CC BY
24
2. Белоцерковский С.А., Гущин В.А., Коньшин А.Г. Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физики. 1987. Т. 27. № 4. С. 594-609.
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е, перераб.- М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1978.- 736 с.
4. ИевлевВ.М. Численное моделирование турбулентных течений.- М.: Наука, 1990.- 216 с.
5. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.- 288 с.
6. Марчук Г.И., Кочергин В.П. Саркисян А.С. и др. Математические модели циркуляции в океане.- Новосибирск, 1980.- 285 с.
7. Васильев В.С. Динамические переменные на криволинейных сетках // Известия ТРТУ. 2004. № 4.- С. 191-201.
В.С. Васильев
ТРЕХМЕРНАЯ СЕТОЧНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ МЕЛКОГО МОРЯ. II
Сеточные источники. Одной из простейших сеточных аппроксимаций, удовлетворяющих изложенному в [1], будет такая, у которой относящиеся к граням величины (22) [1] относятся к граням в целом, не различая углов граней,
V fe •--) = V fe *-+) = V *+-) = V feg *++) = V ) = / J )h h \
i,j+\,k+j i,j+| i,j+jk+1 i,j+\,k+-2 i,j+\,k+-2 \ л чi,j++1 ’
V(ля-,-) = V(лг-,+) = V(л«+*-) = V(л«+*+) = V(л«) = / J(л«)h h\
i+\,j,k+2 i+1,j,k+| ;■+^j,k+1 i+2,j,k+j i+2,j,k+j \ ^ С/i+1 jk+1 ’
2 5^5 2
Vfe--,) = v(^g-+,) = V(^g+-,) = V++,) = V) = / J(^g)h h \ (1)
V+j, j+j,k = V+2,j+¿, k = V+j j+¿, k = Vi+2,j+Ik = V+y, j+l,k =\J i + 1 , + 1 k ‘
2 2 ’
Если ребра криволинейной сетки [1] - прямолинейные отрезки, то следующие аппроксимации алгебраических дополнений [1] - выражения точные (здесь Ф = i, ст = j, т = k - целые)
(D(f, «уж,,, 1=(te-fgMUy. 4 =
=і(( rt,5) -( rt(5) К*)151 -(*У5) )-
2 W /ф, j+1,k+1 V /ф, j,kAV5/ф, j,k+1 V5/ф, j+1,k/
-(if)(5) -/ л (5) ї/*\(5) -/*\(5) ))
V /ф,j,k+1 V /ф,j+1,kA\6/ф,j+1,k+1 \6/ф,j,k/r
(■D(f, * V Dfc, i)hA>,+^ 1 = fe- f'g^A},+^ 1 =
=11. f>!’+L+1 -(f)(J« fei,« -(* )(üik »1)-
_(/ AW ^ f\ W Ї/g\W ^*)W ))
V //+1,a,k V /!,a,k+1^s/!+1,a,k+1 \5/!,G,k/Г
(^, g)/ D(5, +1, j+1,T =(f *; - f *5Кйл>!+1,j+1,T =
= :) (t f)(+i,j+1,T -(f)(Ü),t)fc ^(i,)+1,x 4 ^(i+i,j,x)-
- (f )(i,)+1,x 4f )(+i, Jg)(+i, j+1,x 4g)S,xf, (2)
где тк=<ríjk =<=<л,м •
При этом выражению (19) [1] (аналогично и (20) [1]) можно придать вид
f Л)i+i j+i k+1 = V+U+2k+ ^f^+1,j+2k+¿ _ «¿j+j,k+f)i,j+¿,k+¿ +
+ V (ля) /Д W _ с(г|і) (А (л) +
i+i j+1, k+i\f / i+-I, j+1, k+-l i+-l, j, k+■* I i+-l, j, k+-l
+ «í+lí,+i,k .f“,+u+i _ S11,,+1, k(/>(+l+*.* • <3>
где
(f)/ j+і k+— 4 f j,k + fi, j,k+1 + fi, j+1,k + fi, j+1,k+1),
,J 2, 2
(f)i+-L j k+-L 4 (fi, j,k + f', j,k+1 + f+1, j,k + f+1, j,k+1),
22
(f)i+-1 j+і k 4 f j,k + f', j+1,k + f+1, j,k + f+1, j+1,k)*
22
Подставляя в (19) [1] и (20) [1] с учетом (21) [1], (22) [1], (24) [1], (1) и (2) на место сеточной функции f постоянную С, и в узлах, и на ячейках получим
{С'„А = 0, (С'„Д) = 0, то есть на сеточном уровне наследуется ра-
\ g / i, j, k \ g li+-1, j+1,k+1
венство нулю производной константы C'g = 0.
