CC BY
14ПОЛУЧЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА Козлов П.А.
Козлов Петр Алексеевич - ассистент, кафедра естественнонаучных дисциплин, факультет управления процессами перевозок, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Уральский государственный университет путей сообщения, г. Екатеринбург
Аннотация: в статье рассматриваются модели течения вязкого теплопроводного газа, для моделирования которых могут применяться системы обыкновенных дифференциальных уравнений, сложность которых часто не позволяет записать их решение в аналитическом виде. В статье используется полная система уравнений Навье - Стокса, для решения которой используется метод представления искомых функций в виде разложения в тригонометрические ряды по пространственной переменной. Решение задачи может описывать сложные течения газа. Бесконечная система урезается до нужного конечного числа уравнений и гармоник, после чего решается численными методами.
Ключевые слова: газовая динамика, математическое моделирование, полная система уравнений Навье - Стокса.
Моделируются одномерные и двумерные течения сжимаемого газа с учетом его вязкости и теплопроводности с помощью построения приближенных решений полной системы уравнений Навье-Стокса. Рассматриваются несколько видов представления этой системы и осуществляется переход от одного представления системы к другим. В случае постоянных значений ц, к - коэффициентов вязкости и теплопроводности, а также равенства нулю второго (объемного) коэффициента вязкости: ц0 = 0 - полная система уравнений Навье-Стокса, являющаяся дифференциальной формой законов сохранения массы, импульса и энергии, имеет следующий вид [1]:
(Не + 7 . \7р + О (ИуУ = О, дь г г
< р[^+(V ■ V) V] + + Ъ^Т = ц [^ (йI VV) + Дт], (1)
,суР (^ + 7 + Ъ,Т йШ = йДТ + Ф (и, V),
где уравнения состояния газа записываются через плотность р и температуру Т: р
= р(р,Т), е = е(р,Т).
Тогда: = Ъ, = ^ ф р + Ъ^Т = Vp,
с„ = ■
де(р,Т)
,bj = р(р,Т) - р-
де{р,Т)
дт ; г др
В системе (1) и в уравнениях состояния: £ - время; х1, х2, х3 - декартовые пространственные независимые переменные; V = (р1,р2,р3) - вектор скорости газа с его проекциями на декартовые оси координат; р - давление; е - внутрення энергия. Последнее слагаемое в правой части последнего уравнения в системе (1) имеет вид
Ф(м^)=-/и
idv1 _ ду л + /¿>17, _ dv:,\ + /dv2 _ дглл \9хх дх2) \дхх дх3) \дх2 дх3)
+
fdv_i dv2y + idvi + 3f3y tdv2 Эу3У \дх2 дх-i) Vdx3 дх-i) Vdx3 dx2J
и называется диссипативной функцией. Это слагаемое определяет переход части кинетической энергии течения в тепловую из-за учета вязкости газа.
Система (1) имеет смешанный тип. Первое уравнение - уравнение неразрывности, являющееся дифференциальной формой закона сохранения массы - образует гиперболическую часть системы, так как определяет наличие в течениях теплопроводного сжимаемого газа слабого разрыва на контактной поверхности [2]. Второе (векторное) и третье - уравнения движения и энергии, передающие в дифференциальной форме законы сохранения соответственно импульса и энергии -составляют параболическую часть системы, так как соответствующим образом содержат вторые производные компонентов вектора скорости и температуры по пространственным переменным.
Получение систем обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов тригонометрических рядов осуществляется следующим образом. Рассматривается начально-краевая задача и представление ее решений тригонометрическими рядами в трехмерном случае.
Течения сжимаемого вязкого теплопроводного газа описываются решениями полной системы уравнений Навье-Стокса, которая в безразмерных переменных имеет следующий вид [3]:
8,. = —u8T — v8v
w8z + 8{ux + vy +wz); 1
ut =
-uuy
■ VUV
■ WU„
+ц08
+ Wxz) +
-Spx +
4 (иУУ ^ Uzz)
vt = —uvx — vvy — wvz--8py +
+ц08
- (uxy + wyz
) +
Y 3
^yy ^ (vxx + Vzz)
wt = —uwY
VWV
■ WW.
xz + vyz) + wz
-Spz + + -(w
xx + wyy)];
vyz) 1 zz 1 ^ \vvxx 1 "yyj Vt = -Щ>х - VPy - wpz - yp(ux + Vy + Wz) + +K0p(<5xx + Syy + 8ZZ) + 2k 0(px8x + PySy + pz8z) +
+к0(5(pxx + pyy + pzz) + h0y(y ~ 1) x
X
Vy)2 + (ux - Wzf + (vy
■ w.
