Аналитическое решение задачи о вычислении изотермического потока тепла в плоском канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.72

ТЕСТОВА Ирина Вячеславовна, старший преподаватель кафедры информатики, вычислительной техники и методики преподавания информатики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 15 научных публикаций

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЫЧИСЛЕНИИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ПОТОКА ТЕПЛА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ

В рамках кинетического подхода для произвольных значений числа Прандтля построено аналитическое (в виде ряда Неймана) решение задачи о вычислении потока тепла в плоском канале с параллельными бесконечными стенками при наличии параллельного стенкам градиента давления. В качестве основного уравнения используется эллипсоидально-статистическая модель кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия -модель диффузного отражения. В качестве приложения вычислен изотермический поток тепла в канале.

Течение разреженного газа в канале, течение Пуазейля, кинетическое уравнение Больцмана, модельные кинетические уравнения, модели граничных условий, точные аналитические решения

Введение. Задача о вычислении потока тепла в плоском канале с бесконечными параллельными стенками при наличии параллельного стенкам градиента давления (изотермическом потоке тепла) неоднократно рассматривалась ранее различными авторами с использованием как численных, так и аналитических методов, обзоры которых можно найти в [1-2]. Однако полученные в этих работах результаты относятся к газам, число Прандтля которых близко к 2 / 3, в то время как для ряда реальных газов это значение существенно отличается от приведенного выше [3]. Целью представленной работы является построение решения задачи о вычислении потока тепла в канале, справедливого для произвольных значений числа Прандтля.

© Тестова И.В., 2011

1. Постановка задачи. Построение функции распределения молекул газа. Рассмотрим течение разреженного газа в плоском канале толщиной D,, стенки которого расположены в плоскостях х' = ± d' прямоугольной декартовой системы координат ( і' = D'/2). Предположим, что в канале поддерживается постоянный градиент давления, параллельный его стенкам. Направим ось О^ декартовой системы координат вдоль градиента давления. Запишем в выбранной системе координат ЭС модель кинетического уравнения Больцмана

V х ^ + V 2 ^ = Р Рг(ф„ - /) (1)

х дх' " Х к (1)

Здесь /(г',v) - функция распределения молекул газа по координатам и скоростям, р и

т|g - давление и коэффициент динамической вязкости газа, v и г' - скорости поступательного движения и размерные радиус-векторы координат центров масс молекул газа,

Ф„ (г", у) = п(і)0, ,2(<і* Л)1'2 х

+х>

х ехр

- £ л„ (с, _ и, )(с, - и,)

Л =11ЛН=

С = 3312 у и и = /З1'2и - безразмерные скорость молекул газа и массовая скорость газа; 3 = т l2kBT; т - масса молекулы газа; kв - постоянная Больцмана; р, - температура газа; Т - компоненты бездивергентного тензора вязких напряжений [4].

Будем считать малым относительный перепад давления на длине свободного пробега молекул газа I^. Тогда задача допускает линеаризацию и функцию распределения молекул газа по координатам и скоростям можно представить в виде:

f (г',у) = п( 1)РЪ12Ж~ЪП х х ехр(_С 2)[1 + с^п2 (х, с,)]. (2)

Здесь Оп = (1/ р)(ёр / dz) - безразмерный градиент давления в направлении оси Оz'; 2 (х, Сх ) - линейная поправка к локально-равновесной функции распределения; х = Рг х' / 1ё

и z = Рг z' / - безразмерные координаты;

_1 / 2

1ё = ц 3 / р. Подставляя (2) в (1) и лине-

аризуя Ф щ (г', у) относительно локального максвеллиана, приходим к уравнению для нахождения 2(х, ¡и) ( л = Сх)

5, + (1 _ Рг _') рІ

Р

_1

д2 1

Л — + 2(хЛ ) + 1 =|ехР(_т2) х дх ЫЖ _„

х [1 + 2(1 - Рг 1)/ит] 2(х,т) ёт (3)

Общее решение (3) имеет вид [5]

2(х, ¡и) = ух2 _2цх + 2¡л2 + Л0 + Л1(х_у-1^) +

+ | ехр(—-)F(п, м)а(п)dп . (4)

—да п

Здесь А0, Ах и а(п) - неизвестные параметры и функция, подлежащие дальнейшему определению:

Р (V, л) = -^ цР

1

Ц_ Л

+ ехр(ц2)А(ц)5(ц _ л)