Теорема (25) [1] в силу аппроксимации (19) [1], (21) [1], (22) [1], (24) [1] выполняется для любого векторного поля. Однако если вместо f и g подставить х, у или
Z, то в общем случае (х’хД)i+i,j+1,к+1, (y’yДi+i,j+1,к+1, «Дi+1,j+Ik+1 не равны
(Дi +1,j+1,к+1 и попарно не равн^1 между C0б0й, а (х'уА+1,j+1,к+1 , (x'zАi+1,j+1,к+1 ,
(У'хД)i+2, j+2,к+2 , (У^Дi+і j+2к +1, (г'хД)i+2 j+2к+1 , (■4Дi+Xj+1,к+1 нЄ равны 0.
Это приводит к тому, что, например, соленоидальные векторные поля и = х, v = -у, w = 0 или и = у, v = -х, w = 0 на сеточном уровне соленоидальными (локально) не будут (хотя глобально интегральная теорема (25) [1] выполняется и для них).
Аналогично, если во всем пространстве (либо при соответствующих граничных условиях) сложилось однородное поле скоростей v(x, у, z) = v = const и линейное поле давления p(x, у, z) = p0 + pxx + pyy + pzz, то поле скоростей и поле давления будут поддерживаться однородным v(t, х, у, z) = v(/) и линейным p(t, х, у, z) = p(x, у, z) = p0 + pxx + pyy + pzz . В то же время, если для координат х, у , z в распределении давления по ячейке
pi+і j+і,к+ \ = p° + pxxг+1,j + і к + 2 + pyyг+\,j+^,к+і + pzzi+2,]+¿к+-2
используется проектор (изопараметрическое преобразование)
gi+-1, j+2,к+1 8 (gi, j^ + gi, j^+1 + gi, j+1,к + gi, j+1,к+1 +
+ g,+1, j ,к + gi+1, і,к+1 + g,+1, j+1,к + gi+1, j+1,к+1),
то на сеточном уровне однородность поля скоростей со временем может нарушаться, хотя закон сохранения импульса для гидростатических слагаемых будет выполняться. Также в соленоидальном поле на сеточном уровне могут появляться источники-стоки градиента скаляра - дивергенции скорости. Но в целом по сетке в силу консервативности схемы суммарный вклад источников (и массы, и импульса) уравновешивается суммарным изъятием стоков.
Скалярное произведение дивергенции смешанного тензора 2-го ранга (вязких напряжений) на вектор скорости (мощность диссипации механической энергии) может быть приведено к виду
(|а &у(|а(рт<1 у“ + ду/ дх“)) , у) = у“ &у(|а(рт<1 у“ + ду/ дх“)) =
= Шу(у“|а(ра1 у“ + ду/дх“ ))- (4)
- ц(2((мХ )2 + (у; У + (м/2 )2 )+ (и'у + У + (и'г + X )2 + (у; + м!у У).
Если на сеточном уровне наследуется строгая диссипативность (рассматривается далее) вязких сил, но нарушаются метрические соотношения
XX = уу = ;; = 1, ху = X; = у; = у; = ¿х = ;у = 0 , (5)
то это может приводить к следующему «телекинезу». Представим жидкость, неподвижную относительно инерциальной системы отсчета и заполняющую все пространство (или полупространство, чтобы нашлось место наблюдателю), и наблюдателя, вращающегося относительно инерциальной системы отсчета с постоянной угловой скоростью. Пусть система координат наблюдателя такова, что с его точки зрения поле скоростей в жидкости: и = у, V = - х, V = 0. Тогда, если хУ Ф у'у или ху Ф 0, или у'х Ф 0 , то в случае полной потери механической энергии
на вязкое трение жидкость с точки зрения вращающегося наблюдателя придет в состояние покоя. Но это означало бы, что относительно инерциальной системы отсчета жидкость пришла бы во вращение только потому, что на нее «смотрел» вращающийся наблюдатель (вращающийся наблюдатель - это каждый обитатель Земли). Другими словами, в водоемах должны существовать (пока вращается Земля) волны Россби, а в инерциальных системах отсчета - выполняться законы сохранения импульса и момента импульса.
