Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

А. И. КОЖАНОВ

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПОГЛОЩЕНИЯ*

Исследуется задача нахождения вместе с решением м(х,4) параболического уравнения

щ — Дм + q(x, 4)м = /(х, 4),

также коэффициента q(x, 4) в предположении, что указанный коэффициент имеет вид

т

q(x,t) = ^ (х)Нк(х,4) + Но(х,1)

к=1

с известными функциями Нк (х,4) и неизвестными qk (х). При выполнении естественных краевых условий, некоторых условий переопределения, условий принадлежности входных данных определенным функциональным пространствам и при выполнении для входных данных некоторых условий неравенстного типа доказываются теоремы существования, единственности и устойчивости решений.

Ключевые слова: параболическое уравнение, обратная задача, уравнение с неизвестными коэффициентами.

1. Постановка задачи

Пусть П есть ограниченная область пространства Кп с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q есть цилиндр П х (0,Т) конечной высоты Т, х = (х1,... , хп) есть точка области П, £ есть точка интервала (0,Т), Б есть боковая граница цилиндра Q: Б = Г х (0,Т). Далее, пусть Л,0(х,£), ^1(х, £), ... , ^т(х,£), f (х, £), и0(х), и1(х), ..., ит(х) — заданные функции, определенные при х Е П, £ Е [0,Т], ^(х,£) — заданная функция, определенная при х Е Г, £ Е [0,Т], £1, ... , — фиксированные точки полуинтервала (0,Т] такие,

что выполняются неравенства £1 <£2 < • •• < ^ Т.

Обратная задача I: найти функции и(х,£), ^1(х), .. дт(х), связанные в цилиндре Q уравнением

щ — Дм +

У (ж)Л^ (ж, і) + ^о(ж, і)

>=1

м = f (ж, і),

при выполнении для функции м(ж,і) условий

м(ж, 0) = м0(х), ж Є П,

(1.1)

(1.2)

*Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 09-01-00422а, Министерства образования и науки, проект 02.740.11.0609, и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1 /13607.

u(x,t)|S = ^(x,t), (1.3)

u(x,tk) = uk(x), k =1,...,m, x G П. (1.4)

В рассматриваемой обратной задаче I условия (1.2) и (1.3) суть условия обычной первой начально-краевой задачи для параболического уравнения, условия же (1.4) есть условия переопределения, необходимые для нахождения дополнительных неизвестных функций qi(x), ..., qm(x). Уточним, что условия (1.4) предполагают, что известна информация о состоянии среды — т. е. информация

о температуре, плотности или же иной характеристике, соответствующей процессу, описываемому уравнением (1.1) в m различных моментов времени.

Заметим, что коэффициент q(x,t), в нашем случае — функция h0(x,t) + q1(x)h1(x,t) + ... + qm(x)hm(x,t) в уравнении (1.1), определяет характер потерь (стока или же поглощения) среды. Обратные задачи для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом поглощения q достаточно хорошо изучены в случаях q = q(x) или q = q(t). Настоящая работа представляет собой обобщение первого случая, поэтому отметим из предшествующих работ как самой близкие, причем лишь к случаю m =1, работы [1-8], уточнив, что наиболее близкой по используемой технике является работа автора [8]. Заметим также, что в работе [9] автором изучались линейные обратные задачи для параболических уравнений с неизвестной правой частью составного вида f (x,t) + q1(x)h1(x,t) + ... + qm(x)hm(x, t) с неизвестными функциями q1 (x), ..., qm(x); условия же переопределения в одной из задач совпадали с условиями (1.4).

2. Разрешимость обратной задачи I

Обозначим через V и V1 пространства

V = W22>1(Q) П L^(0,T; ^(П)) П L^(Q),

VI = {v(x,t) : v(x,t) G V, vt(x,t) G V}

с нормами

IMIv = IMIw2’1^) + lVlL»(0,T;W21(n)) + IMIwQ).

IMk = ||v||y + lively.

Пусть Vk(x), k = 1,..., m есть заданные при x G П функции. Рассмотрим следующую линейную алгебраическую относительно функций pk (x) систему:

m

YJPi(x)hi(x,tk)uk(x) = f (x,tk) + Auk(x) - ho(x,tk)«k(x) - Vk(x), , .

i=1 (2.1) k = 1 , . . . , m.

Предполагая, что определитель d0(x) этой системы не обращается в нуль на множестве П, найдем функции pk (x):

m

Pk(x) = Aok(x) + ^2 Aik(x)vi(x), k = 1,..., m; (2.2)

i=1

функции А0к(х), А^(х) в равенствах (2.2) вполне конкретно вычисляются через функции f (х, £), Л.0(х, £), ..., Нт(х, £), и1(х), ..., ит(х).

