CC BY
27
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 2 (2010). С. 67-89.
УДК 517.5
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
А.С. КРИВОШЕЕВ
Аннотация. Изучаются базисы в инвариантном подпространстве, составленные из линейных комбинаций собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования, показатели которых разбиты на относительно малые группы.
Ключевые слова: экспонента, базис, инвариантное подпространство, целая функция.
Пусть D — выпуклая область в комплексной плоскости C. Через H(D) будем обозначать пространство функций, аналитических в D, с топологией равномерной сходимости на компактах. Пусть W — нетривиальное (W = H(D) и W = {0}) замкнутое подпространство в H(D), инвариантное относительно оператора дифференцирования, т.е. вместе с каждой функцией д подпространство W содержит и ее производную g. В работе изучаются базисы в W, составленные из линейных комбинаций собственных и присоединенных функций этого оператора, показатели которых разбиты на относительно малые группы.
Собственными функциями оператора дифференцироания в H(D) являются exp(Az), а его собственные числа A заполняют всю комплексную плоскость. В подпространстве W спектр оператора дифференцирования является уже не более чем счетным множеством. При этом если он бесконечен, то единственная его предельная точка то. Поясним сказанное. Пусть /2(A) обозначает преобразование Лапласа функционала / Е H*(D): /2(A) = /(exp(Az)). Функция /2(A) является целой и имеет экспоненциальный тип, т.е. для некоторых A,B > 0 верно неравенство |/(A)| ^ A exp(B|A|), A Е C. Более того, известно (см., например, [1]), что преобразование Лапласа устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм пространств H*(D) и Pd , где Pd есть индуктивный предел Банаховых пространств,
ps = {f Е H(C) : ||f ||s = sup |f (A)| exp(-HKs(A)) < то}.
лес
Поскольку подпространство W С H(D) нетривиально, то существует ненулевой аналитический функционал / в области D, аннулирующий W (/(g) = 0 Vg Е W). В частности, он обращается в ноль на всех собственных функциях оператора дифференцирования в W, т. е. на всех экспонентах, принадлежащих подпространству W. Другими словами, если exp(Az) — одна из таких функций, то по определению преобразования Лапласа /2(A) = 0. Нулевое множество целой функции /2(A) не более чем счетно. Если оно бесконечно, то единственной его предельной точкой является то. Таким образом, верно сказанное выше относительно спектра оператора дифференцирования в W. Пусть J обозначает множество преобразований Лапласа всех функционалов / Е H*(D), аннулирующих подпространство W. Тогда J — замкнутое линейное подпространство в Pd .
Пусть {Aк} — набор общих нулей всех функций из J. Уже отмечено, что в случае, когда exp(Az) — собственная функция оператора дифференцирования в W, ее показатель
A.S. KRivosHEYEv, Basis is broken by relatively small groups.
© Кривошеев А.С. 2010.
Поступила 28 апреля 2010 г.
67
68
А.С. КРИВОШЕЕВ
A совпадает с одним из чисел Ak. Обратно, пусть функция exp(Az) не принадлежит подпространству W. Тогда в силу замкнутости последнего найдется функционал / Е H*(D), аннулирующий W и такой, что /(A) = /(exp(Az)) = 0. Следовательно, Л не входит в число общих нулей функций из J. Таким образом, множество {Ak} является спектром оператора дифференцирования в подпространстве W.
Наша основная задача — найти представление функций из W при помощи некоторых простых (с точки зрения их определения) функций этого подпространства. Таковыми несомненно являются собственные функции оператора дифференцирования. Однако одних лишь собственных функций недостаточно для такого представления даже в случае, когда W есть пространство решений линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Фундаментальный принцип Л. Эйлера утверждает, что это пространство совпадает с линейной оболочкой всех собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W. Последние, как известно, имеют вид zn exp(Az).
Пусть E — множество всех собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W. Опишем его. Поскольку подпространство W инвариантно относительно дифференцирования, то вместе с каждой функцией zn exp(Az) оно содержит и все функции вида zm exp(Az), где 0 ^ m ^ п. Поэтому с учетом сказанного ранее заключаем, что E есть совокупность функций {znexp(Akz)}, где {Ak} — набор общих нулей функций из J, и 0 ^ п < Пк. При этом для каждого номера к число Пк конечно и совпадает с кратностью общего нуля Aк. Последняя определяется из условий: 1) ^(n)(Aк) = 0 для любого п = 0,1,... ,Пк — 1 и любой функции ^ Е J,2) существует <^>к Е J такая, что ^knfc)(Ak) = 0. Действительно, дифференцируя равенство из определения преобразования Лапласа по A, получаем: /(n)(A) = (/, zn exp(Az)). Следовательно, если функция znexp(Az) принадлежит W, то A совпадает с одним из чисел Лk и п < Пк. Обратно, если zn exp(Az) не принадлежит W, то, как и выше, найдется функционал / Е H*(D), аннулирующий W и такой, что /i(n)(A) = (/,zn exp(Az)) = 0. Таким образом, E = {znexp(Akz)}, где {Ak, nk}
— совокупность общих нулей и их кратностей всех функций из J.
Очевидно, что необходимым условием представления функций из подпространства W посредством собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W является полнота множества E в W. Если это имеет место, то говорят, что подпространство W допускает спектральный синтез. В связи с этим в дальнейшем мы будем рассматривать только подпространства W С H(D), которые допускают спектральный синтез. К настоящему времени проблема спектрального синтеза в выпуклых областях комплексной плоскости достаточно хорошо изучена. К примеру, в очень важном частном случае, когда W является пространством решений однородного уравнения свертки
M^(g)(w) = /(g(z — w)) = 0 g Е H (D),z Е H *(D)
спектральный синтез всегда имеет место (см. [2]). Заметим, что, по крайней мере, для некоторых выпуклых областей D замкнутые подпространства в H(D), инвариантные относительно оператора дифференцирования, совпадают с пространствами решений системы однородных уравнений свертки (см., например, [3, 4]). Следовательно, наиболее общим примером инвариантных подпространств W можно считать пространства решений системы уравнений
(g)(w) = /i(g(z — w)) = 0,...,M№ (g)(w) = / (g(z — w)) = 0.
В этом случае есть простые достаточные условия наличия спектрального синтеза в W. Он имеет место, если существует функция ^ Е J, которая делится на характеристическую функцию / каждого оператора свертки M^ , j = 1,..., I (см. [5, 6]). Для общих инвариантных подпространств также имеются необходимые и достаточные условия допустимости спектрального синтеза (см. [5, 6]).
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
69
В дальнейшем для удобства обозначений мы ограничимся рассмотрением замкнутых инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез и имеющих бесконечный спектр, поскольку в противном случае инвариантное подпространство W совпадает с пространством решений линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Такое пространство представляет собой линейную оболочку собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W. Этот факт составляет содержание фундаментального принципа Л. Эйлера, который полностью решает проблему представления функций из W в этом случае.
Из сказанного выше следует, что любое нетривиальное замкнутое инвариантное относительно оператора дифференцирования подпространство в H(D), допускающее спектральный синтез, можно получить следующим образом. Выберем последовательность (Ак, Пк}, где А к — комплексные, а Пк — натуральные числа, удовлетворяющую условию: система E = (zn exp(Aкz)} не полна в H(D). По теореме Хана - Банаха последнее равносильно существованию ненулевого аналитического функционала f Е H* (D), который обращается в ноль на функциях системы E. Другими словами, найдется функция ^ Е Pd (преобразование Лапласа функционала f), которая обращается в ноль в точках А к с кратностью не меньшей, чем Пк. В качестве W возьмем теперь замыкание в H(D) линейной оболочки системы E. Полученное подпространство, как нетрудно видеть, является нетривиальным замкнутым инвариантным относительно оператора дифференцирования и допускает спектральный синтез. Таким образом можно получить любое указанное подпространство.
Лемма 1. Пусть D — выпуклая область в C, W — нетривиальное замкнутое инвариантное относительно дифференцирования подпространство в H(D), E = (zn ехр(Акz)}^nfcn=o — семейство собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) подпространство W допускает спектральный синтез,
2) множество J совпадает с множеством функций <р Е Pd, которые обращаются в ноль в точках Ак с кратностью не меньшей, чем пк, k = 1, 2,...
