Немарковская квантовая релаксация и теория ширины спектральных линий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.14; 536.75

НЕМАРКОВСКАЯ КВАНТОВАЯ РЕЛАКСАЦИЯ И ТЕОРИЯ ШИРИНЫ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ

A.B. Горохов, В.В. Семин*

Самарский государственный университет E-mail: gorokhov@ssu.samara.ru

* Самарский государственный аэрокосмический университет им. акад. С.П. Королева E-mail: veyvlet@mail.ru

Выведено квантовое уравнение релаксации с немарковскими поправками в приближении малого времени памяти. Рассчитаны корреляционные функции для одиночного двухуровневого атома и системы двух диполь-дипольно взаимодействующих атомов во внешних регулярных полях и выполнен расчет контура линии излучения. Учет немарковских эффектов приводит к более яркому проявлению диполь-дипольного взаимодействия. Ключевые слова: двухуровневые атомы, немарковское кинетическое уравнение, короткая память, контур линии излучения.

Non-Markovian Quantum Relaxation and Theory of Spectral Lines Width

A.V. Gorokhov, V.V. Semin

The quantum equation of relaxation with non-Markovian terms in the approximation of short-time memory is derived. The correlation functions for a single two-level atom and system of two dipole-dipole interaction of atoms in the external regular fields and the contour of the radiation lines are calculated. Accounting Non-Markovian effects leads to a more vivid expression of dipole-dipole interaction. Key words: two-level atoms, non-Markovian kinetic equation, short time memory, radiation line contour.

Введение

Теория марковских стохастических процессов является хорошо развитым и всесторонне исследованным разделом теории вероятностей и математической статистики [1]. Однако применение марковского приближения к физическим проблемам является зачастую необоснованным приближением. Так, например, броуновское движение малых частиц взвешенных в жидкости традиционно рассматривается как марковский процесс. Действительно, для длительных времен наблюдения за системой не обнаруживается никакой зависимости между координатой и скоростью частицы в соседних интервалах времени. Тем не менее при уменьшении времени наблюдения за частицей становятся заметными процессы ускорения и торможения, т.е. проявляется память [2]. На малых временах движение броуновской частицы является немарковским процессом.

В квантовой оптике марковское приближение при описании динамики систем двухуровневых атомов приводит к серьезному ограничению на форму квантового управляющего уравнения для системы, которое обязано иметь линдбладовскую форму [3]. Методам обобщения линдбладовского уравнения [4, 5], а также получению принципиально новых уравнений [6] в последнее время уделяется большое внимание.

В данной статье в приближении короткой памяти выведено немарковское кинетическое уравнение для одиночных двухуровневых атомов во внешнем лазерном поле и для системы двух диполь-дипольно взаимодействующих атомов.

^Двухуровневый атом во внешнем поле

Рассмотрим двухуровневую систему, взаимодействующую со своим окружением и внешним лазерным полем.

/. /. Модель системы

Традиционно в квантовой теории релаксации квантово-механическая система делится на две взаимодействующие части: малую (динамическую) и большую (диссипатив-ную), которая моделируется бесконечно большим набором гармонических осцилляторов.

Гамильтониан такой системы

где

Н = НА + НИ + Н„

НЛ - ti(o0o.

(1)

(2)

- гамильтониан атома, выраженный через диагональный генератор группы 8и(2), /¿<у0 -

энергетическое расстояние между уровнями в атоме;

© A.B. Горохов, В.В. Семин, 2010

Aß. Горохов, B.B. Семин. Немарновская квантовая релаксация и теория ширины

ни =

(3)

- гамильтониан термостата, который моделируется (бесконечным) набором гармонических осцилляторов с частотой С0/.

Hun = Yf,(fA-i>)+fAb;) (4)

/

- оператор взаимодействия между атомом и термостатом, который записан в приближении вращающейся волны (ПВВ). Здесь f, -константа взаимодействия у-го осциллятора с атомом; операторы л- и гт являются генераторами группы энергетического спина атома SU(2), а Ъ и Ь* - бозонные операторы

рождения и уничтожения.

