CC BY
59
Параметры порядка и стадийность пластического течения структурно-неоднородных сред
П.П. Каминский, Ю.А. Хон
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В деформируемой структурно-неоднородной среде выделены дополнительные по отношению к плотностям дефектов кинетические переменные — параметры порядка, связанные с коллективными модами макроскопической пластической деформации. Показано, что при активной одноосной деформации образца решения системы двух нелинейных уравнений реакционно-диффузионного типа для параметров порядка описывают стадии I, II и III пластического течения. Линейная зависимость напряжения от деформации обусловлена решениями, описывающими распространение волн переключения, заселения и фазовых волн. Скорость волны на линейной стадии обратно пропорциональна коэффициенту деформационного упрочнения.
1. Введение
Неоднородность и стадийность пластической деформации принадлежат к числу отличительных особенностей необратимого формоизменения нагруженных сред [1, 2]. В общем случае кривые деформирования состоят из чередующихся линейных, параболических и переходных стадий [1, 2]. Вид кривой течения и величины, характеризующие отдельные ее стадии, от размера образца существенно не зависят [1, 2].
Внутренняя структура материала при переходе от одной стадии пластического течения к другой претерпевает качественные изменения на всех масштабных уровнях [2-8]. Так, при электронно-микроскопическом исследовании дислокационной структуры монокристаллов №^е показано, что каждой стадии пластического течения соответствует вполне определенный тип дислокационных ансамблей [2]. В конце каждой стадии характерный для нее тип дислокационных ансамблей заполняет весь объем образца, но их формирование начинается на переходной стадии, отделяющей предыдущую стадию от данной [2]. При оптических методах исследования на поверхности образца выявляются пространственно-временные структуры, характерный размер которых меняется от долей микрона до миллиметров. В качестве примеров можно привести фрагменты [5-8], движущие-
ся области неоднородной деформации, скорость которых на порядок превышает скорость движения подвижного захвата испытательной машины, а ширина фронта составляет как микроны [5], так и миллиметры [3]. При использовании методов туннельной микроскопии выявляются пространственно-временные структуры с характерным размером в несколько десятков нанометров [9].
Вопрос о природе указанных выше пространственно-временных структур, их связи с внутренней структурой в объеме образца и со стадиями пластической деформации в настоящее время далек от своего разрешения. Тем не менее, ясно, что в основе наблюдаемых закономерностей пластического течения лежит коллективный характер изменений внутренней структуры. Возникающий на поверхности рельеф отражает механизмы и особенности деформации в объеме образца. В свою очередь, поверхность является одним из источников де фектов [10]. В результате на каждом шаге пластической деформации на всех масштабных уровнях формируются такие пространственно-временные распределения внутренней структуры, которые обеспечивают изменение формы образца при заданных условиях деформирования. Поэтому, ограничиваясь рассмотрением только одного масштабного уровня, достаточно полной картины особенностей пластического течения
© Каминский П.П., Хон Ю.А., 2000
получить, естественно, не удается. Так, например, на основе теории дислокаций можно вычислить коэффициент деформационного упрочнения, но нельзя объяснить наличие линейных стадий на кривой течения. Кроме того, на каждой стадии приходится рассматривать свои конкретные механизмы деформации. Точно также, если в теорию вообще не вводить явным образом переменные, характеризующие внутреннюю структуру [11], то кривую деформирования в ряде случаев можно воспроизвести, получая при этом хорошее согласие с экспериментом. Но наличие линейных стадий из теории [11] по-прежнему не следует. Отсюда вытекает, что для понимания стадийности кривой течения, которая является структурно-чувствительной характеристикой деформируемой среды, необходимо учитывать, в первую очередь, изменения внутренней структуры на масштабах, превышающих характерные размеры дислокационных ансамблей.
В большинстве существующих подходов к описанию деформируемых структурно-неоднородных сред переменными, характеризующими внутреннюю структуру, чаще всего являются скалярные плотности дефектов различного типа [12-15]. Нелинейные функции источников и плотности потоков в системе уравнений для этих переменных определяются типом носителей пластической деформации и характером взаимодействия между ними. В такой постановке описание макроскопической деформации вследствие многоуровневого характера изменения внутренней структуры неизбежно приводит к большому числу переменных и, соответственно, уравнений для их определения. Поэтому последовательное теоретическое описание пространственно-временных распределений пластической деформации и зависимости напряжения от деформации на различных стадиях кривой течения структурно-неоднородных сред, насколько нам известно, в настоящее время отсутствует.
В работах [16-18] предложен другой подход к описанию коллективных изменений внутренней структуры, основанный на введении дополнительных по отношению к плотностям дефектов переменных — параметров порядка. Конкретный физический смысл параметров порядка зависит от решаемой задачи. Например, при решении задачи о зарождении точечных дефектов и дислокаций в кристаллах в качестве параметров порядка выступали волновые функции пары атом-вакансия и дислокационного диполя соответственно [16]. Вопрос о выборе параметров порядка, характеризующих макроскопическую пластическую деформацию, рассматривался в [17, 18]. Задача описания возможных типов пространственно-временных структур в деформируемой среде с двумя механизмами деформации свелась к анализу двух нелинейных уравнений реакционно-диффузионного типа, как это имеет место в теории активных распределенных систем [19-22]. Было показано
[18], что решения указанной системы уравнений в виде волны переключения и бегущих волн малой амплитуды описывают наблюдаемые экспериментально макроскопические пространственно-временные распределения компонент тензора пластической деформации кристаллов на стадиях легкого скольжения и линейного упрочнения соответственно. Настоящая работа является продолжением [18] и посвящена анализу возможных типов зависимостей “напряжение - деформация” в деформируемой структурно-неоднородной среде с двумя механизмами пластической деформации.