:)2] +
vyJ 1 \"-x vvzJ 1 \vy
+ 3 kuy + vx)2 + (щ + wx)2 + (yz + Wy)2}\ (2)
где t - время; x = xx, у = x2, z = x3 - независимые пространственные переменные, для которых будут использоваться оба набора обозначений; 5 = 1 / р -удельный объем газа; р - плотность газа; V = (и, v , w) - вектор скорости газа с его проекциями на декартовые оси координат Оx±, Оx2, Оx3; р - давление; у = const > 1
28
- показатель политропы идеального газа с уравнениями состояния р = рТ, е = Т, также записанными в безразмерных переменных; Т - температура; е - внутренняя энергия; ц0, к0 - постоянные коэффициенты вязкости и теплопроводности. Решение системы (1) представляются в виде
з
S(t,xi,x2,x3) = 1 + S0(t) + ^ Sj(t,Xj);
i=i
u(t,x1,x2,x3) = 2]=1 Uj(t,Xj); v(t,x1,x2,x3) = £)=1 Vj(t,Xj);
з
wCt.Xi.Xz.Xg) = ^ Wj(t,Xj);
i=i
р ( t, x1, x2, x3) = 1 + р 0 ( t) + E)=! р j( t,xj), (3)
где
а значок / принимает значения 5, u, v, w, р.
В представлении (3) 50 ( t) , р0 ( t) , fj, к , q ( t) являются искомыми функциями, зависящими от времени, q = 1,2 . Значения индексов у коэффициентов fj, к, q (t) определяются следующим образом. Первый индекс j = 1, 2, 3 задает номер пространственной переменной, от которой зависит гармоника и перед которой стоит этот коэффициент . Значение второго индекса определяется
частотой гармоники, перед которой стоит данный коэффициент. Третий индекс q равен 1, если коэффициент стоит перед косинусом, и равен 2 - если перед синусом.
Для системы (2) начальные данные задаются в виде:
8\t=0 = 8°(x) =
= 1 + 50° + ^ ПГ [S}°k lcos(kXj) + S°k2sm(kXj)] ;
j = i Vfc=l )
u\t=0 = u°(x) = ^ ^ [uik,icos(kxj) + UjX2sm(kXj)] ;
j = i Vfc = l J
v\t=o = (x) = ^ ^ [vj°k,icos(kxj) + v°,k,2sinC/cx,)] ;
j = i Vfc=l )
w|t=o = w°(x) = ^ ^ [w;;/Cilcos(/«;) + w;;/Ci2sin(/«;)]|;
j = 1 Vfc=l J
р | t=0 = u 0(x) = 1 + р0 + Ej= 1 Ш= 1 Ык, ico S (kxj) + р°к к, 2S in (fcxj) ] }, (4)
где , , , , , , - заданные константы такие, что
бесконечные тригонометрические ряды из (3.3) сходятся, , ,
1 ,2 , 3 ,.. ..
Решение задачи Коши (2), (4) при t — + со описывает процесс стабилизации трехмерного, периодического по пространственным переменным течения от начального неоднородного состояния (4) к состоянию однородного покоя.
В данной работе сходимость рядов из представлений (3) не исследуется и преобразования этих рядов делаются формально. Заметим, что в одномерном случае подобные ряды показали «машинную» сходимость.
Прежде чем переходить к построению бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для бесконечного числа искомых коэффициентов , , , , , , система (2) записывается в более
подробном виде, по уравнениям и с учетом таких вводимых обозначений: h (t,x i,x2,x3) = 1 + h 0 ( t) + h„ (t, x i,x 2 ,x3), (5) где
а значок h принимает значения S и р.