Кроме того, будем учитывать взаимодействие описываемой атомной системы с внешним лазерным возмущением. Данное взаимодействие описывается следующим образом [7]:

Hng=H4(t)&.+£«)&_), (5)

где £it \ = с с " ' _ функция, пропорциональная интенсивности внешнего поля, определяющая переходы между уровнями, - частота Раби лазерного поля, Асо -

отстройка частоты лазерного поля от частоты атомного перехода. В результате полный гамильтониан системы будет иметь вид

Н = НА + Нн + Н ,+Н = Н. + Н , + Н .(6)

А ti ml reg ml —

Для дальнейших расчетов удобно перейти в представление взаимодействия:

(7)

м I I ^ ^ I I г\ I

Н' «е» (Ны + Нпв)е » - =

у

1.2. Операторно-кинетическоеуравнение

В рамках квантовой теории релаксации [7] с гамильтонианом (7) можно получить следующее уравнение:

М = _1[Я (/),£(0)]-

д! Ь

f X idr{\f, I2 [<7 <7 + p(t-T)

(8)

- а^р(1т)сг ]

иш0 — tu )r

N +

i(.(0Q—ca )т

+1 /, Г L-r)-a_p(t- т)а+ Je x(N +1) + h.c.j,

где yv = exp —L 1 - среднее число бо-

tlCOj

ехр KT

зонов в резервуаре на частоте со,.

Следуя работе [8], будем предполагать, что система обладает коротким временем памяти г, малым по сравнению с характерным временем релаксации г . Тогда матрицу

плотности можно разложить в ряд по г, ограничиваясь первым порядком

p(t-T)*p(t)-T(-£ dt

(9)

Первое слагаемое в разложении соответствует марковскому приближению, а второе слагаемое учитывает эффекты памяти для коротких времен.

С учетом (9) уравнение (8) для нулевой температуры принимает вид

01 п ОI

где

LMА = — (сг+сг_А-2<т_Аа+ + Aa^ä ).

г А = :

—NM ■

ду

п а А - 2(7 ACT^ + ACT &

2 д(ш0)

Здесь у - константа релаксации, традиционно возникающая при выводе кинетических уравнений.

Эффекты памяти являются следствием взаимодействия атома с термостатом. Имея это в виду, заменим производную в правой части (10) марковским членом, что соответствует следующему порядку итерации в так называемой ТСЬ технике проекционного оператора [9]:

др д(

Подставляя (11) в уравнение (10), после некоторых преобразований получим:

-Кр-

(П)

Физика

41

^'-к^ОШО)]-дгй

+ ра а )--¡с[а+а_<7+а_,р].

(12)

У ду где с = -—. 4 дсо0

Данное уравнение является более простым по сравнению с традиционными интег-родифференциальными уравнениями и справедливо для процессов с короткими временами памяти.

1.3. Спектр излучения

Спектр излучения для стационарного процесса определяется следующей формулой [7]:

= 1 Г<а+(т)а (0)>е ""Чт. (13) к 1

Используя квантовую теорему регрессии [10], можно показать, что корреляционная функция определяется следующим выражением:

< <т+(г)сг (0) >= е'ш°1 <Ь\р,(()а>, (14)

где р1 (0) = а_р(0), | а>, \ Ь> - вектора верхнего и нижнего состояний атома соответственно.

Спектр резонансной флуоресценции, полученный численным решением операторно-кинетического уравнения (12), после интегрирования (13) представлен на рис. 1.

0.00

-4-2 0 I 4

(а>- а) о) / у о

Рис. 1. Спектр резонансной флуоресценции двухуровневого атома в немарковском случае. Параметры в системе: - =1'Уо-'- Сплошная кривая-с = 3, штрих-пунктирная кривая - с = 6, пунктирная кривая - с = 0 (марковский случай)

Из него видно, что немарковость процесса достаточно сильно влияет на спектр резонансной флуоресценции. По сравнению с марковским случаем спектральные кривые являются более узкими. Интенсивность немарковской флуоресценции ниже, чем в марковском случае. На частоте перехода наблюдается дельта-образный пик, свидетельствующий о переизлучении атомом частоты падающего поля. Результаты качественно хорошо соответствуют результатам, полученным в работе [11].

