О полноте систем экспонент по нулям функций типа синуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

О ПОЛНОТЕ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ ПО НУЛЯМ ФУНКЦИЙ ТИПА СИНУСА

© Р. А. Башмаков1*, А. А. Махота1, Р. С. Юлмухаметов2

1Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

2Институт математики с ВЦ УНЦ РАН Россия, Республика Башкортостан, 450077 г. Уфа, ул.Чернышевского, 112.

*Email: [email protected]

В работе рассматривается гильбертово пространство функций на вещественной оси, суммируемых с квадратом с весом, определяемым некоторой выпуклой функцией. Дается описание сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа. Определение функции типа синуса, данное в работах Любарского Ю. И., Левина Б. Я. распространяется на более широкий класс целых функций, рост которых определяется некоторой заданной субгармонической функцией. Получены некоторые оценки в окрестности нулей целых функций этого вида, изучены нулевые множества, доказан критерий полноты системы экспонент, построенной по нулям целой функции типа синуса в указанном пространстве.

Ключевые слова:

Лапласа.

Выпуклые функции, функции типа синуса, полнота, преобразование

Пусть I - интервал вещественной оси, к(Ь> -выпуклая функция на этом интервале и 1? (I, ехрК>-пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию

N

I

\f(t)\2e-2h(t)dt < ™

Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением

Для функционала 5 на пространстве I? (I, ехрк) его преобразованием Лапласа называется функция от комплексной переменной X, принимающая комплексные значения

5(Х> = Б(еи),Л Е С.

По теореме Рисса об общем виде функционалов на гильбертовых пространствах получаем, что преобразование Лапласа непрерывного функционала имеет вид

S(x)

-I,

f(t)e и-2h(t)dt

для некоторой функции f Е L2(I, exph).

В работе В. И. Луценко и Р. С. Юлмухаметова [1] доказана теорема, дающая описание сопряженного пространства к L2 (I, exph).

Преобразование Лапласа L\S^S устанавливает изоморфизм пространства, сопряженного к L2(I,exph), с гильбертовым пространством L2 (I, exph) функций F, аналитических в полосе } + Ш,] — [х ■ h(x) — sup(xt — h(t)< с нормой

WFW —

Jo J J

\F(x + iy)\2

dh'(x)dy

при этом

K(x)

—I,

,2xt-2h(t) —

~Kt\

', X — X + iy.

Введем характеристику т(и, г, р> для выпуклых функций. Пусть г - фиксированная точка на плоскости. Для любого положительного числа г > 0 через В (г, г> обозначим круг { ж: | w- г | < г] и для непрерывной в В (г, г> функции f положим

\\f\l = тах^в^^^У

Пусть d ([,г,г> - расстояние от функции f до подпространства гармонических в В (г, г> функций: й (Т,г,г>= М{\\Г-Н\\г,]

Н - гармонична в В(г,г>. Если и(х > - выпуклая функция на интервале I вещественной оси, то функция и(ш > = и^е w > является непрерывной функцией в вертикальной полосе на плоскости. Для положительного числа р положим

х ( и,г,р > = sup{r ■ d (и, г ,р> <р].

Ясно, что х ( и,г,р> зависит только от Re г. Кроме того, поскольку функцию и при необходимости мы доопределяем, полагая равной вне интервала I , то х ( и,г,р > не может превосходить расстояния от у до границы интервала определения функции и .

Определение. Пусть и непрерывная субгармоническая функция в полосе / + Ж . Функцией типа синуса для функции и будем называть голоморфную в полосе } + Ж функцию Ь , удовлетворяющую условиям

1. Все нули гп, (п =1,2,3...) , функции Ь простые и при некотором е > 0 круги В( гпет(и, гп, 1>> , (п =1,2,3...) попарно не пересекаются.

2. При любом е > 0 вне множества кругов В( гпет(и, гп, 1>> , (п =1,2,3...) выполняется соотношение

Цп1Ь(г>1-и(г>1 < А(е>

Термин «функции типа синуса», по-видимому, впервые появился в работе [2], применительно к

нашему определению в этой работе речь идет о функции типа синуса для опорной функции к(г) = тах№Е^е гш некоторого выпуклого многоугольника О. В работе [3] понятие функции типа синуса обобщено для опорных функций выпуклых областей с гладкими границами. Класс всех функций типа синуса для функции и будем обозначать через Б(и).

Лемма 1. Если ЬеБ (и) , то Для всех комплексных значений г выполняется оценка

1Ь(г)1 < Сеи(г\ Если гп- нули функции Ь и круги Вп = В(и,гп,£т(и, гп,1)) не пересекаются, то в круге Вп выполняется оценка

L(z)

С(е)

,u(z)

г — гп ' т(и, гп, 1) где константа С (е) не зависит от п . Если гп- нули функции Ь , то для любого п и при всех г выполняются соотношения

L(z)

z- zr.

<

С2(г)

т(и, zn,1) + ^-zj

-,u(z)

где константы С1 (е), С2 (е) не зависят от п.

Доказательство. 1. Пусть гп - нули функции Ь и круги Вп = В( гпет(и, гп,1)) попарно не пересекаются. По определению величины т(и, гп, 1) для каждого из этих кругов найдется гармоническая функция Нп (г), такая, что

1и(г) -Нп(г)1 < 1,г Е В( гпет(и, гп,1)) Тогда на границе круга Вп МЬ(г)1-Нп(г)1

< ЦпЦКг) — иШ + 1и(г) — Нп(г)1 < А(е) + 1 Пусть функция дп (г) голоморфна в круге Вп и Regn(z) = Нп(г), тогда на дВп выполняется

11(г)е-9п(^)1 < еА(Е)+1, и по принципу максимума эта оценка продолжается внутрь:

1Ь(г)1 < еА(£)+11еЗп(^)1 = еА(е)+1енп(г) < еА(Е) + 2еи(г).

Утверждение пункта 1 доказано. 2. Функция е3п(г) — голоморфна в круге Вп и на границе этого круга удовлетворяет оценке

< еА(е)еНп(х)-и(х) ( 1) <

I 1(г) \ ~ у ' п ' ~

< еА(Е)+1ет(и, гп, 1), которая по принципу максимума продолжается вовнутрь круга:

l еА(Е>+1ет(и,гп,1)

um

<

k-zj

-Hn(z)

или

lz - znle-A(£)+1

£T(u, Zn, 1)

e

-A(E)-2

£j(u, Zn, 1)

^-zje

u(z)

По определению функции типа синуса на границе дВп выполняется оценка

L(z)

< еА(Е) -

1

-е

u(z)

г — гп ет(и,гп,1)

которая, так же как в первом пункте, продолжается внутрь круга:

L(z)

<

Ci(£)

eu(z),zEBn

г — гп £т(и, гп, 1) Для всех точек вне круга Вп по первому пункту доказываемой леммы имеем оценку

L(z)

Z Zr,

<

Ci(£) ^-zj

eu(z),zEBn

2У | f

Лемма 1 доказана.

Пусть Л - некоторое множество точек на плоскости. Систему экспонент еХ2, Х Е Л будем обозначать через Е(Л). Для голоморфной функции L через ЛL обозначим множество нулей функции L (без учета кратностей).

Мы будем рассматривать вопросы полноты, минимальности и разложения в ряд функций в пространствах (I, ехр ^ по системам экспонент Е(Л^, где Ь - функция типа синуса для некоторой выпуклой ассоциированном интервале ) функции и. Будем считать интервал I ограниченным.

Лемма 2. Пусть И - выпуклая функция на ограниченном интервале I = (а, Ъ) Тогда

Функция к(х) определена при всех вещественных значениях х и

1к*1) — К*2)1 < тах^ьЩ^ — Х11У%1,Х2, йИ"(х) < (Ь — а).

Имеют место равенства

}1(х) П(х)

пт = —а, ит . . = Ь.

х^-ж 1x1 х^-ж 1x1

Доказательство. 1. Возьмем произвольное е > 0 и пусть 10 Е (а, Ъ) такая точка, что

Х1 ¿0

1г(10) + £

Тогда

}г(Х1) — К(Х2) = Иг(х1) — suptЕ(a,b)(xt — И^) < тах^аыШ^ — *21 Поменяв местами х1, х2 получим условие Липшица для функции гг.

Из полученной оценки, в частности, следует,

что

^^ < тах{Е(а^.

Заметим, что для любого вещественного с Йг(х) — сх = suptЕ(a,b)(x(t — с) — И^)

= SUpTЕ(a-c,b-c)(xT — К(Т + С)),

следовательно,

\h±,(x)-cl <

тах

а+Ь

тЕ(а—с,Ь—с)

м.

Если положить с = —, то

2

|~ I Ь — а

1г1±,(х) — с1 <■

Остается заметить, что

2

JäW-Jdfa)-^-

rN

= lim I d(h(x) — cx)

= h_'(N — c) — h+'(—N — c)<(b — a). Пусть h0= min h(t). Тогда при x > 0 h(x) = supa£t£b(xt — h(t)) < bx — h0

поэтому

<t<b

h(x) lim ^-t- < b.

n^rn \x\

Для произвольного е > 0 имеем

К(х) Нт = Ь

п^+ю 1x1

Предел в —го вычисляется также.

Лемма 2 доказана.

Теорема 1. Пусть И - выпуклая функция на ограниченном интервале I вещественной

оси, К(х> = / е2х1-2Н(^йЬ - выпуклая функция на М . Пусть далее Ъе 5 (и) . Система экспонент Е (Л1) полна в пространстве Ь2(1,ехрИ) тогда и только тогда, когда не существует нелинейной выпуклой функции р(х> вещественной переменной х , которая удовлетворяет условию

V (х > + и (х > < И (х >, при всех вещественных значениях х.

Доказательство.

Достаточность. Предположим, что не существует выпуклой функции с указанными свойствами, однако, система Е(Л1 > не полна в пространстве 1?(1,ехрИ>. По теореме Банаха о полноте найдется ненулевой функционал 5, равный 0 на всех экспонентах из Е(ЛЬ >. Тогда преобразование Лапласа Б(г> этого функционала - целая функция, равная нулю на всех ХеЛь, и эта функция удовлетворяет соотношениям

|5(г)| < СеНКе 2 для всех комплексных значе-

ний z

I

\S(x+iy)\2 К(х)

d h'(x)dy < <ж.

Функция S(z) делится на функцию L(z ) , пусть S(z ) = д (z) L(z ) . Значит

I

\g(x + iy)\

2\L(x + iy)\2

dh'(x)dy

K(x)

= j(j\g(x + iy)\2\L(x 1

+ 1У>12 ^И' (х> < го,

то есть интеграл

J|g(x + iy>|2|L(x+iy>|2dy (1)

почти всюду по мере ^ конечен. Пусть Ль =

{гп],п = (1,2,3 ...), нули функции Ь и В(гп, 2ет(и, гп, 1>> попарно непересекающиеся круги, вне которых выполняется оценка

еи(х> < ^(х + 1у)К А(2е)еи(х>

А(2е) (2)

Пусть на прямой Re г = х0 интеграл (1) конечен,

Е(2е> = II В (гп,2ет(и,гп,1>),

и

Е(2е> П{г = х0 + ¿у] = х0 + ^(¿у^ 1ук+1>

кЕЖ

причем, отрезок от точки х0 + 1у2—1 до точки х0 + (/ - целое), лежит в одном и том же круге.

Возьмем произвольные целые числа п, т, через Г обозначим отрезок от точки х0 + 1у2п+1 до точки хо + 1у2т и через 2d - его длину. Пусть

Г1(2 е) = Г П Е(2е),Г1(2 е) =ПГ1(2е> и d1 (2е), d2 (2е) их длины, соответственно. Тогда, очевидно,

2d = d1(2£) + d2(2£)

Поскольку d1(£) <-d1(2£), то

21 d2(£) = 2d — d1(£) > 2d—-d1(2£) 12

= 2^ — — (2й — й2(2е)) 12

= - d2(2£) > а

Если

С = ! Ыхо + IУЮКхо + то по соотношению (2)

С >

J \g(x0 + iy)\2\L(x0 + iy)\2dy

h^e)

„и(х) с

I \д(х0 + iy)\2dy,

Jl„ (R)

Предположим, что функция д имеет вид Веа2,а = а1 + 1а2. Если, например,

а2 < 0, то при у > 0 получим ^^ + ЬуУ = ^^х™2 = Ме"!*»-™ > ^е"!'», значит, если числа п, т возьмем так, чтобы отрезок Г лежал на луче г = х0 + 1у, у > 0, то

0и(х)

0и(х)

С>Мё) meaiX° J Ыу = Мё) \B\eaiX°di(£)

„и(х)

>

А(£)

\B\eaix°d.