2. Модель деформируемой структурнонеоднородной среды
Под действием внешних сил, приложенных к поверхности образца, в нем возникают неоднородные поля напряжений а^ (г) и макроскопической деформации
(г). Здесь г — радиус-вектор выделенной точки в лабораторной системе координат. Под точкой понимается физически малый объем с характерной для образца в целом исходной внутренней структурой. Элементами структуры могут быть дислокации и их ансамбли, зерна в поликристаллах, включения различных фаз и пр. Этот объем должен содержать большое число самых крупных структурных элементов. В то же самое время напряжение т = ат в его пределах должно быть однородным.
Из-за различия свойств структурных элементов поля внутренних напряжений тт1 являются неоднородными. Имеются области, называемые зонами концентрации напряжений, в которых тт1 > т. Число таких зон, их размеры и форма зависят от исходной внутренней структуры и внешнего напряжения. Например, в поликристаллах наиболее крупными зонами концентрации напряжений чаще всего являются границы и стыки зерен [4]. Число Этаких крупномасштабных зон в единице объема при большом числе структурных элементов удовлетворяет неравенству N >> 1. Поэтому плотность Щ(т) представляет непрерывную функцию. Амплитуды внутренних напряжений в зонах концентрации напряжений имеют различные значения и растут при увеличении т.
Разделим все крупномасштабные зоны на два типа. К первому из них отнесем те, в которых исходная внутренняя структура при напряжении т не меняется. Будем говорить, что они находятся в исходном или О-состоя-нии. Те же зоны, внутренняя структура в которых меняется, назовем активными или А-зонами. Механизмами пластической деформации в зонах концентрации напряжений (в дальнейшем для определенности будем называть ее микроскопической пластической деформацией) могут быть генерация и эволюция ансамблей дефектов кристаллической решетки, диффузия атомов, структурные и фазовые превращения, переориентация зерен и их смещение друг относительно друга в поликристал-
лах, образование пор, микротрещин и ряд других. Каждый механизм микроскопической пластической деформации характеризуется определенными значениями времен протекания процессов массопереноса, величиной деформации. При заданных температуре и скорости макроскопической деформации в каждой зоне концентрации напряжений действует та совокупность связанных между собой механизмов, которая обеспечивает требуемое изменение формы образца при наименьшем внешнем напряжении.
Переход отдельной зоны концентрации напряжений в активное состояние сопровождается изменением ее размеров и формы. Как следствие, в части окружающих ее зон внутренние напряжения возрастают. Кроме того, возникают встречные напряжения со стороны окружающего активную зону материала, стремящиеся вернуть ее в исходное состояние. Если при переходе какой-либо зоны в активное состояние напряжения в соседней Озоне достигают критического значения, то она может также перейти в активное состояние. В результате многочисленных актов взаимодействия между зонами концентрации напряжений каждому моменту времени соответствует вполне определенное значение плотности активных зон.
Пространственное распределение активных зон определяет характер макроскопических возмущений внутренней структуры и соответственно вид макроскопического деформационного рельефа на поверхности образца. Например, при распространении полосы Чернова-Людерса активные зоны локализованы в ее фронте. Макроскопические возмущения могут быть представлены в виде суперпозиции отдельных мод. Каждая мода обусловлена действием определенного механизма макроскопической пластической деформации. Это могут быть сдвиги отдельных объемов образца друг относительно друга по одной либо двум сопряженным системам плоскостей скольжения. Причем плоскости скольжения на стадиях I, II являются кристаллографическими, а при больших пластических деформациях — некристаллографическими [5]. В ряде случаев систем плоскостей скольжения может быть больше. Например, в монокристаллах №^е стадия П2 обусловлена сдвигами по первичной, сопряженной и критической системам плоскостей скольжения [2]. Помимо сдвигов механизмами макроскопической пластической деформации могут быть смещение точек среды, обусловленное удлинением молекул в полимерах, изменение объема при возникновении микротрещин и пр.
Каждой моде деформации соответствует свое распределение плотности активных зон концентрации напряжений. В дальнейшем будем рассматривать только два механизма деформации Р и Q и два типа активных зон АР и AQ с плотностями NP и NQ соответственно. Относительные концентрации л = Ns/N (я = р, q, 51 =
= Р, Q) активных зон зависят от величины внешнего напряжения. При деформации в упругой области я = 0. Деформация % всего объема связана с напряжением ат законом Гука. Крупномасштабные возмущения неустойчивы. Макроскопической пластической деформации соответствуют устойчивые моды крупномасштабных возмущений внутренней структуры. Поэтому, по крайней мере, одна из переменных р, q становится не равной нулю. Таким образом, концентрации р и q активных зон характеризуют качественные изменения внутренней структуры в деформируемой среде и по своему смыслу представляют параметры порядка. При N ^ <» каждый параметр порядка я определяет вероятность того, что при напряжении т в деформируемой среде возникнут изменения внутренней структуры, соответствующие данному механизму 51 макроскопической пластической деформации. Доля объема, в котором происходят изменения внутренней структуры, характерные для механизма 51, пропорциональна я. Поэтому определения параметров порядка в [17] и приведенные выше эквивалентны.
Общая деформация еы может быть записана в виде [18]
екш = икш + ркшР2 + ^Я2. (1)
Здесь икш — тензор упругой деформации. Второе и третье слагаемые в (1) описывают вклады каждой моды в неупругую часть вкш тензора деформации. Коэффициенты Рш, Qkш перед четными степенями разложения по параметрам порядка зависят от свойств среды и механизма деформации. Например, при чисто сдвиговой деформации след этих матриц равен нулю. В поликристаллах численные значения элементов матриц будут зависеть также и от размеров зерен. Матрицы Ры, Qkш наряду с модулями упругости считаются известными параметрами деформируемой среды.
Из (1) видно, что пространственные и временные распределения макроскопической пластической деформации определяются скалярными полями параметров порядкар = р(т, 0, q = q(r, ^. Кинетические уравнения для параметров порядка представляют стандартные уравнения баланса для числа частиц [17-22]
др/д! = F1 (р, я) + D1Дp, (2)
Эя/д ^(р, я) + ^ДЯ. (3)
Здесь
^(p, я) = к1(а1 + ь1р - р2)/1р + cflqp, (4)
F2(p, Я) = к2(а2 + Ь2Я - Я2)ЛЯ - С^РЯ (5)
представляют собой функции источников. Они определяют локальные вклады процессов, протекающих в ансамбле взаимодействующих зон концентрации напряжений, в скорость изменения параметров порядка. Вторые слагаемые в правых частях (2), (3) описывают изменения
параметров порядка, обусловленные макроскопическими потоками параметров порядка. Постоянные коэффициенты переноса В1, 02 связывают плотности потоков параметров порядка с их градиентами J1 =-D1Vp, J 2 = - D2 Vq. Градиенты параметров порядка согласно (1) пропорциональны градиенту деформации и, следовательно, градиенту напряжения. Поэтому плотности потоков параметров порядка направлены в сторону убывания напряжений. В результате градиенты деформации и напряжения уменьшаются. Сказанное отражает особо подчеркиваемый (см., например [5]) факт, что пластическая деформация приводит к уменьшению (релаксации) напряжений, создаваемых концентратором напряжений.
В выражениях (4), (5) коэффициенты
аг = gi|ki - [(1 - А)/А ]\1к , (6)
ь = 1 - й/к- (7)
являются безразмерными величинами. Коэффициенты
Vgi, Vк, VЬ , Vс имеют смысл характерных времен протекания следующих процессов в ансамбле взаимодействующих зон концентрации напряжений соответс-венно:
А$ + G —— 2 А$, 2 А$ + G —— 3 А$,
А$ —— G, Ар + AQ —— 2Ар. (8)
В уравнениях (6), (7) i = 1, 2. Первая реакция в (8)
описывает процессы стимулированного перехода зон концентрации напряжений из состояния О в А$. Этот же процесс может осуществляться с участием одной О и двух А$ -зон (вторая реакция в (8)). Наглядно это можно представить как деформацию О-зоны, расположенной между двумя деформирующимися в одной и той же плоскости скольжения А$ -зонами. Если отдельная зона перешла в активное состояние, но первые две реакции в (8) не протекают, то за счет встречных напряжений она возвращается в О-состояние. Этот процесс описывается третьим уравнением в (8). Возможна ситуация, когда, например, AQ -зона не может перейти в Ар -состояние из-за встречных напряжений со стороны соседей. Но если процессы по механизму Р уменьшают встречные напряжения, то переход AQ -зоны в Ар -состояние станет возможным. Этот процесс записан в виде четвертой реакции в (8).
В(6) функции
А1 = ехР[-(тр/т)2] f2 = ехР[-(т<э/т)2] (9)
определяют вероятность того, что при напряжении т зона концентрации напряжений окажется в состояниях AP, AQ соответственно [18, 23]. Здесь тр, TQ имеют смысл микроскопических пределов текучести. Численные значения тP и TQ зависят от температуры, механизмов и условий деформирования. Естественно, что т и тP (или т и TQ) должны быть вычислены в одном и том же базисе. Например, если кристалл на стадии I ориентирован относительно оси нагружения для оди-
ночного скольжения дислокаций, то в лабораторном базисе т/тQ <<т/тр и соответственно TQ >>тр. Но в кристаллографических базисах тP может быть равным т^^. При мультиплетном скольжении тр ~TQ .
Производные от параметров порядка по времени, как следует из (1), определяют скорость локальной пластической деформации
вt = 2ршР Ф/д! + 2ОшЯ дя/д!, (10)
где Р! =дркш/д!. При активной деформации с постоянной скоростью производные от параметров порядка должны быть не равными нулю. Эти условия определяют величины и знаки параметров аг в (6), а также коэффициенты переноса. В условиях действия постоянного внешнего напряжения (деформация в режиме ползучести) скорость деформации будет функцией времени.
При термоактивируемых механизмах деформации
р! =в0ехр[-и/ (квТ)], (11)
где и — энергия активации; кв — постоянная Больцмана; Т— температура; р0 — не зависящий от температуры множитель. В соответствии с этим параметры gi, кг, ^, с будут определяться подобными (11) выражениями. Как следствие, скорость деформации может быть представлена в виде разности двух членов, содержащих множители типа (11). Такого рода зависимости часто используются при расчетах кривых деформирования [11].
Величины и ^2 = Ф2/к2)^2 опре-
деляют характерные длины изменений параметров порядка р и q соответственно. В зависимости от действующих механизмов пластической деформации Ь1, Ь2 могут иметь как близкие, так и существенно различающиеся значения.
Уравнения (2), (3) необходимо дополнить начальными и граничными условиями. Они определяются спецификой решаемой задачи. При постоянной температуре распределение напряжений по объему образца при малых скоростях деформации определяется уравнениями равновесия
да дх] = 0 (12)
при заданных граничных условиях на его поверхности. При неоднородном распределении напряжений уравнения (2), (3), (12) представляют систему связанных нелинейных уравнений с зависящими от координат коэффициентами. Ее решения мало исследованы. Тем не менее, при найденных полях параметров порядка формула (1) определяет локальную связь напряжения с деформацией. Для системы квазилинейных уравнений анализ решений может быть проведен аналитическими методами.
Рассмотрим трехмерную область 0 < х <X, 0 <у < У, 0 < г < Z в виде параллелепипеда со сторонами X, У, Z, равными длине, ширине и толщине рабочей части об-
разца соответственно. В пределах выделенной области напряжения считаем однородными, тогда коэффициенты уравнений (4), (5) будут постоянными. Будем полагать, что на поверхности образца потоки параметров порядка равны нулю. Если не оговорено противное, считаем, что в начальный момент времени параметры порядка равны нулю. Ограничимся случаем одноосной квазистатической деформации образца вдоль оси х и соответственно анализом одномерных решений уравнений. Напряжение т будет иметь смысл скалывающего напряжения. Параметры Р и Q являются скалярными величинами и определяют максимальное удлинение образца, связанное с механизмами Р и Q соответственно.
3. Стадия I пластического течения
При т << тр и т << TQ точка равновесия р = q = 0 (назовем ее точкой 0) является единственной и представляет устойчивый узел. Отсюда следует, что решение, описывающее упругое состояние, при таком уровне внешних напряжений является единственным и устойчивым. Если т ~ тр ~ тQ, то появляются точки равновесия, соответствующие деформированному состоянию.
Рассмотрим вначале случай тр << тQ, когда действует только один механизм деформации. Имеются три точки равновесия: 1 — р1 = 0, q1 = 0; 2 — р2 = Ь1/2 -
- (Ь2/4 + аО1/2, Я2 = 0; 3 — ръ = ^/2 + (Ь?/4 + ах)1'\ Я3 = 0. При а1 < -Ь12/4 решение в точке 1 единственно и устойчиво. В интервале - Ь12/4 < а1 < - 2Ь12/9 решение в точке 1 абсолютно устойчиво, в точке 3 относительно устойчиво, в точке 2 неустойчиво. При
- 2Ь12 /9 < а1 < 0 решение в точке 3 абсолютно устойчиво, в точке 1 относительно устойчиво, в точке 2 неустойчиво. При а1 = - 2Ь12 /9 решения р1, я1 и р3, я3 имеют одинаковую устойчивость. В случае а1 > 0 существует только два имеющих физический смысл решения: устойчивое р3, я3 и неустойчивое р1, Я1.
1 —^ ’
/ 1 1 1 V 1 \ 1 1 1 1 1 ^2
Рис. 1. Зависимость параметра порядкар от безразмерного напряжения а
5 / ♦♦ /
6
4 /
3 / /
1 / т|
2 : I
Р. Ри Р
Рис. 2. Зависимость напряжения т от пластической деформации в
На рис. 1 приведена качественная зависимость параметра порядка р от безразмерного напряжения а = = т/тр. Кривая 1 описывает зависимость р3 = р3(а), кривая 2 — р2 = р2(а). Значения ае, аш, а0 находятся из решения уравнений
а1 =- Ь12 /4, а1 =- 2Ь12 /9, а1 = 0 (13)
соответственно. Устойчивое решение р1, я1 при а < ае описывает упруго деформированный образец. Напряжение ае, таким образом, имеет смысл макроскопического предела упругости. Устойчивое решение р3, я3 при а > аш соответствует однородно деформированному по механизму Р образцу. При этом величина пластической деформации равна в = Гр\. При одноосном растяжении образца его длина возрастет на величину АХ, а поперечные размеры при условии сохранении объема уменьшатся. В интервале а0 > а > ае среда биста-бильна.
Если параметр порядка достигает значения р2 на неустойчивой ветви (кривая 2 на рис. 1), то переход из состояния р1 в состояние р3 в идеально однородной бистабильной среде происходит при постоянном напряжении а1 путем распространения волны переключения р = р(х - V!) [19]. С волной переключения параметра порядка связана волна переключения пластической деформации. Подобными свойствами в физике пластичности обладает полоса Людерса-Чернова на первой стадии кривой течения [3, 24]. Интервал 0<в<в(р2) отделяет область упругой деформации от стадии I. Зависимость “напряжение - деформация”, таким образом, изображается горизонтальным отрезком длиной вI (пунктирная линия 1 на рис. 2). Коэффициент деформационного упрочнения на этом участке 0 = dт/ dв = 0.
Скорость V и ширина фронта L волны определяются выражениями [19]
V = (Ак)1/2 (р3 + А -2р2)/2, L — (А/^)1/2. (14) В точке а = ат имеем V = 0.
В реальных средах волна переключения зарождается гетерогенным образом в одной или нескольких областях образца, в которых возмущение параметра порядка достигает значения р2, а деформация равна в(р2). При этом характерные размеры областей должны превышать L. Это возмущение создается либо макроскопической неоднородностью образца, либо внешним источником локальных напряжений. В реальных условиях одноосного нагружения таким источником чаще всего являются захваты испытательной машины. Согласно исследованиям, выполненным в работе [4], полоса Людерса-Чернова зарождается на поверхности образца при напряжении а<ас, а затем при напряжении ас охватывает все поперечное сечение образца. Напряжение ас имеет смысл макроскопического предела текучести. При дальнейшем повышении напряжения волна переключения движется к противоположному захвату. После ее прохождения образец становится однородно деформированным при напряжении ах. Если каким-либо образом уменьшить величину возмущения, то волна переключения начнет распространяться при напряжении а2 > ах. При этом, как видно из рис. 1, возрастает пропорционально р3.
В общем случае коэффициент деформационного упрочнения
0 = 1/(2Ppdp/dт + 2Qqdq/dт). (15)
Параметры порядка и производные от них вычисляются в точке равновесия системы уравнений (2), (3). Из (15) находим, что коэффициент деформационного упрочнения на стадии I равен
01 = тр /(2рр3 dp/dт). (16)
Производные вычисляются в точке р3. Проводя из точки (ах, вх) прямую линию с наклоном 01, в точке в = 0 находим макроскопический предел текучести а5 = = ах - 01в1. Скорость волны переключения, как видно из (14) и (16), обратно пропорциональна коэффициенту деформационного упрочнения. Этот вывод подтверждается экспериментально [3].
Проведем теперь некоторые оценки. При а < а0 р3 — 0.1, производная dp/dа равна нескольким единицам. Для вх ~ 0.1 и т5 — 10-5ц (|х — модуль сдвига) получаем тх — т5. При Р — 1 из (16) находим 01 — 10-4 ц. По порядку величины 01 совпадает с экспериментальным значением коэффициента деформационного упрочнения на стадии I монокристаллов металлов.
По экспериментальным данным [3] при скорости пластической деформации в! ~ 10-5с- характерное
значение V составляет величину порядка 10-3 см/с, а L — 0.1 см. Тогда из формул (14) находим D1 — ^ —
— 10-4см^с, кх — VЬ — 10-2с-1. Время, в течение которого образец переходит в состояние р3, равно = = вх/в! ~ 104с при — 0.1. Как и следовало ожидать, имеет место неравенство 1/кх << !х. Волна переключения проходит по всему образцу за время = X/V= = вх/в!. Отсюда получаем V = V/вх, где V — скорость подвижного захвата испытательной машины. Для вх ~
— 0.1 V— 10У, что и имеет место в действительности [3].
Таким образом, при напряжениях ас < а < а1 на кривой деформирования имеется стадия I (отрезок прямой 2 на рис. 2), обусловленная распространением волны переключения. В каждый момент времени фронт волны переключения разделяет пластически деформированную часть образца длиной Xх от упруго деформированной. При разгрузке образца и последующей деформации начальные и граничные условия для параметров порядка задаются профилем волны переключения в момент разгрузки.
При условиях нагружения, исключающих макроскопические возмущения, деформация протекает при напряжении а> а0, когда исходное состояние становится неустойчивым относительно малых однородных возмущений. Подобного типа переход в устойчивое состояние р3 обычно рассматривается как распространение волны заселения [19]. Ее скорость может быть сколь угодно большой и ограничена снизу значением V) — (D1k1)^2. Это означает, что фронтом волны является подвижный захват испытательной машины. При а — а0 производная dp/da равна нескольким единицам, но несколько меньше, чем при а < а0. Поэтому протяженность площадки текучести и 01 будут несколько больше тех значений, которые наблюдаются при распространении волны переключения.
Картина деформации при распространении волны заселения качественно отличается от той, которая имеет место в случае волны переключения. Неустойчивость относительно малых возмущений соответствует тому, что изменения внутренней структуры начинаются в тех местах образца, где эти возмущения имеются. В однородном образце они должны быть распределены равномерно по всей его длине. Поэтому при деформации следы скольжения будут наблюдаться сразу по всей длине образца. При этом какая-либо корреляция в их распределении будет отсутствовать. Число следов скольжения и их распределение определяются только исходной структурой образца, скоростью и степенью деформации. Подобная картина распределения следов скольжения действительно наблюдалась в [24] на первой стадии одиночного скольжения дислокаций в монокристаллах концентрированных сплавов на основе меди при скоростях движения подвижного захвата испытательной
машины, превышающих критическое значение V. — —10- см/с. При скоростях, меньших V., распространяется полоса Людерса-Чернова. Заметим, что существование критического значения скорости непосредственно вытекает из анализа зависимости параметра порядка от напряжения на рис. 1 и формулы (14). Действительно, скорость волны переключения прямо пропорциональна V и параметру порядка. Поэтому при увеличении V и сохранении действующих механизмов деформации должен возрастать и параметр порядка. При достижении параметром порядка и соответственно скоростью V значений, соответствующих напряжению а0, деформация в режиме распространения волны переключения сменяется режимом распространения волны заселения.
Пусть теперь условия нагружения таковы, что действуют сразу два механизма пластической деформации. Это соответствует условию тр — тQ. Как было показано в [18], при выполнении условий ах < 0, а2 < 0, кх/с —
— к2/с >> 1 возможна бистабильность состояний в точках 0 и Н. В точке Н рн — ян > 0. Соответственно стадия I, обусловленная распространением волны переключения параметров порядка, будет иметь место в системах с двумя механизмами пластической деформации. В качестве примера можно привести монокристаллы сплавов [3]. В поликристаллических материалах [4] также наблюдается площадка текучести и одна либо несколько полос Людерса-Чернова. Ширина фронта волны переключения задает характерный размер неоднородности макроскопической пластической деформации. Поэтому в поликристаллическом образце размер d зерна должен удовлетворять условию d << L. Условие кх /с —
— к2 /с >> 1 означает, что процессы, протекающие в различных системах плоскостей скольжения, слабо влияют друг на друга. Это возможно, например, при сравнительно малой исходной плотности дефектов. Параметры порядка и производные от них по порядку величины сравнимы с р3 и dp/dт в (16). Поэтому линейная стадия с малым коэффициентом деформационного упрочнения, на которой распространяется полоса Людерса-Чернова, может наблюдаться и в системах, описываемых двумя параметрами порядка. Для этого необходимо создать начальное возмущение, превышающее критическое значение.