Для атома в отсутствие внешнего поля = 0 удается получить аналитическое выражение для контура линии излучения: 1 8/

5(<у) =

(15)

п 4у + фу -4со + 4со0)

Контур представляет собой лоренцеву кривую, смещенную на величину уЬ/4 , где

Ъ = ду1дсо0-

2. Система диполь-дипольно взаимодействующих атомов

Сдвиг максимума спектральной кривой достаточно тяжело обнаружить экспериментально. Однако данный факт может проявить себя при наблюдении за двумя взаимодействующими атомами. Рассмотрим далее такую систему.

2.1. Модель и операторно-кинетическое уравнение

Рассмотрим два идентичных диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атома в тепловом резервуаре на расстоянии Я друг от друга. Пусть на систему падает волна накачки с волновым вектором к, которая индуцирует дипольные моменты атомов, и атомы начинают взаимодействовать диполь-дипольным образом, после чего волна накачки затухает. Нас будут интересовать спектральные свойства света, излученного системой.

Гамильтониан такой системы

Н = п . + м„. + Н._. +Я„ +Я„, (16)

где Н =Ьсо V сг* _ гамильтониан свобод* ° 1—I р р

ных атомов, СО0 - частота переходов в атоме, ст - диагональный генератор группы 811(2);

A.B. Горохов, B.B. Семин. Немарковская квантовая релаксация и теория ширины

Нт - п2^ шкЬкЬк ~ гамильтониан термостата (теплового резервуара), сок - частота к-го фотона, Ь* ил- операторы рождения и унич-

I . V + 'кК

тожения к-го фотона; и,.„ = п(&кркоре р +

+ И.с.) - гамильтониан взаимодействия атома и термостата, - константа взаимодействия атома с термостатом, с* - повышающий и понижающий атомные операторы, у? -

радиус-вектор р-го атома, к - волновой вектор; Н = У V сг + (т - гамильтониан

АА р' рр Р Р

диполь-дипольного взаимодействия, V -кон-

рр

станта диполь-дипольного взаимодействия;

где ат =

<т+р+И.с.\-

гамильтониан взаимодеиствия атомов с полем падающей лазерной волны, переходной дипольный моментр-го атома.

Путем итерирования по константам взаимодействия атомов и термостата из квантового уравнения Лиувилля с гамильтонианом (16), как в предыдущем разделе, легко получается следующее интегродифференциаль-ное уравнение [7]:

дрЛ О

=—[HjuMUP ¿ruftet п

-1[н'(о,рАТт-

(17)

1

[[H'(t),[H'{t-t'),p„(t-f)]]dt',

П'

где #'(/) - гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия, рАт - матрица плотности атома и термостата.

Поскольку мы интересуемся динамикой только атомной подсистемы, возьмем след по переменным термостата и предположим, что состояния термостата распределены по некоррелированной тепловой смеси состояний. Тогда средние значения переменных термостата будут следующими [7]:

< ь >=< Ь* >= О,

< ь ь; >= (ы + \)з„, (18)

<Ь]Ь1. >= Nд„,

< Ъ]Ъ\ >=< Ь,Ь1. >= о,

ехр

Pico,

vV

•1

- среднее число бо-

зонов в резервуаре на частоте а при температуре Т, кк — постоянная Больцмана.

Учитывая, что термостат является системой со множеством степеней свободы, можно предположить, что никакие изменения, происходящие с динамической подсистемой, не могут заметным образом изменить состояние термостата (приближением необратимости для матрицы плотности), т.е. /' (/') = р,(1 р.г(0)- Тогда с учетом (18)

уравнение (17) сводится к уравнению, которое описывает только динамическую систему. Влияние термостата учитывается через средние значения (18).

Предположим, как и раньше, что время «/, т.е. время наблюдения за системой значительно больше, чем характерный временной интервал памяти. Тогда мы можем разложить в ряд матрицу плотности под интегралом и ограничимся только двумя членами:

dt

(19)

Первое слагаемое в этом разложении соответствует марковскому приближению, уравнение для которого хорошо известно [12], а второе слагаемое учитывает появление кратковременной памяти.

Подставляя (19) в уравнение (17) после достаточно громоздких преобразований для N = 0 получим следующее операторно-кине-тическое уравнение:

дп

р =-\НJit p(t)]+ OU) + L,

dt

(20)

где Ьм и Ьмм ~ супероператоры, описывающие марковскую и немарковскую релаксацию соответственно.

К сожалению, методы нахождения решений этого уравнения не известны, поэтому в [13] было предложено производную в правой части заменить марковским членом, что является подобием ТСЬ метода проекционного оператора [14]. В результате получаем:

Физика

аз

р*р

^ У ...

> —1—{ОСТ СТ., + СГ,СТ p-G-.DG ) +

fa.1 г г Р Г " у г

РР' А

(21)

дУРР'

дсо

' ST °Урр' I о, ■ + —/ У и— 2(а „стпст, per, -

АН" дсо V

где

*• * V*

I I icos (kR)

одного атома, - расстояние между атомами, ^ - единичный вектор дипольного момента р-го атома, ен - единичный вектор в направлении R.

2.2. Контур спектральной линии

Как было показано в статье [15], контур линии излучения определяется формулой

= — Re\ Г( т, Ц)сг (0) > + л

+ < сг2+(Осг2(0) >)е"шЛ +

+ cos { & КК ) I 1< ol (/)сг, (0) >

+ <

sin(fctf) cos (kR)

(kR)2 -Ус

zlr(kR)

a;(t)a2(0) >)e-'°"dt\.

-3(дгяхАгя)]

Здесь „ =_w--о -

/0 3 с'й

kR

cos(kR) s'm(kR) I = (*Л)2 (*Я)5 )|

стандартная константа

релаксации, которая получается в теории

8;((D - 4« )ри + (С - 4<у )puu )cos:(a

где Ak = k'-k ~ разность волновых векторов падающей и излученной волн, R - вектор, направленный от одного атома к другому, его модуль равен расстоянию между атомами. Слагаемые, пропорциональные cos (ДАТ?), описывают интерференцию излучения, исходящего от разных атомов.

Используя квантовую теорему регрессии [10], из решения уравнения (21) можно построить контур линии излучения, который имеет вид

S(co) = Re где

8/sin2(«)A!

k л(А - Ag - Иу0(ф +1) + 4со )(-В + 4g - 2iy0(</> + 3) + Acot ) л( А - Ag - 2¡у„(ф -1) - 4coj^

S(ffl)

(22)

А = Г<А/о + Гпдау12, в = -ГодаУ0+Г»даГп> С = А + 2у0д(Оуп + 2 упдау0 +

+ -Ы(у0-уп), О = В-4§п+ЩЗу0 + Г]2),

а = AkR/2, сос = со - со0.

Соответствующие графики представлены на рис. 2. Хорошо видно, что с ростом

параметра немарковости у контур дефор-

/ о

дсо

мируется и его максимумы смещаются. Это связано, по всей видимости, с деформацией структуры энергетических уровней, к которым приводят эффекты памяти. Данный факт, как нам кажется, может быть обнаружен при проведении прецизионных экспериментов с атомами в ловушках.

Рис. 2. Контур линии излучения взаимодействующих двухуровневых атомов в немарковском случае. Параметры в системе: кЯ = л/5 , Уа = 1, = я/6 , ра = 0.8

= 0.1, р„. = 0.1, р„. = 0 . Сплошная кривая -у = о

дсо

(марковский случай), штрих-пунктирная кривая -

„ - <; „ - 1 у(, - Э , пунктирная кривая - у0 - L

дсо дсо

Д. Б. Блашке п др. Точно решаемая модель мгновенного включения поля в кинетике

Заключение

В работе рассмотрена квантовая немарковская релаксация для двухуровневого атома во внешнем лазерном и системы из двух идентичных взаимодействующих атомов в приближении короткой памяти.

В случае одиночного атома показано, что учет эффектов памяти приводит к смещению максимума спектральной линии. Смещение зависит от постоянной распада и деформирует спектр флуоресценции атома во внешнем поле.

В приближении короткой памяти построено немарковское обобщение операторного кинетического уравнения для двух идентичных диполь-дипольно взаимодействующих атомов. На основе решения полученного уравнения аналитически построен контур линии излучения. Показано, что немарковость приводит к его заметным деформациям. Данный факт может наблюдаться в прецизионных экспериментах с атомами в ловушках.

Заметим, что полученное немарковское квантовое кинетическое уравнение сохраняет все привлекательные черты соответствующего марковского уравнения, а именно сохраняется след матрицы плотности и ее эрмито-вость. Выведенное уравнение имеет достаточно простую структуру по сравнению с традиционными немарковскими уравнениями, что позволило найти его аналитические решения и рассчитать двухвременные атомные корреляторы в случае одного и двух двухуровневых атомов.

Список литературы

1. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М: Наука. 1979. 424 с.

2. Ван Кампен Н Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высш. шк.. 1990. 376 р.

3. Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Commun. Math. Phys. 1976. Vol.48, №2. P. 119-130.

4. Budini A.A. Stochastic representation of a class of non-Marcovian completely positive evolution // Phys. Rev. A. 2004. Vol.69. P.042107(1)4)42107(12).

5. Shabani A., Lidar D A. Completely positive post-Markovian master equation via a measurement approach // Phys. Rev. A. 2001. Vol.71. P.020101 (R)I-020101 (R)4.

6. Gainutdinov R. Kh. Nonlocal interaction and quantum dynamics //J. Phys. A: Math. Gen. 1999. Vol.32. P.5657-5678.

7. Скалли M.O., Зубайри M.C. Квантовая оптика. М.: Физ-матлит, 2003. 512 с.

8. Gangopadhyay G. Ray D. Non-Markovian master equation for linear and nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1992. Vol.46, №3. P.1507-1515.

9. Breuer II.-P., Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford: Oxford University Press, 2002. 630 p.

10. Lax M. Noise. XI. Multitime correspondence between quantum and classical stochastic processes 11 Phys. Rev. 1968. Vol.172. P.350-361.

11. Budini A.A. Open quantum system approach to single-molecule spectroscopy // Phys. Rev. A. 2009. Vol.79. P.043804( 1-17).

12. Kurizki G.. Ben-Reuven A. Theory of cooperative fluorescence from products of reactions or collions: identical neutral atomic fragments // Phys. Rev. A. 1987. Vol.36. P.90-102.

13. Gangopadhyay G. Non-Markovian master equation for linear and nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1992. Vol.46. P.1507-1515.

14. Breuer H.-P.. Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford: Oxford University Press, 2002. 645 p.

15. Горохов А.В., Семин В В. Расчет спектра флуоресценции для двух взаимодействующих атомов // Оптика и спектроскопия. 2009. Т.107, №4. С.617-622.

УДК 533.9, 539.1

ТОЧНО РЕШАЕМАЯ МОДЕЛЬ МГНОВЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ПОЛЯ В КИНЕТИКЕ ВАКУУМНОГО РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ

Д.Б. Блашке, В.В. Дмитриев*, П.И. Смолянский*, С.А. Смолянский*, A.B. Чертилин*

Институт теоретической физики, Вроцлав, Польша,

Лаборатория теоретической физики ОИЯИ им. H.H. Боголюбова, Дубна, Россия * Саратовский государственный университет E-mail: smol@sgu.ru

Получено точное решение непертурбативных кинетических уравнений, описывающих вакуумное рождение фермионных и бозон-ных пар в линейно-поляризованном мгновенно включаемом электрическом поле. Показано, что найденные распределения не нормированы, в отличие от случая произвольно зависящих от времени внешних полей. Найдены соответствующие перенорми-

© ДБ. Блашке, В.В. Дмитриев, ГШ. Смолянскии, С.А. Смолянский, A.B. Чертилин, 2010

рованные функции распределения. Полученные результаты могут быть использованы для вычисления верхних оценок наблюдаемых величин порожденной из вакуума плазмы под действием более реалистических коротких импульсов электрического поля. Ключевые слова: вакуумное рождение, электрон-позитронная плазма, кинетическое уравнение, эффект Швингера.