Поддерживать однородным поле скоростей в линейном поле давления позволит следующая адаптация корректор-этапа МАС-техники
«і,;,к = «и,к ^к/(х;Д),
V,;, к = Щ ;, к -тр-1(Р'у Д .;,к/{у’у Д .
А ь/\У'у А иЛ
%, у, к = -^Р-Ч р'; А) г, У, к^2';А) г, у, к .
В этом случае в сумме (26) [1] можно выделить знакоопределенную подсумму
— V -,Л к1^Х; А г,], к +{Ру А)г> у, к/(Уу А и, к +(Р; А и ./,кД2; А г, ], к
(г, у, к)'
X ((РХА 1,кМАг,],к + (РУА2], к/(УУАг,],к ^Р2А'и]*!*2;Аг,
(г,], к)' , ■', ^
Как видно, объемы (х'хА)_ к, (у’УА^ к, (2';^¡ук для баланса различных
компонент импульса различаются между собой, хотя при соответствующей аппроксимации на границе в целом по всей области
X (Х'хАг,],к = X (;УА)г ]к = X (2';Аг,],к .
(и.к) ] (и.к) ] (г,],к) ]
Подавить возникновение перечисленных сеточных источников (локальную сеточную несоленоидальность, неоднородность градиента линейного поля давления, диссипацию энергии «чистого» вращения) позволяет изменение представления коэффициентов С(г±±±) [1]. Если х(£,^,^,), у(£,^,^,), ;(^,^,^,) - разложения по достаточно гладким конечно-элементным базисным функциям, равным 1 в одном из узлов сетки и 0 во всех остальных (например, кусочно'-трилинейным), то за С(х±±±), С(у ±±±), С(; ±±±) можно принять коэффициенты при х, у, г в скалярном произведении (конечно-элементном представлении) якобиана 3 на кусочно-постоянную базисную функцию к.+1 .+ 1 к+1, равную 1 на ячейке (г +1, ] +1, к +1) и 0 на всех остальных
Ш
JK 1 ■, 1 , , 1 d^d^d^= C (g ! . \ j g: : k + C fg l +\ j giik +1 +
i+1J + \,k+\ ^ i+1 j + 1,k+1*:,j,k i+1,j+i k+у ’,],k+j
+ с(g-+-) g + C(g-++) g + C(g+—) g +
i+1 i k+igi,]+1, k i+i ]+j,k +1 gi,]+1, k+1 i+1 ]+j,k +1 gi+1,./,k
+ c (g+-+) g + C(g++-) g + C(g+++) g (6)
+ Ci+j,]+j,k+1gi+1,],k+1 + Ci+j,]+i,k+1gi+1,]+1,k + Ci+1]+j,k+igi+1,J+1,k+1 • (6)
Это обеспечивает выполнение и соотношений (5), и теоремы (25) [1] одновременно.
