Полные и неполные системы экспонент в пространствах со степенным весом на полупрямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 517.518.32

ПОЛНЫЕ И НЕПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ НА ПОЛУПРЯМОЙ

А. М. Седлецкий1

Значительно расширен класс последовательностей Ап, для которых доказана полнота (неполнота) системы экспонент , КеА„ > 0, в пространствах ЬР(М+ а > —1. До-

казательство опирается на установленную здесь же инвариантность полноты относительно замены веса весом (1 + Ь)а.

Ключевые слова: система экспонент, полнота, весовое пространство, свертка функций.

We essentially widen the class of sequences An for which the completeness (non-completeness) of system of exponentials e-Xnt, ReAn > 0 is proved in the spaces Lp(R+,tadt), a > —1. The proof uses the invariance of completeness relative to the change of the weight ta by the weight (1 + t)a; this fact is also proved here.

Key words: system of exponentials, completeness, weight space, convolution of functions.

1. Пусть u(t) — вес на (a,b), —ж ^ a < b ^ то. Через Lp((a,b), u(t)dt), 1 ^ p < то, обозначается пространство измеримых на (a,b) функций с нормой \\/ \\р,ш = H/w^H^p(a,b)- Это банахово пространство. Вопрос о полноте системы экспонент

е(Л) = (e_Ani)^=i, Л = (Ara)~=1, ReAra > 0, (1)

в пространствах La = Lp(R+, tadt), a > —1, рассматривался в работах автора [1-3] и Б. Н. Хабибуллина [4] (ограничение a > —1 диктуется требованием принадлежности функций системы (1) пространству La). В обозначениях

card(Ara : |Ага — х\ < л/ж2 — 1)

¿(Л) := limsup ■

x log x

Л(Л; h) := lim sup ( * V Re^ra X\ ) , h > 1,

задающих специальные плотности последовательности Л, верна (см. [1, 3]) Теорема А. 1) Пусть 1 < p ^ 2, а > p — 2. Тогда если

5(Л) > а/p + (2/p — 1) или 2Д(Л; h) > а/p + (2/p — 1) (3h > 1), (2)

то система е(Л) полна в La.

2) Пусть p ^ 2, а > p — 2. Тогда для любого е > 0 найдется последовательность Л\ (Л2), такая, что

5(Л{) > а/p + (2/p — 1) — е ( 2Д(Л2; h) > а/p + (2/p — 1) — е

при всех достаточно больших h) и система е(Л1) (е(Л2)) неполна в La. В частности, в (2) постоянная а/2 для пространства L\, а > 0, является точной.

Известно также [2], что если 1 ^ p < 2, то при —1 < а < p/2 — 1

условие Саса

£ттгаг+» (3)

n=1

1 Седлецкий Анатолий Мечиславович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

x—>00

является достаточным для полноты системы е(Л) в Ьа, а при а > р/2 — 1 уже не является. Но условие ¿(Л) > 0 влечет (3) (см. [2]), поэтому при р = 2, а < р/2 — 1 первая оценка в (2) с участием положительной константы явно завышена.

Требуется предъявить более адекватную константу.

Точность условия (2) для пространства Ь\ наводит на мысль искать подобную константу, пытаясь каким-то образом свести случай 1 < р < 2 к случаю р = 2. Но в шкале пространств Ьа нет вложений, что объясняется наличием двух особенностей Ь = 0 и Ь = то у веса Ьа. Во избежание этого недостатка мы вводим пространства Ьр'а = Ьр(К+, (1 + Ь)ав£) с весом (1 + Ь)а, имеющим единственную особенность Ь = то. Шкала пространств Ьр'а уже допускает вложения, и чтобы воспользоваться ими, нам потребовалось доказать равносильность свойства полноты системы е(Л) в пространствах Ьа и ЬР'а. В итоге получены следующие результаты.

Теорема 1. При 1 ^ р < то, а > —1 система е(Л) полна (неполна) в пространствах Ьа и Ьр'а одновременно.

Теорема 2. 1) Пусть 1 ^ р < 2, а > р/2 — 1. Тогда если

¿(Л) > а/р + (1/р — 1/2) или 2Д(Л; К) > а/р + (1/р — 1/2) (ЗК > 1), (4)

то система е(Л) полна в Ьа.

2) Пусть р > 2, а > р/2 — 1. Тогда для любого е > 0 найдется последовательность Л\ (Л2), такая,

что

¿(Л1) >а/р + (1/р — 1/2) — е (2Д(Л2; К) > а/р + (1/р — 1/2) — е (5)

при всех достаточно больших К) и система е(Л1) (е(Л2)) неполна в Ьа.

