CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №3-4_
ФИЗИКА
УДК 537.611, 530.146
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ В Ш НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
Методами численного моделирования исследованы процессы взаимодействия бризеров и доменных стенок (кинк/антикинк) уравнения синус-Гордона и О(3) нелинейной сигма-модели в (1+1)-мерном пространстве-времени. В частности, получены модели упругого взаимодействия солитонов, а также дальнодействующие и бионные модели.
Ключевые слова: О(3) нелинейная сигма-модель, уравнение синус-Гордона, бризер, доменная стенка, топологический солитон, численное моделирование.
Нелинейные сигма-модели (НСМ) впервые были упомянуты в классических работах М.Гелл-Манна и М.Леви (M.Gell-Mann, M.Levy) [1], Т.Скирма (T.Skyrme) [2] и Ю.Швингера (J.Shwinger) [3] в 1957-1960 годы как эффективные теории безмассовых возбуждений в задаче, связанной с теорией трех псевдоскалярных п-мезонов. Являясь асимптотически-свободными моделями, НСМ реализуются в двумерном псевдоевклидовом пространстве и представляют собой класс квантово-полевых систем, в которых сами поля выступают в качестве координат некоторого многообразия. НСМ используется в качестве лаборатории, которая позволяет исследовать непертурбативные эффекты, как надежный теоретический базис для анализа в упрощенных условиях некоторых задач хромодинамики.
Настоящая работа посвящена исследованию динамики взаимодействия бризерных и топологических локализованных полей - доменных стенок (кинк/антикинк) уравнения синус-Гордона (СГ) и суперсимметричной О(3) НСМ в одномерном случае.
Метод исследований основан на технике, апробированной в наших предыдущих работах (см., например, [4-6]):
- для получения нового решения О(3) НСМ в известное решение уравнения СГ добавляется специально подобранные возмущения;
- численным моделированием исследуется процесс эволюции полученных таким образом пробных функций О(3) НСМ;
- алгоритм и численные схемы разработаны на основе методов теории конечных разностных схем [7], использованием свойств стереографической проекции, с учётом теоретико-групповых особенностей конструкций класса O(N) НСМ теории поля;
- взаимодействие солитонов осуществляется в два этапа: на первом этапе в процессе эволюции сбрасыванием лишней энергии формируется устойчивое солитонное решение (в данном случае -
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович, Шокиров Фарход Шамсидинович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Айни, 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: [email protected]; [email protected]
бризер или кинк/антикинк); на основе полученных устойчивых численных решений моделируется процесс взаимодействия (лобовые столкновения).
Ранее нами были получены бризерные решения О(3) НСМ и модели их однотипных взаимодействий О(3) НСМ [4-6].
Напомним, что О(3) НСМ в эйлеровой параметризации имеет вид:
д2О д2О di2 дх2
5-
дЮ2 | дюУ
J J
sinOcosO = 0.
(1)
дО дю дО дю , . _
2cosO|------- | + sinO
дi дi дх дх
f д2ю д 2юЛ
v дi2 дх2 J
= 0,
где О(х, y, i) и (р(х, У, i) - эйлеровы углы, связанные с изоспиновыми параметрами модели (1) в виде: s = sin a cos (. s2 = sin a sin (. s3 = cosa. ss = 1. i = 1,2,3; 5 - постоянная анизотропии [4-6]. Уравнения (1) в меридианном сечении (ю(х,y,i) = const) изотопического пространства S2 сводятся к уравнению СГ:
f д2 о д О
v дг2 дх2 J
= 5 sin 2О.
(2)
Таким образом, на первом этапе были получены тестовые модели решений типа доменных стенок (ДС) уравнения СГ:
0 0( х, i) __ 1 - 02 (х, i)
s = 2-V^—cos^, s = 00. s3 =■
1 + 02 (х, i)
1 + 02 (х, i)
(3)
где 0(х,^) = е^ у2 (р(х,у,/) = 0.0). На основе решений (3), добавлением специально подобранных
возмущений (р , £2 Ф 0.0) вектору А3-поля в изопространстве £2 (р(х,у,/) = р0(х,у,/) + юг)
были получены устойчивые решения в виде ДС О(3) НСМ. Далее применением преобразований Лоренца были построены модели движущихся ДС О(3) НСМ, исследованы свойства полученных решений (рис.1).