Поскольку длину отрезка Г мы можем сделать сколько угодно большой, то последнее соотношение невозможно. Таким образом, функция g не может оказаться экспонентой, в частности, постоянной.

Для краткости введем обозначение тп = т(и,гп,1) Вне попарно не пересекающихся кругов Вп = В (zn, £тп) выполняется оценка

\g(z)\ <-^Ce}liRez) < CeA(£)eIi(Rez)-u(z), (3)

и по пункту 2 леммы 1 в каждом круге Вп имеет место оценка

\g(z)\ < (4)

\L(z)\

£eh(Re z) < ciTn ch(Re z)-u(Re z)

\z-zn\

Пусть T = maxtgI\t\. По лемме 2 для z из B(zn, T) имеем

i

г) — К^е гп)1 < Т2, поэтому из соотношения (4) следует, что если етп> Т, то для г Е дБ (гп, Т) выполняется оценка

1д(г)1еи(Ке< ■

Г т

Ulln.eT2eh(Re zn)

Т

которая по принципу максимума для субгармонических функций продолжается внутрь круга В(гп,Т):

1д(г)1 < С±Тп с2т2сН(Ке 2Ь"№е г),

(5) Г

Если г Е В(гп, тп)В(гп, Т), то из оценки (4) по-

лучим

Г т

\g(z)\ z)-u(Re z)

то есть оценка (5) выполняется при всех z из круга Вп. Если тп < Т, то точно также получим, что в круге Вп = В (zn, етп) выполняется оценка

\g(z)\ < C1e2T2eíl(Rez)-u(Rez)

Отсюда и соотношения (5) для z Е Вп верна оценка

1дШ < C2TneK(Rez)—u(Rez). (6)

Если х (и, 0,1) обозначим через с0, тогда верна оценка

тп= х (и, 0,1) = т(и, Re zn, 1) < т(и, 0,1) + |Re znl

= lxn\ + C0 .

Если z = x + iy Е Bn, то

lxnl < И + lx - xj < И + £Tn < |x| +

^X^ + £Cq ,

следовательно,

Ы <-—- M +-^c0.

1 —£ 1 —£

Таким образом, для всех z Е Вп имеем _ 1 1 тп = z 1x1 + z со 1 — £ 1 — £

и из неравенства (5) вытекает С

lg(z)l < —— (|Re zl+c0)eh(Rez)—u(Rez) 1 — £

Учитывая соотношение (3) получим, что для всех комплексных z имеет место верхняя оценка

(7)

\g(z)\ < C2(\Rez\ + 1 + c0)eh(Rez)-u(Rez) supv\^(x + iy)\ < C2(\x\ +1 +

c0)eh(x)-u(x)

Х\х —вещественное. Функция ю(г) = зируЫ^г + ¿у)1 субгармонична и зависит только от Re г, следовательно,

ж(х) = зируЫ^г + Iу)1, (х —вещественное)

—выпуклая функция и

ы(х) < 1пС2 + 1п(|х| + 1 + с0) + (Ъ.(х) —

и(х)), (8)

при всех вещественных значениях х Далее рассмотрим два случая: а) ш(х) - линейная и Ь) ш(х) - нелинейная функция.

а) Пусть ш(х) - линейная, тогда д(г) - целая функция экспоненциального типа, причем, как было доказано раньше, g не может быть экспонентой, в том числе, постоянной функцией. Следовательно,

эта функция имеет хотя бы один нуль. Пусть д(^) = 0 и

di(z) =

z — X И

Если \z\ > 2\X\, то \X\ <— и

И

\z — X\>\z\ — \X\>y,

поэтому

\3i(z)\ <

2\g(z)\

Вместе с оценкой (7) отсюда получим, что при \z\ > max(2\X\,1)

\9i(z)\ < 2С7

\Re z\ + 1 + c0

-e

h(Re z)-u(Re z)