Отметим, что нижняя граница ¿(Л) в (4) обращается в нуль на полуинтервале ((р,а) € К2 : 1 ^ р < 2, а = р/2 — 1), разделяющем множества достаточности и недостаточности условия Саса, и что ч. 1 теоремы 2 охватывает также случай р = 1.

2. Из теоремы Рисса следует, что произвольный линейный непрерывный функционал Ф на пространстве Ьр(К+, и(Ь)сМ), 1 ^ р < то, имеет вид

(Ф,/)=/ /(ф1/р(ЬЖЬ)^, / € Ьр(К+ ,и(Ь)й), (6)

Jш.+

где функция ф € Ьр', 1/р + 1 /р' = 1, однозначно определяется по функционалу Ф.

Преобразование Лапласа функционала Ф определяется как Ф(-ш) := (Ф,е-^). В силу (6) преобразование Лапласа функционала на Ьр(К+, и(Ь)сМ) имеет вид

Ф(ад) = / е-ыш1/р(Ь)ф(г)М, ф € Ьр', а > —1, Ие w> 0. (7)

Если вес и(Ь) растет не быстрее степени (в частности, если и(Ь) = Ьа, (1 + Ь)а), то функция Ф^) аналитична в полуплоскости Ие w > 0. Так как неполнота системы элементов банахова пространства равносильна существованию нетривиального линейного непрерывного функционала, аннулирующего эту систему, то верна

Лемма. Пусть 1 ^ р < то, а вес и(Ь) растет не быстрее степени. Тогда для неполноты системы е(Л) в Ьр(К+,и(Ь)сМ) необходимо и достаточно, чтобы существовала нетривиальная аналитическая функция Евида (7), обращающаяся в нуль в точках Л.

Доказательство теоремы 1. Будем понимать под (А) (под (В)) условие неполноты системы е(Л) в Ьа (в Ьр'а). Необходимо доказать, что (А) ^ (В).

Имеем очевидные плотные топологические вложения Ьр'а ^ Ьа, а > 0; Ьа ^ Ьр'а, —1 < а < 0. Отсюда следует, что (А) ^ (В), если а > 0, и (В) ^ (А), если —1 < а < 0. Поэтому остается доказать, что

(В) ^ (А), если а > 0, и (А) ^ (В), если — 1 <а< 0. (8)

В доказательстве будет использовано следующее известное свойство свертки:

д € Ь1(К), / € Ьр(К), 1 < р < то ^ / * д € Ьр(К). (9)

Начнем с доказательства второй импликации (8). Дано, что система е(Л) неполна в Ьа, —1 < а < 0. По лемме найдется нетривиальное преобразование Лапласа (7) с и(Ь) = Ьа, обращающееся в нуль в точках

Л. Рассмотрим свертку д = % * (Ьа/рф(Ь)), где % — характеристическая функция интервала (0,1). Наша цель — показать, что

д(Ь) = (1 + Ь)а/рЬ(Ь), К € Ьр'(К+). (10)

Этим вторая импликация (8) будет доказана.

Действительно, пусть О^), X— преобразования Лапласа функций д, % соответственно. Тогда, во-первых, по теореме о свертке О^) = Xи, следовательно, О(Л) = 0. Во-вторых, О^) будет иметь вид (7) с и(Ь) = (1 + Ь)а, и по лемме система е(Л) будет неполной в Ьр'а. Имеем

g(t) = í ua/p 4>(u)du, 0 <t< 1; g(t) = í иа/рф(п)0п, t> 1, ф e Lp'. Jo Jt-i

Отсюда

|g(t)| < C, 0 <t< 2; |g(t)| < Ci(1 + t)a/p í ^(u)\du, t > 2.

Л-i

Последний интеграл есть сужение на (2, то) свертки функций % e L и ф e LP . По свойству (9) эта свертка лежит в Lp , и, значит, функция g |(2,те) имеет вид (10). А функция g | (0,2), будучи ограниченной, заведомо имеет такой вид. Вторая импликация (8) верна.

