Последовательности типа Грегори с неотрицательными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 10, Специальный выпуск, 2005

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТИПА ГРЕГОРИ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ*

В. И. Половинкин, Л. В. ПоловинкинА Красноярский государственный технический университет, Россия e-mail: [email protected]

Sequences of the Gregory type quadrature formulae with various degree of accuracy and nonnegative coefficients are proposed.

Данная работа по своей тематике связана с теорией приближенного интегрирования С.Л. Соболева [1, 2]. Он ввел формулы с регулярным пограничным слоем. Одним из авторов этой статьи были определены формулы с пограничным слоем [3-5]. Класс этих формул шире класса формул с регулярным пограничным слоем. Было установлено, что существуют кубатурные формулы с пограничным слоем, образующие асимптотически оптимальные последовательности в классах Lp^Q), pm > n, где О — ограниченная область n-мерного пространства, [6, 7], и асимптотически оптимальные в классах Lpm)(a, b) последовательности квадратурных формул с пограничным слоем при p G (1, то] [4, 5].

Вопрос о существовании формул с пограничным слоем и регулярным пограничным слоем, имеющих неотрицательные коэффициенты, рассмотрен в [8], где показано, что последовательности таких формул есть, когда области интегрирования Q удовлетворяют так называемому слабому условию конуса.

Важный класс последовательностей квадратурных формул с пограничным слоем образуют рассмотренные в [4, 5] последовательности типа Грегори. Примерами их являются хорошо известные последовательности формул Грегори. Описание класса последовательностей типа Грегори существенно проще, чем описание класса последовательностей с пограничным слоем.

В.Л. Васкевич показал, что при достаточно больших m у квадратурных формул Грегори не все коэффициенты неотрицательны. Этот результат вытекает, например, из следствия 10.1 в [2, с. 342].

Важными характеристиками последовательностей типа Грегори являются введенные в [4, 5] им сопутствующие числа. Асимптотическая оптимальность любой последовательности типа Грегори в некотором классе l!^ (a, b) будет иметь место лишь при определенном значении ее сопутствующего числа.

В работе показано, что для любых чисел œ и параметра m, характеризующего точность рассматриваемых квадратурных формул, существует последовательность типа Грегори с неотрицательными коэффициентами и сопутствующим числом œ. Отсюда вытекает

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-01-00703).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2005.

существование последовательностей квадратурных формул с регулярным пограничным слоем, имеющих неотрицательные коэффициенты.

Методы доказательств результатов, полученных в настоящей работе, отличны от методов, примененных для решения аналогичных задач в [8], где доказательства основаны на свойствах интерполяционных многочленов Лагранжа и их многомерных аналогов. Ниже построение квадратурных формул с неотрицательными коэффициентами опирается в основном на прием, состоящий "в исправлении" некоторых формул, коэффициенты которых могут быть отрицательными.

С целью удобства изложения в настоящей статье используются термины, связанные не непосредственно с квадратурными формулами, а с их функционалами ошибок. Например, вместо последовательностей квадратурных формул типа Грегори будут рассматриваться последовательности их функционалов ошибок — последовательности типа Грегори. Далее, а, Ь, т, п, к будут такие числа, что а < Ь,т,п — натуральные, к = (Ь — а)п-1.

Разностные операторы Дг порядков г = 1, т вводятся так:

(Д(х), /(х)) = (А1/)(х) = /(х +1) — /(х),..., (Дт/)(х) =

= (Д(Д(т-1)/ ))(х) = (Д(т-1)/ )(х + 1) — (Д(т-1) / )(х).

Если т, п, 5 — числа, 5 — натуральное число, т = 0, то оператор Д*(хт-1 — п) определим так:

(Д*(хт-1 — п), /(х)) = т(Д*(х), /(тх + тп)).

Когда оператор ^ = т или ^ = т—1, Км будет означать наибольшее из числа сочетаний

С = м.

Определение 1. Последовательность функционалов {¡н} называется последовательностью типа Грегори, если 1Н имеют вид

Ь ( í п-г-1 í

(Л /) = /(х)йх — к ^ а/(а + кг) + ^ /(а + кг) + ^ вг/(Ь — кг) I , п = (1)

а I г=0 г^+1 г=0 J

где т, п — натуральные числа; 2£ < п; аг, вг,г = 0, постоянные и выполняются условия

(^ (х),хк ) = 0 при к = 0,т — 1. (2)

Определение 2. Если 1Н — функционалы вида (1), то числа к, каг,квг,г = 0,£, называются коэффициентами 1Н.

Определение 3. Последовательность типа Грегори {¡н} называется последовательностью с неотрицательными коэффициентами, если у всех функционалов Iн из этой последовательности каждый коэффициент неотрицателен.

Теорема 1. При любом т существуют последовательности типа Грегори с неот-рицательныи коэффициентами.

Лемма 1. Пусть заданы последовательность типа Грегори вида (1) и число г €{0,£}. Тогда существуют натуральные числа й > п1 > п, £ + й и последовательность типа Грегори {рн}

й п-1

(Л/) = / /(х)й(х) — к^а/(а + кг)+ £ /(а + кг) + £вг/(Ь — кг)

г=0 г=й+1 г=0

Ь

п = го- (3)

При этом г = 0, й, — коэффициенты такие, что:

а) при г € {0, £}\г а = а^; (4)

б) а > 0, когда г € {£ +1, й}; (5)

в) аТ = аг + (Кт)-1.

Доказательство. Предположим,что условия леммы выполнены.

Пусть натуральное число 5 таково, что коэффициенты функционалов 1Н, соответствующие точкам а + Кг + Квг, г = 1, т, равны К. Например, возьмем 5 = £ +1 — г и при этом будем считать п > г + те + Положим

(/, /) = (Л /) + (—1ПЗД-1 (д™ ( х К- гК ), /(х)

(6)

ж=0

Опираясь на известную формулу [9, с. 1026]

т

(Дт/)(х) ^ст(—1)т-к/(х + к), (7)

к=0

можно проверить непосредственно, что {рвида [6] удовлетворяет утверждению леммы с й = г + те, п1 = г + т- + £ +1.

Следовательно, лемма верна. □

Применяя в случае необходимости лемму 1 несколько раз, можно убедиться в справ-деливости такого утверждения.

Лемма 2. Пусть заданы последовательность типа Грегори вида (1) и число г € {0, £}. Тогда существует последовательность типа Грегори {рн} вида (3) такая, что аТ > 0, а также выполняются условия (4) и (5).

Прямым ее следствием является такой ее результат.

Лемма 3. Пусть задана последовательность типа Грегори {Iвида (1). Тогда существует последовательность типа Грегори {рн} вида (3) такая, что все а,г = 0,й, неотрицательны.

Аналогично лемме 3 может быть установлена справедливость следующего утверждения.

Лемма 4. Пусть задана последовательность типа Грегори вида (1). Тогда существуют натуральные числа й,п1,й < п1, и последовательность типа Грегори {рн} с рн вида

ь ( t и-4-1 а

(Л/)=/ /(х) й(х) — к\^аг/(а + Кг)+ ^ /(а + Кг) + ^ Д(6 — Кг) I,п = пТТГО

а I ¿=0 г=<+1 ¿=0 )

такая, что все в > 0 при г = 0, й.

Доказательства лемм 3 и 4 различаются главным образом тем, что вместо функционалов вида (6) надо рассматривать функционалы

(Д f) = (Л f) + (Kms)"1 ( Д™ ( * b + + , f (x)

") , f(x))

ж=0

при необходимым образом выбранных s.

Пусть теперь {1h} — произвольная последовательность типа Грегори, удовлетворяющая (1) и (2), например последовательность функционалов ошибок квадратурных формул Грегори, точных на многочленах степени ниже m. Применяя к ней последовательно леммы 3 и 4, получим последовательность типа Грегори, удовлетворяющую утверждению теоремы. Следовательно, теорема верна. □

Определение 4. Сопутствующим числом последовательности типа Грегори вида (1) {1h} называется величина

ж = (b - а)-1 lim {h-m(1h(x), xm)}. (8)

k^x

В работах [4, 5] показано, что у любой последовательности типа Грегори существует сопутствующее число.

Следующий результат обобщает теорему (1) и верен при любом m.

Теорема 2. Каково бы ни было число ж, существует последовательность типа Грегори с неотрицательными коэффициентами, у которой ж будет сопутствующим числом.

Доказательство. Пусть задано число ж. Выберем некоторую последовательность типа Грегори {1h} вида (1) c неотрицательными коэффициентами. Согласно теореме (1) такая последовательность существует.

Обозначим через ж(1) сопутствующее число {1h}. Рассмотрим вначале случай, когда

| ж - ж(1) |< m!(Km-i)-1. (9)

Пусть t — число, соответствующее 1h в формуле (1). Будем считать, что n > 2(t + m). Это условие не повлияет на справедливость теоремы.

Определим функционалы ih, ph из равенств

(¿h, f) = ( Дт-1 ( ^ - n + t + m ) - Дт-М ^ - t - 1 ) , f (x)

(10)

ж=0

h ; h , / |\-1,

ph = 1h + (m!)-1(ж - ж(0)<Т. (11)

Непосредственно проверяется равенство нулю функционалов ih на многочленах степени ниже m. Отсюда, а также из формул (10) и (11) следует,что {ph} будет последовательностью типа Грегори.

Из формулы (7), где m заменено на m - 1, и из неравенства (9) вытекает, что {ph} — последовательность функционалов с неотрицательными коэффициентами.

Формулы (11) и (8) показывают, что сопутствующее число ж(р) последовательности {ph} таково:

ж(р) = ж(1) + (m!)-1(b - а)-1(ж - ж(1)) lim{h-m(£h(x), xm)}. (12)

h^0

Из равенства (10) имеем

n— t—m— 1 / / \ s

(¿h(x), xm) = (Am—11 (^ - j - lj - Am—1 (^ - j ) ,

n—t—m— 1

I Ix — a \

m

^A^^a - ^ , xm^ = (n - 2t - m - 1)hm+1m!,

откуда следует, что

lim{h—m(£h(x), xm)} = lim{((b - a)h—1 - 2t - m - 1)hm!} = (b - a)m!. (13) h^ü h^ü

Сравнивая формулы (12) и (13), получаем, что ж(р) = ж, а следовательно, при ж, удовлетворяющих неравенству (9), теорема верна. □ Если ж не удовлетворяет неравенству (9), то надо выбрать конечный набор чисел ж1 ... ж5 так, чтобы

| ж(1) - Ж1 |, | Ж1 - Ж2 |,..., | ж5—1 - ж5 |, | ж5 - ж |< m!(Km—1)

—1

и поочередно доказать существование последовательностей типа Грегори с неотрицательными коэффициентами и сопутствующими числами ж1 ... ж5, ж. Этим теорема будет доказана в общем случае.

Замечание. Если последовательность типа Грегори имеет сопутствующее число равным нулю, то она будет последовательностью функционалов ошибок квадратурных формул с регулярным пограничным слоем [4, 5]. В этом случае теорема 2 может быть получена непосредственно из теоремы 1, если в условии 2 параметр т заменить т +1.

Список литературы

[1] Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

[2] Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.

[3] Половинкин В.И. Последовательности функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15, № 2. С. 413-429.

[4] Половинкин В.И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики: Тр. семинара им. С.Л. Соболева: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1977. № 1. С. 149-158.

[5] Половинкин В.И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори // Квадратурные и кубатурные формулы. Решение функциональных уравнений. (Методы вычислений): Сб. науч. тр. / Ленингр. ун-т. 1981. Вып. 12. С. 7-25.

[6] Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 2. С. 328-335.

[7] Половинкин В.И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 6. С. 1255-1262.

[8] Половинкин В.И. Решетчатые кубатурные формулы с положительными коэффициентами // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики: Тр. семинара им. С.Л. Соболева: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1978. № 1. С. 79-87.

[9] Математическая энциклопедия. Т. 2. М.: Сов. энциклопедия. 1979.

Поступила в редакцию 2 ноября 2005 г.