Доказательство. 1 ^ 2. Предположим, что утверждение 1 имеет место и пусть ^ Е J. Если f — аналитический функционал в D, преобразованием Лапласа которого является функция <^, то по определению множества J функционал f аннулирует подпространство W. В частности, он обращается в ноль на всех функциях системы E. Поэтому ^ = f обращается в ноль во всех точках А к с кратностью не меньшей, чем п к. Пусть теперь ^ Е Pd обращается в ноль во всех точках А к с кратностью не меньшей, чем п к, и f Е H *(D) такой, что ^ = f. Тогда f обращается в ноль на всех функциях системы E. Поскольку E полна в W, то отсюда с учетом непрерывности функционала f следует, что он аннулирует подпространство W. Поэтому согласно определению множества J оно содержит функцию
2 ^ 1. Предположим, что утверждение 2 верно, но тем не менее подпространство W не допускает спектральный синтез, т.е. система E не полна в W. Через W обозначим замыкание в H(D) линейной оболочки множества E. Тогда найдется функция g Е W, которая не принадлежит W. По теореме Хана - Банаха существует функционал f Е H*(D), аннулирующий подпространство W и такой, что f (g) = 0. Последнее означает, что функция f Е Pd не принадлежит множеству J. С другой стороны, функционал f аннулирует W и, в частности, обращается в ноль на всех функциях системы E. Это означает, что f обращается в ноль во всех точках Ак с кратностью не меньшей, чем Пк. Тогда согласно утверждению 2 функция f принадлежит множеству J. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
Элементы инвариантного подпространства W с бесконечным спектром в отличие от случая конечного спектра не всегда могут быть представлены как линейные комбинации собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W и даже как
70
А.С. КРИВОШЕЕВ
ряды по таким функциям. Как уже было отмечено во введении, такому представлению может помешать излишняя концентрация точек спектра, т.е. сильное сближение точек Ак друг с другом при к ^ ж. Некоторые элементы системы E в такой ситуации, являясь линейно независимыми, будут тем не менее слишком схожи по поведению. В результате появляются ряды по функциям системы E, которые расходятся, но после подходящей расстановки скобок в них становятся сходящимися. Это приводит к тому, что некоторые функции из W (суммы "рядов со скобками") не могут быть представлены рядами по функциям системы E. Иногда удается исправить ситуацию с представлением, заменив функции системы E другими функциями. Для этого нужно провести процедуру, схожую (но лишь по смыслу) с процессом ортогонализации полной системы в гильбертовом пространстве, после которой новая полная система становится базисом. К осуществлению подобной процедуры мы сейчас и приступим.
Пусть W — нетривиальное замкнутое инвариантное относительно дифференцирования подпространство в H(D), допускающее спектральный синтез, и E = {znexp^kz)}^Пга=о
— система собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W. Функции новой системы, которая должна стать базисом в W, будем искать как линейные комбинации элементов системы E, разбитой на "относительно малые группы". Пусть последовательность {Ак} разбита на группы Um, m = 1, 2,... Сделаем перенумерацию членов этой последовательности. Точки Ак, попавшие в группу Um, будем обозначать Атд, а их кратности — пт,1. Здесь первый индекс m совпадает с номером группы, а второй индекс меняется в пределах от 1 до Mm, где Мт — число точек спектра, попавших в группу Um. Будем говорить, что группы Um, m = 1, 2,... , относительно малы, если выполнено следующее:
1 • 1 Ат,7 Ат,11 п
iim max -—-:-= 0.
т^те 1<j,l<Mm |Ат,11
Заметим, что числа Ат>1 здесь можно заменить любыми другими представителями Атj групп ит. Это сразу следует из соотношения
1 • 1 Ат, j \ ^ т 1 Ат, j Ат, 11 , . 1 Ат, 11
iim max —-- ^ iim max -—-.--+ iim —-- = 1.
т^те 1^j,l^Mm \Ат,1 \ т^те 1<j,l^Mm \ Ат,1 \ т^те \Атд\
В новых обозначениях система собственных и присоединенных функций выглядит следующим образом: E = {zn exp . Пусть Nm — число точек спектра, попавших
Mm
в группу Um, m = 1, 2,... , с учетом их кратности, т.е. Nm = ^. По системе E построим
l=1
систему функций E = {emj (z)^^™^. Положим
Мт Пт,1-1
бт)7-(z) = £ ^2 Cmj,l,nzn exp^m.lz), m = 1, 2,..., j = 1, 2,..., Лщ.
l=1 n=0
Наша ближайшая задача — подходящим образом определить коэффициенты cmj;l;n. Фиксируем номер m > 1. Пусть Wm — линейная оболочка функций zn exp(Am)lz), l = 1, 2,... , Мт, n = 0,1,..., nm>l — 1. Множество Wm — конечномерное (а значит, и замкнутое) подпространство в H(D) размерности Nm. Предполагается, что система E будет базисом в W. Поэтому набор функций emj (z), j = 1, 2,... , Nm должен быть базисом в Wm. Сопряженное к Wm пространство Wm можно отождествить со стандартным подпространством Q(Nm — 1) многочленов степени не выше Nm — 1. Поэтому проще всего искать базис в Wm как базис, биортогональный к базису в этом подпространстве. Для дальнейшего нам удобно поподробнее описать процесс отождествления Wm с Q(Nm — 1).
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
71
Поскольку H(D) является пространством Фреше - Шварца, а Wm — его замкнутое подпространство, то (см., например, [7]) Wm алгебраически и топологически изоморфно фактор-пространству H*(D)/Wm, где Wm — замкнутое подпространство в H*(D), состоящее из функционалов, аннулирующих Wm. Используя преобразование Лапласа, мы как следствие получаем также изоморфизм Wm — Pd /Jm, где Jm — замкнутое подпространство в Pd , состоящее из преобразований Лапласа элементов Wm. Поскольку Wm — линейная оболочка функций zn exp(Am>lz), l = 1,... , Mm, n = 0,..., nm>l — 1, то функционал из H*(D) принадлежит подпространству Wm тогда и только тогда, когда он обращается в ноль на всех этих функциях. Следовательно, множество Jm состоит из тех и только тех функций ^ Е Pd , которые обращаются в ноль в точках Am,l с кратностью не меньшей, чем nm,l, l = 1, 2,...,Mm. Поэтому функция ш Е Pd принадлежит классу эквивалентности [^] Е Pd/Jm, порожденному функцией ^, тогда и только тогда, когда выполнены равенства w(n)(Am>l) = ^(n)(Am>l), l = 1, 2,... , Mm, n = 0,1,..., nm,l — 1. Пространство Pd содержит в себе все многочлены. Кроме того, существует единственный многочлен q(A) степени не выше Nm — 1, который в точках Am,l, l = 1, 2,... , Mm вместе со своими производными до порядка nm,l — 1 включительно принимает заданные значения am,l Е C. Таким образом, имеет место изоморфизм между пространствами Wm и Q(Nm — 1), определяемый равенствами v(znexp(Am>lz)) = q(n)(Am>l), l = 1, 2,... , Mm, n = 0,1,... , nm>l — 1 где v Е Wm и q Е Q(Nm — 1).
Чтобы обеспечить подходящие оценки на функции emj (z), мы несколько модифицируем стандартный базис в пространстве многочленов Q(Nm — 1). В качестве базиса в этом пространстве возьмем систему 0m = {(A j1 }^=0-1. Теперь мы можем определить базис в пространстве Wm как систему функций Em = {emj (z) }^=П, биортогональную к 0т. Пусть vmj — функционал из Wm, соответствующий многочлену (A j-11)— при указанном изоморфизме. Положим bmj;l,n = vmj(zn exp(Am>lz)), j = 1, 2,... , Nm, l = 1, 2,... , Mm, n = 0,1,... , nm,l — 1. Биортогональность систем Em и 0m обеспечивают равенства
Mm nm,|-1 Mm nm,|-1
E E cm,j,l,nbm,j,l,n 1 E E cm,j,l,nbm,j,l,n 0,
к = j.
l=1 n=0 l=1 n=0
Следовательно, вектор, составленный из коэффициентов cmj;l;n, l = 1,2,...,Mm, n = 0,1,... , nm,l — 1, является j-й строкой квадратной матрицы порядка Nm х Nm, обратной к матрице, j-м столбцом которой является вектор, составленный из чисел bmj,l,n, l = 1, 2,... , Mm, n = 0,1,... , nm,l — 1. Заметим, что в частном случае, когда группа Um состоит лишь из одной точки Ат>1 (и тогда Nm = nm>1), указанные матрицы являются единичными. В этом случае система Em имеет вид Em = {zj-1 exp^^z)}^.
Таким образом, мы построили систему функций E = {emj (z)}^^^m=1, обладающую следующим свойством: для каждого m = 1, 2,... набор элементов E = {emj(z)}Nm1 является базисом в пространстве Wm, биортогональным к базису 0m = {(A-'j’mд ^ }^=С-1 в пространстве Q(Nm — 1). При этом действие функционала из Wm, определяемого многочленом (A-jm 1 ^ , на функцию zn exp(Am)lz) задается как значение n-й производной этого многочлена, вычисленной в точке Am,l.
Отметим, что построенная система функций E обладает биортогональной последовательностью функционалов {^mj^=1m=:L ^ H*(D). Действительно, любая неполная в H(D)
система функций E = {zn exp(Am)lz)^=Mm=nm,’=01 (это имеет место в нашем случае, поскольку W — собственное подпространство в H(D)) обладает биортогональной последовательностью функционалов из H*(D) (см., например, [3, гл.2, ] или [8]). Для каждого
72
А.С. КРИВОШЕЕВ
m = 1, 2,... функционалы /m,j, j = 1,... , Nm можно определить как линейные комбинации элементов последней последовательности. Коэффициенты этих линейных комбинаций являются строками указанной выше матрицы, составленной из производных многочленов (Л 1 , вычисленных в точках Am,i. Таким образом, коэффициенты любого ряда ^2 dmjemj (z), сходящегося равномерно на компактах в области D к функции д Е H(D), однозначно определяются по формулам dmj = /m,j (д), m =1, 2,..., j = 1,..., Nm.
Приведем теперь другое представление функций em,j (z), удобное для их оценок. Пусть rm — контур, охватывающий точки Am,i, l = 1, 2,... , Mm, группы Um, и wm(A) — многочлен с этими нулями с учетом их кратности и со старшим коэффициентом, равным единице, т.е.
Um = XT(A — Am,l)Пт’1, m = 1, 2 1=1
Для функции f (^), аналитической на контуре Tm и внутри него, положим
1 f f(0(^m(0 - Wm(A)) d 1 2 m
^(A'f > = 2riJ (t - AVmW *■ m =1-2--" (1)
rm
В случае, когда f(^) = exp(z^), вместо qm(A, exp(z^)) будем использовать обозначение qm(A,z). Формула (1) определяет известный интерполяционный многочлен степени не выше Nm — 1, который в точках Am,i вместе со своими производными до порядка nm,i — 1 включительно принимает значения, совпадающие с соответствующими значениями функции f (^) и ее производных, т.е.
q(n)(Am,l, f) = f (n)(Am,l), l =1, 2, . . . , Mm, П = 0, 1, . . . , nra,l — 1. (2)
Если f Е Pd , то из последних равенств вытекает, что класс эквивалентности [f ] Е Pd /Jm, порожденный функцией f, содержит многочлен qm(A, f). Поэтому f и qm(A, f) определяют один и тот же функционал из Wm. Функция exp(z^) является преобразованием Лапласа S-функции, сосредоточенной в точке z: exp(z^) = Sz(exp(w)). Следовательно, многочлен qm(A,z) определяет функционал 5z. Разложим qm(A,z) по элементам системы 0m:
) V— ( ) (A — Am, 1)j
qm(A,z)= Qm,j (z)-Tj-.
j=0 j ‘
С учетом биортогональности систем 0m и Em находим отсюда, что при p = 1,... , Nm
(a — a Aj
em,p(z) Sz (em,p) (qm(A, z), em,p) ^ ^ qm,j(z)( , em,p) qm,p—1(z). (3)
j=o j j
Таким образом, в каждой точке z функция em,p(z) совпадает с (р — 1)-й производной многочлена qm(A,z), вычисленной в точке Am,1. Используя интегральную формулу Коши для производных, получаем:
/ S—оР- р'«
|Л — Лт,11 = 1
Это представление позволяет установить оценки сверху на функции системы E. Но прежде введем еще некоторые обозначения и докажем вспомогательные результаты. Пусть D — выпуклая область в C. Положим
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
73
X(D) = {£ Е C : Hd(£) = +^}.
Из выпуклости и однородности функции Hd (£) следует, что дополнение C \ X(D) — конус. Другими словами, C \ X(D) является углом раствора не более чем п, за исключением четырех следующих случаев: 1) C \ X(D) — вся плоскость (X(D) =), если D ограничена; 2) C \ X(D) совпадает с началом координат, если D = C; 3) C \ X(D) — луч, если D — полуплоскость; 4) C \ X(D) — прямая, если D — полоса. Таким образом, в случае, когда D — неограниченная область, реализуется одна из четырех следующих возможностей: 1) X(D) = C \ {0}, если D = C; 2) X(D) — плоскость без луча, если D — полуплоскость; 3) X(D) — плоскость без прямой, если D — полоса; 4) X(D) — угол раствора не меньше п.
Пусть T — подмножество S — единичной окружности с центром в начале координат. Для последовательности Л = {Am,i, nm,i}^=M7=1 через Л(Т) обозначим ее подпоследовательность {Amp,i,nmp,i}, состоящую из всех членов Л = {Am,i,nm,i} таких, что Am,i/|Am,i| Е T. Положим N(Л(Т)), если Л(Т) содержит лишь конечное число элементов, и
n (Л(т )) = ism TANmp-
P^~ |Amp,l|
в противном случае. Легко видеть, что
N(Л(Т1)) ^ N(Л(Т2)), если Т1 С T2.
В частности, N (Л(Т)) ^ N (Л(§)) = N (Л) для всех T С S. В ситуации, в которой мы находимся, каждая точка Am,i является нулем кратности не меньшей, чем nm,i любой целой функции f Е J. Поскольку f имеет экспоненциальный тип, и последовательность Л разбита на относительно малые группы, то, например, из теоремы 2.3 в книге [3, гл. 1] легко следует, что N (Л) < +то. Пусть F — компактное подмножество S. Если область D отлична от всей плоскости, положим
Nf(Л) = inf N(Л(Т)), Nd(Л) = sup ,
TdF F C(S\X(D))
где инфимум берется по всем открытым на S множествам T, содержащим F, а супремум — по всем компактным подмножествам F С (S \ X(D)).
Пусть {Kp}£= — последовательность выпуклых компактов, исчерпывающая область D, т.е. выполнено следующее: 1) Kp С intKp+1 для всех p > 1 (int обозначает внутренность множества), 2) D = УKp. Пусть Hm(z) обозначает опорную функцию множества M (точнее говоря, комплексно сопряженного с M множества):
HM(z) = sup Re(zw), z Е C.
weM
Тогда из условия 1 следует, что для каждого p > 1 существует число ар > 0 такое, что
Hkp(z) + ap|z| ^ Hkp+1 (z), z Е C. (5)
Лемма 2. Пусть D — выпуклая область в C и последовательность Л = {Am,i, nm,i}„^М?Г=1 такова, что ND(Л) = 0. Тогда для каждого p = 1, 2,... существуют номера s > p и m0, для которых выполнены неравенства
n!
max ^ ^ ^ HKS (Am, 1) — HKp (Am, 1) , m > mo.
0^n^Nm-1 |Am,1|n p
74
А.С. КРИВОШЕЕВ
Доказательство. Выше мы отметили, что N (Л) < +то. Следовательно, для некоторого в > 1, не зависящего от номера m, верно неравенство Nm < в|Am,1|. Пусть m = 1, 2,... и n = 0, 2,... , Nm — 1. Имеем
n! n" Nm . ,в|Am, 11
|A In < тгп" < (tt^t)n < (Tpf )n = en < eNm. (6)
|Am,1| |Am,1| |Am,1| |Am,11
Кроме того, учитывая, что nj > 3—nnn при всех n = 1, 2,..., функция x-1 ln(3x) убывает, когда ln(3x) > 1, и x-1 ln(3x) < 2 для всех x > 0, имеем:
ln(|Am,1|n/n!) < ln(3n |Am,1 |n/nn) = n ln(31 Am,11 /n) < Nm ln(31 Am,11 /Nm) (7)
|Am,1| |Am,11 |Am,1| |Am,1|
если ln(3|Am,1|/Nm) > 1, и
ln(|Am,1|",/n!) < 2. (8)
| Am,1|
Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда для некоторого p = 1, 2, . . . и каждого s > p найдется номер m(s) такой, что m(s) ^ то при s ^ то и
n!
max || -— || > HKS (Am(s),1) — HKp (Am(s),1). (9)
0^"^Nm(s) —1 | Am(s),1 |"
Выделим подпоследовательность номеров s(r), r = 1, 2,... такую, что Am(s(r)),1/|Am(s(r)),1| при r ^ то сходится к некоторой точке £ Е S. Пусть вначале £ Е S \ X(D). По условию с учетом определения величины Nd (Л) получаем Nf(Л) = 0, где F = {£}. Тогда согласно определению Nf (Л) для каждого е > 0 на окружности S найдем окрестность T точки £, для которой выполнено неравенство N(Л(Т)) < е/2. Оно означает, что начиная с некоторого номера r = r0 верна оценка
Nm(s(r)) < е. (10)
| Am(s(r)),1|
Выберем е Е (0,1) такое, что еlnв < ap и —еln(e/3) < ap, где ap — число из соотношения (5). Тогда в силу (6), (7) и (10) с учетом (5) получаем
n!
max 1 | ln И l" | < ap| Am(s(r)),1| < HKp+i (Am(s(r)),1) — HKP (Am(s(r)),1) , r > r0.
°^"^Nm(s(r)) 1 |Am(s(r)),1|
Это противоречит (9), так как Hks > Hkp+1 при s > p +1.
Пусть теперь £ Е S П X (D). Положим
H = max HK (П).
Согласно определениям множества X(D) и опорной функции Hd с учетом того, что компакты Ki, l = 1, 2,..., исчерпывают область D, найдем номер l, удовлетворяющий условиям:
Hki (£) > H + в ln в, Hki (£) > H + 2.
В силу непрерывности опорной функции компакта эти оценки продолжаются в окрестность V точки £:
Hk; (n) >Н + в ln в, Нкг (n) >Н + 2, п Е V.
Тогда из (6), (8) и неравенства Nm < в| Am, 11, m = 1, 2,..., получаем:
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
75
n!
max I Ь ' | < (НКг (П) — Н) | Am, 1|, П Е V m = 1, 2,...
