CC BY
45
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _______________________________________2010, том 53, №8____________________________________
ФИЗИКА
УДК 537.611, 530.146
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ПОРОГИ УСТОЙЧИВОСТИ НОВЫХ ОДНОМЕРНЫХ БРИЗЕРНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Физико-технический институт имени С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
Работа посвящена численному исследованию бризерных решений О(3) нелинейной векторной сигма-модели. С применением численного моделирования получены новые бионные (бризерные) решения в одномерном случае, обладающие динамикой внутренней степени свободы в изопространстве. Определена энергия связи для составляющих бризерного решения. Выявлен порог устойчивости численных бризерных решений в зависимости от частоты вращения в изопространстве и от скорости движения солитона.
Ключевые слова: бризер - О(3) нелинейная сигма-модель - численное моделирование - уравнение синус-Гордона.
О(3) нелинейные векторные сигма-модели привлекают внимание исследователей в связи с тем, что они являются наиболее вероятными кандидатами на роль альтернативных непертурбативных теорий поля. Как было отмечено еще в работах А.М.Полякова, имеется глубоко коренящая аналогия между четырехмерными теориями Янга-Миллса и нелинейной векторной сигма моделью [1]. Таким образом, упрощенная, нелинейная векторная сигма-модель может служить своеобразной теоретической лабораторией для апробации методов моделирования непертурбативных теорий поля.
Идея использования многомерных нелинейных моделей для описания физики элементарных частиц восходит еще к работам Т.Скирма (T.Skyrme) [2]. Некоторые свойства известных в настоящее время частиц, имеющих составную структуру, описываются, в том числе теорией связанных состояний, природа образования которых определяется непертурбативными эффектами (например, в моделях, основанных на использовании динамических уравнений Бете-Солпитера, Тамма-Данкоффа, в модели бэби-скирмиона и др. [3]).
Таким образом, нахождение новых связанных состояний, описываемых бризерными решениями, представляет значительный интерес при описании элементарных частиц, в частности в физике адронов.
В данной работе мы провели поиск новых решений бризерного типа в О(3) нелинейной сигма-модели. При получении данных решений мы исходим из того, что уравнения О(3) нелинейной сигма-модели в меридианном сечении, в изотопическом пространстве сводятся к точно интегрируемой модели уравнения синус-Гордона. Исходя из этого, мы можем в качестве некоторого начального приближения использовать бризерные решения уравнения синус-Гордона и, соответственно, вводя в него некоторое специальным образом подобранное возмущение путем численного решения задачи
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович. 734063, Таджикистан, Душанбе, ул. Айни, 299/1, Физико-технический институт АНРТ. E-mail: [email protected]
Коши, получаем новые численные решения уравнения О(3) нелинейной сигма-модели. Напомним, что в эйлеровой параметризации уравнения О(3) нелинейной сигма-модели имеют следующий вид [1]
здесь 0(х, t), ф(х, t) - эйлеровы углы, 8 - постоянная анизотропии. В сечении (р = const система уравнений (1) сводится к уравнению синус-Гордона
Для формирования численного решения системы уравнений (1) будем решать задачу Коши. Интервал численного интегрирования [-Ь,Ь] эффективно будет моделировать процессы в бесконечном интервале в случае убывающих, тривиальных граничных условий искомого решения при введении затухающих граничных условий - так называемых условий типа «черный ящик». Линейные возмущения, покидающие формируемое локализованное солитонное решение, будут излучаться до границы и, попадая в поглощающий слой на границе, не смогут отразиться и привести к возмущениям солитонного решения, а будут полностью поглощены на границе, то есть эффективно произойдет их «излучение на бесконечность» [4].
Такие исследования были проведены для одномерного случая, было получено точное решение. Мы использовали известное бризерное решение уравнения синус-Гордона (2) и задавали вращение в изопространстве в следующем виде
Для численного моделирования уравнений была написана разностная схема с весами явного типа, второго порядка точности, как по времени, так и по координате [4]. Контроль точности численной схемы осуществлялся вычислением интеграла энергии, которая во всех численных эксперимен-
лиза результатов численных экспериментов использовались программы визуализации и прикладные программы по быстрому преобразованию Фурье.
В результате, в анизотропном случае, нами были получены решения в виде двух взаимосвязанных осциллирующих горбов (рис.1). Проведенная серия численных экспериментов позволила определить зависимость энергии связи компонент бризера от частоты вращения в изопространстве [5] (рис.2). При о = 0 (бризеры синус-Гордона) энергия связи составляет ЕЬтгс1 « 0.244 от полной энер-
(1)
2П 0 = 8 sin 20
(2)
0 = 2arctg
1
(3)
тах после сформирования устойчивого солитона сохранялась с точностью--------~ 10 5 —10 6. Для ана-
Е0
гии бризера, при увеличении частоты до о5а(. ~ 0.6 энергия связи плавно нарастает и достигает порога насыщения, при котором ЕЪопЛ = 1, а решение принимает вид единого «дышащего» горба. Дальнейшее увеличение частоты вращения в изопространстве о > 0.9 приводит к разрушению полученного решения, что позволяет говорить о наличии порога устойчивости о$и ~ 0.9. Фурье-анализ сформированного решения показывает наличие двух гармоник бионного решения О ~ 1. 152, (02 ~ 1. 004. Очевидно, что вдобавок к бионной динамике появляется дополнительная частота, вследствие вращения в изопространстве.