Положим

<^(ж) = f (ж, 0) + Дм0(ж) —

Ло(ж, °) + £ Аог(ж)^і(ж, 0)

і=1

мо(ж),

фк (ж) = —

і=1

м0(ж), к = 1,..., т,

ао(ж, і) = ^о(ж,і) + ^ Аок(ж)Нк(ж, і),

к=1

ак (ж

(ж,і) = ^ Акі(ж)Ні(ж,і), к =1,...

т,

І=1

Ьо(х,£) = ао*(х,г),

Ьк (х,£) = ак4(х, £), к = 1,...,т.

Далее, пусть Л0, Л1 и т0 есть фиксированные положительные числа, роль которых мы проясним ниже. Определим также числа ак, Ьк, фк, к = 1, • • • ,т, Ь0, К1, К и N0:

ак = ||ак Ьк = ||Ьк |ІL^(Q),

фк = 11фк |к»(П),

Кі

1

------=--------------=^тах< — ||/*||^

1 — ф1 — ... — фт I Ло

1

, Ьо + (61 + ... + Ь )то и и

----Г-------------ТТ ||Мо|і»(п),

Ло(1 — ф1 — ... — фт)

К

2 =

Ьо + (Ь1 + ... + Ьт )тоТ Ло(1 — ф1 — ... — фт)

N =

К1

1 — К

Теорема 1. Пусть для функций Нк(ж,і), мк(ж), к = 0,1,...,т,

и ^(ж, і) выполняются включения f(ж,і) Є Ь^(ф), ^(ж,і) Є

f (ж, 0) Є Ж2(П) П £те(П), f (ж,ік) Є Ж2(П) П £те(П), Нк (ж, і) Є

f (х,£)

^к*(х,£) Е £те^), Л-к(х,0) Е Ж2(П) П Ь^(П), ^к(х,^) Е Ж2(П) П Ь^(П), = 1,... , т, ик(х) Е Ж23(П) П (П). Кроме того, пусть выполняются условия

^о(ж) ^ ^о > 0 при ж Є П;

ао(ж, і) ^ Ло + Л1 при (ж, і) Є ф;

К < 1, (а1 + ... + ат)^о ^ Л1, N ^ то;

(2.3)

(2.4)

(2.5)

фк (х) Е Ж 2(П), к = 1,... , т, Ф1 + ... + фт < 1; (2.6)

^(х, 0) = и0(х), ^(х,£к ) = ик (х), к =1,...,т, ^*(х, 0) = <^(х)

при х Е Г; (2.7)

краевая задача

и* - ли* = 0,

и(х,^)|^ = ^(х,£), и*(х, 0) = <^(х), и(х, 0) = 0, х Е П (2.8)

имеет решение, принадлежащее пространству У1. Тогда обратная задача

(1.1)-(14) имеет решение {и(х, *), ^1(х),... , дт(х)} такое, что и(х,*) Е У1, qk(х) Е Ьте(П), к = 1,... ,т.

Доказательство. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию

и(х,*), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

и** - Ли* + [а0(х,£) + а1(х,^)м*(х,^1) + ... + ат(х,*)и*(х, £т)]и*+

+ [Ь0(х,^) + Ь1 (х,г)и*(х,^) + ... + Ьт (х,£)и*(х,£т)]и = ^(х, *) (2.9)

и такую, что для нее выполняются условие

и*(х, 0) = ^(х) + ф1(х)и*(х^1) + ... + фт(х)и*(х,^т), х Е П, (2.10)

а также условия (1.2) и (1.3). Разрешимость данной краевой задачи докажем, комбинируя метод неподвижной точки и метод срезывающих функций. Определим срезывающие функции С1(^) и С2(£):

если |е| ^ Л1,

С1 (0 = < Л1, если е > Л1,

-Л1, если е < - Л1,

( е, если |е| ^ т0,

^2(0 = ^ т0, если е > т0,

1 -т0, если е < - т0

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,*), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

и** - Ли* + [а0(х,^) + С1(а1(х,£)и(х,^1) + ... + ат(х, *)и*(х, £т))]и*+

+ Мх, *) + Ь1(х, ^)С2(и*(х, *1)) + ... + Ьт (х, ^)С2(и*(х, £т))]и = ^ (х, *) (2.9')

и такую, что для нее выполняются условия (2.10), (1.2) и (1.3). Разрешимость этой задачи мы докажем с помощью теоремы Шаудера.

Пусть г>(х,£) есть произвольная функция из пространства V! Положим

^(х,г) = Л(х,*) - [Ь0(х,*) + Ь^х^^К(х,*1)) +... +

+Ьт(х, *)^2(^*(х, ))Мх, *).

Рассмотрим еще одну краевую задачу: найти функцию и(х, *), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

и** - Ли* +[й0(х,£) + С1(а1(х,ф*(х,£1) +... + ат(х, ф*(х, £т))]и* = ^ (х,*) (2.9^)

и такую, что для нее выполняются условия (2.10), (1.2) и (1.3).

Уравнения (2.9^), а также условия (2.10) и (1.3) дают нелокальную по времени краевую задачу для функции и*(х,*). Указанные в формулировке теоремы включения условия (2.4), (2.6)-(2.8) означают, что данная краевая задача имеет решение ,ш = и*, принадлежащее пространству V [8; 10; 11]. Вследствие равенства

*

ЧМ) = / * + Мх), (2.11)

0

вытекающего из условия (1.2), и вследствие принадлежности функции и0(х) пространству Ш22(П) функция и(х,£) также будет принадлежать пространству V и тем самым — пространству Уь

Из сказанного выше следует, что краевая задача (2.9^), (2.10), (1.2), (1.3) порождает оператор Ф, действующий из пространства У в себя: Ф(и) = и. Покажем, что этот оператор имеет в пространстве У неподвижные точки.

Пусть М0, М1 и М2 есть некоторые положительные числа, Ш есть множество

Ш = {^(х,^) : ^ м°, 1К1к^(д) ^ мъ 1М1ж22’1(д)п£те(0,Т;Ж1(п)) +

+ 11^* |1ж2Д(3)п£^, (0,Т;Ж21(П)) ^ М, ^(х, 0) = и0(х), х Е П}.

Покажем, что можно подобрать числа М0, М1 и М2 так, что оператор Ф будет переводить множество Ш в себя.

Оценки решений параболических уравнений [12] дают для функции и(х,£) неравенство

Ни1к»(3) ^ тах |—1|11^(3), ||^^|Lте(s), 0)1к»(п)

Используя условие (2.10), а также элементарное неравенство тах(а, в + 7) ^ тах(а, в) + 7, нетрудно из данной оценки получить неравенство

1

£»(3) ^ тах <1 Л0 |Мк»(П), Н^Н^З) [> +

+ (ф1 + ... + фт)Ни*||£^(3) + V [60 + (Ь1 + ... + Ьт)т0] |Мк^(д).

Л0

Используя условие (2.6) и равенство (2.11), справедливое и для функций из множества Ш, получаем, что следствием предыдущего неравенства является оценка

11и*11 £»(3) ^ к1 + К2|^*|£^(3). (2.12)

Возьмем в качестве числа М1 любое число из промежутка у-К", +то^ (вследствие первого неравенства условия (2.5) число М1 будет конечным и неотрицательным). При таком выборе числа М1 неравенство (2.12) дает оценку

1Ык»(з) ^ м1; (2.13)

эта оценка означает, что для решений краевой задачи (2.9^), (2.10), (1.2), (1.3) выполняется второе неравенство, определяющее множество Ш.

Используя равенство (2.11) и оценку (2.13), нетрудно получить неравенство

Ни1к»(з) ^ ™1 + 11и0|к^(п). (2.14)

Выбрав в качестве числа М0 любое число из промежутка

[тм1 + ||и0 !ь^(п) , +то), получим, что для решений краевой задачи (2.9^), (2.10),

(1.2), (1.3) выполняется первое неравенство, определяющее множество Ш.

Повторяя доказательство интегральных априорных оценок решений параболических уравнений [12; 8] и используя оценки (2.13) и (2.14), нетрудно показать, что для решений краевой задачи (2.9^), (2.10), (1.2), (1.3) имеет место оценка

|и|Ж22’1(3)П£^(0,Т;Ж21(П)) + |и*|Ж22’1(3)П£^(0,Т;Ж21(П)) ^ ^1 (2.15)

с постоянной Л1, определяющейся лишь функциями кк (х, *), ик (х), к=0, 1,... , т,

f (х, *), областью П и числами Т и М1. Выбрав в качестве числа М2 произвольное число из промежутка [Л1, +то), получим, что для решений краевой задачи (2.9^), (2.10), (1.2), (1.3) выполняется и третье неравенство, определяющее множество Ш.

Проведенные построения и означают, что при указанном выше выборе чисел М0, М1 и М2 оператор Ф переводит множество Ш в себя.

Покажем, что оператор Ф непрерывен в пространстве У1.