На рис.1а приведен пример эволюции плотности энергии (БЫ) движущейся ДС (3) уравнения (2) (при с = 0.0, тестовая модель). В данном случае в изоспиновом пространстве ДС эволюционирует без возмущений (рис.1Ь, рр = 0).
2
х-vi
а) X " " " Ь)
Рис.1. Тестовая модель. Эволюция ДС (3) уравнения СГ (2): а) плотность энергии фН); Ь) изоспиновая динамика. Время моделирования: / е [0.0,100.0].
На рис.2 приведен процесс эволюции проекций изотопических спинов движущейся ДС О(3) НСМ (при а = 0.5) на комплексную плоскость.
t 6 10.0,100.0]
t(<pp)± 1.2
-3-ii Г '" t(<pp) = 30.0 1 JL i. 11«»»
Yo-Го-
t(<PP) = 53 .0 ......I
t(Vp) = 96. 0 '4
-M M Ю I s 10 1 M
Рис.2. Изоспиновая динамика движущейся ДС (3) О(3) НСМ (1). Скорость движения: v(0) « 0.371.
Время моделирования: / е [0.0,100.0].
Взаимодействие доменных стенок
Результаты численных экспериментов показали, что при моделировании столкновения однотипных ДС:
1) ДС уравнения СГ ^ ^ ДС уравнения СГ (тестовая модель);
2) ДС О(3) НСМ ^ ^ ДС О(3) НСМ
ДС свободно проходят друг сквозь друга. В первом случае происходит сдвиг фазы (тестовая модель, рис.3а), во втором - наблюдается также некоторое затухание скорости движения ДС после их взаимодействия (рис.ЗЬ).
Рис.3. Динамика взаимодействий ДС О(3) НСМ при лобовом столкновении: а) ДС уравнения СГ (2), при ш = 0.0 ; Ь) ДС О(3) НСМ, при ш = 0.5. Скорость движения ДС: У12(0) « 0.196 . Время моделирования:
X е [0.0,400.0] (I = 4Т /3).
На рис.4 приведен процесс эволюции изоспиновой динамики взаимодействия ДС (3) О(3) НСМ, описанный на рис.3Ь. ДС сохраняют устойчивость после взаимодействия; в этом случае и в последующих экспериментах интеграл энергии системы взаимодействующих солитонов сохранялся с АЕп
точностью
Еп
10"5 -10"2.
Рис.4. Лобовое столкновение ДС (3) О(3) НСМ ш = 0.5 : а) изоспиновая динамика; Ь) динамика проекции изо-спинов на комплексную плоскость. Скорость движения ДС: У12(0) « 0.196 . Общее время моделирования:
X е [0.0,400.0].
3) Взаимодействие ДС уравнения СГ и О(3) НСМ. В этой серии экспериментов по столкновению ДС (3) получены:
a) дальнодействующие модели взаимодействующих ДС;
b) бризерные (бионные) состояния взаимодействующих ДС;
c) модели, где при взаимодействии ДС формируются дополнительные бризерные состояния.
Взаимодействие бризера с доменной стенкой
4) Взаимодействие бризера с ДС уравнения СГ (тестовая модель).
При разных скоростях движения солитонов: УВг (70) = Уш (70)е [0.1,0.5] взаимодействие бризеров [4-6]
в (х, I) = 2аг^ ^, р (х, / ) = ат — р0 (4)
и ДС происходит практически без потери энергии |-~ 10 5 |, солитоны беспрепятственно про-
^ Еп )
ходят друг сквозь друга.
5) Взаимодействие бризера с ДС в О(3) НСМ.
Дальнодействие. В этом случае наблюдается проявление дальнодействующих сил при взаимодействии бризеров вида (4) и ДС вида (3) движущихся во встречном направлении в пределах скоростей: 0 < УВг (¿0 ) = Уош (^ ) < 0.25.
Столкновение и отражение. Дальнейшее увеличение скорости движения взаимодействующих солитонов в интервале УВг (¿0) = (¿0) е [0.25,0.45] привело к непосредственному столкновению, после которого солитоны, отражаясь друг от друга, продолжали движение в обратном направлении.
Разрушение бризера. При увеличении скорости движения взаимодействующих солитонов (3) и (4): УВг (¿о) = Уош (¿о) > 0 45 - наблюдается разрушение бризерного солитона.
6) Взаимодействие бризеров О(3) НСМ с ДС уравнения СГ.