0^n^Nm —1 |Am,1|"
Выберем номер r1 такой, что при r > r1 точка Am(s(r)),1/|Am(s(r)),1| принадлежит множеству V. С учетом определения H и однородности опорной функции из предыдущего имеем:
n!
max 1 1 ln 7\ l" 1 > НК (Am(s(r)),1) — HKp (Am(s(r)),1), r > r1.
0^"^Nm(s(r)) 1 |Am(s(r)),1|
Как и выше, это противоречит (9). Лемма доказана.
Замечание. Если N (Л) = 0, то из неравенств (6) и (7) легко следует, что
n!
lim | Am, 11— max 1ln ‘ | = 0.
m 0^n^Nm —1 |Am,11"
Лемма 3. Пусть D — выпуклая область в C, последовательность Л = {Am,l, nm,l}^^^=1 такова, что ND(Л) = 0, и a > 1. Тогда для каждого p = 1, 2,... существуют номера s > p и m0, для которых выполнены неравенства
Nm ln a < Hks (Am, 1) — Нкр (Am,1), m > m0.
Доказательство. Заметим лишь, что после получения оценки (6) в лемме 2 мы, по сути, доказывали утверждение данной леммы.
В дальнейшем символом В(п,т) будем обозначать открытый круг с центром в точке п и радиуса т.
Лемма 4. Пусть Н(A) — вещественнозначная, положительно однородная порядка один функция. Пусть далее F С S, е > 0 и т Е (0,1/3) такие, что
|Н(A) — Н(п)| < е/3, Vn Е F, A Е B(п,т), (11)
тогда верно неравенство
sup Н(y) < inf Н(y) +е inf |y|, Vz : z/|z| Е F- (12)
y€B(z,r |z|) y€B(z,r|z|) y€B(z,r|z|)
Доказательство. Пусть z/|z| Е F и y,x Е B(z,T|z|). В силу положительной однородности функции H(A) и неравенства (11) имеем:
|Н(y) —Н(x)| < |Н(y) —Н(z)| + |H(x)—Н(z)| < |z||H(y/|z|) —H(z/|z|)| + |z||H(x/|z|)—H(z/|z|)| <
< 3—12е|z|.
Следовательно,
sup H(y) < inf H(y) + 3—12е|z|, Vz : z/|z| Е F.
y€B(z,r|z|) y€B(z,r|z|)
Заметим, что |z| = (1 — т) —1 infye£(z,r|z|) |y|, Vz = 0. Поэтому, учитывая включение т Е (0,1/3), из предыдущего легко получаем (12). Лемма доказана.
Теперь мы можем получить оценки сверху на функции системы E. Эти оценки являются частным случаем следующего более общего результата. Для функции f, аналитической на контуре rm и внутри него через qmj (f), j = 0,1,... , Nm — 1, обозначим коэффициенты разложения многочлена qm(A, f) по функциям системы 0m, т.е.
Nm- 1
f) V— (f )(A — Am,1)j
qm(A,f) = qm,j(f)-jj-•
j=0
76
А.С. КРИВОШЕЕВ
Лемма 5. Пусть D — выпуклая область в C, последовательность Л = {Am,i, nm,i}^^7=1 с относительно малыми группами Um = {Am,i, n^}^1 такова, что ND(Л) = 0, 8 > 0 и p = 1, 2,... Существуют постоянная Cp и номер s > p такие, что для каждой функции f, аналитической в круге B(Am,1, 8|Am,1|), а также на контуре Tm и внутри него, m =1, 2,..., и удовлетворяющей условию
If (С )l ^ C exp Hkp (С), С Е Tm U B (Am, 1, 8| Am,11), m = 1, 2,..., выполнены неравенства
Iqmj (f )| ^ CCp exp Hks (Am,1), m = 1, 2,..., j = 0,1,...,Nm — 1.
Доказательство. Пусть ap — число из неравенства (5). В силу равномерной непрерывности функции Hkp на окружности S найдется т Е (0, 8/4) такое, что
|Hkp(п) — Hkp(A)| < ap/3, Vn Е S, A Е B(n, 4т). (13)
Поскольку группы Um, m = 1, 2,..., относительно малы, то начиная с некоторого номера m0 группа Um целиком лежит в круге B(Am,1,T|Am,1|). Тогда согласно интегральной теореме Коши контур Tm в определении функции qm(A, f) при m > m0 можно заменить контуром S(Am,1, 3т|Am, 11) — окружностью с центром в точке Am,1 и радиуса 3т|Am,1|, т.е.
fч 1 [ f (C)(^m(?) — ^m(C)) С ^
9m(A'f ) = J (С — AVm(£) С m >m0-
S(Am,i,3r | Am, i |)
Для конечного числа номеров m = 1, 2, . . . , m0 — 1 при оценке интегралов, определяющих числа qmj(f), воспользуемся тем, что функция (^m(£)^m(A)) аналитична. Для таких m легко получаем требуемое неравенство:
1 qmj (f )| ^ CC_p exp HKp+i (Am, 1) ,
где постоянная Cp зависит от функции Hkp+1 , но не зависит от f. Пусть теперь m > m0. Учитывая оценку на |f (^)| из условия леммы и то, что Um С B(Am,1, т|Am,1|), из последнего представления получаем:
I (A Я1 < 2п3т 1 Am, 11 |f(C)||^m(C) — ^m(A)| .
AeB^S|Am,i|) |qm( ,f )| ^ 2п AeB^S|Am,i|) ^(A^S|Am,i|) |С — Л||^(С)I ^
^ C max expHKp(С) (3т|Am,1|)Nr = 6C(3)Nm max expHKp(£).
?€S(Am,i,3r|Am,i|) P (2т | Am, 11)Nm т | Am, 11 2 ?€S(Am,i,3r|Am,i|) p
Можно считать, что круги B(Am,1, 4т|Am,1|) при m > m0 не содержат начала координат. Тогда с учетом (13) по лемме 4 имеем:
3
х D™ax, Jqm(A,f)| ^ 6C(X)Nm exp(HKp (Am,1)+ ap|Am,1|).
A6B(Am,i ,2t |Am,i|) 2
Используя неравенство (5), получаем отсюда
3
* R^max^ Jqm(A,f)| ^ 6C(^)Nm exp(HKp+i (Am, 1).
AGB(Am,i,2T |Am,i|) 2
Перейдем теперь к оценке производных функции qm(A,f). Имеем:
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
77
(f ) = j_ [ qm(A,f )dA _ j! f qm(A,f )A
qm,j (f ) = n_.
2ni J (A — Am,1) j+1 2ni J (A — Am,1)j+1
|^-^m,1| = 1 |^-^m,1|=T |^m,1|
Из последней оценки следует, что
j! 3
\qm,j (f)\ ^ f W \\j 6C U m exp HKp+1 (Am, 1) , m > m0, j = 0, 1,...,Nm — 1.
(т \Am,1\) 2
В силу леммы 2 найдутся номер l > p +1 и число C'' > 0 такие, что j!
—— ^ C'' exp(HK| (Am, 1) — Hkp+1 (Am, 1)), m > mo, j = 0,1,...,Nm — 1.
\ Am,1 \
Можно считать, что т < 1. Поэтому т-j ^ тNm, j = 0,1,... , Nm — 1. Тогда по лемме 3 найдем номер s > l и число C''' > 0, для которых верна оценка
33
т-j(^)Nm ^ (^)Nm ^ C"' exp(HXs (Am, 1) — Hk; (Am, 1)), m > mo, j = 0,1,..., Nm — 1.
2 2т
Таким образом, из последних соотношений получаем
\qmj(f)\ ^ 6CC''C'''expHks(Am, 1), m > mo, j = 0,1,...,Nm — 1.
Остается заметить, что постоянные C'' и C''' зависят от последовательности Л, номера p и номера l (который зависит от p), но не зависят от функции f. Лемма доказана.
Замечание. Поскольку Гт — произвольный контур, охватывающий группу Um, то условие аналитичности функции f на Гт и внутри него можно заменить на условие аналитичности f в какой-нибудь односвязной области, содержащей точки группы Um.
Следствие. Пусть D — выпуклая область в C, последовательность Л = {Am,l, nm,l}„^^=1 с относительно малыми группами Um = {Am,l, nm,l}Mm такова, что ND(Л) = 0. Для каждого p = 1, 2,... существуют постоянная Cp и номер s > p такие, что
sup \emj (w)\ ^ Cp exp Hks (Am,1), m = 1, 2,...,j = 1,...,Nm.
weKp
Доказательство. Пусть w Е Kp. Тогда по определению опорной функции имеем:
\ exp(w^) \ ^ exp HKp (С), С Е C Отсюда по лемме 3.5 получаем требуемое утверждение. Следствие доказано.
Замечание. Мы показали, что при условии ND(Л) = 0, для системы E = {emj(z)}^^mj=1 выполнен пункт 1 из определения почти экспоненциальной последовательности в работе
[9].
Приведем результат, сводящий решение проблемы базисности системы E в W к решению специальной интерполяционной задачи в пространстве целых функций экспоненциального типа Pd . Но прежде введем некоторые обозначения и докажем вспомогательные результаты.
Лемма 6. Для каждого а > 0 сходится ряд
ГО
У, Nm exp( —а\Ат,1\).
т=1
Доказательство. Пусть Л' = {£&} — последовательность, составленная из всех точек Am,l, m = 1, 2,..., l = 1,..., Mm, причем каждая Am,l встречается в ней ровно nm,l раз. Поскольку все точки Am,l являются нулями кратности не меньшей, чем nm,l целой функции
78
А.С. КРИВОШЕЕВ
экспоненциального типа (из таких функций состоит множество J), то (см., например, [3]), последовательность А; имеет конечную верхнюю плотность, т.е. lim fc/£fc. Отсюда следует,
что S(A;) = 0. Тогда по лемме 2 из работы [9] для каждого а > 0 сходится ряд
ГО ГО,Мт
^exp(—a|£fc|) = ^ nm,l exp(—а|Am,l|) < то.
fc=1 m=1,l=1
Так как группы Um относительно малы, то при m > m0 выполнено неравенство 2-1|Am,l| ^ |Am,1|. Следовательно, для каждого а > 0
го те,Мт
^2 Nm exp(—a|Am,1|) ^ ^ nra,i exp(—2-1a|Am,1|) < то.
m=mo m=mo,l=1
Лемма доказана.
Замечание. С учетом леммы 2 в работе [9] утверждение леммы 6 означает, что S(A) = 0 (величина S(A) определена в работе [9]), где TV — последовательность, составленная из точек Am,1, m = 1, 2,..., причем каждая Am,1 встречается в ней ровно Nm раз.
Для каждого p = 1, 2,... введем банаховы пространства последовательностей
QP(A) = {d = {dmj} : ||d||p = sup(|dmj| exp(HKp(Am,1))) < то},
mj
Rp(A) = {b = {bm,j} : ||b||p = sup(|bm,j| exp(—Якр(Am,i))) < то},
mj
здесь m = 1, 2,... и j = 1,..., Nm. Пусть Q(A, D) — проективный предел пространств Qp(A), а R(A, D) — индуктивный предел пространств Rp(A). Определим оператор U, действующий на пространстве Q*(A,D), сопряженном к Q(A,D), по правилу: функционалу v Е Q*(A, D) поставим в соответствие последовательность b = {bmj}, составленную из значений v на координатных векторах, т.е. bn,l = v(Tn,l), где Tn,l = {dmj} — элемент Q(A,D) такой, что dmj = 1, если m = n, j = l, и dmj = 0 в противном случае.
Лемма 7. Пространство Q(A, D) рефлексивно. Оператор U является изоморфизмом линейных топологических пространств Q*(A,D) и R(A,D). Если v Е Q*(A,D); то
^,Nm
v(d) ^ ^ dmjbmj, ^d {dmj} Е Q(Л,D),
m=1 j=1
г^е b = {bm,j} = U(v).
Доказательство. Пусть v — произвольный функционал из Q*(A,D). Поскольку Q(A, D) является проективным пределом, то найдется номер p = 1,2,... такой, что v Е Q*(A). Через ||v||p обозначим норму функционала v в пространстве Q*(A). Тогда имеем:
|bn,l| = |v(Tn,l)| ^ ||v||p||Tn,l||p = ||v||pexp(HXp(An,1)), n =1, 2,..., l = 1,... ,N„.
Следовательно, ||U(v)||p = ||b||p ^ ||v||p. Это означает, что оператор U непрерывным образом переводит пространство Q*(A,D) в пространство R(A,D). Покажем теперь, что он инъективен и сюръективен.
Заметим, что координатные векторы Tmj образуют базис в пространстве Q(A, D). Действительно, для любого d = {dmj} Е Q(A, D) и каждого p =1, 2,... с учетом (5) имеем:
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
79
»,Nm
|| ^ dm,j Tmj ||p = SUp (|dm,j | exp(HKp (Am,i))) =
m>mo,?>?o
m=mo,j=jo - o^-^
= sup (|dm,j | ехр(Якр+1 (Am, 1)) exp(-Hkp+1 (Am,1)) exp(HXp (Am,1))) ^
m>mo ,j>jo
^ sup (|dm,j| exp(HKp+i (Am,1))exp(-a|Am,1|)) ^
m>mo,j>jo
^ sup (|dm,j| exp(HKp+i(Am,1))) sup (exp(-ap|Am,1|)) ^
m>mo,j>jo m>mo
^ ||d||p sup (exp(-ap|Am,1|)) ^ 0, mo ^ to.
m> mo
Таким образом, верно представление
M,Nm
d = d T .
m=1,j=1
Причем ряд сходится в топологии пространства ^(Л, D). Тогда для любого функционала v Е Q*^,D) имеем:
W,Nm
v(d) = ^2 dm,jv(Tm,j), d = {dmj} Е Q^,D). m=1,j=1
Следовательно, совпадение значений функционалов v1,v2 Е Q*^,D) на координатных векторах влечет за собой их равенство, т.е. U — инъективный оператор.
Пусть теперь b = {bm,j} — произвольный элемент пространства P^,D). Согласно его определению найдется номер p = 1, 2,... такой, что b Е РР(Л), т.е. ||b||p < то. Определим функционал v по формуле
M,Nm
v(d) ^ ^ dm,jbm,j, d {dm,j} Е Q(^,D).
m=1,j=1
Поскольку ||d||p+1 < то, то с учетом (5) и леммы 6 верно неравенство
M,Nm M,Nm
|v(d)| ^ ^ |dm,j bm,j | ^ ^ ||d||p+1 exp(-Нкр+1 (Am,1))||b||p exp(HKp (Am,1)) ^
m=1,j=1 m=1,j=1
^ ||d||p+1||b||^2^ Nm exp( ap1 Am, 11) ^ C||d||p+1||b||p. m=1
Это означает, что v Е ^*+1(Л), причем ||v||p ^ С||b||p. Следовательно, U — сюръективный оператор, а его обратный U-1 непрерывен.
Мы показали, что U осуществляет изоморфизм пространств Q*^,D) и R^,D). Аналогично доказывается, что сопряженный к U оператор U* осуществляет изоморфизм пространств R*^,D) и Q^,D). Лемма доказана.
На фактор-пространстве Pd /J определим оператор G, действующий следующим образом. Каждому классу эквивалентности [/ ] Е Pd /J поставим в соответствие последовательность b = {bm,j}, определяемую по формуле: bm,j = qmj-1(/), m = 1, 2,..., j = 1,..., Nm. Оператор G корректно определен, т.е. любой другой представитель ^-класса эквивалентности [/] порождает ту же последовательность b = {bm,j}, что и функция /. Действительно, пусть ^ Е [/]. Тогда (^ — /) Е J. Следовательно, функция ^ — / обращается в ноль во всех точках Am,i вместе со своими производными до порядка nm,i — 1 включительно. Этим
80
А.С. КРИВОШЕЕВ
же свойством обладает и многочлен qm(A,^ —f), m = 1, 2,... Поскольку его степень не превосходит Nm—1, то qm(A, <£—f) = 0. Отсюда вытекает, что qmj(<£—f) = qmj(^)—qmj(f) = 0, m =1, 2,..., j = 0,..., Nm — 1.
Теорема 1. Пусть D — выпуклая область в C, W — нетривиальное замкнутое инвариантное относительно дифференцирования подпространство в H(D), допускающее спектральный синтез, E = {zn exp(Am,1 z— система собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W, последовательность Л = {Am,z, nm,1}^='M7=1 с относительно малыми группами Um = {Am,^, п^г}^™ такова, что Nd (Л) = 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
1) Система функций E = {emj(z)}^;=1I^j=1 является почти экспоненциальным базисом в W (см. [9]) с показателями Am,1, m = 1, 2,... (точнее говоря, с показателями , где
Amj Am,1, j 1, . . . , Nm).
2) Для каждой последовательности b = {bmj} из пространства R^,D) существует функция f 6 Pd такая, что bmj = qm,j_1(f), m =1, 2,..., j = 1,... , Nm.
3) Оператор G является изоморфизмом пространств Pd/J и R^,D). Доказательство. 1^2. Пусть b 6 R^,D). По лемме 7 найдем функционал
v 6 ^*(Л, D), для которого выполнены равенства bmj = v(Tmj-), m = 1, 2,..., j = 1,..., Nm. Тогда согласно утверждению 1 и теореме 3 существует функционал / 6 W* такой, что
Memj )= bmj, m = 1, 2,..., j =1,...,Nm. (14)
Поскольку / — непрерывный функционал, то найдутся номер p и постоянная С, удовлетворяющие условию
^ С sup |g(z)1, Vg 6 W.
zeKp
По теореме Хана - Банаха / продолжается как линейный функционал на все пространство H(D) с сохранением последней оценки. Она означает, что / продолжается и как непрерывный функционал. Пусть f 6 Pd — преобразование Лапласа функционала / 6 H*(D) и X — функция, ассоциированная по Борелю с f. Она аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки, а все ее особенности лежат в области D. Имеет место представление (см.
[3])
Mg) = 2“/g(z)x(z)z> g 6 H(D)
L
где L — контур в области D, охватывающий особенности функции х. В частности,
f ) = MexP(<^z)) = 2“ / exP(?z)X(z)dz.
L
Отсюда с учетом (4), (14) и определения чисел qmj(f) получаем:
(f ) = j / gm(A,f )dA = j! f [ f (^ )(^m(^) — ^m(A)) d =
«mjf) 2ni J (A — Am.,)j+‘ (2ni)2 J J (A — Am,1)j+I(c — A)Um(i) C
|^_^m,1| = 1 |^_^т,1|=1Гт
j! f [ /'exP(^z)X(z)(^m(?) — ^m(A)) dzd^A =
(2ni)3 J J J (A — Am.1)j+1(? — A)^m(?)
|A—Am,i| = 1Tm L
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
81
(2ni)2
/
/
qm(A,z)X(z) zdA = J_ (A — Am,i)j+1 2ni
/
em,j+1 (z)X(z)dz ^(em,j+1) bm,j+1,
L
m =1, 2,..., j = 0,..., Nm — 1. Таким образом, импликация 1^2 доказана.
2^3. Пусть [f1], [f2] Е Pd/J. Предположим, что G[f1] = G[f2]. Тогда для каждого
а вместе с ними и сами многочлены, совпадают. Выше было отмечено, что во всех точках Am,i значения многочлена qm(A, f) и функции f, а также их соответствующих производных до порядка nm,i — 1 включительно, равны. Следовательно, разность f1 — f2 обращается в ноль во всех точках Am,i вместе со своими производными до порядка nm,i — 1 включительно. По условию подпространство W допускает спектральный синтез. Тогда по лемме 1 функция f1 — f2 принадлежит множеству J, т.е. [f1] = [f2]. Это означает, что оператор G инъективен. Согласно утверждению 2 он еще и сюръективен.
Пусть к = 1, 2,... По лемме 5 существуют постоянная Ck и номер s > к такие, что для каждой функции Е Pk верно неравенство
Поскольку каноническое отображение Pd ^ Pd/J открыто, то отсюда вытекает, что оператор G : Pd/J ^ Д(А, D) непрерывен. Тогда по теореме об открытом отображении (см.
[10], приложение 1, теорема 2) для отделимых пространств, покрываемых счетным семейством своих подпространств Фреше (каковыми, очевидно, являются пространства Pd/J и R(A,D)), оператор G есть изоморфизм линейных топологических пространств.
3^1. Для доказательства утверждения 1 достаточно проверить выполнение условий теоремы 4 из работы [9]. Согласно следствию из леммы 5 и замечанию к лемме 6 для последовательности E = {em,j (z)}„—выполнены все условия леммы 3 из работы [9]. Поэтому в силу этой леммы для каждого элемента d = {dm,j} Е Q(A, D) ряд
m—1,j—1
сходится равномерно на компактах в области D. Другими словами, оператор B : Q(A, D) ^ W из работы [9] определен на всем пространстве Q(A,D).
Выше было отмечено, что для системы функций E существует биортогональная последовательность функционалов из H*(D). Таким образом, с учетом замечания к лемме 6 остается показать, что — сюръективный оператор, т.е. любая функция g Е W раскладывается в ряд по системе E, сходящийся равномерно на компактах из D.
Пусть g Е W. Функция g определяет линейный непрерывный функционал на пространстве W*, сопряженном к W. Поскольку H(D) является пространством Фреше - Шварца, а W — его замкнутое подпространство, то (см., например, [7]) W* алгебраически и топологически изоморфно фактор-пространству H*(D)/W0, где W0 — множество всех функционалов ^ из H*(D), аннулирующих подпространство W. С учетом преобразования Лапласа имеет место также изоморфизм между пространствами W* и Pd /J. Пусть о — линейный непрерывный функционал на пространстве Pd/J, такой, что
m = 1, 2,... коэффициенты многочленов qm(A, f1) и qm(A, f2) в базисе 0m
Г (A — Am,1j Nm — 1 { j! }j—0
|qmj (f )| ^ ||f life Ck exp Hks (Am,1), m = 1, 2,..., j = 0,1,...,Nm — 1.
»,Nm
82
А.С. КРИВОШЕЕВ
(р, G([f])) = (a, [f]) = (M,g), V[^j Е H*(D)/W0.
По лемме 7 существует элемент d = {dm,j} пространства Q^,D) такой, что
(M.g) = (a. [f]) = (p, e([f]))= £ dm,i9m,j-1(/), VM 6 H‘(D)/W°.
m=1,j=1
В качестве функционала ^ Е H*(D) в этих равенствах возьмем 8-функцию, сосредоточенную в точке z Е D. Тогда с учетом (3) имеем:
ro,Nm <^,Nm
g(z) = ([8z],g) = (a, [exp(Az)]) = ^ dm,jqm,j-1(z) = ^ dm,jem>J(z), z Е D.
m=1,j=1 m=1,j=1
Остается показать, что последний ряд сходится равномерно на компактах в области D. Пусть K — компакт в D. Поскольку последовательность {Kp} исчерпывает область D, то найдется номер p такой, что K С Kp. Пусть z Е Kp. Тогда exp(Az) Е Pp С PD, причем || exp(Az)||P ^ 1. Следовательно, с учетом определения топологии на фактор-пространстве и утверждения 3 данной теоремы найдутся номер s и постоянная C > 0, для которых верно неравенство
||G(exp(Az))||s ^ C, Vz Е Kp.
Отсюда, пользуясь непрерывностью функционала р на пространстве R^,D), а значит, и на пространстве Л5+1(Л), и неравенством (5), получаем:
sup | £ dm,j em,j (z )| ^ sup C sup (|em,j (z) | exp( HKs+i (Am,1))) zeKP m=mo,j=jo ZeKP m>mo,j>jo
= C' sup sup (|emj (z)| exp( —Hks (Am,1))) exp( — Hks+i (Am,1)) exp( — Hks (Am, 1)) ^
zeKp m>mo,j>jo
^ C' sup sup (|em,j(z)| exp( —Hks (Am,1))) exp( — as|Am,1|) ^
zeKp m>mo,j>jo
^ C' sup sup (|em,j(z)| exp(—Hks(Am,1))) sup (exp(—as|Am,1|)) ^
zeKp m>mo,j>jo m>mo,j>jo
^ C' sup ||G(exp(Az))||s sup exp(—as|Am,1|) ^ C'C sup exp(—as|Am,1|) ^ 0,
zeKp m>mo m>mo
когда m0 ^ то. Таким образом, требуемый ряд сходится равномерно на компактах в области D. Теорема полностью доказана.
Теорема 1 сводит решение проблемы существования базиса в подпространстве W к решению специальной интерполяционной задачи в пространстве целых функций экспоненциального типа Pd . Однако в теореме 1 мы имеем дело только с конкретной системой функций E = {em,j (z)}~=m=1. Естественно возникает вопрос о наличии в W других, отличных от E базисов по относительно малым группам (т.е. базисов, подобных E). Далее мы дадим ответ на этот вопрос. Покажем, что при дополнительном условии на систему E из существования базиса по относительно малым группам в подпространстве W следует базисность системы E в W. Кроме того, опираясь на систему E, дадим описание всех возможных базисов по относительно малым группам в подпространстве W.
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
83
Будем говорить, что система функций E = {em,j (z)}^—1m—1 обладает групповым свойством Кете, если для любого номера p существуют номер s и постоянная C, удовлетворяющие следующему условию: для каждого m = 1, 2,... и каждой функции h вида
Nm
h(z) = ^2 am,jem,j (z) j—1
выполнено неравенство
У |am,jl sup |em,j(z)l ^ C sup |h(z)|.
j—1 zeKp zeKs
Заметим, что любая функция h Е Wm является линейной комбинацией элементов системы Em = {emj(z)}Nm1, так как эта система биортогональна к базису 0т в пространстве Q(Nm— 1). ' —
Наряду с системой E рассмотрим и другие системы функций E' = {emj(z)}„—, построенные по относительно малым группам. Элементы любой такой системы можно разложить по базисам Em в Wm. Положим
Nm
em,j (z) = am,j em,k (z), m = 1, 2,..., j = 1,...,Nm. k—1
Будем говорить, что система E' нормирована, если для всех m = 1, 2,...
max |am,j,k1 1, j 1, . . . , Nm.
1<fc<Nm J
Лемма 8. Пусть E = {em,j (z)}N—1 _ почти экспоненциальная последовательность в области D с показателями Am,1; обладающая групповым свойством Кете. Тогда любая нормированная система E' = {emj(z)}N—1 является почти экспоненциальной последовательностью в D с показателями Am,1.
Доказательство. Фиксируем p > 1. Поскольку E — почти экспоненциальная последовательность, то существуют постоянная a > 0 и номер s такие, что
sup |em,j (w)| ^ a exp(HKs (Лтд)), m = 1, 2,...; j = 1,...,Nm.
Отсюда, учитывая, что E' — нормированная система, получаем
Nm
sup |em,j(w)| ^ ^2 sup |am,j,kem,k(w)| ^ Nmaexp(HXs(Am,1)). k—1
Пусть — число из неравенства (5). В силу леммы 6 имеем оценку
Nm ^ exp(as|Am,11), m = 1, 2,...
