CC BY
11
УДК 533.6.0116:532.529
А. А. Матутин
АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РЕФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН
В настоящей статье исследуется случай нерегулярной рефракции (в частном случае отражения ударной волны от свободной поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды) при падении плоской ударной волны В К интенсивности Рю = (Р1 ~ ро)/ро П°Д углом а со свободной поверхностью ОА с давлением ро и массовыми газосодержаниями сверху и у" снизу от ОА (рис. 1). Область II, примыкающая к точке взаимодействия УВ. характеризуется большими градиентами параметров.
1. Постановка краевой задачи для области И. Введем асимптотическое разложение в области II в виде [1]
Рис. 1
с,и
= 1-/уг0(у)5, 0 = 4/2<2(у)У,
с0
С0
., Я = НцРо. _ и ■
Р =
Р- Ро
Ро Ро^о
В итоге получим систему уравнений коротких волн:
*0)
РЮР +...(1)
2(ц - 6)ц5 + V, + ц = 0 , )1у = , ц = Р
«(1)
(2)
Условия на фронтах \В 8 — 5 (У) имеют вид (ц | ■ V | — параметры перед фронтом УВ)
= 28-(ц-ц,), (Ц-Ц,)|р + (У-у,) = 0. (3)
(/У)
1Гервое уравнение (3) является дифференциальным уравнением для определения фронта ударной волны. На линии слабого разрыва
М- = > V = V]. (4)
Условия сращивания с решениями в областях I и III представлены в [1]. На свободной поверхности
ц = />*(1)=0, 7 = 0. (5)
Для решения краевой задачи (2) - (5) в области II удобно свести систему
(2) к одному уравнению второго порядка для функции ц(5, У):
? «О)
(м - 25ц)6а цуу + Зц8 = 0, ц = Р . (6)
Используя уравнения (2) и (3), дифференциальное уравнение фронта УВ и условие на фронте (3) можно записать в виде
(55'2 - 28 + 2Ц])6" - (5 + ц8 -Зц18)6'г + (Зц„ + V«)5Ч
+ 2(ц6 +1)1 - (2цй + 1)м: + = 0. (7)
Окончательно задача свелась к решению уравнения (6) в области II для функции (1(6,7), удовлетворяющей условиям (5), (3), (4) и (7). Отметим, что в постановку задачи входит параметр
г.у_ _ гёа /о-,
который характеризует угол наклона, интенсивность и газосодержание среды.
2. Численный метод решения краевых задач. Для решения краевых задач (2) - (5) применяется метод последовательных приближений [1], который сводит исходную краевую задачу для уравнений коротких волн с неизвестной границей к серии краевых задач с фиксированной границей.
При решении таких задач применяют метод конечных разностей [1]. Задача (2) - (6) решается методом секущих (Л- левая часть уравнений (2)).
/7и(*) и№ „(*) „да ,,(*> ,
У и Г (и(к) ат и(к) а(к) и(*>
где ; ■ 4(ц/+1^ -2ц,^ + ц/ч/)-8(ци-5у)-4
Уточнение фронта ударной волны также производится по методу секущих.
Начальное приближение для поля давления строится по методу прямых (У=0, У=УА, У=-Н (Н»1)) [1].
На рис. 2 для ау =0,5 построена картина нерегулярного отражения ударной волны для водовоздушной смеси, для относительно слабой ударной волны. Для таких сред характерно сильное изменение параметров в нижней области и слабое - для верхней области, что позволяет не рассматривать верхнюю часть картины.
Рассмотренный метод позволяет восстанавливать структуру поля давления и поток за ним.
3. Аналитическое исследование рефракции. При нерегулярной рефракции ударной волны, когда av < 1 , область возмущения NABD разрастается [2J, захватывая часть падающей волны ЛС и искривляя ее; за искривленной частью волны АВ возникает «дозвуковое» неоднородное течение, разделяющее область однородного потока за фронтом ВС и область центрированной волны разряжения ALE. Неоднородное «дозвуковое» течение в области FABD смыкается по линии BD - линии параболичности -с однородным потоком за фронтом ВС и описывается следующим решением:
H^l-mVl-5, v = l + (m2-\)(Y-YA), YA = av-l,' m = const, (10)
имеющим «звуковыми» линиями линию BD и линию AF.
8 = 5*, Ц = Ц*, 8*=)i*=l-m2, 5b=Yb=\Í. (11)
По линии параболичности AF (11) решение (10) смыкается с «дозвуковым» решением в области EAF:
¡i = 2(Ц* - 8) + v = - 5)f/2 + jY3 - Y4) +1, (12)
2 3 6
имеющем кроме AF «звуковой» линией линию ALE:
8 = ц*-^-Г2. (13)
По «звуковой» линии ALE решение (12) смыкается со «сверхзвуковым» решением в области ALE, где параметр b = - 1/8:
ц = v = -[2C2)Y + ^YA+l, (14)
С учетом значения для YB из (10) имеем выражение
av = Vi
2 m . Vw"+8-3w л!т +8 + w4 ■m'+— (arctg - —arctg----------), (15)
л/2
2v2 \'T
/77"
2V2
0.4 A
связывающее исходный параметр a и m.
На рис. 3 в плоскости X,Y изображена картина нерегулярной рефракции ударной волны в воде со значением исходного параметра av = 0.5. Линии равных значений давления (совпадающие с линиями ц - const) построены согласно решениям (10) при т=0.667, ц"=0.555, (12), (14) из [1].
Построенное численное решение качественно и достаточно точно согласуется с аналитическим решением, которое было построено в [1].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Шиндяпин Г. П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жесткой стенки в идеальном газе // ЖВМ и МФ. 1980. № 1. С. 249-254.
2 .Шиндяпин Г. П., Матутин A.A. Аналитическое исследование ударно-волновых структур при нелинейной рефракции ударных волн на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды // Механика и процессы управления: Сб. науч. гр. Екатеринбург: УРОРАН, 2004. С. 190 - 197.
УДК. 533.6.01 1
Е. О. Немцова, И. А. Чернов
ПОЛУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ТРАНСЗВУКОВЫХ РЕШЕНИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
В статье рассматривается параметрический метод Б. И. Заславского [1, 2], позволяющий получить точные решения, которые являются обобщением некоторых известных автомодельных решений [3].
Рассмотрим классическое трансзвуковое течение идеального газа. Будем считать, что поток стационарный изэнергетический и изэнтропиче-ский. Основная система уравнений, характеризующих плоскопараллельные течения, имеет вид
иих=уу, Ух=иу. (1)
Известен несимметричный класс решений Заславского - Клепиковой для системы (1), в - параметр:
