CC BY
31
НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ОБЗОРЫ
раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА
ББК 22.19.
УДК 517, 518.87
АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ И НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рамазанов М. Д.*
работа выполнена в рамках программы № 17 Президиума РАН, поддержана грантом РФФИ 03-07-90077
1. Формулировка проблемы. Для приближенных вычислений интеграла 1
I/ = | / (х)^х мы применяем последовательности квадратурных формул с
0
равноотстоящими узлами к/=нт*тт, н=і/N - натуральные числа,
'к
к
N ® .
Квадратурная формула взаимнооднозначно сопоставлена своему функционалу погрешности
(4, /) = I/ - к/ . Пусть
N-1
10 (X) = X 1 (Х—^), где Л„, (х) =С(0,1)(Х) - X °^(Х - (1)
=0 П |,|<Т ' ’
(здесь С(о,1)( х) - характеристическая функция интервала (0,1)), называется
элементарным функционалом порядка т, а его коэффициенты {а,} определяются условием
ортогональности 1т всем многочленам степени т.
X =1/(у +1), У = 0,т (2)
|,|<Т ’
Положим
С1} (х) = С(0,1) - ПХ С^(Х - М) ° Р(х)1П (п) + (1 - Р(х))/й° (1 - х) , где р(х) -
срезывающая функция, р(х) е С , р(х) =1, при х < 1/3 и равна 0 при х > 2/3. Известна (ж; )* = о(п) при любых 5 < т и р е (1, ¥) [1]. Значит, это верно и для
оценка
1н
(0,1)
(^р ) _ 0(Н ). Соответствующая 1н квадратурная формула называется
формулой с ограниченным пограничным слоем - ОПС - формулой.
Рамазанов Марат Давидович, д.ф.-м.н., профессор, г.н.с. Института Матетатики УНЦ РАН.
(все ск(И) ограничены равномерно по И и для всех узлов Ик, отстоящих от границ интервала (0,1) больше, чем на ЬИ, с некоторой постоянной Ь, ск=1). Для формул с ограниченным пограничным слоем из оценки порядка следует асимптотическая их оптимальность при любых $ < т, р Е (1,то) [2]. Асимптотическая оптимальность последовательности квадратурных формул определяется свойством
h
(w; )*
/inf
{bk}
N
Wx) — hE bd(x — hk )(wp)'
k = q
— 1
10
* L
при
N —
Мы установили существование функционалов погрешностей с неотрицательными
коэффициентами в узлах Ик, попадающих на носитель функции ф(х), а, следовательно,
неотрицательность коэффициентов квадратурной формулы Ки/ = I/ — (1и, /),
обладающей ограниченным пограничным слоем и асимптотически оптимальной. Точная формулировка нашего результата такова.
На множестве рядов Фурье / (х) = /п схр(?кх) задаем ж; (—р,р) норму
равенством
flW
і/p
+ IE f„ (1 + k T/2 exp(/kx)
dx
а на функциях
f: [0,1] —— C определим норму ||f | Wp1 (0,1)
giw
Эта норма
= inf
g |(0,1) = f
эквивалентна обычно определяемой для неотрицательных целых m норме
]1/p
fiWpm (0,1)
1 m
IE\Dkf (x)
0 k=0
dx
и задает обобщение пространств Wp на
дробные значения т.
Теорема. Существует такая последовательность квадратурных формул с ограниченным пограничным слоем толщины Ь(т) ■ И, Ь(т) > С ■ 2т ■ т2, и функционалами
погрешностей С1 (х) = С(0 1) (х) — И I Ск (И)5(X — Ик) , — = N - натуральные
к, И
Ик е[0,1]
числа, N ,
все коэффициенты которой неотрицательны. Причем сама последовательность кубатурных формул асимптотически оптимальна на любом пространстве
Жр (0,1) с р > 1, р < $ < т . Коэффициенты формул симметричны относительно
середины отрезка - точки а коэффициенты пограничного слоя имеют разложение по
неотрицательным степеням 1/Ь с главным членом - коэффициентом формул С.Н. Бернштейна [3].
Построенные нами формулы являются основой построения кубатурных ОПС-формул с неотрицательными коэффициентами для приближения интегралов по многомерным
p
—p
областям. Например, для п - мерного куба {х х Е Яп, х / Е [0,1]} можно взять кубатурную формулу, являющуюся декартовым произведением полученных одномерных формул.