Следовательно, согласно (5)
sup |em,j(w)| ^ aexp(as|Am,1|)exp(HKs(Am,1)) ^ aexp(Hxs+i(Am,1)).
w€Kp
Это дает нам пункт 1 из определения почти экспоненциальной последовательности в работе [9]. Проверим теперь пункт 2 этого определения. Фиксируем p > 1. Поскольку E — почти экспоненциальная последовательность, то существуют постоянная b > 0 и номер s такие, что
84
А.С. КРИВОШЕЕВ
b ехр(Якр (Am,i)) ^ sup |em,j (w)|, m = 1, 2,...,j = 1,...,Nm.
weKp
Кроме того, E обладает групповым свойством Кете. Следовательно, существуют номер n и постоянная C, для которых верна оценка
Nm
V | w | sup |em,k (z)| ^ C sup |em,j (z )|, m = 1, 2,...,j = 1,...,Nm.
k_i zeKs zeK„
По условию система E' нормирована. Поэтому для каждых m = 1, 2,... и j = 1,..., Nm имеется коэффициент amj-,fc с модулем, равным единице. Тогда в силу предыдущих неравенств
Nm
bехр(Якр(Am,i)) ^ sup |6m,fc(z)| ^ У2 |am,j,fc| sup |em,k(z)| ^ C sup |em,j(z)|.
z€Ks k_i z£Ks z£K„
Это дает нам необходимую оценку. Лемма доказана.
Замечание 1. Пусть E = {emj(z))m^m_1 является базисом в подпространстве W, т.е. каждая функция из W единственным образом раскладывается в ряд по системе E', который сходится равномерно на компактах в области D. Поделив каждый элемент emj(z) этой системы на самый большой по модулю коэффициент am,j,k, к = 1,... , Nm, мы получим нормированный базис в W. При выполнении условий леммы 8 этот базис становится почти экспоненциальным.
Теорема 2. Пусть E = {em,j(z)}^^m_1 — почти экспоненциальная последовательность в области D с показателями Am,1; обладающая групповым свойством Кете. Если в подпространстве W существует базис по относительно малым группам, то система E также является базисом в W.
Доказательство. Пусть E = {em,j (z)}^^”j_1 — базис в подпространстве W, т.е. каждая функция g Е W имеет единственное представление
»,Nm
g(z) ^ ^ dm,jem,j(z),
m_1,j_1
причем ряд сходится равномерно на компактах в области D. Можно считать, что система E' нормирована. Тогда по лемме 8 она является почти экспоненциальным базисом в W. Следовательно, с учетом замечания к лемме 6 согласно следствию из леммы 3 в работе [9] для каждого номера s > 1 сходится ряд
»,Nm
^ |dm,j| sup |em j(z)| < то. (15)
/ v |^m , j | |^ m , j
m_1, j_1
zGKs
Используя определение функций em?-, из предыдущего разложения получаем:
m,j
^,Nm CO,Nm Nm
g(z) ^ dm,jem,j (z) ^ dm,j am,j,kem,k(z)
m_1,j_1 m_1,j_1 k_1
CO ,Nm Nm ,Nm
^ ^ em,k(z) ^ ^ dm,jam,j,k ^ ^ bm,kem,k(z).
m_1,k_1 j_1 m_1,k_1
Таким образом, мы имеем разложение функции g(z) по системе E. Оно является единственным, так как E обладает биортогональной системой функционалов. Поскольку g(z) —
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
85
произвольная функция из подпространства W, то для установления базисности системы E в W достаточно доказать, что последний ряд сходится равномерно на компактах в области D.
Фиксируем p > 1. Имеем:
ГО ,Nm СО ,Nm Nm
У |bm,fc| sup |6m,fc(z)| ^= ^ sup |бт,й(z)|^||dm,jam,j,fc| = m—1,fc—1 z€Kp m—1,fc—1 z^Kp j—1
CO ,Nm Nm
= ^2 |dm,j|^|«m,j,fc| sup |em,fc(z)|.
m—1,j—1 fc—1 zeKp
По условию система E обладает групповым свойством Кете. Следовательно, существуют номер s и постоянная C такие, что
Nm
y^|am,j,fc | sup |em,k (z )| ^ C sup |em7 (z)|, m = 1, 2,...,j = 1,...,Nm.
^ z£K ,
fc—1 ^“p Отсюда с учетом (15) получаем
»,Nm ro,Nm
у |bm,fc| sup |em,fc(z)| ^ C ^2 |dm,j| sup |em,j(z)| < TO.
m—1,fc—1 z€Kp m—1,j—1 z€Ks
Это означает, что рассматриваемый ряд сходится равномерно на компактах Kp, p = 1, 2,.... Поскольку эти компакты исчерпывают область D, то мы получаем требуемое утверждение. Теорема доказана.
Теорема 2 проблему существования базиса по относительно малым группам в подпространстве W сводит к проверке базисности системы E в этом подпространстве. В заключение работы дадим описание всех возможных базисов в W.
Для каждого m = 1, 2,... через Am = {am,j,fc} обозначим матрицу, составленную из коэффициентов разложения функций emj(z) по базису Em = {em,j(z)}N—1. Пусть Am — невырожденная и Ащ1 = (bm,j,fc) — матрица, обратная к Am. Если T — открытое подмножество единичной окружности S, то символом A(T) будем обозначать подпоследовательность {Ат(г)}г0—1 последовательности A = {Am}, состоящую из всех матриц A таких, что точка Атд/|Атд | попадает в T. Положим a(A(T)) = 0, если A(T) содержит лишь конечное число элементов, и
a(A(T)) = lim max
In |bm(1),j,fc|
j^TO 1^j,k^Nm(i) |Am(1),1|
в противном случае. Для T = S вместо a(A(T)) будем использовать обозначение a(
Пусть F — компактное подмножество S. Если область D отлична от всей плоскости, положим
aF(A) = inf a(A(T)), aD(A) = sup aF(A),
Fc(S\X (D))
где инфимум берется по всем открытым на S множествам T, содержащим F, а супремум — по всем компактным подмножествам F С (S \ X(D)).
Лемма 9. Пусть D — выпуклая область в C. Соотношения aD(A) = 0 и a(A) < то имеют место тогда и только тогда, когда для каждого p = 1, 2,... существуют номер s > p и постоянная y > 0 такие, что выполнены неравенства
ln |bm,j,fc | ^ #ks (Am,1) - HKp (Am,1) + Y, m =1, 2,..., j, k = 1,...,Nm. (16)
86
А.С. КРИВОШЕЕВ
Доказательство. Пусть aD(A) = 0 и a(A) < то. Предположим, что неравенство (16) неверно. Тогда для некоторого p = 1, 2,... и каждого s > p найдется номер m(s) такой, что m(s) ^ то при s ^ то и
max In |bm(s)j,fc1 > hks (A m(s),1 ) — HKp (A m(s),1 )• (17)
Выделим подпоследовательность номеров s(r), r = 1, 2,... такую, что Am(s(r)).1/|Am(s(r)).1| при r ^ то сходится к некоторой точке £ 6 S. Пусть вначале £ 6 S \ X(D). По условию с учетом определения величины a_D (A) получаем a^(A) = 0, где F = {£}. Тогда согласно определению a^ (A) для каждого е > 0 на окружности S найдем окрестность T точки £, для которой выполнено неравенство a(A(T)) < е/2. Оно означает, что начиная с некоторого номера r = ro верна оценка
ln |bm(s(r)) j.fc1
max —p-—( ( )),j. < e.
1^j,k^Nm(s(r)) |Am(s(r)),1|
Выберем e > 0 такое, что e < ap, где ap — число из соотношения (5). Тогда из последнего неравенства с учетом (5) получаем
max ln |bm(s(r))j,fc| ^ ap| Am(s(r)),1| ^ HKp+1 (Am(s(r)),1) HK„ (Am(s(r)),1) , r > r0. Kj,k^Nm(S(r))
Это противоречит (17), так как Hks > Hkp+1 при s > p +1.
Пусть теперь £ 6 S П X(D). Так как a(A) < то, то по определению величины a(A) найдется постоянная в > 0 такая, что
max ln |bmj,fc | ^ в| Am. 11, m = 1, 2,... (18)
Положим H = maxne§ Нкр (n). Согласно определениям множества X(D) и опорной функции Hd с учетом того, что компакты K^, l = 1, 2,..., исчерпывают область D, найдем номер l, удовлетворяющий условию: Нкг (£) > H + в .В силу непрерывности опорной функции компакта эта оценка продолжается в окрестность V точки £: Нкг (n) > Н + в, П 6 V. Тогда из (18) получаем:
max ln |bmj.fc| ^ в|Am. 11 < (Нк(n) — Н)|Am.1|, П 6 V, m = 1, 2,...
Выберем номер r1 такой, что при r > r1 точка Am(s(r)).1/|Am(s(r)).1| принадлежит множеству V. С учетом определения H и однородности опорной функции из предыдущего имеем:
max ln |bm(s(r)).j.fc| < HKi (Am(s(r)),1) HKp (Am(s(r)),1) , r > r1.