" 121

< 2С2(2 + с0)ен^е*)-и(Ке

В силу непрерывности функций в левой и правой частях, отсюда следует, что найдется постоянная С3 , такая, что для всех комплексных z выполняется оценка

1дг(г)1 < С3етег)-и(Ке и, тем самым, для всех вещественных значений х имеет место соотношение Wl(x) = зир^п^! (х + 1у))1

< Ь^е г) — и^е г) + 1пС3 Докажем от противного, что выпуклая функция

ш1(х) нелинейна. Предположим, что всех вещественных значений х

ж(х) = кх + Ъ,т1(х) = к1х + Ь1 Поскольку

1д&\ 1дШ

\gi(z)\ <

<

\z — X\~ \Re z — ReÄ \

то

ное.

щ(х) < ш(х) — 1п|х — Re Л1,х — веществен-

Поделив это неравенство на х и устремив х к и к —го, получим, что к = к1 , тогда последнее неравенство превратится в соотношение Ъ1 <Ь—1п|х —Re XI, при вещественных значениях переменной х, которое невозможно. Итак, нелинейная выпуклая функция р(х) = w1(x) — 1пС3 - удовлетворяет соотношению

р(х) — и(х) < к^е г) — и^е г) Это противоречит нашему предположению о том, что подобной выпуклой функции не существует.

Ь) Теперь рассмотрим случай, когда функция w - нелинейна. Возьмем произвольное число Ь< w(0) и через точку (0, Ш) проведем две касательных прямых к графику функции w(x) . Пусть эти прямые есть графики линейных функций 11 (х) = ^х + Ь и 12(х) = к2х + Ь , причем к1 Фк2. Для определенности предположим, чток1 > к2. Тогда

11(х) < \^(х),12(х) < ж(х), Рассмотрим выпуклую функцию

1(х) = тах(11(х),12(х)) = \1122((^1Хх<0о

Тогда, если

L(x) = l2(x) - li(x),

то

l(x) = l1(x) + L+(x) < w(x) И функция g(z) = el±(z)F(L(z)) (см. [6]) является функцией типа синуса для субгармонической функции l(Re z) и по п.1 леммы 1 удовлетворяет при комплексных значениях z оценке lg(z)l < Cel(Rez), (9)

Из соотношения (8) для вещественных значений х получим lnlg(z)l < lnC + l(x)

< ln С + w(x)

< ln С + lnC2 + ln(|x| + 1 + c0)

+ (h(x) - u(x))

Функция g - функция типа синуса для нелинейной функции и поэтому имеет бесконечно много нулей. Пусть X - один из нулей этой функции. Так же как в пункте а) получим, что функция

f л 3(z)

3i(z) =Z—Т

z - X

удовлетворяет оценке

lg1(z)l < C3eK(Rez)-u(Rez) и, тем самым, для всех вещественных х имеет место соотношение

w1(x) = supyln|^1(x + ¿у))| < h(Re z) -u(Re z) + lnC3. (10)

Функция w1 не может быть линейной. Действительно, допустим, что w1 линейна, то есть w^x) = кх + с. Для каждого х, принимающего вещественные значения по определению точной верхней грани найдется ((х) = х + iy(x), такая, что ln|51(C(x))| >W1(x)-1,

тогда

lnl31(((x))^ W1(x)-1 lim -> lim -= к

х^+ж x х^+ж x

и

lnlg1(((x))\ W1(x) lim -< lim -= к

х^+ж x х^+ж x

значит

х^+ж X

Аналогично получим, что

„mlnMMU

х^-ж X

Учитывая соотношение (10), получим

lim ln|fl1(g*))|

х^+ж X

= Ит ln|g(C(x))|-ln|(C(x)-A)| ^^

х^+ж X ~

ln^ax^l l(x) + lnC lim -< lim -= k1

х^+ж x х^+ж x

lim

Х^ + ж

^ ^д^ЮУ ^ л- l(x) + lnC > lim -> lim -= к2

х^+ж X х^+ж X

то есть к2 < к < к1. Однако, мы предположили, что к2 < к1, следовательно, либо к2 < к, либо к < к1. Пусть для определенности к < к1 и

1))

- объединение попарно не пересекающихся кругов с центрами в нулях zm функции д, вне которого выполняется оценка 1

< йЮКАЮе™.

