Перенос массы газа в канале при наличии параллельного стенкам градиента температуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.72

ТЕСТОВА Ирина Вячеславовна, старший преподаватель кафедры информатики, вычислительной техники и методики преподавания информатики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 16 научных публикаций

ПЕРЕНОС МАССЫ ГАЗА В КАНАЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СТЕНКАМ ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ

В рамках кинетического подхода построено аналитическое (в виде ряда Неймана) решение задачи о вычислении потока массы газа в плоском канале с параллельными бесконечными стенками при наличии параллельного стенкам градиента температуры. Проведено сравнение конечных выражений с аналогичными результатами, полученными с использованием численных методов.

Течение разреженного газа в канале, течение Пуазейля, кинетическое уравнение Больцмана, модельные кинетические уравнения, модели граничных условий, точные аналитические решения

Введение. Описание течения газа в канале существенным образом зависит от соотношения его характерного размера D' и средней длины свободного пробега молекул газа . При П >> можно использовать гидродинамический подход, основанный на решении с заданными на стенках канала макроскопическими граничными условиями системы уравнений Навье-Стокса. В противном случае нужно использовать кинетический подход, основанный на решении кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна удовлетворять на стенках канала функция распределения молекул газа по координатам и скоростям [1]. Учитывая, что точные решения кинетического уравнения Больцмана в силу нелинейности стоящего в его

© Тестова И.В., 2011

правой части пятикратного интеграла столкновений в общем случае получить не представляется возможным, при решении многих задач используется не само уравнение Больцмана, а его модели, которые получаются путем замены интеграла столкновений Больцмана более простыми с математической точки зрения выражениями, наследующими, тем не менее, основные свойства истинного интеграла столкновений. Одной из таких моделей является БГК (Бхат-нагар, Гросс, Крук) модель, которая для стационарного случая в декартовой системе координат записывается в виде [2]

=-р {/е1] - /)

Здесь f(г',v) - функция распределения молекул газа по координатам и скоростям, р и т]ё - давление и коэффициент динамической вязкости газа, у - скорости поступательного движения молекул газа, г' - размерный радиус-вектор. В представленной работе данная модель используется для решения задачи о течении разреженного газа в плоском канале при наличии касательного к его стенкам градиента температуры. Данная задача неоднократно рассматривалась ранее разными авторами с использованием численных методов, обзор которых представлен в [3]. Целью настоящей работы является решение задачи с использованием аналитических методов.

Постановка задачи. Построение функции распределения молекул газа. Рассмотрим плоский канал, толщиной D', стенки которого расположены в плоскостях х' =± d' прямоугольной декартовой системы координат ( d' = D'/2). Предположим, что в канале поддерживается постоянный градиент температуры, параллельный его стенкам. Направим ось 02 декартовой системы координат вдоль градиента температуры. Будем считать относительный перепад температуры на длине свободного пробега молекул газа малым. Тогда задача допускает линеаризацию, и функцию распределения молекул газа по координатам и скоростям можно представить в виде

f (г',у) = /312л~312 ехр(-С2)х

2 5

1 + (С 2 --^т + GTZ (х, С) >1/2

(1)

где С = / у - безразмерная скорость молекул газа; / = т /2kBT; т - масса молекулы газа; kв - постоянная Больцмана; Т - температура газа; От = (1/Т)^Т/dz) - безразмерный градиент температуры; 2 (х, С) - линейная поправка к локально-равновесной функции распределения; х = х'/1 и z = z'/lg - безраз-

мерные координаты; 1^ = ц /

-1/2'

няя длина свободного пробега молекул газа. Запишем в выбранной системе координат БГК модель кинетического уравнения Больцмана

V,

дх'

+ v z ~д^=^р - f ^

Л

(2)

Функцию 2 (х, С) ищем в виде

г (х, с)=ед(х, с„)+с (с2 + с2 - 2). (3)

Подставляя (1) и (3) в (2) и линеаризуя (г', V) относительно абсолютного максвел-лиана, приходим к системе уравнений для нахождения 21(х, и) и 22 (х, /и) ( и = Сх)

д21 2 1

ц——V 21(х,и) + и - — = дх 2

1 +ТО

--—г= | ехр(-г2) 21( х,т) dт

-гг, '

(4)

д22 7 , , л Л Ц—2 + 2 2 (x, Ц) + 1 = 0 дх

С учетом модели диффузного отражения молекул газа стенками канала, записываем граничные условия для 2к (х, ц) k = 1,2

2к (±d,+л) = 0, ц> 0.