Перейдем к доказательству первой импликации (8). Пусть система е(Л) неполна в Lp'a, а > 0. По лемме найдется нетривиальное преобразование Лапласа (7) с u(t) = (1 + t)a, обращающееся в нуль в точках Л. Рассмотрим свертку

g = (tY |(o,i)) * ((1+ t)a/pФ(t)),

где точное значение y > 0 будет выбрано позже. Ссылаясь на доказательство второй импликации (8), делаем вывод, что достаточно доказать представление

g(t) = ta/ph(t), h e Lp' (R+). (11)

Имеем

g(t) = [ (t — u)Y(1 + u)a/pф(u)du, ф e Lp', (12)

Jj (t)

где J(t) = (0,t), 0 <t < 1; J(t) = (t — 1,t), t > 1. При 0 <t < 1 по неравенству Гельдера получаем

|g(t)| < 2a/pU\\p^ J\t — u)pYdu^ / = CtY+1/p. Значит, если y > а/р — 1, то g |(o,i) имеет вид (11). При t > 1 из (12) следует, что

|g(t)| < Cta/p f |ф(u)|du. Jt-i

Последний интеграл есть сужение на (1, то) свертки % e L1 с ф^ Lp'. По свойству (9) эта свертка лежит в Lp . Значит, и функция g |(i,^>) имеет вид (11). Первая импликация (8) доказана. Теорема 1 верна.

Доказательство теоремы 2. Сначала убедимся в справедливости плотного топологического вложения

Lqe ^ Lp'a, 1 < p<q< то, а<р(в + 1/ — 1. (13)

Действительно, в обозначениях r = q/p, r' = q/(q — p) по неравенству Гельдера имеем

если а < р(в + 1)/q — 1. (Здесь \\f \\p,a обозначает норму f в Lp'a.) Вложение (13) верно. Его плотность следует из плотности в Lp,a финитных функций класса C^.

Будем доказывать теорему для характеристики ¿(Л). Для удвоенной характеристики W(Л; h) доказательство проводится совершенно аналогично.

1) В (13) положим д = 2. Тогда Ь2в ^ Ьра, если 1 ^ р < 2 и в/2 > а/р + (1/р — 1/2). Значит, если последнее условие выполнено, то полнота системы е(Л) в Ь2'в влечет ее полноту в Ьр'а. По теореме 1 полнота системы е(Л) в Ь^ влечет ее полноту в Ьа.

Пусть выполнено условие (4). Фиксируем в таким, чтобы ¿(Л) > в/2 > а/р + (1/р —1/2). Тогда в > 0, и по теореме А система е(Л) полна в Ьв. Следовательно, она полна и в ЬЬа. Утверждение 1 доказано.

2) В (13) поменяем местами р и д, а также а и в и положим д = 2. Тогда если р > 2 и

в/2 < а/р + (1/р — 1/2), (14)

то Ьр'а ^ Ь2'в. По теореме 1 неполнота системы е(Л) в влечет ее неполноту в ЬО*-

При заданном е > 0 фиксируем в > 0 таким, чтобы вместе с (14) выполнялось условие

а/р + (1/р — 1/2) — е/2 < в/2. (15)

По теореме А найдется последовательность Л1, такая, что

¿(Л1) > в/2 — е/2 (16)

и система е(Л1) неполна в Ьв. Значит, она неполна и в Ьа. Из (15) и (16) видно, что условие (5) для плотности ¿(Л1) выполнено. Утверждение 2 также верно. Теорема 2 доказана. Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13-01-00281-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Седлецкий А.М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физ-матлит, 2005.

2. Седлецкий А.М. Аппроксимация типа Мюнца-Саса в прямых произведениях пространств // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. 70, № 5. 179-198.

3. Седлецкий А.М. Аппроксимация типа Мюнца-Саса в весовых пространствах Lp и нули функций классов Бергмана в полуплоскости // Изв. вузов. Матем. 2008. № 5. 92-100.

4. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент в пространствах функций на луче и постоянная Коренблюма-Сейпа // Уфим. матем. журн. 2009. 1, № 1. 77-83.

Поступила в редакцию 07.02.2013

УДК 511

ОЦЕНКИ ПОЛНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С ПРОСТЫМ ЗНАМЕНАТЕЛЕМ

А. Н. Васильев1

В работе получены верхние оценки полных рациональных тригонометрических сумм специального вида с простым знаменателем.

Ключевые слова: верхние оценки, полные рациональные тригонометрические суммы.

Upper bounds are proved for special complete rational exponential sums with a prime denominator.

Key words: upper bounds, complete rational exponential sums. Мы будем рассматривать полные рациональные тригонометрические суммы с простым знаменателем S = S (/) = Yl е 71 р г, где / (х) = а\Х + агж2 + ... + апхп — многочлен с целыми коэффициентами,

x=1

1 Васильев Антон Николаевич — преп. каф. математики и информатики Казахстан. филиала МГУ (г. Астана), e-mail: [email protected].