Если точка 0 неустойчива относительно малых однородных возмущений, то при к2а2/с > Ьх/2 + + (Ь2/4 + ах)12 и кх/с > кс переход в точки типа Носу-ществляется распространением волны заселения. Пластическая деформация будет протекать однородно.
Деформация образца при Р > Рх возможна двумя путями. Первый связан с сохранением действующих механизмов пластической деформации. То есть характерные времена процессов остаются теми же самыми, а напряжение т и соответственно а возрастают. При одном ме-
ханизме деформации, как видно из рис. 1, возрастает и значение параметра порядка. Первая и вторая производные от параметров порядка по напряжениям положительны. В соответствии с этим на кривой течения появляется участок с нелинейной зависимостью напряжения от деформации с положительной второй производной (кривая 3 на рис. 2) и возрастающим при увеличении деформации коэффициентом упрочнения 01. Подобная зависимость наблюдается при деформации ГПУ-моно-кристаллов. На этой стадии однородное состояние р3, Я3 устойчиво относительно всех типов малых возмущений. Деформация протекает однородно. При а ^ ^ производная dp/da^ 0, 01 ^^, а р3 ^ 1. Напряжение асимптотически стремится к бесконечности при Р^Р(1Х р3 ^ 1
4. Стадия II пластического течения
Второй путь активного деформирования связан с появлением новых механизмов деформации при более высоких значениях микроскопических пределов текучести тр > ^р, т^1 > tQ. Внутренняя структура при этом характеризуется новым набором параметров в (6), (7). В частности, при выполнении условий (см. [18])
к2а2/с > V2 + (Ь12/4 + al)V2,
к2 >> кх, кх/с < кс (17)
имеется точка равновесия, в которой параметры порядка рп > рн, яп << рп. Эта точка может быть: 1) неустойчивым фокусом (назовем ее точкой Щ; 2) устойчивым фокусом (точка F) при D = D1/D2 < Dc; 3) нейтрально устойчивой с предельным циклом в ее окрестности (точка С); 4) устойчивой относительно малых неоднородных возмущений, но неустойчивой относительно неоднородных при D > Dc (точка Т). Например, для параметров
а1 = а2 = аи — 1 а1 = 0 а1 = 0.02, (18)
Ь = Ь2 = 0.21, к2/с —17.392, с = 0.3, ( )
где ах = т/тр , а2 = т/тЩ, точка равновесия будет точкой типа С при кх/с = к1с — 0.207. Параметры порядка в этой точке рс — 0.401, яс — 0.016. При кх/с < к1с точка равновесия является ^-точкой, а при кх/с > к1с — F-точкой.
Значение рс превышает р3 примерно в два раза. Соответственно величина деформации при переходе в точку С может в четыре раза превышать протяженность площадки текучести. При этом значении параметра порядка dp|dall — 0.1. Для тех же значений Р, Q, что и на стадии I, из (15) получаем 0 — 100х . Эта величина характерна для стадии II. В точках типа F, Т при кх/с — кс
— рр, а 01 < 0д < 1001.
Рассматриваемые точки равновесия отделены от точки ( р3 , 0) интервалом неустойчивых точек. Поэтому пластическая деформация протекает в тех областях, где
локальные напряжения и параметры, характеризующие внутреннюю структуру, соответствуют значениям в точке равновесия. В этом и состоит физический смысл условия постоянства безразмерного напряжения. При дальнейшем повышении внешнего напряжения изменения внутренней структуры эстафетно охватывают все новые области образца. В конце стадии II формируется пространственно-временная структура, характерная для точки равновесия с параметрами порядка рп, яп . Эстафетный характер пластической деформации приводит к линейной зависимости напряжения от деформации. Длина стадии II определяется разностью Д0 = = 0п(рц, Ян) -01 (р1, Я\). Внешнее напряжение в конце стадии равно 0ПД0. Стадия II изображена на рис. 2 отрезком прямой 4. На этой стадии 0П < 01.
В зависимости от типа точки равновесия, размеров образца, амплитуды внешних возмущений пластическая деформация на стадии II может протекать тремя возможными путями: 1) однородно; 2) в режиме формирования и распространения фазовых волн и 3) неоднородно с образованием различного типа диссипативных структур. Обсудим вопрос о типе пространственных и временных распределений макроскопической пластической деформации подробнее.
1. Однородная деформация осуществляется распространением волны заселения в точку равновесия типа F, устойчивую относительно малых однородных возмущений. При деформации в таком режиме должны отсутствовать источники макроскопических возмущений, связанные с неоднородностью исходной внутренней структуры, а также градиенты макроскопических напряжений. Дополнительно должно выполняться условие D1 — D2. Или, учитывая, что к2 >> кх, L2 << Ь1. Если, например, определяется расстоянием между пачками линий скольжения по первичной системе плоскостей, то длины изменения параметра порядка q должны быть ограничены расстоянием между линиями скольжения.
2. Решение в виде бегущих волн малой амплитуды (фазовых волн) появляется в том случае, когда точка равновесия является точкой типа С. Частота V бегущих волн определяется выражением
v = (*1^ ^р)У2/2л .
Здесь второй нижний индекс означает производную по соответствующей переменной. Для приведенных в (18) значений параметров в точке С V — 2пс рсяс. Принимая кх — 0.01 (как и на стадии I), из (18) получаем к2 — 1, с — 0.1. Произведение рсЯс — 0.01. Поэтому
V — 10-3с-1. Эта величина совпадает с приведенным в [3, 25] экспериментальным значением частоты на стадии II. Если характерное время процессов в первичной системе остается таким же, как и на стадии I, то в сопряженной системе оно должно быть на два порядка мень-
ше. Поэтому скорость V волн на стадии II по порядку величины должна совпадать со скоростью волны переключения на стадии I. Соответственно длина волны должна быть близка к одному сантиметру, а характерный размер неоднородности деформации — несколько миллиметров. Частота волн и, следовательно, их скорость V прямо пропорциональны параметру порядка рс. В свою очередь, рс ~ тп/0П . Поэтому V~ тп/ 0П .
В работе [25] на образцах длиной от пяти до десяти сантиметров на стадии II наблюдалась квазиперио-дическая система движущихся полос. Расстояние между полосами составляло примерно один сантиметр. Их скорость имела тот же порядок величины, что и на стадии I, и была обратно пропорциональна коэффициенту деформационного упрочнения. Отсюда следует, что наблюдаемые в [25] движущиеся полосы макроскопической деформации можно, по-видимому, отождествить с фазовыми волнами.
Необходимо подчеркнуть следующее обстоятельство. На протяженность стадии II при деформации в режиме бегущих волн малой амплитуды не накладываются какие-либо ограничения, связанные с численными значениями параметров порядка, как это имеет место при переходе в устойчивые состояния. Пластическая деформация протекает до тех пор, пока выполняются соотношения (18). Эта ситуация отражена на рис. 2 пунктирной линией 5. Длина стадии II ограничена либо напряжением, выше которого появляются механизмы деформации с меньшим коэффициентом деформационного упрочнения, либо решение в виде бегущих волн становится неустойчивым.
3. Появление стационарных диссипативных структур на стадии II обусловлено так называемой диффузионной неустойчивостью (бифуркация Тьюринга), когда точка равновесия устойчива относительно малых однородных возмущений, но неустойчива относительно неоднородных. Условия ее возникновения и типы возникающих структур кратко были обсуждены в [18]. Детальное рассмотрение проведено в [20, 21]. Здесь отметим лишь, что устойчивому решению соответствует неоднородное распределение параметров порядка. Объем образца разбивается на трехмерные области с размерами порядка Х/т, У/п, Z|k .Здесь т, п, k—целые числа. В каждой из таких областей среднее значение превышает лишь одна из переменных р, q. Соответственно распределение компонент тензора деформации и векторов смещений точек среды в каждой из таких областей однородно, а в смежных — различается. Подобные области по своей сути представляют фрагменты, наблюдаемые экспериментально на стадиях II [1, 6-8]. При X < Х0, У < У0, Z < Z0 (Х0, У0, Z0 — критические размеры образца) устойчивыми будут однородные решения. Если критические размеры превышает, например, только X, то параметры порядка меняются только вдоль оси х.
Возникающий на поверхности образца деформационный рельеф будет иметь вид полос, параллельных плоскостям максимальных касательных напряжений. Число полос определяется значением целого числа т, при котором выполняются условия потери устойчивости относительно неоднородных возмущений. Если критические размеры превышают и X и У, то поверхность образца разбивается на двумерные области.
5. Стадия III пластического течения
Переход к новой стадии пластического течения возможен в том случае, когда при напряжениях тр1 > тр, тЦ1 > тQ появляются дополнительные механизмы микроскопической деформации. Например, в металлах началу стадии III соответствует появление поперечной системы плоскостей скольжения дислокаций в зонах концентрации напряжений. При этом наблюдается уменьшение энергии активации, а также ускорение диффузионных процессов [1, 7]. Это приводит к увеличению параметров к1, к2 и изменению коэффициентов переноса.
В новой точке равновесия, которая является точкой F- либо Т-типа, параметры порядка рп1 > р1:, яп1 > я1 Р Поэтому характерные типы пространственных и временных структур, образующихся при переходе в точку (рпI, Яп 1) будут такими же, как и на стадии II. Если при этом 1/кх >> 1/к2 , то при близких значениях коэффициентов переноса ^ >> L2. Выполнение этих неравенств способствует диффузионной неустойчивости и облегчает локализацию деформации [21] с образованием различного типа фрагментированных структур. При этом реализуется та из них, которой соответствует наименьший коэффициент деформационного упрочнения. Анализ указанных структур требует отдельного рассмотрения.
При малом отклонении тр1, тQI от тр, тQ знаменатель в (15) пропорционален т. В соответствии с этим коэффициент упрочнения на этой стадии 0П1 ~ 1/т. Отсюда вытекает, что 0 ~ т2. Качественная зависимость напряжения от деформации в этом случае изображена кривой 6 на рис. 2. В литературе данную стадию называют стадией параболического упрочнения или стадией III.
В том случае, когда тр > тр, тQ > тQ, стадия I на кривой течения будет отсутствовать. Точки равновесия С, F, Т отделены от точки 0 областями неустойчивых решений. Поэтому стадии II должна всегда предшествовать переходная стадия.
И, наконец, если с самого начала деформирования тр1 — т5, тQI — т5, то на кривой течения будет присутствовать только стадия III.