+ад

ч ^=1+^ж z |

ехр(_л2) ёл

Л_ z

Р(1/ 2) - распределение в смысле главного значения при вычислении интеграла от 1/ г, 8( г) - дельта-функция Дирака, у = Рг—1. В качестве модели граничного условия на стенках канала используем модель диффузного отражения. С учетом этого на верхней и нижней стенках канала для функции Z(х, м) должны выполняться условия

Z(±d,+м) = 0, м> 0. (5)

С учетом симметрии задачи Z (—d,—м) = = Z ^, м) [4]. В силу этого необходимо положить А1 = 0, а(—п) = а(п). Тогда, подставляя (4) в (5), приходим к интегральному уравнению:

1 7пЪ(п-^>^ ( 2)Ъ( 0( ) )

— ] -+ ехр( м ) Ъ(м,-d) Х( м) = ( м),

л!п 0 п—м

Л > 0,

(6)

f ( л ) = _ уё _ 2 л _ Ло _ 2ёл _

і +# _~г I

ЫЖ о

тЬ(т, ё) ёт т + ¡и

( И

Ь(ц, х) = ехр а(ц)

V

(7)

(8)

Решение (6) ищем с использованием теории краевых задач функции комплексного переменного [2]. С этой целью введем вспомогательную функцию, заданную интегралом типа Коши:

1 +“ N (г) = ~г |

ЫЖ 0

V Ь(ц,_ё) ёц V _ г

(9)

С учетом граничных условий на верхнем и нижнем берегах разрезов для функций N (2) и А(г) сведем интегральное уравнение (6) к краевой задаче Римана на действительной положительной полуоси:

N + ( м )А+ ( м ) — N — ( м )А~ ( м ) =

= 2л[л1м / (м)ехр(—м 2), м > 0. (10)

Общее решение (10) имеет вид

1 1 +ГX — (п) ,, ч ,г, dп

N(2) = ~т= 1-----п1 (п) ехР(—п )--------

х (2) 4П 0 А- (п) п — 2

(11)

Здесь

X (г) = — ехр

г

Ж

- +1 Ж п

[$(т) _ ж] ёт т _ г Ч(т)

од = -- агс^- 2

2 л/пт ехр(—т )

Раскладывая (11) в окрестности бесконечно уцаленной точки, приходим к условию разрешимости краевой задачи (10):

у2 — 2^ + А0 — —

1 +г°° X— (п) ^ , 2Ч

— —| —----------п/(п)ехР(—п )х

Ып 0 А (п)

1 +а |

ЫЖ 0

тЬ(т, ё)

т + ц

ёт = 0.

(12)

Здесь <2п - интегралы Лойалки [2], в частности Q1 = -1,01619, (22 = -1,26632. Изменяя в (12) порядок интегрирования и учитывая (8) и интегральное представление:

х (—т) = _1_ +|° х_ (п) п ехР(—п2) ^

т + V

находим

Л0 = _у ё + 202 + 2^1 +

1 +?

I т X(_т) а(т)ехр

л/ж 0

ё'

ёт

(13)

Коэффициенты а( м ) в разложении (4) найдем по формулам Сохоцкого. Учитывая (8) и (9), находим

N + ( л) _ N ( л) = 24жіл а(л)

ехр

Г

л

. (14)

Отсюда приходим к интегральному уравне-

нию

а(,, ) = ехр(_ л2) х (_ л )[Q ; ; .

а( л ) = | Ч (л )|2 [^1-U _ ё "

1 +Тт Х (_т) а(т) ехрГ_ ± ]ёг]ехрГ_ ^

2л/ ж 0 т + л V т) V л.

м > 0. (15)

Решение (15) ищем в виде ряда по степеням А

а( л ) = £Чак (л ), ч =-Ц.

(16)

к=0 2л[ж

Подставляя (16) в (15) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях А , приходим к системе рекуррентных соотношений, из которых находим:

т

а0(т) = ЧтЩ _ т _ D/2],

ё (V)[Q1 -V- Р /2]dV

V + т

(17)

(18)

а2(т) = ВД7 х

0 V +т +Г 2(лШ _ Р /2]ёл

х I --------------------------

0

л + V

(19)

— / — •

, / ч X (_т) ( 2 Р

И(т) = —------- ехр1 _ т _ —

ч+ (т)|2 V 2т

/ Ч т X2 (_т) ( 2 Р

ё(т) = —+----------2-ехр _ т

Ч+ (т)|2

Подставляя далее (16)-(19) в (14), находим:

Л = _Ур2 . ^ ™ ^

Л0 -

/п =

+ 2Q2 + Ч !к ,

4 к=0

1 +х>

]= Iё(тЩ _т _Р/2]ёт

Ж 0 ’

. 1 +Г ( ) ё +Гё(v)[Ql _V _Р/2]dv

А = ^ |ё(т) I--------------—------------------:

) 0 '/ ‘

| ё(т) ёт |

0

0

г ё(U)[Ql _ л _ Р /2] х\!------------------------.