Строгая диссипативность. В отличие от сжимаемой жидкости строгой диссипативностью за счет действия сил вязкого внутреннего трения обладает (и должно обладать на сеточном уровне) каждое уравнение движения несжимаемой жидкости в отдельности, а не система уравнений в целом (4)
(ij div(i grad V ) , v) = div(i grad V ) vJ = div(iv] grad V )-ц|grad v]| , 1 < ] < n . (7)
Для этого (выделения в скалярном произведении (7) знакоопределенной суммы на сеточном уровне) достаточно сопряженности аппроксимаций пространственных производных в узлах и на ячейках, то есть могут быть использованы представления (19)-(22) [1], (24) [1]. Только теперь слагаемые дивергенции смешанного тензора даются аппроксимациями производных в узлах, а компоненты градиентов компонент вектора скорости - на ячейках. За исключением слагаемых, суммируемых по граничным элементам (сеточного аналога поверхностного интеграла в (18) [1]), в сумме (сеточном аналоге левого объемного интеграла в (18) [1])
X fuiAdiv(^ grad f )A) j
(i,. J, k)
может быть выделена знакоопределенная сумма (сеточный аналог правого объемного интеграла в (18) [1])
(fxA)/+i, ]+\,k+\ (fyA) i+\,J+1, k+1 (fzA) i+\, ]+\,k+\
(^Llj+l^+l (yyA),+±j+±k+± {ZzAi+\,]+\,k+\
2 2 2
независимо от того, равны ли между собой /г' д\ , /,/ д\
\x*A/i+1,]+1,k+1 \yy^i+l,]-+l,k+1
(zzA)i+1,J+1,k+1, (A)i+1 ]+l,k+1 •
2>J ' 2’ ' 2 ' 2’J ' 2’ ' 2
В случае сжимаемой жидкости (4) в сумме
X уи,к(¿Мр^лк!Уа+д\/йг“)) А)
(г,],к) 'г
за исключением суммирования слагаемых по граничным элементам может быть выделена сумма, для знакоопределенности которой на сеточном уровне принципиально необходимо
{Хх Аг'+ +1,к+| ={УуАг+1,]+¿,к+1 = ^^Аг+1,]+¿к+| = (А)г+¿у+¿к+1 '
Это, безусловно, обеспечивает аппроксимация (19) [1] с коэффициентами (6). Но если требуется только знакоопределенность (без выполнения на сеточном уровне теоремы (25) [1]), то можно обойтись более простой структурой коэффициентов
С (е ±±±) [1]. При этом (19)-(21) [1] остаются в силе. Вместо (22) [1], (24) [1] положим
VЙг-±±) = V+±±) = V(г^*±±) = / Т(г^)Ъ Ъ \^*++^
і+},Ї+2*+ \ і+2І+\,к+\ і++|,*+1 \ Л С/г+1у+1,*+1 ’
V(лг±-±) = V±+±) = V±*±) = / Т(г|г)Ъ Ъ \^±*±')
І+ 2"І + 2*+ 2 ¡'+ 2"; + 2’*+ 2 ¡'+ 2,;+ 2’к + 2 \ ^ і +1,І + ^,*+^ ’
(±±.)
V(с?±±_1) , = V(^г±±+), , = V(^±±*) , =(т^\иЛ . (8)
і +1"] + 2* + 2 і + 27 + 1’к+2 і + 2’1+ 2,*+ 2 \ ^ V і+і,І +1,* +1
Пусть относящиеся к ячейкам входящие в (21) [1] величины относятся к ячейкам в целом, не различая ребер,
V&*±±) 1 = V^ ^ 1 = /Т&\Иг) ,
і+22,у+2., + 2 і+:+ г,*+ г ' Л і+1І+1,*+1
V (л? ±*±) 1 = V (л? ^ 1 . 1 = / Т(лг \кЛ ,
і + + 2,*+2 і + 2,у + 2,* + 2 ' ^ ^ І +1, І + |,к+1
V(^ ±±‘) 1 = V & I 1 . 1 = ( Т(& ЪъЛ . (9)
і + + '2,*+ 1 і+2,І + г,*+'2 ' ^ 'І+1,1++,*++
Сказанное обеспечивается аппроксимациями алгебраических дополнений
2, а = ] +1, т= к +
(28) [1], но при полуцелых ф = і +1, ст = і + ^ , т = * + -1 и
</>!+;,./,» = ^2(Л,,І,. +(Л,+,,м )• <^>!’’+І* = -2(/),„,,» +(А,І+1,*) </>!;,!,+* = 1 П,.м < П,.м+1).
При этом (29) [1] может быть переписано в виде
Мі++1,*+1 = 5^)І+^,*+2И+1,І+і*+і -МІ^,*+^^ +
+ +\л+^М)!?іІ+1,*+2 -(М)(+!,і,* + +
+ ^і+і+^>,*+І((^(+)^^^'+2,*+1 ^^(+)>,І+і*) .
В этом случае на сеточном уровне выполняются соотношения (5), но нарушается теорема (25)[1].
Для выполнения на сеточном уровне теоремы (25) [1] величины, входящие в (21) [1], не обязаны относиться к граням. Также для выполнения на сеточном уровне соотношений (5) эти величины не обязаны относиться к ячейкам. Можно привести примеры, когда эти величины относятся к ячейкам, но при этом теорема (25) [1] выполняется, а соотношения (5) - нет. Точно так же можно привести примеры, когда эти величины относятся не к ячейкам, а к ребрам, но соотношения (5)
выполняются, а теорема (25) [1] - нет. Коэффициенты C(g±±±) в (6) обеспечивают выполнение и теоремы (25) [1], и соотношений (5). Но про них нельзя сказать, что они относятся к ячейкам, граням, ребрам или узлам. Они представляют собой суммы, некоторые слагаемые которых относятся к ячейкам, некоторые - к граням. А одновременное выполнение и теоремы (25) [1], и соотношений (5) является следствием целого ряда геометрических соотношений, которые конечно-элементная аппроксимация (6) и наследует.