Таким образом, решения двух нелинейных уравнений для параметров порядка при одноосной активной
деформации описывают две стадии с линейной (стадии I и II) и одну стадию с параболической (стадия III) зависимостью напряжения от деформации. Линейность стадий обусловлена распространением волн различного типа, переводящих систему из неустойчивого состояния в устойчивое. При этом коэффициент упрочнения на каждой стадии является наименьшим из всех возможных. Разнообразие пространственно-временных распределений компонент тензора макроскопической пластической деформации на каждой стадии кривой течения обусловлено разным характером неустойчивости исходной внутренней структуры относительно возмущений различного типа.
6. Заключение
Несмотря на то, что кинетические уравнения для параметров порядка получены для случая, когда функции источников определяются процессами (8), полученные в работе результаты являются общими по двум причинам. Во-первых, параметры порядка по своей сути являются малыми параметрами. И функции источников (4), (5) можно рассматривать как разложение по этим параметрам. Учет процессов (8) позволяет получить явный вид зависимости коэффициентов уравнений от внешнего напряжения. Во-вторых, система уравнений для двух параметров порядка с функциями источников (4), (5) имеет те же характерные типы точек равновесия, что и в случае произвольного вида указанных функций [20, 21].
Рассмотренные в работе решения не исчерпывают всего многообразия возможных типов пространственно-временных структур в деформируемых структурнонеоднородных средах. В частности, не обсуждался вопрос об условиях образования автосолитонов (локализованных стационарных структур) и их экспериментального наблюдения, о различных типах стационарных диссипативных структур [20, 21] на стадии III пластического течения. Их рассмотрение должно быть предметом отдельных исследований.
Авторы благодарят Зуева Л.Б. и Слядникова Е.Е. за обсуждение работы, академика Панина В.Е. за конструктивные замечания.
Литература
1. Бернер 3., Кронмюллер Г. Пластическая деформация монокристал-
лов. - М.: Мир, 1969. - 272 с.
2. КоневаН.А., КозловЭ.В. Физическая природа стадийности пласти-
ческой деформации // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. - № 2. -
С. 89-106.
3. ZuevL.B., Danilov VI. Self-excited wave model ofplastic deformation
// Phil. Mag. A. - 1999. - V. 79. - No. 1. - P. 43-57.
4. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести
поликристаллов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1988. - 255 с.
5. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -
1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.
6. Урусовская А.А. Образование областей с переориентированной решеткой при деформации моно- и поликристаллов // Итоги науки. Физико-математические науки. 3. Некоторые вопросы физики пластичности кристаллов. - М.: Изд-во АН СССР, 1960. - С. 75116.
7. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.
8. Теплякова Л.А., Куницина Т.С., Козлов Э.В. Распределение следов скольжения в монокристаллах сплава Ni3Fe // Изв. вузов. Физика. -
1998. - № 4. - С. 51-56.
9. Кузнецов П.В., Панин В.Е. Прямое наблюдение потоков дефектов на поверхности деформируемого дуралюмина // Физ. мезомех. -2000. - Т. 3. - № 2. - С. 91-97.
10. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-23.
11. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.
12. Aifantis E. C. Spatio-temporal instabilities in deformation and fracture // Computational Material Modelling / Eds. by A.K. Noon and A. Need-leman. - AD - Vol. 41/PVP - Vol. 294, ASME, - 1994. - P. 199-222.
13. МалыгинГ.А. Самоорганизация дислокаций и локализация скольжения в пластически деформируемых кристаллах // ФТТ. - 1995. -Т. 37. - Вып. 1. - С. 3-45.
14. Иванова В.С. Синергетика. Прочность и разрушение металлических материалов. - М.: Наука, 1992. - 160 с.
15. Кооперативные деформационные процессы и локализация деформации / Под ред. В.В. Немошкаленко. - Киев: Наукова думка, 1989. - 320 с.
16. Слядникое Е.Е. Генерация и эволюция точечных дефектов в кристалле при интенсивном внешнем воздействии // Физ. мезомех. -
1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 27-36.
17. Хон Ю.А. Неравновесная статистическая теория макроскопической пластической деформации структурно-неоднородных сред // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 49-56.
18. Каминский П.П., Хон Ю.А. Макроскопические стационарные структуры в кристалле с дислокационными механизмами пластической деформации // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 5. -С. 49-55.
19. Лоскутое А.Ю., Михайлое А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 272 с.
20. Кернер Б.С., Осипое В.В. Автосолитоны // УФН. - 1989. - Т. 157. -№ 2. - С. 201-266.
21. Кернер Б.С., Осипое В.В. Самоорганизация в активных распределенных средах // УФН. - 1990. - Т. 160. - № 9. - С. 2-73.
22. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. - М.: Мир, 1990. -344 с.
23. Хон Ю.А., Панин В.Е. Сильновозбужденные состояния и зарождение дефектов в зонах концентрации напряжений // ФТТ. - 1996. -Т. 38. - № 6. - С. 1767-1774.
24. Цигенбайн А., ПлессингЙ., НойхойзерХ. Исследование мезоуров-ня деформации при формировании полос Людерса в монокристаллах концентрированных сплавов на основе меди // Физ. мезомех. -1998. - Т. 1. - № 2. - С. 5-20.
25. Баранникоеа С.А., Зуее Л.Б., Данилое В.И. Кинетика периодических процессов при пластическом течении // ФТТ. - 1999. - Т. 41. -№ 7. - С. 1222-1224.