Система уравнений (2) разрешима тогда и только тогда, когда Т > т / 2 . Заметим, что при Т > т/2 решение неединственно. Наш основной вопрос: можно ли распорядиться произволом в выборе коэффициентов так, чтобы квадратурная формула имела только неотрицательные коэффициенты.
Выразим {Ск } через {а,}. С помощью формул (1), (2) имеем
гх — Из Л
И1 скд(х — Ик) = I I а,3
И з=0, N—1 |,| <Т V И у
Отсюда следует: ск = I ак—з . В частности, если
$е[( к—Т) + ,шт{ N—1, к+Т}]
к е [Т, N — 1 — Т], то Ск = I ак—з = I а, = 1, если же к е [—Т, Т — 1], то
|з—к| <Т |,| <Т
к
с, = I а ° А.
,=— Т
Покажем, что вблизи левого конца отрезка интегрирования коэффициенты можно сделать неотрицательными.
Удобно считать Ак = 0 для к < —Т — 1 и Ак = 1 для к > Т . Запишем систему условий для непосредственного вычисления {А,} при — Т < , < Т . Подставляя выражение
а, = А, — А,—1 в уравнения (2), приходим к линейной алгебраической системе для определения {А, },Е[—ТТ—!]. При , <—Т — 1 А, = 0, при , > Т А, = 1,
Т—1 1 __________
I А, = Т —, для / = 1, т — 1
,=—т 2
т—1 . 1 1 1 /—1 т—1
I =— Г+1 — ———-— — IС$+1 I,зA,.
,=—Т /' + 1 (/ + 1)(/ + 2) ] + 1 з=0 ,=—Т
Деля /-тое уравнение на Т]+1 и обозначая А, / Т = ^,, = ^, придадим этой
Т—1 1 _______
системе уравнений вид I 77, = 1--------------, а для / = 1, т — 1
,=—Т 2Т
Т—1 1 1 1 /—1 1 Т—1
I (г-,)]п =------------------------т---------1С3^ I(т-,). (3)
<Ьт ] +1 (]+1)(]+2)Т]+1 ] +1 ]+1 Т]—З,=—т
1
Ч = I—пк
2. Представление неизвестных рядами по степеням 1/Т. Положим ч, = и
г>0 1
подставим это выражение в уравнение (3). Приравнивая коэффициенты при одинаковых
1
степенях —, приходим к следующим равенствам.
При , < —Т — 1, Г > 0 4 ,г = 0 , при , > Т, г > 0 Ч,,г = , где 5
Кронекера.
_________ Т—1 . 1
При , Е [—Т, Т — 1] имеем для г = 0, / = 0, т — 1 I (г ■,)] Ч, 0 =-------------------, (4)
,=—Т ’ ] +1
г '-'1Г , где 5$, символ
1
Т—1 /
для г = 1, при ] = 0 11,р = _ , а при ] 1 т — 1 I(г ■,)/ Л,,1 =
г=~Т
2 5 ** АА]-/*А J ? V У Ч ,1 5
,=—т 2
(7.1) для г > 2 и] = 0 Iч,г = 0, а при (7.2)
1=-Т
и при / = 1, т — 1
Т—1 5 1 ]—1 Т—1
,) л, , -- (]+1)(^]-+2)—|—С ,) 1.-]'.(73)
Мы хотим применить некоторые результаты С.Н. Бернштейна, установленные им в статье «О формулах квадратур с положительными координатами»
(см. [3], стр. 205-227).
Он рассмотрел квадратурные формулы вида
I—1
К/ ° I р, ■ [/ (х)+/ (—х)]+р/ (0), предназначенные для приближенного
I=1
интегрирования функций по отрезку [-1,1], 3/ = | /(x)dx, и точные для всех
—1
многочленов степени 21 — 1 (с техническим требованием четности I, I = 2п ):
(I, /) ° 3/ — К/ = 0 для /(х) = х, ] = 0,21 — 1.
С.Н. Бернштейн доказал, что существует квадратурная формула с положительными коэффициентами, Vр; > 0, даже если все узлы будут рациональными числами:
V = 1,1 — 1 хг = —1 + ~~~, х—1 < х,, х0 = —1, к(/)Е {0,1,...,К}.
Однако в этом случае общий знаменатель узлов должен быть достаточно большим,
N > 2-Л■ (I +1)2.
