Асимптотический анализ движения границы раздела в задаче терморасщепления графита с переменным коэффициентом Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рис. 3

В случае (рис. 3) близких значений скоростей звука Cg(y+), Cq(у~) (с,,- 0(1)) в отличие от случая с существенно различающимися скоростями звука (рис. 2) интенсивность возмущений в области, занятой газом, сравнима с интенсивностью возмущений в области ГЖС и в процессе рефракции значительная часть энергии передается из газожидкостной среды в газовую.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шинднпин Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997, 104 с.

2. Кедринскии В. К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 435 с.

3. Шиндяпин Г. П., Маркушин А. Г. Рефракция ударной волны на свободной поверхности в газожидкостной среде с образованием волны разрежения // Аэродинамика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 12 (15). С. 24 - 32.

УДК 517.958:536.2

Ю. Н. Нагар

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ

РАЗДЕЛА В ЗАДАЧЕ ТЕРМОРАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассмотрим процесс термического расщепления предварительно окисленного графита (ОГ), проходящий между двумя нагреваемыми пластинами пресс-формы. Ограничимся одномерным случаем, когда координата х отсчитывается по толщине слоя. Пусть первоначальная толщина слоя ОГ равна , расстояние между пластинами - Ь.

До начала процесса в момент / = Г0 слой ОГ должен нагреться до температуры термического расщепления (вспенивания) ОГ' и,. В рассматриваемом процессе выделим несколько стадий:

1) возникает фаза терморасщепленного графита (ТРГ) и начинается вспенивание, происходит свободное увеличение толщины пакета слоев ТРГ-ОГ до момента г = , когда ОГ коснется верхней пластины;

2) слой ОГ нагревается через верхнее основание вплоть до момента

г = г2;

3) в момент I = 12 появляется второй, верхний слой ТРГ. Эта стадия характеризуется изменением плотности ТРГ вследствие того, что весь объем между пластинами занят графитом. При этом

Р2.=Р2.=Р.|М1-1/к), (Л\ лД^н^Ьг1^- (1) I ^Лч+^Ач) 1-1/к

Здесь Р2н>Р2в> Р| ~ плотность нижнего, верхнего слоёв ТРГ и ОГ соответственно, !:„(?), - толщина этих слоёв; к = сопз1(к>1) -

относительное изменение объёма при вспенивании ОГ.

Процесс завершается в момент времени г = /3, когда границы раздела х = и х = 1-4в(') встречаются.

Будем рассматривать последнюю стадию, для которой получаем краевую задачу нестационарной теплопроводности. Распределения температур удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям (первого рода), в которые входят неизвестные положения границ Е,н(г)

и $,(/):

= , ¿ = 1,2,3, Р,а1, р2=рз=р(?)=р2н/р1, (2)

дг ох\ дх )

м2(0,/) = из(1>г) = нао >1; (3)

Щ {ШЛ= "2 = щ 0-^(0-0 = "3 (1 - 4в (0-0 = 1, (4)

г дих к2 ди2 дх к{ дх

= л(4н-Ц

к2 диъ дщ дх дх

=л(4в+4г). (5)

Здесь и - температура, к - коэффициент теплопроводности, г = 1 для ОГ,

А.

I = 2,3 для нижнего и верхнего слоев ТРГ соответственно; Л =--

( /•" - число Фурье, Л. - количество тепла, затрачиваемое на переход единицы массы ОГ в ТРГ), 4г (0 — скорость движения всей массы ОГ.

Коэффициент теплопроводности ТРГ считаем известной функцией от его плотности: к2 = к2(р) = к2 -/(р)

Исходя из значений теплофизических параметров ОГ и ТРГ, можно ввести малый параметр Е -шк^/к^ . Для одного из типовых наборов таких параметров имеем: к®/к, = 0,1; = 3,9; Р® =51,4; Л = 0,21; к = 20. При

этом можно положить Т7, ~ 1, = к2 /е = к2 ■ е 1, Л = Л ■ в. Применим асимптотические разложения

4 =0 4=0

00 00 00

"1 (*>')= IX "2<>>0 = 2Х 'и2к(хЛ «з(*.0 = -и3к(х>0-(6)

4-0 4=0 4=0

Для главных членов этих разложений получим уравнения

V- /(р)

ох

ди

20

сяс

зо

&

= 0,

Эи

ю

а/

я

52«

причем и10 должен удовлетворять условиям

аГ

= 0, ^

= 0.

