Поддержка принятия решений относительно трудноформализуемой системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.825

И.Н. Набродова, ведущий инж., (4872) 33-24-45, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)

ПОДДЕРЖКА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ТРУДНОФОРМАЛИЗУЕМОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрен метод решения задачи, основанный на построении дерева моделей, составляющего приближенную модель метасистемы Ьг- = Г(х, и, г).

Ключевые слова: модель, метасистема, ситуация.

Введение

Одной из первых задач компьютерной поддержки принятия решения является распознавание ситуации, в которой находится система, относительно которой принимается решение.

Предполагается, что система £, функционирующая в окружающей среде Е, имеет: 1) неуправляемые, но измеряемые (или оцениваемые) входы х; 2) неизмеряемые и неоцениваемые входы w; 3) управляемые входы и, зависящие от решения й (или непосредственно являющиеся реализацией решения й) лица, принимающего решения (ЛПР), выходы у, зависимые от состояния системы (рис. 1).

I ЛПР ,1

Система 3 ^ w

Среда Е

Рис. 1. Взаимодействие ЛПР, системы £ и среды Е

Окружающая среда взаимодействует с системой, выдавая на нее значения переменных х,w, зависящие от состояния среды ое Е, частично зависимого от у. В качестве окружающей среды обычно рассматривается или «природа», когда действия среды не носят целенаправленный характер, или противодействующая сторона, когда действия среды имеют цель «обыграть» ЛПР.

Постановка задачи

Взаимодействие ЛПР, системы £ и среды E показано на рис.1 и 2.

Метасистема

X V 7. ч

' Т і '

Информационно-

измерительная

система

(лпр)—

Рис. 2. Модель метасистемы

Совокупность состояний системы £ и среды Е на момент к принятия решения йе В составляет ситуацию о = (х,у,г,и,к) [1]. Здесь к - дискретное время; В - дискретное множество возможных решений.

Предполагаем, что множество ситуаций Е = {о} разбито на классы а/,1 = 1,...,п (некоторые классы могут состоять из одной ситуации).

Каждому классу ситуаций шей при любой цели gе О соответствует непустое множество решений А = {й}е В. Число классов п известно, причем классы все упорядочены по отдельным признакам от нормальной ситуации (исходной) до угрожающей. Связь наблюдений у с

состоянием о приближенно (в пределах е -различимости решений й е В) также известна: у = Н(о)+ V. Здесь у, V - векторы одной размерности. Поэтому классам ситуаций ю можно сопоставить адекватные им классы а^ е А выходов у е У. То есть будем полагать, что, если выбран вариант разбиения йj,] = 1,...п, то множество А подразделяется на п классов, т.е. а/ = йj(х,и,г); / = 1,...,п . Требуется по информации о классах

Ю/ е й шей и информации о функционировании метасистемы {х,у, г,и,к = 1,...И} за определенный период времени (N отсчетов) разбить множество значений {х,и,г} на п классов, т.е. построить в пространстве {х,и,г} дерево классификаций [2], позволяющее предсказывать принадлежность наблюдений (х, и, г) к тому или иному классу категориальной зависимой переменной у в зависимости от соответствующих значений одной или нескольких предикторных переменных.

Рациональная классификация

Предлагается метод решения этой задачи, основанный на построении дерева моделей, составляющего приближенную модель метасистемы Ь/ = ^ (х, и, г).

Дерево содержит три уровня лингвистических моделей - моделей, оперирующих значениями лингвистических переменных [3]. На нижнем уровне находятся модели среды, выбираемые значением Ь(г), на следующем уровне - модели, выбираемые значением Ь(х); на третьем уровне -модели, выбираемые значением Ь(и), а их выходом является указание некоторого класса а/ е А.

Рациональной классификацией множества А на п классов называется п -мерная вектор-функция ц(у ) = (т (у),..., Ц п (у)), (Ц/ (у) - функция принадлежности к классу а/), удовлетворяющая условиям: во-первых, ц(у) - измеримы по мере результирующей функции принадлежности выхода модели у и, во-вторых, для любого у е У значение Ц/ (у) удов-

п

летворяет условию нормировки Е Ц/ (у ) = 1, 0 £Ц/ (у )£ 1.

/=1

В качестве критерия качества классификации берется функционал

= Е Е р(ь j, а/ )• ф(ц ьу(у/ Л (1)

/=1у=1

где р (Ь у, а/) - некоторая мера близости между элементами множества В (термов лингвистической переменной Ь(у)) и элементами множества классов А; ф(цьу- (у/ )) - монотонно возрастающая функция, отображаю-

щая отрезок [0,1] на себя, причем ф(0) = 0 и ф(1) = 1.

Лингвистические модели, составляющие дерево, строятся итерационной процедурой [1] до достижения минимума критерия

Nkв ) ,

¿Т (еМ ) = 1пО (8) - (сМ ^) ЕЕ 1п( ку/ - ку\кВ )), (2)

/=1/=1

где 81 (8) - показатель устойчивости оценок критерия, вычисляемый по выборкам данных; к у/ = р(Ьу/) - расстояние в заданной метрике р() подмножества Ьу в / -й строке матрицы наблюдений WN от начала области значений выходной переменной у; кв - число подмножеств Ьу е В; см -

параметр регуляризации модели, предназначенный для повышения ее обусловленности, вычисляемый по одному из выражений: см = 1 - пх / Nх или см = 1 - п8 / Ns, где пх, Nх - соответственно число учитываемых моделью факторов и общее число возможных факторов; п8, Ns - соответст-

венно число элементарных структурных элементов, включенных в модель, и общее число исходных структурных элементов, определенное из априорной информации.

Лемма. Распределение значений функций принадлежности (у),

I = 1,...,п получаемое с помощью модели Ь/ = ^(г,х,и), носит унимодальный характер.

Из леммы следует, что максимум Ць (у), I = 1,. .,п при некоторых

условиях может указывать на принадлежность ситуации классу а/.

Теорема. Если лингвистическая модель Ь/ = Р(г,х,и) отвечает минимуму критерия (2), то такая модель обеспечивает рациональную классификацию ситуаций в смысле критерия (1).

Доказательство этой теоремы основано на методе математической индукции.

Для построения модели Ь/ = Р(г, х,и) необходимо решение следующих задач: 1) определить множества информативных переменных

{х}, {у}, {г}; 2) получить выборку данных W(^ ={хк, ук, 2к, ик, к = 1,..., N};

3) преобразовать выборку W(^ в матрицу 6 N) путем приведения зафиксированных значений переменных к шкале термов соответствующих лингвистических переменных; 4) преобразовать матрицу 6(^ в матрицу

6м )

- лингвистическую модель метасистемы - путем выполнения процедуры

идентификации, описанной в [1]; 5) вычислить вектор ошибок Е(^ модели Ь/ = Р(г,х,и), выполнив деффазификацию, по контрольной выборке данных; 6) проверить адекватность полученной модели путем анализа последовательности значений {^к,к = 1,...,N'} на случайность (М{е} = 0), на отсутствие автокорреляции сее и на нормальность распределения вероятностей значений ошибки ек по полученным значениям ассиметрии и эксцесса.

Основную проблему при этом составляет выполнение третьего этапа, задачу которого можно сформулировать следующим образом.

Требуется множества значений каждой входной переменной преобразовать в значения соответствующих лингвистических переменных таким образом, что селективность о у выбора «листа» Ь/ е В дерева Р (х, г, и) будет максимальной:

' ' \с®Ь, )

щс

о

} Пс

(с ® Ь/) { « - л

пс

V с у

(3)

где П(с®ь ) - количество конъюнкций термов входных лингвистических переменных, указывающих на Ь/; П(с®ь ) - количество конъюнкций тер-

мов входных лингвистических переменных, указывающих на другие bj, принадлежащие дополнению к bj; nc - общее число конъюнкций, составляющих модель; Tj - правило преобразования множества значений j -й

входной переменной в термы лингвистической переменной путем задания параметров функций принадлежности ma, (q).

Для решения задачи (3) предложено использовать метод кластеризации, основанный на оценке расстояний между выборочными значениями

в W(N) и подбора порога e j, обеспечивающего максимум о j.

В результате настроенная таким образом лингвистическая модель становится классификатором F(x, z, u) ^ aj е A, при этом в роли степени достоверности текущей классификации выступает результирующее значение функции принадлежности ть (У), 1 = 1,. ., n.

Выполненные экспериментальные исследования подтвердили эффективность предложенного метода.

Предложенный метод оценивания ситуации, в которой требуется принимать решение, основан на построении лингвистической модели, играющей роль классификатора, и может быть использован при построении интеллектуальной системы поддержки принятия решений трудноформали-зуемых задач практически в любой предметной области: экономической, технической, управленческой, медицинской и т.п.

Список литературы

1. Токарев В.Л. Компьютерная поддержка принятия решений: монография. М.: Изд-во СГУ, 2007. 162 с.

2. Vapnik V.N. Statistical Learning Theory. NY: John Wiley, 1998

3. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 165 с.

I. Nabrodova

Decision-making support relatively hardly formalized system

The method of decision making support based on construction of the model tree is described.

Key words: model, metasystem, situation.

Получено 02.11.10