Теперь обратим внимание на нашу формулу (4). Правую ее часть можно истолковать как
1 ■ 1
результат интегрирования функций Х] по отрезку [0,1], Ї Х] dx =------
о ■ +1
(] = 0, т — 1). Чтобы левая часть совпадала с квадратурной формулой, приближающей 1
| / (x)dx, положим для всех узлов {г-,} , не попадающих в отрезок [0,1], коэффициенты
0
равными нулю, Ч ,0 = 0 при , < 0. Тогда (4) становится системой уравнений, определяющей коэффициенты квадратурной формулы, точной на многочленах степени
(т — 1) :
1 Т—1 Т—1 . 1 _______
\/(х)±х@ II,0/(г■г), I(г-0] Ч,,0 =—л и = 0т —1).
0 ,=0 ,=0 ] +1
Мы хотим приблизить форму этих уравнений к уравнениям из статьи С.Н. Бернштейна, где они написаны для отрезка [—1,1]. Используя линейную замену переменных 2х-1=у, полагая коэффициенты симметричными относительно середины отрезка, приходим к системе уравнений
т '—1 т:.-l 1
= 1, Ц(—гЧ Тч = —, ]' = 0,
Ґ '=1
т — 1
2
(6)
Т ' где Т = 2Т', Ґ = 2т, і' = і — —, ті? = Лі+Т -0.
2
Теперь эта система уравнений похожа на выписанную С. Н. Бернштейном систему - с точностью до переобозначений. Следует считать т - четным, т = 21 = 4п, Т'—1 = N,
Г = —, 1 , = р1, если Ч',, Ф 0, в частности 4 0 = рг.
Единственное отличие - в большом числе слагаемых. В (6) ,' = 0, N, а в статье как раз утверждается, что для получения формул с неотрицательными коэффициентами достаточно
оставить только I = т /2 узлов. Правда, номера их надо брать с пропусками, I = 1,1,
,' ° ,(/). То есть именно этим узлам соответствуют положительные коэффициенты, а коэффициенты остальных узлов нулевые. Естественно, значения ненулевых коэффициентов
тт
р1 =1^1 )0 = Ч^(г--) 0 (1 ) определяются квадратной —X— матрицей системы уравнений
22
для них. Обозначим эту матрицу Н = Н(Т). Далее будем считать, что значения {4 0 } определены именно как решения системы уравнений из статьи С. Н. Бернштейна.
Возвращаясь к уравнениям (5), для VГ > 1 положим равными нулю все те Г , для
которых п,я = 0. Остальные, положительные, коэффициенты обозначим Ч,г с индексом
t = t(i) , i = 1, m / 2.
3. Равномерные оценки {h,} Щ-T ,r-i]. Усложним зависимость коэффициентов
формул от Т, для чего, начиная с определения (1), заменим Т на Т — Ь-Т с некоторым натуральным Ь. Не изменяя вычислений, можем прийти к соотношениям (5) с матрицей
/V
Н — Н (Т). Но, что важно, мы можем не подчинять матрицу Н зависимости от Ь, то есть
/У _
оставить Н (Т) = Н (Т). Для того, чтобы получить это - при изменении Ь сохранить элементы матрицы постоянными, надо сохранить координаты узлов, входящих в формулу
I 1 Т
матрицы Н. Это возможно. Ведь сейчас Т —------------— —, а / £ 11, ЬТ I. Однако в новом
ЬТ Ь
разбиении узел Т; тоже содержится: Т -1 — Т-1', I' — Ь -I. Для системы уравнений (4), (5) берем только эти узлы. Правая часть равенств (4) тоже не зависит от Ь. Поэтому решение
{^£(7) о}, зависящее от Т, не будет зависеть от Ь. Оно выбирается так, как описано выше -по формулам статьи С.Н. Бернштейна, чтобы обеспечить положительность этих коэффициентов. При этом Т зависит от ш, Т — Т(ш) > л[2(т + 2)2 + 2. А формула разложения по степеням 1/Т становится разложением по неотрицательным степеням
1
1, . "t е [-LK,LK -1] h = X ^7 h,. Но
1 о = 1 q. ПоэтомУ
1/LT с новыми коэффициентами it, . [ LK , LK 1] 4 (LT)
к 71'° + ьт^ (ьту-1 ■ (7)
При достаточно большом Ь в формуле (7) модуль суммы будет меньше первого числа. Это обеспечивает неотрицательность " ht, ; £ [-Т, Т — 1], а значит, и неотрицательность
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ramazanov M.D. To the Lp theory of Sobolev formulas. Siberian Advances in Mathematics, 1999, v9, №1, p.99-125.
[2] Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск. Изд. ИМ СО РАН, 1996, 484 с.
[3] Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т. II, Москва. Изд. АН СССР, 1954, 627 с.
Поступила в редакцию 30.11.05 г.
