CC BY
52. Pravodelov S. V. The benefits of distance learning and its species // Modern education, 2015. № 2. S. 70-79. DOI: 10.7256 / 2409- 8736.2015.2.14207. [Electronic resource]. URL: http://e-notabene.ru/pp/article_14207.html/ (date of access: 07.06.2017).
3. Revich I.B. Improving the general cultural competence of students Universities with the help of massive open online course // Proceedings SanktPeterburgskogo State University of Culture and Arts, 2014.
ОДИН СПОСОБ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА Козлов П.А.
Козлов Петр Алексеевич - ассистент, кафедра естественнонаучных дисциплин, факультет управления процессами перевозок, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Уральский государственный университет путей сообщения, г. Екатеринбург
Аннотация: в статье рассмотрен один способ распараллеливания алгоритма численного решения сложных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих при моделировании течений газа, на примере полной системы уравнений Навье - Стокса для вязкого теплопроводного газа. Рассмотрен метод представления этой системы уравнений и ее решений с использованием тригонометрических рядов.
Ключевые слова: газовая динамика, математическое моделирование, распараллеливание алгоритма.
При моделировании течений газа с учётом или без учёта вязкости и теплопроводности, встречаются сложные системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ). При моделировании реальных течений газа, встречаются СОДУ настолько большие и сложные, что не удаётся выписать их аналитическое решение, но, при этом, его можно найти численно, приближенно, с использованием вычислений на компьютерах.
При программировании численного решения нелинейность СОДУ накладывает определенные требования на алгоритмы, иногда разностные методы решения не дают требуемой точности и приходится прибегать к другим численным методам.
Данная статья опирается на работы С.П. Баутина, В.Е. Замыслова, где предложен метод, в котором искомые функции представляются в виде бесконечных сумм тригонометрических рядов (в математике обычно применяются для линейных уравнений) [1]. Выписывается СОДУ для коэффициентов из этих рядов [2]. Формально решается СОДУ, состоящая из бесконечного количества
дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных, но она усекается до конечного количества ДУ, например, до 102-104. Решение системы из такого большого количества уравнений нужно запрограммировать с применением параллельных алгоритмов.
Рассматривается полная система уравнений Навье - Стокса (ПСУНС), решения которой описывают течения сжимаемого, вязкого теплопроводного идеального газа, записанная в безразмерных переменных, в том числе через д и р, имеющая вид: (д8
— + 7 • V6-6 СИУV = О,
дг
дУ 1
— +(7•V)7 + -6Vp = ц06
1 , ч 3
+-Д7 4 4
др
+ V ■ V? + ур <1\уУ = к0рД6 + 2к0\76 • Vp + к06Др + Ф(ц0, V),
плотность, температура и внутренняя энергия задаются такими равенствами: р=1/5, Т=Ър, Ф(ц,К) - диссипативная функция. Иначе говоря: V - вектор скорости газа, р - плотность, р - давление, 5 =1/р - удельный объём, Т=5р - температура.
Такая ПСУНС в безразмерных переменных, в одномерном случае выглядит следующим образом:
81 + и8х — 8их = О,
щ + иих + -8рх = \108ихх,
{рь + ирх + урих = к0(8р)хх + ц0у(у - 1)и1 Если полученную систему записать в нормальном виде - разрешенном относительно производных по времени, то получается система 8{ = 8их — и8х;
и, =
-ииг
-8рх + \108их
(1)
= -ирх - урих + к0р8хх + 2к0рх8х + к06ржж + ц0у(у - 1 для которой на отрезке от х=-п до х=п задаются начальные условия в следующем формальном виде:
г6|4=0 = 6°(х) = 1 + [6£дсоб/сх + 6£ 2бш/сх],
I и| с=о = и0(х) = £х [и0к хсо бкх + и0к 2Бткх], (2)
=р°(х) = 1+р%+ [р^дСОБ/сх + р^БШ/сх].
Решение задачи (1), (2) описывает процесс стабилизации при времени / стремящемся к бесконечности одномерного, периодического по пространственной переменной течения от начального неоднородного состояния (2) к состоянию однородного покоя [3].
С учетом вида начальных данных решение задачи (1), (2) представляется в следующем формальном виде:
8(1;, х) = 1 + £"=1 [бЛД (Особ/ос + 8к2(фткх],
и (Ь,х) = 2 к = ! [ик, 1 (С) со Б кх + и к, 2 ( С) Бткх] , (3)
р(Ь,х) = 1 + Ро(0 + Т,к=1 [Рлд(Особ/сх + ркл(фткх].
Тогда константы &к1>&к2>ик1>ик2>Ро>Рк,1>Рк,2 определяют значения коэффициентов представлений (3) в начальный момент времени:
8кШ1=0=8Ок1.8к2Ш=0 = 8°к2.
и/с1(0|£=0 = и/с1'и/с2(0^=0 = ик2>
(4)
Ро(01*=о = Ро.
Рк1^)и=0 = Рк1 '.Рк2^)и=О = Рк2 ;
где
Чтобы получить уравнения для коэффициентов
представления (3) подставляются в систему (1) и проецируются на базисные функции.
ДУ для коэффициентов 1 ( £) представлений (3) имеет следующий вид (здесь /=1,2,...):
оэ оэ к=1 ш=1
оэ оэ оэ оэ
/с=1 т=1 /с = 1 т=1
оо оо
(08тд (0;
/с = 1 Ш=1
Для остальных коэффициентов ДУ не выписываем в силу громоздкости представлений.
Систему ОДУ для этих коэффициентов можно решить численно с необходимой точностью, оставив нужное число слагаемых, отбросив остальные. Получающееся число уравнений: 3К + 1, где К - число слагаемых тригонометрических рядов. Для необходимой точности нужно взять К от 100 до 500, т.о. СОДУ состоит примерно из 1000 - 5000 уравнений. Модель распараллеливания следующая: управляющий процессор №0, осуществляет обмен данными с N управляемыми процессорами (№№ 1-Ы), выполняющими необходимые действия на каждом шаге вычисления. Управляемые процессоры, получая очередную порцию данных, решают свою правую часть назначенного этому процессору дифференциального уравнения. Тестовый расчёт проведен, результаты вычисления совпали с известным аналитическим решением с нужной точностью.
Список литературы
1. Баутин С.П. Замыслов В.Е. Представление приближенных решений полной системы уравнений Навье-Стокса в одномерном случае // Вычислительные технологии, 2012. Т. 17, № 3. С. 3-12.
2. Баутин С.П. Замыслов В.Е. Одномерные периодические течения вязкого теплопроводного газа // Вестник УрГУПС, 2013. Т. 17. № 1(17). С. 4-13.
3. Gabdulkhaev V., Kozlov P. Numerical and analytical construction of approximate solutions of an initial boundary value problem for the full Navier-Stokes equations // Science in the modern information society VI Vol. 3. North Charleston. SC USA: spc Academic, 2015. P.108-114.