Выберем последовательность хп ^ +ж,хп Е. Тогда

ln^(e) + 1(хп)

= - ln^(e) + к1хп + Ь,

= ln|g(C(x))|-ln|(C(x)-A)| >

х^+ж X

1п1д1(хп)1 < }^1(хп) = кхп + с. Тогда 1п\д(хп)1 —\п\д1(хп)1

> —1пЛ(е) + (к1 — к)хп + Ь — с

либо

1п1хп — Л1 > —1пЛ(е) + (к1 — к)хп + Ь — с При к1>к и хп^ это неравенство невозможно.

Таким образом, w1(x) - нелинейная выпуклая функция. Соотношение (10) означает, что для нелинейной выпуклой функции р(х) = ш1(х) — 1пС3 -выполняется неравенство

р(х) — и(х) < к(х), но мы предполагали, что таких выпуклых функций не существует.

2. Необходимость. Допустим, что функция Ь -функция типа синуса для выпуклой функции и, система Е(ЛЪ) полна в пространстве I? (I, ехр к) и докажем, что не линейной выпуклой функции V , удовлетворяющей условию

р(х) — и(х) < к(х) (11)

не может существовать. Проведем доказательство от противного: для некоторой не линейной выпуклой функции V условие (11) выполняется. Возьмем произвольную точку Ъ , Ь< р(0) , и проведем две касательные к графику функции V , проходящих через точку (0; Ы) . Пусть эти касательные суть графики линейных функций 11(х) = к1х + Ъ,12(х) = к2х + Ъ. Функция

д(г) = е11™Р(Ш — I&)) является (см. [6]) функцией типа синуса для выпуклой функции

1(х) = тах(11(х),12(х)) = 11(х) + (12(х) — 11(х))+ < р(х)

По п.1 леммы 1 для всех х Е С выполняется оценка

1д(г)1 < Сеш < Секетг и функция д имеет нули. Пусть X - один из нулей функции ди

d1(z) =

z- X

и

х

Очевидно, для функции 1(г) выполняется усло вие Липшица

ЦЮ — Цы^ <max(|k1|,|k2|)|z — w| = Цг

—комплексные и на границе круга В (Л, 1) имеем оценку

^гШ < Се1(Ке < Секе1(Ке Л) которая по принципу максимума для субгармонических функций продолжается внутрь круга < Секе1(Ке< Се2ке1(Ке Таким образом, имеем оценку для всех г из плоскости

2Се2к , с(А,к) „„ л

lz-Äl+1 ~lzl+1

Ci

<

|Re zl + |Im zl + 1

¿(Re z)

■e

v(Re z)

и, значит,

lg1(z)l<-^ .

lmwl _ |Re zl + lImzl + 1

Отсюда следует соотношение Jlgi(x + iy))l2dy < Cié™ f

(12)

dy

|x| + 1

(13)

имеем

1

< Ст(к,х,1)е-

(М+Ы+1)2

■2h(x)

K(x)

и если т(И, 0,1) = c0, то (см. [6])

т(Ъ.,х, l) < \х\ + с0. Из последних двух неравенств получим 1

К(х)

< C2e~2h(x)(lxl+1).

Наконец, для функции типа синуса Ь функции и по лемме 1 (п.1) верна оценка

^(г^ < Сеи(Кег) Таким образом, из последних двух оценок и из соотношения (13) получим Пд^2^^2 7 К^е г)

Учитывая условие (11) и п. 2 леммы 2 теперь имеем

-dh'xdy < C'fe2(v(x)+u(x)-h(x)dh'x.

f

lgi(z)l2lL(z)l2

dh'xdy < го

К^е г) Из (11), (12) следует оценка |g1(z)L(z)| < Сеу(Кег)+и(^е< СеК(*е Функция д1Ь является преобразованием Фурье Лапласа некоторого ненулевого функционала 5 на пространстве 12 (I, ехр И), причем

= д&ЩХ) = 0 если X Е Ль. По теореме Банаха о полноте система Л1 не полна в пространстве Ь2(1,ехр И), что противоречит нашему предположению о полноте этой системы. Значит, нелинейной выпуклой функции, удовлетворяющей условию (11), не существует. Теорема 1 доказана.