Пусть последовательность функций {г>г(х,£)} сходится при I ^ то

в пространстве У к функции г>(х,£), иг(х,*) и и(х,*) — образы функций

г>г(х,£) и ^(х,£) при действии оператора Ф, од(х,*) — функции иг(х,£) - и(х,*). Функции и>т(х,£) представляют собой решение краевой задачи

од** - Лсд* + [^0(х, *) + (х,ф*(х,^1) + ... + ат(х,г)г>*(х,гт))Н* =

= -Ь0(x, *)(^1 - ^) - Ь1(x, *)[^2(^1*(х *1)) - *1))] - ... -

-Ьт(х,^)[С2(^г*(х,*т)) - С2(^*(х,^т))] +

+ [С1(а1(х,*)^г*(х,*1) + ... + ат(х,фг*(х,£т))-

-С1 (а1(х,^)^*(х,^1) + ... + ат(х,ф*(х,£т))]иг*, (2.16)

шг(х,*)|5 = 0, (2.17)

од(х, 0) = 0, од*(х, 0) = ^1 (х)од(х,^) + ... + -0т(х)од (х,£т), х Е П. (2.18)

Сходимость в пространстве У последовательности {г>г(х,£)} к функции г>(х,£), а также вытекающая из неравенства (2.12) равномерная ограниченность в пространстве Ь^>^) семейства функций {иг*(х,£)} означают, что правая часть

в уравнении (2.16) сходится при I — то почти всюду в цилиндре Q к тождественно нулевой функции. Повторяя теперь для задачи (2.16)—(2.18) доказательство оценок (2.12)—(2.15), нетрудно убедиться, что имеет место сходимость при I — то

||од||У1 — 0.

Эта сходимость и означает, что оператор Ф непрерывен в пространстве

Докажем теперь, что оператор Ф компактен в пространстве У.

Пусть {гг(х,*)} есть ограниченная последовательность функций из пространства У1, {иг(х,*)} — последовательность образов функций гг(х,*) при действии оператора Ф. Оценки (2.12)—(2.15), равенство (2.11) позволяют легко показать, что семейство функций {иг(х,*)} также будет ограниченным в пространстве У1.

Ограниченность в пространстве У1 последовательностей {гг(х,*)} и {иг (х, *)}, вложение Ш22,1^) С Ш2^), вполне непрерывность вложений

- ^), Ш2^) —- L2(дQ) и теорема о возможности выбора из сильно

сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду [13; 14], дают нам существование подпоследовательностей {гг. (х,*)}

и {иг.(х, *)}, а также функций г(х,*) и и(х,*) таких, что при ] — то функции гг. (х,£), гг.*(х, *), иг. (х,£), иг.*(х,*) сходятся почти всюду в Q к функциям г(х,£), г*(х,£), и(х, *) и и*(х,£) соответственно, функции гг.*(х,£&), к = 1,... , т сходятся почти всюду в П к функциям г*(х,^), функции иг.*(х, 0), иг.*(х,^), к = 1,... , т сходятся почти всюду в П к функциям и*(х, 0), и*(х, ), к = 1,... , т, и, наконец, функции иг. (х, *), иг.*(х,*) сходятся слабо в пространстве Ш^’1^) к функциям и(х,£) и и*(х,*). Очевидно, что предельные функции г(х,£) и и(х,£) будут связаны в цилиндре Q уравнением (2.9^), для функции и(х,£) будут выполняться условия (2.10), (1.2) и (1.3) и что функция и(х,£) будет принадлежать пространству У1. Повторяя теперь для последовательностей {гг. (х,*)} и {иг.(х,*)}, функций г(х,£) и и(х,£) доказательство непрерывности оператора Ф, мы получим, что будет иметь место сходимость иг. — и в пространстве У1. Другими словами, мы получим, что для всякой ограниченной в пространстве

У1 последовательности {гг(х,*)} из последовательности {Фгг} можно извлечь сильно сходящуюся в пространстве У подпоследовательность. А это и означает, что оператор Ф компактен в пространстве У1.

Непрерывность и компактность оператора Ф, его свойство переводить построенное выше множество Ш в себя, а также очевидные замкнутость, выпуклость и ограниченность множества Ш означают, что для оператора Ф на множестве Ш выполняются все условия теоремы Шаудера. Согласно этой теореме, оператор Ф имеет в множестве Ш неподвижную точку. Другими словами, существует функция и(х,£), принадлежащая множеству Ш и являющаяся решением краевой задачи (2.9;), (2.10), (1.2), (1.3).

Для найденной функции и(х,£) имеет место оценка

1Ыи»(з) ^ ^0 (2.18)

(эта оценка очевидным образом следует из оценки (2.12)). Из оценки (2.18) и из второго и третьего неравенств условия (2.5) следует, что для найденного решения

выполняются равенства

С1(а1(х, £)и4(х, *1) + ... + ат(х, *)и4(х, *т)) = а1(х, *)и4(х, *1) + ...

+ат(х,£)и* (х,*т),

^(иДх,^)) = и*(х,4), к = 1,... ,т.

Другими словами, решение и(х,*) краевой задачи (2.9;), (2.10), (1.2), (1.3) является решением краевой задачи (2.9), (2.10), (1.2), (1.3).

Положим

д(х, *) = а0(х, *) + а1(х, *)и4(х, *1) + ... + ат(х, *)и4(х, *т).

Проинтегрируем уравнение (2.9) по переменной * в пределах от 0 до точки ^. После несложных выкладок с учетом условия (2.10) и равенств (2.1), в которых г& (х) есть функции и4(х, ^), к = 1,..., т, мы придем к равенствам

-Д[и(х,4 - ик(х))] + [^(х,^) + Й1 (х, *1 )и4(х,^) + ... + ат(х,гт)и*(х,гт)]х

х[и(х,^) — и^(х)] = 0, х € П, к =1,...,т. (2.19)

Условие (2.4) и оценка (2.18) означают, что в области П выполняется неравенство

«0(х,4) + а1(х,^)и*(х,*1) + ... + ат(х,4)и*(х,4) ^ Л0.

Поскольку число Л0 положительно и функции и(х,^) и и&(х), к = 1,... , т совпадают при х € Г (см. условие (2.7)), то из (2.19) вытекают равенства

и(х,^) = и^(х), х € П.

Другими словами, для найденного решения краевой задачи (2.9), (2.10), (1.2),

(1.3) выполняются условия (1.4).

Наконец, выполним интегрирование в уравнении (2.9) по временной переменной от 0 до текущей точки. Мы получим уравнение

и — Ди + [а0(х, *) + а1(х, *)и4(х, *1) + ... + ат(х, *)и4(х, *т)]и = f (х, *). (2.20)

Определим функции ^(х,£):

qfc (x,t) = Aofc (x) + ^ (x)ut(x,tj), k = 1,...,m. (2-21)

i=1

Очевидно, что уравнение (2.20) мы можем записать в виде

ut — Дм +

У qk(x)hfc(x, t) + ho(x, t)

,fc=i

u = f (x, t).

Следовательно, найденное решение и(х,*) краевой задачи и функции ^(х), к = 1,... , т, определенные по формулам (2.21), связаны в цилиндре Q уравнением (1.1). Учитывая выполнение для функции и(х, *) условий (1.2)—(1.4), а также полученную по ходу доказательства принадлежность функций и(х,*) и ^(х), к = 1,... , т пространствам У и Ьте(П) соответственно, мы окончательно получим, что функции и(х, *), ^1(х), ..., ^т(х) представляют собой требуемое решение обратной задачи I. □

Заметим следующее. Числа К1 и К2 имеют вид К1 = а + вт0, К2 = 7т0, числа а, в и 7 определяются функциями f(х,*), Л,0(х,£), (х,£), ..., Л,т(х,£),

и0(х), и1(х), ... , ит(х). Определим число т0:

т0 = 2 (1 — в + л/(1 — в)2 — 4а^ .

Если числа в и 7 малы (что выполняется, например, если числа |и0|^^(п) и Т

малы), то число т0 будет положительным. Зафиксируем число т0 из полуинтервала (0,т0). Если теперь число Т настолько мало, что выполняется неравенство К2 < 1, то для числа т0 будет выполняться требуемое условием (2.5) неравенство N0 ^ т0. Выполнение же неравенства (а1 + ... + ат)Ж0 ^ Л1 имеет место, например, если число К1 мало (что возможно) и число Л1 велико.

И еще одно замечание. Условие (2.3) не может выполняться, если функции Л,у(х,£), ... , Л,т(х,£) линейно зависимы.

В теории обратных задач одним из основных объектов исследования является свойство устойчивости решений относительно изменения тех или иных входных данных. В настоящей работе мы исследуем такой аспект свойства устойчивости, как свойство устойчивости решений по отношению к изменениям данных переопределения (наш интерес к этому аспекту объясняется тем, что измерение состояния среды в те или иные отличные от начального моменты времени проводится, как правило, приближенно).

Зафиксируем положительные числа N1 и N и определим множество функций ^N2 :

= {г(х,*) € У : Нг1к»(д) ^ N1, 1Ык»(3) ^ ^}.

Далее введем дополнительные обозначения: именно, положим

т

г=1

^ = ||^ (x,t)|ІL»(Q),

^ = НМ^Н^д),

^ = ||Л^(х, 0)и0(х)||ьте(п),

Я1 = Т [Ь0 + (Ь1 + ... + Ьт)^] + ^(^-01А1 + ... + ^0тАт) +

+ ^(^-11 А1 + ... + ^1тАт)>

Я2 = ^21А1 + ... + ^2тАт.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (2.3) и (2.4), а также условия

(й1 + ... + ^N2 ^ Л1, (2.22)

(2.23)

шах <! л1 , Я2 )> < 1.

Тогда, если {и (ж, і), (ж),... , дт(ж)} и {и(ж,і), ф(ж),... , §т(ж)} есть два реше-

ния обратной задачи I, отвечающие условиям переопределения (1.4) с функциями и1(х),... , ит(ж) и м1(ж),..., ит(ж) соответственно и такие, что и(ж,і) Є , Ф(ж,і) Є , и если для некоторого положительного чис-

ла є выполняются неравенства

ІК(ж) - Ф(ж)||^2(П) < є, к = 1,... ,т,

то найдется не зависящее от є число М0, определяющееся функциями f (ж, і), (ж, і), к = 0, 1,... , т, и0(ж), (ж), Фь(ж), к = 1,... , т, а также числами N

и М2, что будут справедливы оценки

||и(ж, І) - И(ж, І) || ^(д) + |Мж, і) - и*(ж, і) ||^№) ^ Моє,

(ж) - ф(ж)І|і»(П) ^ М0є.

Доказательство. Обозначим и>(ж,і) = и(ж,і) — Ф(ж,і). Вследствие принадлежности функций и(ж,і) и Ф(ж,і) пространству VI и вследствие указанных в формулировке теоремы условий на входные данные мы можем в соответствующих уравнениях (1.1) положить і = і^ и перейти к уравнениям на сечениях:

И*(ж,^) - Диь(ж) + Ф*(ж,іь) - Дф (ж) +

Мж, іь) + ^ 2г(ж)^(ж, іь)

І=1

І=1

иь (ж) = f (ж,іь), иь (ж) = f (ж,іь),

к = 1,..., т.

С помощью несложных выкладок нетрудно от этих равенств перейти к следующей системе

т

]СЫх) — 5г(х)]^(х,^ )ик (х) = Д[^ (х) — М (х)] —

(2.25)

г=1

т

— ^(х,^)[ик(х) — М(х)] — ^ Мг(х)Л-Дх,^Ж(х) — М(х)] —

г=1

—од(х,£к), к =1,...,т.

Обозначим

(х) = Д[ик (х) — Мк(х)] — Лю(х,^ (х) — М (х)] —

т

— У Мг(х)^г(х,^к)[ик(х) — М (х)].

г=1

Поскольку функции ^г(х), Мг(х), * = 1,... , т необходимо представляются через входные данные соответствующей задачи по формулам (2.19), то они будут ограничены почти всюду на множестве П. Следовательно, для функций (х) будут

выполняться неравенства

(х)||ь^(п) ^ Му|ик(х) — М(х)|^2(П) (2.26)

с постоянной Му, определяющейся функциями f(х,*), кк(х,*), к = 0,1,...,т, и0(х), ик(х) и (х), к = 1,... , т, а также числом N2.

Вернемся к системе (2.25). Поскольку, согласно условию (2.3), определитель этой системы не обращается в нуль на множестве П, будут иметь место равенства

т

Зк (х) — М (х) = В0к (х) + ^ А^ (х)од(х,^), к = 1,...,т; (2.27)

г=1

функции А^(х) в этих равенствах определены ранее (см. формулы (2.2)), функции В0к(х) определяются через функции (х,*), ик(х) и (х), к = 1,... , т.

Продифференцируем уравнения обратной задачи I для функций и(х,*), Зу(х), ... , дт(х) и М(х, *), М1(х), ... , Мт(х) по переменной * и вычтем второе уравнение из первого. После несложных выкладок мы придем к равенству

од* — Дод + [^(х,г) + ду(х)^1(х,£) + ... + дт(х)^т(х,£)]од =

= — [^0*(х,*) + <Зу(х)Л,и(х,£) + ... + Зт(х)^т*(х,^)]^+

+ {[М1(х) — ?1(х)]^у(х,*) + ... + [Мт(х) — Зт(х)]^т(х, *)}М* +

+ {[(?1(х) — q1(x)]h1^(x,'О + ... + [?т(х) — ?т(х)]^ т* (х,*)}М. (2.28)

Далее, условия (1.2)—(1.4) обратной задачи I, соответствующие функциям и(х,*) и М(х, *), дают для функции эд(х,£) условия

Цх, 0) = 0, х € П, (2.29)

и>(х, *)|^ = 0, (2.30)

од(х, 0) = {[М1 (х) — З1(х)]^у(х, 0) + ... + [Мт(х) — ?т(х)]^т(х, 0)}и0(х), х € П.