(5)

/ р - сред-

Исходя из статистического смысла функции распределения и учитывая (1) и (3), находим массовую скорость газа в направлении оси

02$

(2к Тд1/2

Чг(х,) =1V(г', у) d3у = ^-кт~J Чг (х) ^,

1 +х>

Чг (х) = ~Т | ехР(-и2) 21( х,и) Ф. (6)

2 V 7Т — да

Так как 22(х, и) не входит в (6), то поставленная задача сводится к решению уравнения (4) с граничными условиями (5). Общее решение (4) имеет вид [2]

х

Z1 (x, и) = A + A1( x — и) +

+да

X ' і

+ о exp(---)F(r,и)a(r)dr — и2 +^, (7)

— да Г 2

1 1 2

F(г,и) = ~т= rP-+ exp(r )A(r)S(r — и)

4я r — и

+да 2

1 fexp(—и ) dи

1

Ж(z) = 1 + —^ z 0 л/я J

и — z

.Р(1/ 2) - распределение в смысле главного значения при вычислении интеграла от 1/ 2, 8(г) - дельта-функция Дирака, а А0, А1 и а(о) - неизвестные параметры и функция, подлежащие дальнейшему определению.

С учетом симметрии задачи 2(—d,—/и) = = 2^, /и) [4]. В силу этого А1 = 0, а(—о) = а(о). Тогда, подставляя (7) в (5), после преобразований приходим к интегральному уравнению

1 +ехр(и2) ь(и,—й) я(и;) = / и)

л/я 0 о — и

и > о,

2 ^ 1 +да гЬ(г, d) dг

Ли) = и2 —- —A —^=0

2 Ыя о

(В)

г + и

b(r, x) = exp----a(r)

У r)

Решение (В) ищем с использованием теории краевых задач функции комплексного переменного [2]. На этом пути находим

A =—Q2 —1 + -р= 0rX (—r)a(r)exp(—d / r)dr

2 лі я ’

а для нахождения a(r) приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода

^ ч мл 1 +да гХ(—г)aD Г dV

a(M) = h(^)[Qi — и+^= j--------------expl--Idг],

л/я о г + и у г) ’

и > о.

(9)

Ми) =-Х(,и)exp(—и2 — d)

2|Ж+ (и) |2

и

Решение (9) ищем в виде степенного ряда

+да

a(^) = Х ^kak (и),

Ж =

k=о

(1о)

Подставляя (10) в (9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Я, приходим к системе рекуррентных соотношений, из которых находим

ао(т) = ^т)^1 — ^,

+да

ai

(г)=вд о

g (r)[Qi— r]dr Г + г

a

(т) = ^(т) +0° 8 (л¥л +г° 8 (ЛЩ - ЛІФ

' о Л +2 о Л +Л ’

. . т X2(-т) Г 2 DЛ

8(т)=^ГГЧ-т -7>

Таким образом, неизвестные параметры А0, А1 и функция а(л), входящие в (7), найдены, и функция распределения молекул газа по координатам и скоростям построена.

2. Вычисление массовой скорости газа в канале. С учетом построенной функции распределения вычислим безразмерный поток массы газа, приходящийся на единицу ширины канала Jм, и выражение, описывающее профиль безразмерной массовой скорости газа в канале

qz (х) . Подставляя (10) в (6), после интегрирования находим

qz (x) = — 2

1 да

Q2 + ~ — Z[Ik + Jk (x)]

2 k=о

. (11)

I о =

1

Il =

=о ^(г)^і— г—D/2] dт,

і +одагі(г-) 1т g (r)[Qi-r- d/2] dr

ыя о о r + г

1

g (r) drr

я о

о r +г

х+о° g (u)[Qi — и— D/2]dQ

о и+r '

81(т) = 8(т). Интегралы Jk (х) имеют ту же структуру, что и 1к с той лишь разницей, что вместо 81(2) в них входит функция

г(х,л) = , ехр(- Л 2) х

I Ж(и)|2

(

exp

x — D/2

и

\

+ exp

и

Интегрируя (21) по переменной x от — d до d , находим величину JM

JM =

2d 2 — d

1

оqz(x)dx=

— 2| Q2 + t—ZIk \d + Zк-2 k=0 ) k=0

(12)

и)

Интегралы ^ отличаются от I^ тем, что вместо gl(^) в них входит функция

£ (и) = U^( UL exp(- JU2 j"l - exp

ь И | Л+ (u)|2

Значения gz (х) для канала толщиной

2d = 2.0, рассчитанные согласно (11) и вычисленные в [5], приведены в табл. 1, а значения JM (12) при различных значениях толщины канала - в табл. 2. Как следует из приведенных таблиц, различия между соответствующими результатами не превышают 0,06% для всего диапазона приведенных значений.

Заключение. Итак, в работе для случая диффузного отражения молекул газа стенками канала вычислен безразмерный поток массы газа, приходящийся на единицу ширины канала, и построен профиль безразмерной массовой скорости газа в канале. Проведен численный анализ полученных выражений. Показано, что полученные в работе результаты с высокой степенью точности совпадают с аналогичными результатами, полученными использованием численных методов.

X

1

1

Таблица І

ЗАВИСИМОСТЬ МАССОВОЙ СКОРОСТИ qz (£) ДЛЯ КАНАЛА ТОЩИНОЙ 2d = 2,0

£ = x / d qz(£) (11) qz(£) [5]

0,0 0,2413164 0,2412645

0,1 0,2405121 0,2404602

0,2 0,2380686 0,2380167

0,3 0,2338894 0,2338381

0,4 0,2278001 0,2277487

о,5 0,2195140 0,2194636

0,6 0,2085825 0,2085296

0,7 0,1942489 0,1941984

0,8 0,1751612 0,1751119

0,9 0,1482810 0,1482365

1,0 0,0981175 0,0980618

Таблица 2

ЗАВИСИМОСТЬ ПОТОКА МАССЫ ГАЗА JM,

ПРИХОДЯЩЕГОСЯ НА ЕДИНИЦУ ШИРИНЫ КАНАЛА, ОТ ЕГО ТОЛЩИНЫ 2d

2d Jm (12) Jm И

0,30 -0,4844251 -0,4841992

0,50 -0,3986796 -0,3984993

0,70 -0,3465046 -0,3463781

0,90 -0,309798 -0,3097001

1,00 -0,295019 -0,2948999

2,00 -0,2062914 -0,2062429

5,00 -0,1142742 -0,1142597

7,00 -0,0885107 -0,0885023

9,00 -0,0721921 -0,07218667

Список литературы

1. ЛифшицЕ.М., ПитаевскийЛ.П. Физическая кинетика. М., 1979.

2. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М., 1973.

3. Шарипов Ф.М., Селезнев В.Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург, 2008.

4. Loyalka S.K. The Q and F Integrals for the BGK Model // Transp. Theory and Statist. Physics. 1975. V. 4. № 2.

P 55-65. " "

5. Barichello L.B., Camargo M., Rodrigues P., Siewert C.E. Unified Solutions to Classical Flow Problems Based on the BGK Model // ZAMP 2001. № 52. P. 517-534.

Testova Irina

GAS MASS TRANSFER IN THE CHANNEL IN THE PRESENCE OF THE TEMPERATURE GRADIENT PARALLEL TO ITS WALLS

Within the kinetic approach frames the analytical (in the form of Neumann’s series) solution of a problem on the calculation of a stream of gas mass in the flat channel with parallel infinite walls in the presence of the temperature gradient parallel to the walls is constructed. The comparison of the final expressions with analogous results obtained by means of numerical methods is carried out.

Контактная информация: e-mail: [email protected]

Рецензент - ПоповВ.Н., доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики Северного (Арктического) федерального университета