0 л + V

Таким образом, неизвестные параметры А, Л1 и функция a(v), входящие в (4), найдены и функция распределения молекул газа по координатам и скоростям построена.

2. Вычисление потока тепла. С учетом построенной функции распределения вычислим

оси Ог', приходящуюся на единицу ширины канала Qр. Исходя из статистического смысла функции распределения и учитывая (2), находим [2]

Ч

(х') =| У [у _ и(г' )]1 у _ «(г' ) I2 х

г, , ч А3 пквТ I ч 1 ёр

х f(г ,у)ё у = —^Чг(х)—— л/3 Р ’

Чг (х» = Ж- | ехр(_С 2) Г, 2 (X, ^ ) ё Г’С .(20)

Здесь чг (х) есть безразмерная z-компонента вектора плотности потока тепла. Подставляя (4) в (20), после интегрирования получаем:

Чг(х)= 2

1 г

1 _ Г £ (х)

2 к=0

(21)

+г

10(х) = -^ IУ(А лЩ _ л_Р/2]Ф

-4ж з ’

11( х) = -р=

+г +г

"ЖЖ |у(х, л)ёл I

12 (х) = -¡=

+г +г

I у(х, л)ёл I

V + л

+г

ё(т)[Ql _ т _ Р/2]ёт

т + V

У( х, л) =

X (_л) |Ч- (л)|2

ехр(_ л2 |ехр

х + Р/2

л

Величину потока безразмерного тепла 2р в г^мпогету вектора плотности потока тепла направлении 02, приходящуюся на единицу

Чг( х,)

и величину потока тепла в направлении

ширины канала, вычислим согласно [1]:

х

1

+

D/2

QP = - d2^ j q(x) dx.

(22)

-D /2

Подставляя (21) в (22) и выполняя интегрирование, получаем:

Qp =-

1

D - £¿А

к=0

(23)

K0 =-L f£(иЩ - и- D /2] d^ * 0J ' +f +f

If‘c(^)d^f *^щ-"- D/2] d"

л J J

+f +f K2 =7Л j^(^)d^ j

V + И

g(n) dV ri + И

+f

i

g(j)[Qi -T-D/2]dz

T + Ц

С(и) = иХ иИ exp(- И2j1 - exP

(

D Л

иJ

|ч (л)І2

Выражение (23) описывает изотермический поток тепла, приходящийся на единицу ширины канала.

Заключение. Итак, в работе в виде ряда Неймана построено решение ЭС модели кинетического уравнения Больцмана в задаче об изотермическом потоке тепла в плоском канале с параллельными стенками. В качестве приложения получено выражение, описывающее поток тепла в газе, приходящийся на единицу ширины канала, справедливое при произвольных значениях числа Прандтля.

X

Список литературы

1. Шарипов Ф.М., Селезнев В.Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург, 2008.

2. ЛатышевА.В., ЮшкановА.А. Аналитические решения граничных задач для кинетических уравнений. М., 2004.

3. ВаргафтикН.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М., 1963.

4. ЧерчиньяниК. Математические методы в кинетической теории газов. М., 1973.

5. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий // ЖТФ. 1998. Т. 68, N° 11. C. 27-31.

Testova Irina

ANALYTICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF SCALING ISOMETRICAL FLOW OF HEAT IN THE DUCT

Under the kinetic approach for arbitrary values of Prandtl number analytical (in terms of Neumann series) solution of the problem of scaling heat flow in flat duct with parallel perpetual sides is build with barometric gradient being parallel to the sides of duct. Ellipsoidal statistical model of Boltzmann kinetic equation is used the basic equation, the model of direct reflection being used in the capacity of a boundary condition. Isothermal flow of heat in the duct is scaled as a supplement.

Контактная информация: e-mail: [email protected]

Рецензент - Попов В.Н., доктор физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова