Вычисление потока тепла в задаче о течении Куэтта с использованием зеркально-диффузной модели граничного условия на стенках канала Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.72

ЛУКАшЕВ Вячеслав Валерьевич, аспирант кафедры математики Института математики и компьютерных наук Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 5 научных публикаций

ПОПОВ Василий Николаевич, доктор физикоматематических наук, доцент, заведующий кафедрой математики Института математики и компьютерных наук Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 126 научных публикаций, в т. ч. двух монографий, 6 учебных пособий

ЮшКАНОВ Александр Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета Автор 294 научных публикаций, в т. ч. 6 монографий

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТОКА ТЕПЛА В ЗАДАЧЕ О ТЕЧЕНИИ КУЭТТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗЕРКАЛЬНО-ДИФФУЗНОЙ МОДЕЛИ ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ НА СТЕНКАХ КАНАЛА

В рамках кинетического подхода вычислен поток тепла в задаче о течении Куэтта. В качестве основного уравнения используется БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия на стенках канала - модель зеркально-диффузного отражения. Для произвольных значений толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала вычислен поток тепла, приходящийся на единицу ширины канала. Проведено сравнение с аналогичными результатами, полученными другими авторами.

Ключевые слова: кинетическое уравнение Больцмана, модельные кинетические уравнения, точные аналитические решения, модели граничных условий.

Моделирование течений разреженного газа имеет большое количество применений, среди которых течения в микро- и наноустройствах, изучение структуры ударных волн, явлений в кнудсеновском пограничном слое и т. д. [1]. При этом для расчета макропараметров газа в общем случае используют методы прямого численного моделирования, основанные на том, что уравнение Больцмана решается ко-

нечно-разностным методом на фиксированной сетке в пространстве скоростей и координат, а искомые макропараметры газа находятся путем численного нахождения в пространстве скоростей значений моментов от функции распределения. Однако при таком подходе требуется наличие мощных вычислительных ресурсов как в плане оперативной памяти, так и в плане процессорного времени [1]. Объем вычислений и,

© Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов А.А., 2012

как следствие, уровень требований к производительности вычислительной техники, используемой для расчетов, можно существенно уменьшить за счет (пусть даже и частичного) решения задачи с использованием аналитических методов. Именно это и позволяет сделать предложенный в работе метод, сводящий вычисление макропараметров газа в канале к численному решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Заметим, что к настоящему времени разработаны эффективные процедуры численного решения такого рода уравнений, и их использование не приводит к каким-либо вычислительным сложностям.

Для одноатомных газов с использованием численных методов задача о течении Куэтта рассматривалась в [2-5]. В [6] на основе БГК модели уравнения Больцмана для почти зеркальных граничных условий на стенках канала с использованием аналитических методов получены выражения, описывающие профиль массовой скорости газа и потоки тепла и массы газа вдоль оси канала. В [7] аналогичные исследования проведены с использованием БГК модели уравнения Больцмана для диффузных граничных условий. Целью представленной работы является обобщение результатов, полученных в [7] на случай использования зеркально-диффузной модели граничных условий. В качестве основного уравнения используется линеаризованная БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель кинетического уравнения Больцмана [8].

Рассмотрим плоский канал толщиной стенки которого расположены в плоскостях х'= ± й’ прямоугольной декартовой системы координат (й = Б'/2), ось Ог' которой параллельна стенкам канала. Предположим, что стенки канала движутся в своих плоскостях в противоположных направлениях со скоростями и и -и. Будем считать, что течение носит стационарный характер, а скорость движения стенок канала много меньше скорости звука в газе. Тогда рассматриваемая задача допускает линеаризацию. Учитывая, что в задачах скольжения функция распределения пропорциональна касательной к обтекаемой поверхности

компоненте массовой скорости газа, функцию распределения молекул газа по координатам и скоростям представим в виде

Дг', у) = Р3/2п-3/2ехр(-С2)[1 + С2(х, С.)]. (1)

Здесь г' - размерный радиус-вектор; С = = р1/2 у - безразмерная скорость молекул газа; в = ш/2кВТ; т - масса молекулы газа; кВ - постоянная Больцмана; Т - температура газа; х = = х'/1 - безразмерная координата; I = пяР-1/2/р -средняя длина свободного пробега молекул газа, р и - давление и коэффициент динамической вязкости газа. В выбранной системе координат БГК модель кинетического уравнения Больцмана записывается в виде

д/ д/ р

V*т-7 + ^= — / - /). дх д?Пя

(2)

Здесь/ (г', у) - локально-равновесный мак-свеллиан. Подставим (1) в (2). Тогда после линеаризации /ед(г', у) относительно абсолютного максвеллиана приходим к уравнению для нахождения 2(х, н)(н = Сх):

д7 1 да

ц----+ 2(х,ц) = ^= | ехр(-т2)2(х,т)ёт. (3)

дх Уп -ш

Общее решение (3) приведено в [8]

2 (х,ц) = А0 + А1( х — ц) +

+ | ехр(-х / ц) Р(ц,ц)а(ц) ^Ц,

(4)

где А0, А1 и а(п) - неизвестные параметры и функция, подлежащие дальнейшему определению,

1 1 2

Р(П,Ц) = ~гП Р-+ ехр(п МП) 5(П-^), (5)

Ып П-Ц

(6)

Р(1/г) - распределение в смысле главного значения при вычислении интеграла от 1/г,

— от

5(z) - дельта-функция Дирака. Учитывая принятый в работе способ линеаризации функции распределения, граничные условия на верхней и нижней стенках канала записываются в виде

Z(d ,ц) = (1 - q)Z (d ,-ц) + 2qU, ц< 0, (7)

Z(—d,ц) = (1 — q)Z(—d,-ц) — 2qU, 0.

Здесь U = Р1/2м - модуль безразмерной скорости движения стенок канала. Подставляя (3) в (7) с учетом (4) после преобразований, приведенных в [7], приходим к системе интегральных уравнений:

1 +°n[B(-n, d) + B(n,-d)] dn +

4% о п-ц

+ ехр(ц2)[В(-ц, d) + B(^,,-d )]Цц) = (8)

= -2qA0--L +fn[B(nd) + B(-n,-d)]dn, ц>о,

Vn о п+ц

1 +J°n[ B(n,-d) - B(-n, d)] dn +

4% о п-ц

+ ехр(ц 2)[B(^,-d) - В(-ц, d )]Цц) = (9)

= 4Ац + 2q(Aid - - 2U) -

1 +р[ В(-п-) - Д(Л,d)] dn> ц> 0,

yjn о п+ц

B(p, d) = b(p, d) - (1 - q)b(-p, d), b(n, x) =

= exp(-x/n)a(n). (10)

Нетрудно видеть, что (9) с учетом (10) обращается в тождество при выполнении условий B(n, d) = —B(—n, -d) (или, что то же самое a(-n) = -a(n) и A0 = 0). Теперь (9) можно переписать в виде

1 +j°n Д(-ГЬd) ^п + ехр(ц2) £(-ц, d Жц) =

vn 0 n-Ц

= f (ц), Ц> 0, (11)

f (ц) = -2 — q( Axd — А1Ц — 2U) —

IJnmcVjn (12)

yin 0 П + Ц

Решение (12) ищем с использованием методов теории краевых задач функции комплексного переменного (обозначения совпадают с принятыми в [7], если это не оговорено отдельно). Введя вспомогательную функцию

-ктґ \ 1 +?п^(-П,d) ,

N(г) = ^= | ^d^ц,

у/ п о п — г

заданную интегралом типа Коши, интегральное уравнение (11) сводится к краевой задаче Римана на действительной положительной полуоси

N + (ц)X + (ц) - N- (ц)X- (ц) =

= Х /(Ц) 2^Пц/(ц)ехр(-ц2), ц> 0. (13)

X (ц)

Из условия разрешимости построенной краевой задачи находим коэффициент в разложении решения задачи по собственным векторам дискретного спектра

1

A =-

'-(2 - q)Qi

1 +ОТ

х \T.qU + ^= | тВ(т,d)X(-т) dт\, (14)

у/ П 0

а для нахождения коэффициента a(n) приходим к интегральному уравнению Фредголь-ма второго рода

а(ц) =

X (-ц)ехр(-ц2)

2 | А+ (ц) | (exp(d^) + (1 - q)exp(-d^)) r 2qU(2 - q) 1 +” . .

х г--3--V---+ f тХ(-т) X

qd - (2 — q)Q1 yfn о x [exp(-d/T) + (1 - q) exp(d/T)] х

2 - q

x[-

i-(2 - q)Q1 т+ц

+ + ]а(т)dc], ц> 0. (15)

В [7] решение (15) и, как следствие, выражения для макропараметров газа получены в виде рядов Неймана, коэффициенты которых рассчитывались численно. Аналогичная методика применялась в [9] при решении с использованием зеркально-диффузной модели граничного

X

условия задачи о распределении температуры электронного газа вблизи поверхности металла при наличии нормального к поверхности градиента температуры. В представленной работе решение (15) найдено с использованием численных методов. Т. к. правая часть (15) содержит множитель ехр(-н2), то входящий в нее интеграл быстро сходится. В силу этого в качестве верхнего предела интегрирования в (15) принималось значение, равное 5. Введем обозначения

Л(ц) =

X (-ц)ехр(-ц2)

21 Х+ (ц) |2 (ехр(—/ц) + (1 - ц)ехр(-—/ц))

2чи(2 - <?Жц), х = ,

/ (ц) = ■

'-(2 - д)Яі

К (т,ц) = И(ц)тХ (-т)

ехр(- —) + (1 - ц)ехр(—) тт

1

'- (2 - ц№і т + ц

и перепишем (15) в виде

а(ц) = /(ц) + А,| К(т,ц) а(т) йх. (16)

а1 (1 - ^АК1,1) - а2^°2К2,1 - ...- апХ°пКп,1 = /\

- а1^^2 К1,2 + а2(1 -^°2К 2,2 )-...-ап ^пКп,2 = /2

- а1^£»1К1,п - а2)'^2К2,п - ... + ап (1 - 'к°пКп,п ) = /п .

Для решения построенной системы уравнений был использован матричный метод, в результате применения которого искомая функция а(р.) была найдена в виде и-мерного вектора ее значений в узловых точках. С использованием полученного и-мерного вектора находим значение параметра А1

А =

1

л ^ ^[2ди + х^ °ка(тк)1к]

да - (2 - д)Уі к=о

Л = ТкХ (-Тк )[ехр(-а/Тк) - (1 - д) ехр(а/Тк)].

Таким образом, неизвестные параметры А0, А1и функция а(р,), входящие в (3), найдены и функция распределения молекул газа по координатам и скоростям построена.

Исходя из статистического смысла функции распределения и учитывая (1) и (3), находим г-компоненту вектора потока тепла

Введем равномерную сетку на отрезке [0,5] с шагом И, заменим интеграл, входящий в правую часть уравнения (16), его приближенным значением, вычисленным с помощью квадратурной формулы, и запишем полученное уравнение для каждого значения переменной н в узлах введенной ранее сетки

0>(Ц] ) = /(Ц] ) + *■£ ВгК(Т, Ц} )Фг ),

г=0

где П - число узлов сетки, Н- и т. - значения свободной и подынтегральной переменной в узлах сетки, О. - весовые коэффициенты квадратурной формулы. Введем обозначения: Кг,з = К(ХР Ну),/ = /Ц), а. = а(м) и получим систему из п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:

д^( х') = |у(у - и(г)) Iу - и (г)

пк„ Т

в

1/2

~Ч(х) От .

Здесь дг(х) есть безразмерная г-компонента вектора потока тепла, равная

дг(х) = п-3/21ехр(-С2)С2 (С2 -1)2(х,Сх)й3С =

1 +ш П П 1

= —~т 1 ехр(-т )(т - -) 2(х,т) с!х =

2л] п -<х 2

| 8Ь(—) а(п) сИ\-

2л/Л о П

Интегрируя выражение для #г(х) по переменной х от 0 до ё, находим беразмерный по-

X

х

2

X

1

ток тепла, приходящийся на единицу ширины канала

1 и

=-^г \ЪХ )их =

Аи о

1 ад

=-/=72- а(ц)[еЬ(и/ц) -1] ф. (17)

4л/ пи о

Результаты расчетов приведены в таблице.

результатами [3], полученными в рамках БГК модели. Различие не превышает 0,6 %. Различие с результатами, полученными с использованием CES модели, обусловлено существенной зависимостью величины потока тепла от модели интеграла столкновений.

Заключение. Итак, в работе вычислен поток тепла через верхнюю половину канала для течения Куэтта. Проведенное сравнение показало, что

ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ ПОТОКА ТЕПЛА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ТОЛЩИНЫ КАНАЛА Б = 2Б И КОЭФФИЦИЕНТА АККОМОДАЦИИ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО ИМПУЛЬСА 2

d Q, С17) Q, [3] Q, [3]

q = 0.1

0.1 1.66991(-2) 1.66805(-2) 1.12938(-2)

1 4.62002(-3) 4.58954(-3) 4.34898(-3)

10 1.98172(-4) 1.98991(-4) 1.79134(-4)

q = 0.5

0.1 9.18720(-2) 9.17172(-2) 6.22276(-2)

1 2.01022(-2) 1.99715(-2) 1.81577(-2)

10 4.30193(-4) 4.29861(-4) 3.64077(-4)

q = 1

0.1 2.12830(-1) 2.12309(-1) 1.44794(-1)

1 3.15636(-2) 3.13629(-2) 2.69864(-2)

10 3.65039(-4) 3.62529(-4) 2.85980(-4)

Из приведенной таблицы видно, что по- полученные в работе результаты с высокой степе-лученные в работе результаты с высокой сте- нью точности совпадают с аналогичными резуль-пенью точности совпадают с аналогичными татами, полученными в рамках БГК модели.

Список литературы

1. КлоссЮ.Ю., Черемисин Ф.Г., Шувалов П.В. Решение уравнения Больцмана на графических процессорах // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11. С. 144-152.

2. Unified Solutions to Classical Flow Problems Based on the BGK Model / L.B. Barihcello, M. Camargo, P. Podrigues, C.E. Siewert // ZAMP. 2001. Vol. 52. P. 517-534.

3. Siewert C.E. Poiseuille, Thermal Creep and Couette Flow: Results Based on the CES Model Linearized Boltzmann Equation // European J. of Mechanics B/Fluids. 2002. Vol. 21. P. 579-597.

4. Siewert C.E. The Linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems // Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik. 2003. Vol. 54. P. 273-303.

5. Garcia R.D.M., Siewert C.E. The Linearized Boltzmann Equation with Cercignani-Lampis Boundary Conditions: Basic Flow Problems in a Plane Channel // European J. of Mechanics B/Fluids. 2009. Vol. 28. P. 387-396.

6. Латышев А.В., Юшканов А.А. Влияние свойств поверхности на характеристики газа между пластинами в задаче Куэтта. Почти зеркальные условия // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1999. № 10. С. 35-41.

7. Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта в плоском канале с бесконечными параллельными стенками // ЖТФ. 2011. Т. 81, № 1. С. 53-58.

8. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М., 1973.

9. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Смолуховского в металле с зеркально-диффузными граничными условиями // ТМФ. 2009. Т. 161:1. С. 95-108.

Lukashev Vyacheslav Valeryevich

Postgraduate Student of the Northern (Arctic) Federal University named after M.V Lomonosov,

Institute of Mathematics and Computer Sciences

Popov Vasily Nikolaevich

Northern (Arctic) Federal University named after M.V Lomonosov, Institute of Mathematics and Computer Sciences

Yushkanov Alexander Alexeevich

Moscow State Regional University, Theoretical Physics Department

CALCULATION OF THE STREAM OF HEAT IN THE PROBLEM ON COUETTE’S CURRENT WITH THE USE OF THE MIRROR-DIFFUSION MODEL OF THE BOUNDARY CONDITION ON THE CHANNEL WALLS

Within the frame of the kinetic approach, the stream of heat in the problem on Couette’s current is calculated. As the basic equation we use BGK (Bhatnagar, Gross, Krook) model of Boltzmann kinetic equation, and as a boundary condition on the channel walls, the model of mirror-diffuse reflections. For arbitrary values of the channel thickness and accommodation coefficient of a tangential impulse of gas molecules by the channel walls, the stream of heat per unit of channel width is calculated. Comparison with the similar results received by other authors is maid.

Key words: Boltzmann kinetic equation, modelling kinetic equations, exact analytical decisions, boundary conditions models.

Контактная информация: Попов Василий Николаевич e-mail: [email protected]

Рецензент - Шестаков Л.Н., доктор физико-математических наук, профессор, первый проректор по образованию и науке Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова