CC BY
35
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2011, том 54, №10____________
ФИЗИКА
УДК 519.713, 537.611, 530.146
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
Методами численного моделирования, на основе теории разностных схем получены новые численные бризерные решения (2+1)-мерной О(3) векторной нелинейной сигма-модели теории поля.
Ключевые слова: двумерный бризер - О(3) векторная нелинейная сигма-модель - численное моделирование - разностные схемы.
Исследование бризерных решений нелинейных теоретико-полевых моделей, которые можно интерпретировать как классические модели составных частиц (например, мезонов), привлекает многих исследователей. Являясь долгоживущими нелинейными возбуждениями, бризеры играют важную роль во многих физических процессах, таких как неравновесная динамика нелинейных систем, перенос энергии в запрещённой зоне спектра, а также в начальной стадии структурных фазовых переходов первого рода [1].
В данной работе мы проводим численное исследование (2+1)-мерной О(3) векторной нелинейной сигма-модели (ВНСМ) с целью получения новых двумерных бризерных решений. Лагранжиан модели имеет вид:
В работе [2] были численно исследованы локализованные возмущения типа пульсирующих решений уравнения поля Хиггса
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович. 734063, Таджикистан, Душанбе, ул. Айни, 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: [email protected], [email protected].
НОВЫЕ БРИЗЕРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ О(3) ВЕКТОРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
(1)
sasa = 1; М = 0,1,2; k = 1,2; a = 1,2,3,
Уравнения Лагранжа-Эйлера модели (1) с учётом условия яа8а = 1 имеют следующий вид:
dMdMsi + (dMSadMsa К' — s3 (8/3 — sis3 ) = 0 i = 1,2,3
(2)
(3)
а также в рамках уравнения синус-Гордона (СГ)
и^ — A yyU — — sin u
(4)
в ss (сферически-симметричной) геометрии. Исследованные численные решения, названные пульсо-нами, характеризовались излучением энергии и конечным временем существования.
В работе [3] рассматривались ss-решения уравнений (3) и (4) осцилляторного типа (пульсоны) и были обнаружены долгоживущие решения, с большой амплитудой. Численные исследования аналогичных медленно затухающих вследствие излучения энергии локализованных решений были проведены также в работе [4]. В работах [5,6] при изучении нетопологических решений двумерной бэби-скирмовской модели и ^+1)-мерного уравнения СГ были также получены метастабильные решения, которые, после излучения определенной части энергии стабилизировались в нетривиальную конфигурацию. Данные полевые возмущения в работах [5,6] были названы псевдобризерами в связи с их сходством с бризерными решениями уравнения СГ. Продолжая численные исследования, проведённые в [5,6], авторы этих работ модулировали специальные периодические по времени радиальносимметричные решения ^+1)-мерного уравнения СГ, задавая в качестве начальных условий пробную функцию в следующем виде [7]
f (г, 0) = Aarctg С exp arctg j , к = 101/2, С = tg j . (5)
Решая задачу Коши с начальными условиями (5), авторами работы [7] были получены численные решения, которые оказались стабильными в течение достаточно долгого времени (более 150 000 циклов), хотя и при наличии слабого излучения. Было установлено, что анзац (5) описывает псевдобризеры, кроме тех случаев, когда C = 0.4143, при котором очень медленно происходит излучение энергии, необходимое для формирования устойчивого псевдобризера.
В работе [8] были продолжены исследования радиально-симметричных неподвижных решений, полученных в [7] (псевдобризеров) и пульсирующих решений, полученных в работе [9] для (2+1)-мерного уравнения СГ. В указанной работе [8] рассматривалась, в частности, динамика решений эволюционирующих из искажённых (радиально несимметричных) начальных условий. Было показано, что рассеивающееся излучение, исходящее от пульсирующей волны, стабилизирует его. В работе [8], в частности, в рамках уравнения СГ исследовалась начальное условие вида
u( x, y, t) = -4arctg (^(t )sin(^(t))sec h(g(t) x)sec h(g(t) y)), (6)
где множитель 7j(t) взят в виде:
¥.<) = , ^) , (7)
а выбор пробной функции (6) основан на одномерном решении для бризера. В данном случае функция 7](t) не может быть независимой, так как в работе [8] было найдено, что главные особенности эволюционирующего пробного решения (6) могут быть описаны с помощью параметров и Ц, которые удовлетворяют уравнению [8]
( \ 1 -^2
-----------2 Mt
(1 - 2£2/3)
= 0.
У t
Рис. 1. Эволюция пробной функции вида (6) при — 0.5: а) при Т — 0.0; Ь) при Т — 24.0 ; с) изменение интеграла энергии во времени Т е [0, 24.0].
В работе [8] численным моделированием (до времен T = 50.0 ) описана эволюция периодического по времени решения вида (6), в которой, после излучения определённой части своей энергии, наблюдается относительно стабильная динамика. В указанной работе также замечено, что при ^ « 0.5 пробная функция (6) фактически радиально-симметрична, поэтому данная функция допускает эволюцию нерадиально-симметричного решения к радиально-симметричному. Это утверждение было подтверждено также результатами моделирования тестовых задач, выполненных в настоящей работе (см.
например, рис. 1). Данные эксперименты были проведены для различных значений , интеграл энергии полученных численных решений сохранялся с точностью ЛE / Е0 «10 6 .
В настоящей работе, для определения существования и устойчивости предложенных в [8] пробных решений вида (6) также в О(3) ВНСМ в численных экспериментах, было проведено численное моделирование эволюции решений (6). В данном случае в качестве начальных условий применялись возмущенные бризеро-подобные решения уравнения СГ вида (6), исходя из того, что в меридианном сечении (^0 = const) О(3) ВНСМ сводится к уравнению СГ [см. например, 10]. В численных экспериментах нами показано, что (6) является также решением уравнения О(3) ВНСМ (2), который эволюционирует в меридианном сечении (р0 = const изопространства S2.