В этой группе при скоростях движения взаимодействующих солитонов в интервале 0.0 < УВг (¿0 ) = (¿0 ) < 2.6 - происходит столкновение и отражение солитонов друг от друга. При
дальнейшем увеличении скорости движения взаимодействующих солитонов: УВг (¿0) = (¿0) > 2.6
- во всех экспериментах данной серии происходит разрушение бризерного солитона (4) при столкновении. Второй солитон (ДС) после взаимодействия, сохраняя устойчивость, продолжает движение в обратном направлении.
7) Взаимодействие бризеров уравнения СГ с ДС О(3) НСМ.
В целом, результаты идентичны экспериментам предыдущего пункта - после взаимодействия происходит разрушение динамического (бризерного) солитона (4), а ДС, сохраняя устойчивость, продолжает движение в обратном направлении. Взаимодействие бризеров.
8) Взаимодействие бризеров уравнения СГ и О(3) НСМ.
В каждом численном эксперименте данной группы, после столкновения, наблюдается формирование единого бризера из двух взаимодействующих солитонов. Лишняя энергия излучается в виде
линейных волн возмущений, которые поглощаются на краях области моделирования специально-разработанными граничными условиями [4-6].
Таким образом, приведённые в настоящей работе результаты совместно с результатами наших предыдущих исследований (см., например, [4-6]) в определённой степени раскрывают общую картину процессов взаимодействия одномерных локализованных решений О(3) НСМ (для случаев доменных стенок и бризерных солитонов). Ограничения на объём текста и количество графического материала не позволяют привести в рамках одной статьи более глубокий анализ полученных результатов. Достаточно большой объём проведенных теоретических расчётов и экспериментальных данных, полученных авторами для случаев (1+1)-, а также (2+1)-мерного пространства-времени [6], позволяют выявить определённую (весьма однозначную) связь процессов взаимодействия солитонных полей и динамики их изотопических спинов.
Поступило 11.01.2016 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gell-Mann M., Levy M. The axial vector current in beta decay. - Nuovo Cimento 1960, v.16, pp. 705726.
2. Skyrme T.H.R. A Non-Linear of strong interactions. - London: Proceedings of the Royal Society A, 1958, v.247, pp. 260-278.
3. Shwinger J. A theory of the fundamental interactions. - Annals of Physics, 1957, v. 2, pp. 407-434.
4. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Пороги устойчивости новых одномерных бризерных решений нелинейной сигма-модели теории поля. - ДАН РТ, 2010, т.53, №8, с. 606-611.
5. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействий новых одномерных бризерных решений О(3) векторной нелинейной сигма модели и бризеров уравнения синус-Гордона. - ДАН РТ, 2011, т.54, №1, с. 35-41.
6. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Численное моделирование бризеров 1D и 2D О(3) векторной нелинейной сигма-модели. - LI Всеросс. конф. по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Тез. докл. - М.: Изд-во РУДН, 2015, с. 94-98.
7. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989, 616 с.
8. Маханьков В.Г. Солитоны и численный эксперимент. - ФЭЧАЯ, 1983, т.14, №1, с.123-180.
^Д.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ТАЪСИРИ БАЙНИХДМДИГАРИИ СОЛИТОЩОИ ДИНАМИКИ ВА ТОПОЛОГИ ДАР 1D СИГМА-МОДЕЛИ ГАЙРИХАТТЙ
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Тавассути методхои тархрезии ададй равандхои таъсири байнихамдигарии бризерхо ва сархадхои домении (кинк/антикинк) муодилаи синус-Гордон ва О(3) сигма-модели гайрихаттй дар фазо ва вакти (1 + 1)-чена тадкик карда шудааст. Аз чумла, моделхои таъсири чандири байнихамдигарии солитонхо, моделхои дуртаъсиркунанда ва бионй хосил карда шудаанд. Калима^ои калидй: О(3) сигма-модели гайрихаттй, муодилаи синус-Гордон, бризер, саруади доменй, тархрезии ададй.
Kh.Kh.Muminov, F.Sh.Shokirov INTERACTIONS OF DYNAMICAL AND TOPOLOGICAL SOLITONS IN 1D
NONLINEAR SIGMA-MODEL
S.U.Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
By methods of numerical simulation the processes of the interaction of breathers and domain walls (kink/antikink) of the sine-Gordon equation and O(3) nonlinear sigma model in (1+1)-dimensional spacetime is investigated. In particular, the models of elastic interaction of solitons, the long-range and the bionic models are obtained.
Key words: 0(3) nonlinear sigma-model, sine-Gordon equation, breather, domain wall, numerical simulation.