1,^j,fc^Nm(s(r))
Как и выше, это противоречит (17). Таким образом, наше допущение неверно, т.е. (16) имеет место.
Предположим теперь, что выполнено неравенство (16). Согласно ему найдем номер s > 1 и постоянную y > 0, удовлетворяющие условию
ln |bmj,fc | ^ HKs (Am,1) HK1 (Am,1) + y , m 1, 2,•••, j,k 1, . . . , Nm.
Положим Н2 = maxneg Hks (n) и Н1 = minK1 (n). Тогда с учетом однородности опорной функции получаем:
ln |bmj,fc| ^ Н2 | Am,1| Н1| Am,1|, m — 1, 2,..., j,k — 1,...,Nm.
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
87
Следовательно, a(A) ^ H2-H1 < то. Остается показать, что aD(A) = 0. Для этого согласно определению величины aD (A) достаточно установить равенство a^ (A) = 0, где F — произвольное компактное подмножество S \ X(D). Фиксируем е > 0 и компакт F С S \ X(D). Поскольку последовательность {Kp} исчерпывает область D и Hd(?) = то, то с учетом определения опорной функции для каждого ? Е F найдется номер p(?) такой, что Hkp(c) > Hd(?) — е. По предположению выполнено (16). Поэтому для каждого p(?), ? Е F, существуют номер s(?) > p(?) и постоянная y(?) > 0 такие, что
ln |bm,j,fc | ^ Hks(c) (Am, 1) — Hkp(c) (Am, 1) + Y (?), m = 1, 2,..., j, k =1,...,Nm. (19)
Компакт для всех s = 1, 2,... лежит в области D. Это влечет за собой неравенство Hd ^ Hks(c) . Следовательно, в силу выбора номера p(?) получаем: HkpW (?) > Hks(c) (?) — е. По непрерывности последнее неравенство продолжается в окрестность V (?) точки ?:
HKp(,) (П) > hksW (П) — е, П Е V(?). (20)
Из покрытия V(?), с Е F, компакта F выделим конечное подпокрытие V(?(1)),... , V(?(t)). Положим T = SП (У 1^i^t V(?(i))) и Yo = max1^i^t y(?(i)). Пусть A(T) = {Am^}. Используя однородность опорной функции из (19) и (20), получаем:
ln |bm(1),j,fc| ^ e|Am(1),1| + Y0, 1 > 1.
Если A(T) содержит лишь конечное число элементов, то по определению a(A(T)) = 0. В противном случае |Am(i), 11 ^ то при l ^ то. Тогда из последнего неравенства следует, что a(A(T)) ^ е. Поскольку е > 0 произвольно, то aF(A) = 0. Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть E = {em,j (z)}^—1m—1 — почти экспоненциальный базис с показателями Am,1 в подпространстве W, а E' = {e^^ (z)}^—1m—1 — нормированная последовательность. Система E' является базисом в W тогда и только тогда, когда aD (A) = 0,
a(A) < то.
Доказательство. По условию E — почти экспоненциальный базис в W. Тогда с учетом замечания к лемме 6 по следствию из теоремы 3 в работе [9] система E является базисом Кете в W, т.е. для любого p > 1 существуют номер l и в > 0, не зависящие от g Е W,
M,Nm
У |dm,j | sup |em,j (z )| ^ в sup |g(z )|, (21)
1 • 1 zEKp zGKi
m—1j — 1 ^ p ^ l
ro,Nm
где g(z) = ^2 dm,jem,j(z). В частности, последнее неравенство выполнено для любой
m—1,j—1
функции g Е Wm, m = 1, 2,.... Это означает, что система E обладает групповым свойством Кете. Следовательно, по лемме 8 E' — почти экспоненциальная последовательность в D с показателями Am,1. Предположим, что система E' является базисом в подпространстве W. Тогда E' = {em,,(z)}„—— базис в Wm. Поэтому для каждого m = 1, 2,... существует матрица Am1 = (bm,j,fc), обратная к Am. Кроме того, по тем же соображениям, что и для E, система E' обладает групповым свойством Кете. В частности, для любого l > 1 существуют номер r и постоянная в > 0, не зависящие от m = 1, 2,... и j = 1,..., Nm,
Nm
^ |bm,j,fc| sup |em,k(z)| ^ в sup |em,j(z)|,
fc—1
r
88
А.С. КРИВОШЕЕВ
где emj(z) = ^N=\ bm.j.fcem.fc(z). Отсюда следует, что
ln |bmj.fc | ^ ln sup |em,j (z) | — ln SUp ^.fo (z) | + ln в, m =1, 2, . . . , j, k = 1, . . . , Nm.
z€Kr zGKj
Поскольку последовательность E' почти экспоненциальная, то для каждого p > 1 существуют постоянная b > 0 и номер l такие, что
bexp(HKp(Am. 1)) ^ sup |em.fc(w)|, m =1, 2,..., k = 1,..., Nm.
wGKi
Последовательность E также является почти экспоненциальной. Поэтому для каждого r > 1 существуют постоянная а > 0 и номер s такие, что
sup |emj(w)| ^ exp(HKs(Am.1)), m =1, 2,..., j = 1,..., Nm.
wEKr
Из последних неравенств получаем:
ln |bmj.fc| ^ Hks (Am.1) — Нкр(Am.1) +lnв — ln b + ln a, m = 1, 2,..., j, k = 1,.. .,Nm. Тогда по лемме 9 имеют место соотношения aD A = 0 и a(A) < то.
Предположим теперь, что aD A = 0 и a(A) < то, и покажем, что в этом случае система E; является базисом в W. Пусть g — произвольная функция из подпространства W. По условию E — базис в W. Следовательно, верно представление
(^.Nm
g(z) = ^ dmj emj (z).
m=1 j=1
Отсюда как и в теореме 2 получаем
<^.Nm
g(z) = bm.k em.k(z),
m=1.k=1
где bm.fc = ^2N=1 dm.jbmj.k. Разложение функции g по системе E; единственное, так как последняя обладает биортогональной последовательностью функционалов {^^k}. Действительно, как было отмечено ранее, биортогональной последовательностью функционалов {^mj} обладает система E. Положим Мте k = bm j.k/m j. Тогда последовательность
{^m к} биортогональна к E;. Остается показать, что ряд для функции g по системе E; сходится равномерно на компактах в области D. Поскольку выполнено (21), то чтобы установить этот факт, как и в теореме 2 достаточно доказать, что для каждого номера p существуют номер s и постоянная С такие, что
Nm
У |bmj. k| sup |em.к(z)| ^ С sup |emj(z)|, m =1, 2,..., j = 1,..., Nm. (22)
k=1 zeKp zeKs
Фиксируем p = 1, 2,... В силу того, что E; — почти экспоненциальная последовательность, найдутся а > 0 и номер l, для которых верна оценка
sup |em.k(w)| ^ aexp(HKl(Am. 1)), m = 1, 2,..., k = 1,..., Nm.
w€Kp
По лемме (9) существуют номер r и постоянная y такие, что
ln |bm j . k | ^ HKr (Am . 1) HKi (Am . 1) + y , m — 1, 2,...,j,k — 1,-..,Nm-
БАЗИСЫ "ПО ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМ ГРУППАМ"
89
Таким образом, имеем:
Nm
У2 |bmj. k | sup |em. k (z)| ^ aNm exp(HKr (Am. 1) — Hki (Am. 1) + y) exp(HKi (Am. 1)) = k=1 zeKp
= aNm exp(HKr(Am. 1) + y), m =1, 2,..., j = 1,..., Nm.
Согласно лемме 6 выберем d > 0 такое, что Nm exp(—ar) ^ d, m = 1, 2,..., где ar — число из неравенства (5). Тогда из предыдущего с учетом этого неравенства получаем:
Nm
У |bmj. k| sup |em.k(z)| ^ aexp(HKr+1 (Am. 1) + y), m =1, 2,..., j = 1,..., Nm. k=1 zeKp
Последовательность E является почти экспоненциальной. Поэтому для каждого существуют постоянная b > 0 и номер s такие, что
b exp(HKr+1 (Am.1) ^ sup |emj (w)|, m = 1, 2,...,j = 1,...,Nm.
w€Ks
Объединяя две последних оценки, получаем (22). Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.
2. Красичков-Терновский И.Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях // ДАН СССР. 1971. Т. 197, № 1.
3. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.
4. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.
5. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный анализ на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 87(129), № 4.
6. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный анализ на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 88(130), № 1.
7. Гротендик А.О. О пространствах (F) и (DF) // Сб. Математика. 1958. Т. 2, № 3.
8. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в вы- пук-лых областях // Известия РАН. Серия математическая. 2004. Т. 68. № 2.
9. Кривошеев А.С. Особые точки суммы ряда экспонент на границе области сходимости // Уфимский математичексий журал. 2009. Т. 1, № 4. С. 78-109.
10. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж.Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
Александр Сергеевич Кривошеев, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия
E-mail: [email protected]