(7) (В) (9)

Из первых двух уравнений (8) с учетом условий (3) находим

И20М = 1 *зоМ= + - х).

ЬнО ЬвО

Численный эксперимент [1] показывает, что к началу третьей стадии распределение температур по координате в ТРГ становится близким к линейному, а в ОГ - близко к постоянному значению и = и,. Поэтому можно положить их = 1. Тогда условия (5) примут вид

Зи30

= л.(4н0-4л), -Лр)•

дх

= л -(4.0+ £,<,). (10)

Перепишем уравнения (10), учитывая (9),

/(Р) = 4н0 " 4г0> Др)^ = + Ьго.

(И)

-нО

= в0

здесь а =(ив - 1)/Л.

Рассмотрим случай, когда теплопроводность ТРГ линейно зависит от плотности, т.е. /(р) = 1 + у(р-р0). Введем новую переменную времени

Г = а • (/ - ) ем систему

и ооозначим г,

= Ы'). = Р = 1 - йо ■ Получа-

=

(1+у)-уР

г2(г]-г2) с начальными условиями

,(1 + у)-УМ

= 1

/

г,(0) = а, (0) = 0.

(12) (13)

Отсюда находим

/ ч г, а

2к2 (г,-р)'

,2 '

4А

2 2 о

г, -а В , ч

2 А А

В1 , г,+В/А а4 ,

— -1п—-----

2 а + 5/Л к4

ЛР

з(л + 1)

1 (л-1)2

а') {2 2(А+1)2) Цг,-(3)2 о2, (_1 К1 Л2(Л-1)2 ^(г.-рХа + ДМ)

А = \ + у, 5 = уР.

В итоге для и £во(0 получаем параметрические задания вида

Г^нО 0)=21 (г,), ¡*в0 (0 = г 2 (г,),

(14)

Г=Г(г |)/а+/2,

/ = Г(г,)/а + /2,

где г-

■1б[а,1]. (15)

По формулам (15) были построены кривые, представляющие собой движение границ раздела х = £н(г) и х = ¿;в(г) с учетом найденных главных членов разложений. На рисунке приведено сравнение результатов для различных значений у с результатом, полученным для случая постоянного коэффициента теплопроводности (у = 0), при их /и, = 2 .

О 35

0.25

1 X

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ольшанский В. Ю., Серебряков А. В., Михайлов В. Ю. Расчет движения границ раздела компонент в одной модели тепломассопереноса при термическом расщеплении графита // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005 Вып. 7. С. 24-28.

УДК 533.6.011

Е. О. Немцова

ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА В СОПЛОВОМ ТЕЧЕНИИ

Основной вопрос, который рассматривается в работе - склейка течения Мейера и несимметричного течения Томотики-Тамады на параболической ударной волне. Эта проблема в случае симметричного течения Т.-Т. исследовалась О.С. Рыжовым [1]. Основные уравнения - это уравнения К.-Ф. Строятся точные решения с ударной волной (УВ). Цель данной статьи - осуществление склейки двух различных течений на УВ. Ее форма выбирается в виде параболы 2-й степени общего вида. Для течения Мейера ( А, = const, это ускорение газа в центре сопла):

2

и - А,х н——у , 1 2

.2 А з V = А\ху + —-у

(1)

= и

(2)

и несимметричного решения Т.-Т., полученного в аналитическом виде [2, 3], из условий на УВ

сЬс _ [V] ( сЬс сЫ [г/] \<1у ^ возможны 3 случая склейки:

х2= 1/2,хш= 1/5; х2 = -1/4,х10 = -1/4; х2 = -1/16, х,0= 1/32. (3) Результаты склейки отображены на следующих графиках (рис. 1 — 6).

"0.5- 1.93 и\ = 2.00 Щ.5 = 2.18 «2= 2.50 "2 5 = 2.93 из = 3.5

"о.5 =-1-43 «,= -0.87 щ 5 = -0.18 м2=0.62 «2.5 — 1.56 «3=2.62

Рис. 1. Линии и = const, А \ = 1, х2 = -1/4, х\о~ -1/4