Эти решения (6) могут также служить при введении специальным образом подобранного возмущения, задающего динамику вектора А3-поля по всему изопространству S2 (^0 ^ const) в качест-
ве исходных пробных функций. В процессе эволюции определённого таким образом начального импульса формируется новое бризерное решение (2+1)-мерной О(3) ВНСМ, а излишки энергии излучаются в виде линейных волн. Для получения решения в изопространстве сферы £2 в качестве начального условия было задано возмущённое решение в виде (6), с дополнительной динамикой - вращением вектора А3-поля в изопространстве в виде р = р^+ оХ (рис. 2, при о = 0.5 ). С целью эффективного моделирования бесконечной плоскости, в которой происходит эволюция данного решения, были применены специальные граничные условия типа «чёрный ящик», поглощающие на границе области численного моделирования излучение в виде распространяющихся линейных возмущений [10].
Для численного моделирования эволюции данного начального решения была написана разностная схема с весами явного типа второго порядка точности, как по времени, так и по координате [11]. Контроль точности численной схемы осуществлялся вычислением интеграла энергии, который
после формирования устойчивого бризера сохранялся с точностью АЕ / Е0 » 10—5 — 10б . Параметры численного моделирования: шаг по координате И = 0.01; шаг по времени т = 0.006 ; время моделирования Т е[0, 50.0]; область моделирования Ь : {—Ь < X, у < Ь]; Ь = 30.0 ; разрешение 6001^6001 точек в каждом слое по времени.
В результате проведенной серии компьютерных экспериментов с различными значениями параметров 1, £ и введённых возмущений о, где наблюдались как и диссипативные локализованные периодические решения, так и нарушения устойчивости численной схемы, были численно получены новые устойчивые двумерные бризерные решения, обладающие динамикой внутренней степени свободы вектора А3-поля в изопространстве (рис. 2а,Ь) [12].
7539[-
7537 7537
С ш
О 5 10 15 20 т 25 30 35 40 45
Рис. 2. Эволюция двумерного бризерного решения вида (6) (2+1)-мерной О(3) ВНСМ (1)-(2) при £(0) « 0.1, 1(0) « 0.8 и о = 0.5 : а) при Т = 0.0 ; Ь) при Т = 50.0 ; с) изменение интеграла энергии решения во времени Т е [0,50.0].
Интеграл энергии при этом почти не изменялся, осциллируя при £(0) « 0.1, 1(0) « 0.8 и о = 0.5 в интервале (17.7536-17.7538) и равномерно приближаясь к промежуточному значению (рис.2с).
Таким образом, путём введения специальным образом подобранного возмущения в известные решения (2+1)-мерного уравнения СГ (6)-(7) численным моделированием нами получены новые двумерные бризерные решения О(3) ВНСМ. Следует отметить, что для получения движущегося бризер-ного решения (6) необходимо увеличение размеров области моделирования, что требует мощных вычислительных ресурсов, в частности объёма оперативной памяти.
Поступило 25.08.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Браун О.М., Кившарь Ю.С. Модель Френкеля-Конторовой: концепции, методы, приложения. - М.: Физматлит, 2008, 536 с.
2. Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. - ЖЭТФ, 1976, т. 24, вып. 1, с.15-18.
3. Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. - ЖЭТФ, 1977, т.25, вып.2, с. 120-123.
4. Christiansen PL. - Physica Scripta, 1997, v. 55, pp.131-134.
5. Kudryavtsev A., Piette B.M.A.G., Zakrjewsky W.J. - arXiv:hep-th/9709187v1 26 Sep 1997, DTP-97/25 February 1, 2008.
6. Kudryavtsev A., Piette B., Zakrjewsky W.J. - England, Durham: DH1 3LE, arXiv:hep-th/9611217v1, 26 NOV 1996, DTP-96/17.
7. Piette B., Zakrjewsky W.J. - Nonlinearity,1998, 11, pp.1103-1110.
8. Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. - Physica D 189, 2004, pp.167-187.
9. Xin J.X. - Physica D 135, 2000, pp/345-368.
10. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. - ДАН РТ, 2010, т.53, №8, с. 606 - 611.
11. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971, 553 с.
12. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. - Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXII». - Воронеж: ВГУ, 2011, с. 120-123.
^Д.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ХДЛЛХ,ОИ НАВИ БРИЗЕРИИ О(3) СИГМА-МОДЕЛИ ВЕКТОРИИ
ГАЙРИХАТТИИ ДУЧЕНА
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умаров Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Тавассути тархрезии ададй, дар асоси назарияи схемахои фаркй, халлхои нави ададии бризерии О(3) сигма-модели вектории гайрихаттии (2+1)-ченаи назарияи майдон ба даст оварда шудаанд.
Калима^ои калиди: бризери дученака - О(3) сигма-модели вектории гайрихаттй - тархрезии ададй - схемауои фарцй.
Kh.Kh.Muminov, F.Sh.Shokirov NEW BREATHER SOLUTIONS OF THE TWO-DIMENSIONAL O(3) VECTOR NONLINEAR SIGMA-MODELS
S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan By methods of numerical simulation, on the basis of the theory of difference schemes, the new numerical breather solutions of (2+1)-dimensional O(3) vector nonlinear sigma-model are obtained.
Key words: two-dimensional breather - 0(3) nonlinear sigma-model - numerical simulation - difference schemes.