Энергетическая нейтральность. С учетом преобразования
f div(pvf) = f2 div(pv)+f (pv, grad f) = f2 div(pv) + (pv, grad f2 ))=
= I f 2div(pv)+ div(v -2 pf 2 ) (10)
скалярному произведению вектора скорости v на конвективную производную импульса pv в силу уравнения неразрывности может быть придан вид конвективной производной кинетической энергии 1 p|v|2. В частности, при p = const и выполнении (1) [1]
f div(vf) = -2 f 2 div(v) + div(v 2 f2 )=div(v f f2 ). (11)
Наследование на сеточном уровне преобразования (11) (хотя бы в глобальном смысле выполнения интегральной теоремы (25) [1]), то есть получение дивергентного вида слагаемых переноса кинетической энергии в силу сеточного уравнения неразрывности из скалярного произведения дивергенции тензорной диады
T -
vvT на вектор скорости v , называется энергетически нейтральной аппроксимацией (конвективных слагаемых) [2].
Если сеточное уравнение неразрывности представить в виде
F® . 1,1 - F(5) , . t + F^ . , t - F(r|) . , + F® . - F^ . 2 , = 0, (12)
i+i,j+±,k+2 i,j+^,k+2 i+іj+i,k+^ i+±,j,k+2 i+2,j+2k+i i+i,j+2k ’ v 7
(для сжимаемой жидкости левая часть (12) - дивергентная часть уравнения неразрывности (5) [1])
5z )w)hлhЛ ,
' л чi,j+2,k+2
(^z ^hh) ,
' 5 4i+1,j,k+2
w)hh ). i . ! - аппроксимации потоков
вектора pv через грани (i, j + -2, k + -2), ( + -2, j, k + 2), (i + -2, j + -2, k) соответственно,
Ft і = ( pJ (5x)u + J (5y)v-
i,j+ik+i2 \
F(Л) t і = ( pJ Wu + J (^y v
i+ij,k+2 \
F Ч і t = ( pJ (^U + J (^y У ■
i+ij+i2,k \
то примером энергетически нейтральной аппроксимации компоненты дивергенции тензорной диады рууг будет (аналогично [3])
= -8 ((-*1% - у - 5 - -и- 5 - - 5,.-1 Уг-и -1,*-1+
+ (- Р&1 - Й * * - *%1 -1,к + 5 + *4,1 - Й *1 V'-ч-1,к + +
+ Г- *(^) + *(л) - *(^) 1 Г- +
^ г-1,/+2,к - 2 г - ¿1+1,к-2 г - 2,/'+2,к-1 /г'-и+1,к-1
+ f- F ^ + F ^ + F ^ I , , ,+
+ ^ F-1,j + і1, k+1 + г - і1, j+1,k+1 + F -1 j+^k+1 /г-1 j+1,k+1 +
+ 1 f ^
1 /+1,j-2,k-
F W -1,k - * - F Щ
i+J2, j - i+і/-
F М -1,k+2 + F ^
i+- i+і / -
F:^) - F :9
i+^, j+1,k - ^ i+2 j+
+ f F (^ + F (r) + F ® 1 ^ 1 (13)
+ ^ г+1,j+j,k+2 + г+1у+1,k+2 + Fi+1у + 2k+1 Jf+1,j+1,k+1 J ' ( )
Действительно, в сумме
X /i-,y^(div(pv/)A)i (14)
(i,M) у
может быть выделена сумма
. X1 / , j,kfi+1, j+1,k+1 + fi, j ,k+1/i+1, j+1,k + fi, j+1,k/i+1, j,k+1 + fi+1, j,kfi, j+1,k+1)^
(г+ij+\,k+$)
r(0 _ f(^) + F(r) -F(r) + F^ -F®
i+1,j+1,k+1 i,j+\,k+\ i+-2, j+1,k+-2 i+2 j,k+2 i+-2, j+2,k+1 i+1,j+2
равная 0 в силу (12).
