(п,р)'

где и>Дх,р) - решения задачи Коши для уравнения (45) с д(х) = ф(х), г = 1,2, и начальными условиями (48). Из равенства (55) аналогично доказательству теоремы 8 получим совпадение собственных значений: и! = п € М0, задачи (52), (54) с д(х) = ?г(х), г = 1, 2. Тогда на основании теоремы 4 о единственности решения обратной задачи с потенциалом, симметричным относительно точки п/2, получим, что ^1(х) = д2(х) на [0,7г]. После чего аналогично Теореме 8 имеем, что щ(х,£) = щ(х,1) в Б. ■

Отметим, что установленные выше теоремы 6-9 являются утверждениями о единственности решения рассматриваемых нами обратных задач. Теперь остановимся па вопросах существования решения поставленных обратных задач 1 и 2. Дня этого снова обратимся к теории обратной задачи дня оператора Штурма-Лиувилля, Приведем следующую теорему |22, с. 451, которая позволяет строить алгоритм решения обратной задачи (7) и (8) с неизвестными коэффициентами д(х), кИ,ив ней приведены необходимые и достаточные условия ее разрешимости по спектральным данным (Ага,ага}га>0.

Теорема 10. Для того вещественные числа {Ап, ап}п>0 были спектральными данными обратной задачи (7) и (8) с о(х) € Ь2[0,п], необходимо и достаточно, чтобы вы-

иолиялись равенства

Рп = \/К = п + — + — , Хп ф \т при п ф т..

nn n

п I I ^ п

Q'/г = - + Н--, а « > 0,

2 n

где

п п

хп = — / q(t) cos 2nt. dt + О I — ] , =--/ (7т — í)g(í) sin '2nt dt. + O i —

2n j \nj nj \n

0 0

Кроме того, q(x) £ С3[0,7г] тогда и только тогда, когда для y/X¡ и ап справедливы представления

4

П + У^ "7 + -J, Wi = —, w2p = о, р> 1, Лт при п ф т; (56) ' n* n4 п

i=1

4

= ^ + + ^ > <4р+1 = 0' Р>0, а„>0, (57)

2 П П

г=1

где шп, ш1п € 12, при этом функция Н(ж) и числа Н, Н строятся по следующему алгоритму:

1. По заданным числам {Лп,ап}п>0 строится функция

F (x,t) = £

cos pnx cos pn t cos nx cos nt

n \

n=0 4 n

здесь аП = п/2 при n > 0 и аП = п при n = 0. 2. Находим функцию G(x,t) из интегрального уравнения Гельфанда-Левитана

x

G(x, t) + F(x, t) + G(x, s)F(s, t) ds = 0 , 0 < t < x ,

которое имеет единственное решение в L2 [0, x] при любом фиксировалпом x £ (0, п].

3. Вычисляем q(x), h и H но формулам

п

d 1 f

q(x) = 2—G(x,x), h = G( 0,0), H = w-h~- q(t)dt. dx 2

Таким образом, если для чисел у/ХЦ и ап выполнены условия (56) и (57), то но указанному алгоритму восстанавливаются коэффициенты д(х), к и И, при этом д(х) € С3[0, п], Тогда на основании теоремы 2 находим функцию м(х,£).

Теперь приведем условия разрешимости второй обратной задачи но двум известным спектрам Ап и ип соответственно задач (7), (8) и (7), (42) [12, гл. VI, § 11], [23].

Теорема 11. Для того чтобы вещественные числа. Ап н п > 0, были соответственно спектрами задач (7) (8) и (7), (42) с д(х) € С3[0,п], необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства (56) и

4

= П + U}[ = — , с4р = 0, р>1, (58)

' n% n4 П 2

i=1

п

где ш' = ki + Н + 1 J g(;r) dx,

о

Ап < ип < Ап+1, п > 0 . (59)

При этом функция о(х) и числа к и И строятся по следующему алгоритму: 1) Ап ип

к1 - к Тт Ак -

ип Ап ^—0 ип

к—п

2) то числам An н pn то указанному в теореме 10 алгоритму строится ^Я.

