Получение основных автомодельных трансзвуковых решений параметрическим способом Текст научной статьи по специальности «Математика»

av = Vi

2 m . Vw"+8-3w л!т +8 + w4 ■m'+— (arctg - —arctg----------), (15)

л/2

2v2\'T

/77"

2V2

0.4 A

связывающее исходный параметр a и m.

На рис. 3 в плоскости X,Y изображена картина нерегулярной рефракции ударной волны в воде со значением исходного параметра av = 0.5. Линии равных значений давления (совпадающие с линиями ц - const) построены согласно решениям (10) при т=0.667, ц"=0.555, (12), (14) из [1].

Построенное численное решение качественно и достаточно точно согласуется с аналитическим решением, которое было построено в [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Шиндяпин Г. П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жесткой стенки в идеальном газе // ЖВМ и МФ. 1980. № 1. С. 249-254.

2 .Шиндяпин Г. П., Матутин A.A. Аналитическое исследование ударно-волновых структур при нелинейной рефракции ударных волн на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды // Механика и процессы управления: Сб. науч. гр. Екатеринбург: УРОРАН, 2004. С. 190 - 197.

УДК. 533.6.01 1

Е. О. Немцова, И. А. Чернов

ПОЛУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ТРАНСЗВУКОВЫХ РЕШЕНИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

В статье рассматривается параметрический метод Б. И. Заславского [1, 2], позволяющий получить точные решения, которые являются обобщением некоторых известных автомодельных решений [3].

Рассмотрим классическое трансзвуковое течение идеального газа. Будем считать, что поток стационарный изэнергетический и изэнтропиче-ский. Основная система уравнений, характеризующих плоскопараллельные течения, имеет вид

иих=уу, Ух=иу. (1)

Известен несимметричный класс решений Заславского - Клепиковой для системы (1), в - параметр:

и = и0 ) + Ы, (5)у + и2 О )у2 , V = У0(лО + ц(.г)у + У2(л:)у2 + У3(л)у3,

Х = Х0($) + Х1 + (2)

Подставляя (2) в (1), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов в (2), с целью упрощения записи опускаем аргументы у функций:

_ ц0-*Г - _-(4х1д-Ц1)

- 2' 1 - . 2 ' м2 - и2 - 4 5

, —2(и2*1 - у2 + , _ Зу3 - 4« и2

и2 --

и2 ■■

, _-(И|Х1-У1)

"о - рг~> и2 - 45

_ »о^-У^!

о _ . т ' и-, - 4$

, щ - + 2^0"-. - 2У)5 , __ 3(И]М2 - у-,*, ) - 4г>2.? , _ -2(Зу35 - к,)

V; =-----—^-У2_---, У3- —-2 ■

Из этой системы можно выделить нелинейное ядро (из пятого и девятого уравнений) для и'2, у3.

Применим технологию восстановления остальных коэффициентов. Известным считаем коэффициент м2(5)- Действительно, нелинейное ядро можно свести к одному уравнению 2-го порядка относительно ¡^(.г), частное решение которого «2(д)=52. Восстановленное решение для (2) имеет вид =

4 4 4

27 В3С32 , 9 С4С3В2 3 С5В

2156 г11 56 г

и = В216уг +1

18 В С-

3,

2.6

7 /

+ г-ВС, +САВ^

5 I5

2 784 г8

9 С4С3В3 7 /

+ + ^С2в¥ -+ + |г4С2,

? '4 1 4

Г

V = Л/в+ |^с4В3,-9 -/8С:В2^2 + ^ ^,9В3С;

117

28 г

^

1>3/-2

-4 "

-/4В2С, - 6/С5В3 - ^/' ЙС2 +1/ВГ,С, - Г8В2С4С, +

27 В5 С2 117,04„_ , ^

-----+ — / В С4С3 у +

49 с5 28 1

12 10976 г2

-ВС,С,Г --ВСгГ4' +

27С,В3С, 27 С,84С\2

28 ¿3 784 /6 187

27 СЩС± + Ш 4 2 2 _1С С2В¥ бсз +с _

28 /5 112 3 4 4 1 4 12 ' 7 _ 27 0^ _ звзСС{ _ 1ССВ2?4 + 9 с з 1

28 г6 2 2 8 ' 4 |

Здесь Си С2, С3, С4, С5, С6, С7, 5 - константы.

Заметим, что в представлении (2) мы брали старшие коэффициенты как функции параметра 5 и тем самым полученный результат не включает так называемые потерянные решения, когда старшие коэффициенты в (2) константы.

' 5г9 + 1 »г6В -15г3С, +15ВУ + ЗОС) +60С^

60Dz

(Bz + z4)y + Dy2,

С 1 ^

— + г2С, --25(3В + г3) \ + (20Вг- 4£>г )у + 402у2,

и з ;

V = {■- Вг9 + В2:6 + - (-35С, + + В3 )г3 + С, ] + ^3 3 У

+ 2Р(ЗС1-6г3С1+12^ + 2/ + ЗЛУ),+ (4д2& +1 4)/ + 16о3/

Зг 3

Здесь С,, С2, С3, О, В - произвольные постоянные.

Наряду с решением Заславского (2) существует класс однопарамет-рических решений, ассоциированный с п- 3 .

Аналогично несимметричному решению (2) можно воспользоваться технологией восстановления коэффициентов и получить следующее точное решение (

х=А£ф+1£1+с3+в{4у\ « = я¥/ +

5 ( 2 г

: ( j = г4) для !/4(î)=52 :

У:

t 3 2 1 у 3 /б t

v = -|>'DSYz+| ——— (3)

--Рве} + С,.

4 1 3

Здесь Ci, С2, С3, В - константы.

Решения вида (2) как обобщение симметричного решения Заславского - Клепиковой описывают трансзвуковые течения для показателей автомодельное™ и = 2, « = 4/5, « = 5/4 при и = 0. А решения вида (3) - для « = 3, « = 5/3, « = 6/5, « = 3/5. Необходимо рассмотреть автомодельные решения для соответствующих показателей автомодельное™, найти для них параметрическое представление и убедиться в его соответствии с решениями вида (2). Таким образом, на базе основных автомодельных решений параметрическим методом могут быть полнены точные решения, являющиеся их обобщением.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Заславский Б. И. О нелинейном взаимодействии сферической ударной волны, возникшей в результате взрыва заглубленного заряда со свободной поверхностью воды /ЛПМТФ. 1964. Вып. 4. С. 57-65.

2. Севастьянов Г. Д. Структура элементарных околозвуковых решений // Аэродинамика. Нелинейные проблемы: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. \н-та. 1997. Вып. 14(17). С. 109-117.

3. Фалъкович С. В., Чернов 11. А. Обтекание тела вращения звуковым потоком газа // ПММ. 1964. Т. 28. С. 280 - 284.

УДК 517.958:536.2 В. Ю. Ольшанский, В. Ю. Михайлов, А. В. Серебряков

РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ГРАНИЦ РАЗДЕЛА КОМПОНЕНТ В ОДНОЙ МОДЕЛИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ТЕРМИЧЕСКОМ РАСЩЕПЛЕНИИ ГРАФИТА

Рассмотрим термическое расщепление предварительно окисленного графита (ОГ) в случае, когда два размера технологической формы много больше третьего. Расчеты проводятся на основе одномерной модели для бесконечного слоя, помещенного между двумя пластинами, через которые осуществляется нагрев. В первоначальной засыпке технологической формы /%/£ <1, где - толщина слоя графита и I - расстояние между пластинами, принятое за характерную длину при переходе к безразмерным величинам.

В рамках предложенной модели процесс термического расщепления разделяется на три стадии. Первая стадия описывает нагрев слоя ОГ за счет конвективного теплообмена через нижнее основание. Между слоем графита и верхней пластиной имеется воздушная прослойка. Интенсивность теплообмена с этой прослойкой считается пренебрежимо малой. Распределение температуры в слое ОГ определяется из решения задачи нестационарной теплопроводности:

^Ро^-^Щ; 0 <х<\/Ь, 0</</„ (1)

дг Вх

К;(х,0)= и0, 0 <х<И0И, (2)

^ - в№ ■ щ(О,/) + Вг^ -их = 0, =0. (3)

&1х=0 3х1х=Л0/£

Здесь Ро, В1 - соответственно числа Фурье и Био. Первая стадия завершается в момент Г = /], для которого и(0, /¡) = и». Здесь и, - температура, при которой возникает фаза терморасщепленного графита (ТРГ).