Рис. 1. Эволюция плотности энергии бризера DH для начальных условий (3), при о = 0.5 , V = 0.0, х е [—25, 25], / е [150, 400] (анизотропная сигма-модель).
Рис. 2. Зависимость энергии связи ЕЬоп^ компонент бризера от частоты вращения в изопространстве О.
Свойства Лоренц-инвариантности О(3) нелинейной сигма-модели позволяет, благодаря применению преобразования Лоренца, получить также движущиеся бризерные решения (рис.3).
Рис.3. Эволюция плотности энергии движущегося бризера БИ для начальных условий (3), при ю = 0.5,
V = 2.0, х е [—25, 25], / е [150, 400] (анизотропная сигма-модель).
Серия численных экспериментов с движущимися бризерными решениями позволила установить область устойчивости данного бризерного решения в зависимости от двух параметров решения: значений частоты вращения в изопространстве и скорости движения (рис.4).
О)
Рис.4. Область устойчивости движущихся бризерных решений О(3) нелинейной сигма-модели в зависимости от частоты вращения ю в изопространстве и от её скорости V (анизотропная сигма-модель).
Аналогичные исследования бризерных решений в случае изотропной О(3) нелинейной сигма-модели демонстрируют распад первоначального «бризера» на две уединенные двугорбые волны при отсутствии характерной для бризеров динамики.
Таким образом, нами путем применения вычислительных экспериментов получены новые бризерные решения О(3) нелинейной сигма-модели, установлен пороговый характер устойчивости
данных решений в зависимости от частот вращения в изопространстве и от скорости движения соли-тона.
Полученные новые численные решения позволяют вести поиск аналитических решений О(3) нелинейной сигма-модели, хотя её полная интегрируемость не доказана.
Поступило 12.05.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Поляков А.М. Калибровочные поля и струны. - Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 312с.
2. Skyrme T.H.R. - London: Proceedings of the Royal Society - Mathematical and Physical Sciences, Series A, (Feb. 7, 1961), Vol. 206, No. 1300, 127-138.
3. Kudryavtsev A., Piette B., Zakrjevski W.J. - England, Durham: DH1 3LE - arXiv:hep-th/9611217v1, 26 NOV 1996, DTP-96/17.
4. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Комплекс компьютерных программ для нахождения численных решений, проведения анализа и визуализации их эволюции в одномерной О(3) нелинейной сигма-модели непертурбативной квантовой теории поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 0242TJ от 16.03.2010 г.
5. Шокиров Ф.Ш. Пакет компьютерных программ для нахождения энергии связи новых одномерных бризерных решений О(3) нелинейной сигма-модели непертурбативной квантовой теории поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 0267TJ от 29.06.2010 г.
^Д.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ОСТОНАХ,ОИ УСТУВОРИИ Х,АЛЛХ,ОИ НАВИ ЯКЧЕНАКАИ БРИЗЕРИИ СИГМА-МОДЕЛИ ГАЙРИХАТТИИ НАЗАРИЯИ МАЙДОН
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умаров Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Маколаи мазкур ба тадкикотхои ададии О(3) сигма-модели вектории гайрихаттй бахши-да шудааст. Тавассути тархрезии ададй халхои нави бионй (бризерй) дар холати фазои якченака хосил карда шудаанд, ки дорои динамикаи дарачахои озоди дохилй мебошанд. Энергияи бан-диш барои таркибдихандагони халли бризерй ёфта шудааст. Остонаи устувории халлхои ададии бризерй вобаста аз басомади чархиш дар изофазо ва суръати харакати бризер муайян карда шудааст.
Калима^ои калиди: бризер - О(3) сигма-модели гайрихаттй - тарурезии ададй - муодилаи синус-Гордон.
Kh.Kh.Muminov, F.Sh.Shokirov THRESHОLDS OF STABILITY OF NEW ONE-DIMENSIONAL BREATHER SOLUTIONS OF NONLINEAR SIGMA-MODELS IN FIELD THEORY
S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The paper is dedicated to the numerical study of breather solutions of O(3) nonlinear vector sigmamodels. By use of numerical simulation new one-dimensional bion (breather) type solutions possessing internal degrees of freedom in isospace are derived. Bond energy for constituents of the breather solution is determined. The threshold of stability of numerical breather solutions depending on frequencies of the rotation in an isospace and velocity of the motion of soliton is revealed.
Key words: breather - 0(3) nonlinear sigma-model - numerical simulation - sine-Gordon equation.