Лемма 3. Пусть р(х) - некоторая выпуклая функция на всей вещественной оси. Тогда существуют конечные или равные +го пределы

lim

v(x)

x—±rn \х\ '

причем, сумма этих пределов неотрицательна.

Более того, если функция v(x) нелинейна, то сумма

этих пределов положительна.

Доказательство. Заметим, что

v(x) lim -< —го,

х->+оо X

так как выпуклая функция мажорирует свои опорные прямые. Допустим, что

v(x)

lim -= а,

Х—+0! X

(14)

тогда для произвольного е > 0 на некоторой последовательности хп будет выполняться неравенство р(х) < (а + е)х. По выпуклости функции у(х) это неравенство будут выполняться и между этими точками, то есть, для всех х > х1. Тогда _ р(х)

lim

<а + £,

Х—+Ж X

В силу произвольности 6 > 0 получим

_ v(x)

lim -< а,

x—+rn X

и теперь вместе с (14) v(x) lim -= а

x—+rn X

Если же

то

v(x) lim -=

Х—+ОЭ X

v(x) lim -= + го.

х—+ж x

Возьмем произвольные числа у- < 0,у+ > 0. По свойству выпуклых функций имеем

v(x) > v'(y-)(x — у-) + v(y-), v(x)

lim > — v (y_)

x—_rn \x\

Аналогично получаем, что v(x)

lim "uT" > v (У+^>

x—+rn \X\

Значит

v(x) v(x)

lim + lim > v (y+) — v (y_)

x—_rn \x\ x—+rn \x\

Так как y_ < y+, то поскольку производная выпуклой функции возрастает, то v'(y_) < v'(y+) или v'(y+) — v'(y_) > 0. Очевидно, что если v нелинейна, то точки у_,у+ можно выбрать так, что v'(y+) — v'(y_) > 0.

Лемма 3 доказана.

Теорема 2. Пусть h - выпуклая функция на ограниченном интервале 1= (а; Ъ), и - выпуклая функция на вещественной оси. Пусть далее Le S(u). Система экспонент Е(ЛЬ) полна в пространстве L2 (I, exph) тогда и только тогда, когда

и(х) и(х)

lim + lim > b

x—_rn \x\ x—+rn \x\

Доказательство.

1 ~vx

Пусть система экспонент не полна в указанном пространстве. Тогда по теореме 1 найдется нелинейная выпуклая функция V, такая, что р(х) + и(х) < к(х). Тогда по п.2 леммы 2 получаем р(х) и(х)

Следовательно, при некоторой постоянной С2

lim | |

х^+ж |x|

+ lim

х^+ж |x|

< Ъ

— /

v(x) и(х)

lim + lim <

х^-ж |x| х^-ж |x|

Сложим эти соотношения:

v(x) v(x)

lim + lim

х^+ж |x| х^-ж |x|

( и(х) и(х)

+ ( lim + lim

\х^+ж |x| х^-ж |x|

<b-a.

По лемме 3 первое слагаемое слева положительно (функция v - нелинейна!), следовательно,

и(х) и(х)

lim + lim < b - а

х^+ж |x| х^-ж |x|

Пусть выполнено последнее неравенство. Оно означает, в частности, что оба предела слева конечны. Положим

и(х) и(х)

lim = В, lim = -А

х^+ж |x| х^-ж |x|

Тогда В - А < b - а. Пусть В-А = (Ъ-а)-4г. Положим к = b - В - 2г

Тогда

и(х) + кх lim -—;-= b

х^+ж |x|

2е, lim

Х^-ж

и(х) + кх

м

= -А - b + В + 2е = -а - 2е Очевидно, найдется М > 0 такое, что

и(х)+ кх й

и(х) + кх

< b - £,Х > М,

W

< -а - £,Х < -М

Следовательно, при некоторой постоянной

С-, имеем

и(х) + кх <(Ъ - е)х + С1,х > 0

и(х) + кх < (а + е)х + С^х <0

По п.2 леммы 2 найдется число М, так, что

h(x) е

-тт->Ь--,х>М

М 2

h(x)

иг

— /

£

гх<

м

имеем

И(х) > (ь + С2,х > 0

к(х) > (а+^)х + С2,х < 0 Сравнивая полученные оценки функций и(х) + кх и гг(х), приходим к выводу, что при некоторой постоянной С для всех х имеет место соотношение

и(х) + кх < h(x) - — С

Функция

£

р(х) —~1х1 — С + кх - нелинейная выпуклая функция и, по последнему неравенству имеем у(х) + и(х) < Ъ.(х). По теореме 1 в этом случае система Е(ЛЬ) не полна. Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Луценко В. И., Юлмухаметов Р. С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Матем. Заметки. 1990. ^ 48. №5. С. 83-87.

2. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39. №3. С. 657-702.

3. Любарский Ю. И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52. №3. С. 559-580.

4. Башмаков Р. А., Путинцева А. А., Юлмухаметов Р. С. Целые функции типа синуса и их применение // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. №5. С. 49-68.

5. Башмаков Р. А., Махота А. А., Трунов К. В. Об условиях отсутствия безусловных базисов из экспонент // Уфимск. матем. журн. 2015. Т. 7. №2. С 19-34.

6. Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С., Юнусов А. А. Целые функции с тонкими асимптотическими оценками для выпуклых функций // Уфимск. матем. журн. 2014. Т. 6. №2. С 36-44.

7. Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С. Об отсутствии безусловных базисов из экспонент в пространствах Бергмана на областях, не являющихся многоугольниками // Изв. РАН. Сер. Матем. 2007. Т. 71. №6. С 69-90.

8. Исаев К. П., ЮлмухаметовР. С. О безусловных базисах из экспонент в гильбертовых пространствах // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3. №1. С 3-15.

9. Башмаков Р. А. Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на R: Дис. ... канд. физико-математических наук: 01.01.01. Ин-т математики с Вычисл. центром Уфим. науч. центра РАН. Уфа. 2006.

Поступила в редакцию 31.10.2016 г.

COMPLETENESS OF EXPONENTIAL SYSTEMS ON THE ZEROS OF SINE TYPE FUNCTIONS

© R. A. Bashmakov1*, A. A. Makhota1, R. S. Yulmukhametov2

Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Institute of Mathematics with Computing Center of RAS 112 Chernyshevsky St., 450077 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

*Email: [email protected]

In the article, a weighted space of square summable on the axis functions with a weight described by a convex function is studied. The description of the dual space is considered in terms of the Fourier-Laplace transform. The definitions of sine type functions given in works by Yu. I. Lyubarskii, B. Ya. Levin are extended for a large class of entire functions, whose growth is determined by some given subharmonic function. For the entire functions of this type, the zero sets were studied, some estimates for these functions in the vicinity of the zeroes were obtained, and the criterion for the completeness of the system of the exponentials constructed by the zeroes of the sine type function in the mentioned space was proved.

Keywords: convex functions, sine type functions, completeness, Laplace transform.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Lutsenko V. I., Yulmukhametov R. S. Matem. Zametki. 1990. Vol. 48. No. 5. Pp. 83-87.

2. Levin B. Ya., Lyubarskii Yu. I. Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1975. Vol. 39. No. 3. Pp. 657-702.

3. Lyubarskii Yu. I. Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1988. Vol. 52. No. 3. Pp. 559-580.

4. Bashmakov R. A., Putintseva A. A., Yulmukhametov R. S. Algebra i analiz. 2010. Vol. 22. No. 5. Pp. 49-68.

5. Bashmakov R. A., Makhota A. A., Trunov K. V. Ufimsk. matem. zhurn. 2015. Vol. 7. No. 2. Pp. 19-34.

6. Isaev K. P., Yulmukhametov R. S., Yunusov A. A. Ufimsk. matem. zhurn. 2014. Vol. 6. No. 2. Pp. 36-44.

7. Isaev K. P., Yulmukhametov R. S. Izv. RAN. Ser. Matem. 2007. Vol. 71. No. 6. Pp. 69-90.

8. Isaev K. P., YulmukhametovR. S. Ufimsk. matem. zhurn. 2011. Vol. 3. No. 1. Pp. 3-15.

9. Bashmakov R. A. Sistemy eksponent v vesovykh gil'bertovykh prostranstvakh na R: Dis. ... kand. fiziko-matematicheskikh nauk: 01.01.01. In-t matematiki s Vychisl. tsentrom Ufim. nauch. tsentra RAN. Ufa. 2006.

Received 31.10.2016.