Отметим, что в теореме 11 самым сложным является вычисление an по формуле (60). В работах [12, гл. V, §11], [25] получены асимптотические формулы для чисел an в виде форму:: (57).

В заключение отметим, что вопросы о разрешимости обратных задач 3 и 4 остаются открытыми.

Литература

1. Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоух'ольной области /7 Мат. заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 273-279.

2. Гельфапд ILM. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений /7 УМН. 1959. Т. 14. № 3. С. 3 19.

3. Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инженерно-физический журнал. 1961'. Т. 4. № 11. С. 99 104.

4. Уфлянд Я.С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях /7 Инженерно-физический журнал. 1966. Т. 7. № 1. С. 89 92.

5. Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения парабол о-гиперболического типа /7 ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6. № 6. С. 991 1001.

6. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов А. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболичеекого типа. Ташкент: Изд-во "Фан". 1986. 220 с.

7. Сабитов К.Б. К теории уравнений парабол о-гиперболического типа со спектральным параметром /7 Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 1. С. 117 126.

8. Капустин Н.Ю. Задачи для парабол о-гиперболических уравнений и соответствующие спектральные вопросы с параметром в граничных точках. Автореферат ... доктора ф.-м.п. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 2012. 29 с.

9. Смолнцкий Х.Л. Предельная задача для волнового уравнения. Диее. ... доктора ф.-м.н. Л.: Лснингр. Краенознам. воен.-воздуш. инж. акад. 1950. 138 с.

10. Ильин В.А. Единственность и принадлежность W^ классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения /7 Мат. заметки. 1975. Т. 17. № 1. С. 91 101.

11. Ильин В.А. Теорема о единственности и принадлежности классу W21 классического решения смешанной задачи для нееамоеопряженного гиперболического уравнения в произвольном цилиндре /7 Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11. № 1. С. 60 65.

12. Левитан Б.М., Саргеян Н.С. Операторы Штурма-Лнувнлля и Дирака. М.:Наука. 1988. 432 с.

13. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983. 432 с. (изд. 2).

14. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука. СО. 1972. 164 с.

15. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатекий С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 286 с.

16. Иванов В.К., Ваенн В.В., Танан В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978. 206 с.

17. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука. СО. 1982. 88 с.

18. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ. 1994. 208 с.

19. Prilepko A.I., Orlovskv D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York; Basel: Marcel Dekker Inc. 2000.

20. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство. 2009. 457 с. (изд. 2)

21. Кожанов А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности /7 Сиб. мат. жури. 2009. Т. 46. № 5. С. 1053 1071.

22. Кожанов А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения /7 Доклады Академии паук. 2006. Т. 409. № 6. С. 740 743.

23. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984.

24. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит. 2007. 384 с.

25. Левитан Б.М., Гаеымов М.Г. Определение дифференциального уравнения по двум спектрам /7 УМН. 1964. Т. 19. № 2 (116). С. 3 63.

THE INVERSE PROBLEM FOR THE EQUATION OF MIXED PARABOLA-HYPERBOLIC TYPE

K.B. Sabitov

Applied researches institute of of Bashkortostan Republic, Odessa St., 68, Sterlitamak, 453103, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. For a class of equations of mixed type in a rectangular area is studied initial-boundary value problem with boundary conditions of the third kind. The criterion of uniqueness. The solution is built as the sum of series on the system of eigenfunetions of the corresponding one-dimensional spectral problem. There are small denominators when convergence of series is justified. When the aspect ratio of the rectangle which is the region of hypcrbolicity, is a rational number, it is shown the convergence of the series in the class of regular solutions. Then the above formulation of the inverse problems for the mixed type equation with unknown coefficients at the unknown function and boundary conditions. Based on the theory of Sturm-Liouville's inverse problems, it is proved sufficient conditions for their solvability.

Key words: equation of mixed type, direct and inverse problems, uniqueness, existence.