Первое уравнение системы (2) в более подробной записи становится таким: St = —uSx - vSy - wôz + [1 + 50(t)](ux + vy + wz) + +S, (ux + Vy + wz) . (6)
d2g
Из представлений (3) следует, что если j = q, то -—-— = 0 ,
ОхjuXq
поэтому второе уравнение системы (2) в случае (3) становится таким:
^XX
3- + uzz)] + [uxx + - (uyy + uzz)]. (7)
Третье уравнение системы (2) с учетом равенства нулю смешанных производных для представлений (3) имеет вид:
1 г 1
vt = -uvx - Wy - wvz - - [1 + s0(t)]py --S„py +
+Mo [1 + So (t) ] [vyy + - fex + ^zz) ] + ^ o S» [vyy + - (Vxx + ^zz) ] . (8)
Также с учетом равенства нулю смешанных производных в случае (3) для четвертого уравнения системы (2) имеем:
.и -i[1 + So(0]pz-is,Pz +
+Mo [1 + S0 (t) ] [Wz + - Kx + WoO ] + MoS» [Wz + - Kx + WoO ] . (9)
Последнее, пятое уравнение системы (2), в подробной записи такое:
Pt = -wpx - vpy - wpz - y[ 1 + Po(t)](wx + Vy + wz) - 7P«(UX + Vy + wz)
+ к0[1 + Po(t)](<5xx + <5yy + <5ZZ) + к0р„ (5XX + 5уу + Szz) + +2к0(рх<5х + PySy + pz<5z) + к0[1 + S0(t)](pxx + pyy + pzz) +
+к0<5«(рхх + Pyy + pzz) +
-
1) jj И ~ 2uxvy +v*+u2x- 2uxwz + wz2 + v2 - 2vywz + +wz2] + ^ [u2 + 2uyvx + vx2 + uz2 +2 uzwx+ wx2 + кг2+2 v zwy+ wy2,
и после приведения подобных в полученном уравнении окончательно имеем Vt = -ирх - vpy - wpz - YÍ1 + Po(t)](ux + Vy + wz) -
-7P.(ux + + wz) + +к0[1 + p0(t)](ôxx + 5yy + 5ZZ) + к oP,(<5xx + <5yy + Szz) +
+2к0(рх<5х + VySy + pA) + +к0[1 + S0(t)](pxx + pyy + pzz) + к05,(рхх + pyy + pzz) + +í"o7(J - + + wz - u*vy ~ uxWz ~ vywz] +
+ - [u2 + 2Uy Vx + V2 + u| + 2UzWx + W2 + Vz + 2VzWy + w2] j. (10)
Далее проводится проецирование решения на бесконечномерный функциональный базис. Для того чтобы получить бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для зависящих только от времени искомых коэффициентов So (t) , po (t) , (t) (/ - S, u, v, w, р); j = 1 ,2 , 3 ; к = 1 ,2 ,.. .; q = 1 ,2 , представления (3) подставляются в уравнения (1) и каждое из этих уравнений проецируется на систему базисных функций. Это означает, что каждое уравнение (2) после подстановки в них представления (3) последовательно умножается на базисную функцию или на , ; и интегрируется по
переменным , , в кубе
(Ç): {[—7Г, тг] X [—71, 7Г] X [-7Г,7Г]}.
Кроме этого, уравнения (2) после подстановки в них представлений (3) интегрируются в кубе (Q) , то есть эти уравнения проецируются еще и на единицу. Первые уравнения (2) на единицу не проецируются, так как для искомых и, v, w отсутствуют слагаемые, не содержащие гармоники.
Полученная в результате система содержит двойные суммы. Чтобы принципиально уменьшить время счета, с помощью тождественно-аналитических преобразований, уравнения с двойными суммами сводятся к эквивалентным уравнениям без двойных сумм [4]. Такое представление позволяет отбросить бесконечное число гармоник в суммах и уравнений в системе, что, в свою очередь, позволяет создавать программы, считающие такие системы уравнений с нужной, заданной наперед, точностью.
Список литературы
1. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 2009. 368 с.
2. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.
3. Баутин С.П. Одно представление периодических трехмерных нестационарных решений полной системы уравнений Навье-Стокса: препринт / С.П. Баутин. Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2015. 46 с.
4. Козлов П. А. Аналитическое построение и использование распараллеливания при численном построении приближенного решения начально-краевой для полной системы уравнений Навье-Стокса // Транспортная инфраструктура Сибирского региона: материалы Седьмой международной научно-практической конференции, посвященной 355-летию со дня основания города Иркутска, 29 марта - 1 апреля 2016 г. Иркутск: ИрГУПС, 2016. С. 349-353.
ОБСЛЕДОВАНИЕ ОПОР СТЕКЛОВАРЕННОЙ ПЕЧИ В ЦЕХЕ ЛИСТОВОГО СТЕКЛА СТЕКОЛЬНОГО ЗАВОДА «СИМВОЛ»
Г. КУРЛОВО Клещунова А.М.
Клещунова Анастасия Михайловна - магистр, направление: строительство, кафедра строительных конструкций, Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, г. Владимир
Аннотация: в данной статье описывается порядок обследования кирпичных опор стекловаренной печи в цехе листового стекла стекольного завода «Символ» г. Курлово. Ключевые слова: стекловаренная печь, кирпичные опоры, реконструкция.
Проведение работ инициировано ООО «Символ» и вызвано планируемой реконструкцией и размещением в корпусе нового производства.
Обследование проводилось в соответствии с СП 13-102-2003 «Правила обследования несущих строительных конструкций зданий и сооружений».
Задачей обследования являлась оценка технического состояния строительных конструкций фундаментов печи, и проведение поверочных расчетов для определения возможности использования фундамента после реконструкции печи. Поставленная цель достигалась путем [1], [2]:
- сбора информации о здании и анализа имеющейся технической документации;