(2.31)

Имеет место равенство

^0(х,г) + З1(х)^у(х,*) + ... + Зт(х)^т(х,*) =

= а0(х, *) + ау(х, *)и*(х, *у) + ... + ат(х, *)и*(х, *т).

Условия (2.4) и (2.22) означают, что при (х,*) € ф выполняется неравенство

^0(х, *) + З1(х)^у(х,*) + ... + 2т(х)^т(х,г) ^ Л0.

Оценки решений параболических уравнений [12] дают для функции эд(х,£) неравенство

(д) ^ шах |Л_Н^(х,*)Н^1Мх 0)Н^(П) | , (2.32)

в котором через ^(х, *) обозначена правая часть уравнения (2.25).

Неравенства (2.26) и представления (2.27) дают следущее неравенство:

||^(х) — Фь(х)Нь00(П) ^ М2|К(х) — М(х)1к^(П) + АкН^*(х,*)Нь00(д) (2.33)

с постоянной М2, определяющейся функциями f(ж,і), (ж,і), к = 0,1,...,т,

и0(ж), (ж) и (ж), к = 1,... , т, а также числом Ж2.

С помощью неравенств (2.33) и очевидного неравенства

ІИж і) ІІь»(3) ^ т1К(ж і) ||ь»(3) (2.34)

мы можем оценить функцию ^(ж, і):

11^(ж,і)||і»(3) ^ Т[Ь0 + (Ь1 + . . . + ЬтЖ2]|Мж,і)|и»(3) +

+ ^2(Л01А1 + ... + Л-ОтАт) Нw^(ж, і) (3) +

+ ^1(^11А1 + ... + Л1тАт) і) ||Ь»(3) +

+ М3(||и1(ж) - Ф1(ж) 11^,2(П) + ... + ||ит(ж) - ит(ж)||^2(П)) =

m

m

= Ri||wt(x,i)||Loo (Q) + MsJ^ IK (x) - Mk (x)llw2 (n); (2.35)

k=1

постоянная M3 в последнем неравенстве определяется функциями f (x, t), hk(x, t), k = 0,1,... , m, u°(x), uk(x), Mk(x), k = 1,... , m, а также числами N1 и N2.

Используя равенство (2.31) и неравенства (2.33), оценим функцию wt(x, 0):

m

IM^ 0)IUco (П) ^ R2|wt(x,t)|L00 (Q) + M4 ^ ||uk (x) - Mfc (x)|W2 (П)) (2.36)

k=1

постоянная M4 в этом неравенстве определяется функциями f(x,t), hk(x,t), k = 0, 1,... , m, u°(x), uk(x), Mk(x), k = 1,... , m, а также числом N2. Неравенства (2.32), (2.35) и (2.30) дают неравенство

R M m ^

IK IIl» (Q) ^ max{ ||w*(x,t)|L00 (Q) + |uk (x) - Mk (x)|W2 (П),

A° Ao k=1

m

R2|wt(x,t)|L»(Q) + M4 ||uk(x) - Mk(x)|W2(П) }.

k=1

От этого неравенства нетрудно перейти к следующему неравенству:

Loo (Q) ^ max{ ^ ,ТЛ ||wt(x,t)|L00 (Q) +

/ м3 \ ^

V^0 + М/ ^ Ник(х) — М(х)Н^2(П).

Условие (2.23) позволяет из последнего неравенства вывести оценку

т

(д) ^ 1К(х) — М(х)Н^2(П);

к=1

учитывая же неравенство (2.34), мы получим оценку устойчивости

т

(д) + (д) ^ |ик(х) — М(х)Н^2(П),

к=1

из которой, а также из неравенств (2.33) и следует требуемое. □

Непосредственным следствием доказанной теоремы устойчивости является теорема единственности решений обратной задачи I.

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Тогда в множестве имеется не более одного решения обратной задачи (1)-(4).

Доказательство этой теоремы очевидно.

3. Дополнение

1. В настоящей работе мы ограничились исследованием обратной задачи нахождения неизвестного коэффициента поглощения при задании на боковой границе цилиндра Q условия первой краевой задачи. В целом аналогичными методами можно исследовать такую же обратную задачу с заданием на боковой границе условия второй краевой задачи.

2. Количество условий переопределения (1.4) можно уменьшить, если предположить, что коэффициент поглощения ^(х,£) известен в некоторые фиксированные моменты времени, количество которых меньше т. Именно, если известно, что д(х,тк), 1 ^ к ^ ту < т, 0 ^ ту < т2 < ... < тт1 ^ Т, п = ^ при г = 1,... , ту, ] = 1,..., т есть заданные функции, то условия переопределения

(1.4) можно заменить условиями

и(х,£к) = ик(х), к = ту + 1,...,т, х € П.

В данном случае первые т1 уравнений (2.3) можно заменить уравнениями

т

У р(х)Л,Дх,Тк) = ^(х), к = 1,...,ту.

г=1

(г^(х) есть функции д(х,т^)). Вновь предполагая, что определитель полученной системы отличен от нуля на множестве П, рассматривая далее соответствующую нелокальную краевую задачу для соответствующего нагруженного уравнения, мы сможем построить решение видоизмененной обратной задачи с заданием в качестве условий переопределения значений д(х,т^), к = 1,...,ту и и(х,£&), к = ту + 1,... , т.

Указанная выше ситуация реализуется, например, в случае, когда в начальный момент времени известна информация как о состоянии среды (т. е. задано условие (1.2)), так и о скорости изменения состояния среды, что подразумевает задание условия и*(х, 0) = г0(х). В данном случае ту = 1, ту = 0, первое уравнение системы (2.3) меняется на уравнение

т

^^Рг(х)^(х, 0)и0(х) = f (х, 0) + Ди0(х) — ^0(х, 0)и0(х) — г0(х).

г=1

3. Методами, изложенными в настоящей работе, можно исследовать и другие обратные задачи — например, задачу нахождения решения и(х,£), коэффициента д(х,£) указанного в п. 1 вида и неизвестной правой части f (х,£) вида

/з(х,г) + ду(х)Д(х,*) + ... + дт (х)^1 (х,г)

с известными функциями /0(x,t), /i(x,t), . . . , fmi (x, t) и неизвестными g! (x), . . . , gmi (x). В качестве условий переопределения для такой задачи нужно задавать m + m1 условий вида (1.4), т. е. нужно задавать условия

u(x,tk) = uk(x), k =l,...,m, x £ П,

u(x,Tk) = vk(x), k =1,...,m1, x £ П,

где т1, ..., Tmi есть числа из полуинтервала (0, T] такие, что т1 < ... < тт,, т = tj,

i = 1,..., m1, j = 1,..., m.

Уточним, что подобная задача в случае m = m1 = 1 рассматривалась автором в работах [15; 16].

Список литературы

1. Rundell, W. The determination of a parabolic equation from initial and final data / W. Rundell // Proc. of the Amer. Math. Soc. — 1987. — Vol. 99, № 4. — P. 637-642.

2. Chadan, J. M. Determination of an Unknown Function in a Parabolic Equation with the Overspecified Condition / J. M. Chadan, Yu. Hong-Ming // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 1990. — Vol. 13. — P. 421-430.

3. Isakov, V. Inverse Parabolic Problems with the final Overdetermination / V. Isakov // Comm. on Pure and Applied Math. — 1991. — Vol. XLIV, № 2. — P. 185-210.

4. Прилепко, А. И. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении / А. И. Прилепко, А. Б. Костин // Сиб. мат. журн. — 1992. — Т. 33, № 3. — С. 146-155.

5. Костин, А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным переопределением / А. Б. Костин, А. И. Прилепко // Мат. сб. — 1992. — Т. 183, № 4. — С. 49-68.

6. Вишневский, М. П. О разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения с конвергенцией / М. П. Вишневский // Сиб. мат. журн. — 1992. — Т. 33, № 3. — С. 42-49.

7. Соловьев, В. В. Существование решения в задаче определения коэффициента в полулинейном уравнении параболического типа / В. В. Соловьев // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28, № 12. — С. 2101-2110.

8. Кожанов, А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А. И. Кожанов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 4. — С. 722-744.

9. Кожанов, А. И. Задача определения решения и правой части специального вида в параболическом уравнении / А. И. Кожанов // Обрат. задачи и информ. технологии. — Т. 1, № 3. — Ханты-Мансийск : Югор. НИИ информ. технологий, 2002. — С. 13-41.

10. Либерман, Г. М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений / Г. М. Либерман // Нелинейные задачи мат. физики и смежные вопросы (в честь акад. О. А. Ладыженской) : междунар. мат. сер. — Т. 1. — Новосибирск : Тамара Рожковская, 2002. — С. 233-254.

11. Кожанов, А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений / А. И. Кожанов // Сиб. журн. индустр. математики. — 2004. — Т. VII, № 1. — С. 51-60.

12. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солоннинков, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1967.

13. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. — М. : Наука, 1988.

14. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. — М. : Наука, 1973.

15. Kozhanov, A. I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation / A. I. Kozhanov // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2002. — Vol. 10, № 6. — P. 611-627.

16. Kozhanov, A. I. An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation II. / A. I. Kozhanov // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2003. — Vol. 11, № 5. — P. 505-522.