В качестве аппроксимации потоков F(^), F(r), F(^) можно указать (аналогично [3])
F^ 1 t 1 = № ltr Лри). . ^1 + S&) 1у ^РЛ . ^1 + S^ ^ 7p^V . 1 t 1
i,j+2,к+2 i,j+-2,k+-^v /г, j+-1,k+-2 г, j+-2,k+-^v /i,/+^,k+:L г, j+y,k+yV /i,/+^,k+^
*(л) 1 = ^ Ы / рД 1 + ^ (лу) / рЛ + ^ М / р^ 1 , (15)
г+1, ,,к+-1 г+-1, ,,к+-^У /г+-1, /,к+1 г+-1,/,к+1\К /г+1, ,,к+-1 г+1, /,к+-1\К /г+-1, /,к+1
*(?) , = ^60 /р^\ 1 + ^(5>1^ /рУ) + /р^ .
г+2.7+^2,к г+,2^.7 + 2,к\К /г+-1,к г++ _2,^ /г+1,,+^2,к г+,2^.7 + 2,к\К /г++ _2,к
Заметим, что квадратичная форма
1 (/г,/,к!г+1 ,/+1,к+1 + /,к+1Гг+1,,+1,к + Гг,/+1,к !г +1, /,к+1 + +1,/, кГг,,+1,к +1)
не является знакоопределенной. Знакоопределенность аналогичной квадратичной формы обеспечивает, например, конечно-элементная аппроксимация конвективных слагаемых ^1у(руГ)А^ к.
+
+
1 * - -2,к 2
Действительно, если
(div(pv/)Д)jk = JJJdiv(pv/) фг- ,
V
где фг j k - связанная с узлом (i, j, k) базисная функция, то в сумме (14) может быть выделена сумма
Z ffi div(pv/ )(/ф) i+2, j+1, к+1 (16)
(i+2-j+ik+^ (i+j, j+2 к + ^
где (/ф)г+1, j+1,к+-1 Л j,kфг, j,k + У, j,k+ 1фг',j,k+1 + У,j + 1,kфг,j + 1,k + У,j + 1,k+ 1фг',j + 1,k+1 + +/i+1, j,k ф i +1, j,k + /j-+1, j,k + 1фг +1, j,k+1 + f+1 , j+1,k ф i +1, j+1,k + /i+ 1, j + 1,k+ 1ф.+1, j+1,k+1.
Но С/ф) i+1, j + 1,k+1 = / ^ 0= / - конечно-элементное представление функ-
ции / на ячейке (i +1, j + -1, k + -1). Поэтому (16) фактически равна
Z JJJ / div(pv/)d^dndC = JJJ У div(pv/)d^dndC .
(i+i j+^2"k+12) (i+12» j+ik+i) V
А преобразование (10) для подынтегрального выражения обеспечивается достаточной гладкостью базисных функций ф. j k (например, кусочно-трилинейных).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Васильев В.С. Трехмерная сеточная модель гидродинамики мелкого моря. I // Известия ТРТУ, 2005. С. 102-109.
2. Фрязинов И.В. Консервативные разностные схемы для трехмерных уравнений Навье-Стокса в криволинейных ортогональных координатах для несжимаемой жидкости. Препринт № 9.- М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1982.
3. Васильев В.С. Энергетически нейтральная строго диссипативная аппроксимация двумерной гидродинамической системы на криволинейной сетке // Известия ТРТУ, 2002, № 1. С. 171-177.
С.П. Вовк
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОРОГА РАЗДЕЛЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ДЛЯ СВЕРТКИ НЕЗАВИСИМЫХ КРИТЕРИЕВ
Многокритериальные задачи представляют собой слабоструктурированные проблемы, т.е. когда исследователь не может определить зависимость между критериями на основе объективной информации. Такие проблемы решаются средствами системного анализа, уделяющего особое внимание анализу целей и переходу от целей к средствам (деревья целей и иерархические схемы).
Одним из подходов к устранению многокритериальности является выделение в процессе решения проблемы двух этапов [1]. Первый - объективный анализ проблемы и исследование бесспорных зависимостей, его результат - построение объективной модели и множества Парето. Второй - окончательное нахождение наилучшего решения с учетом многих критериев представляется ЛПР. Для дальней-
