О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННО

НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА*)

Г, А. Лукина

Различные краевые задачи, локальные или нелокальные по времени, для уравнений нечетного порядка исследовались в [1-4]. В работе [5] методами регуляризации и продолжения по параметру исследована разрешимость некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений. В настоящей работе методами регуляризации и продолжения по параметру доказывается разрешимость пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А. А. Самарского с переменными коэффициентами для уравнения третьего порядка.

1. Постановка задач

Пусть Л — интервал (0,1) оси Ох, Я — прямоугольник П х (0, Т), 0 <Т < + <ж. В области Я рассматривается уравнение

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 0ЕЮ1Ч)0422а) и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала» (код проекта АХ-23/11 пр. от 12 декабря 2008 г.).

Щи + ихх - ^(х, Ь)п = /(х, ¿)

(1.1)

с нелокальными краевыми условиями

Мх(0,г) = а1(г)и(0,г) + а2(£)и(М), 0 < t < Т,

пх(М) = о,г) + вККМ), о < t < Т,

(1.2)

© 2010 Лукина Г. А.

либо

u(0,t) = a(i)Ux(Oайи^ l,t), 0 < t < T,

u(l,t) = A(t)ux(Û,t) + fo(t)ux( 1 ,t), 0 <t<T, (L3)

где ^(x,t), f(x,t), ai(t), fîi(t), e(t) — заданные функции, опре-

деленные при ж (Е О, t G [О, Т].

u x, t

моугольнике Q решением уравнения (1.1) и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (1.2), а также условия

u(x, 0) = ut(x, 0) = u(x,T) = 0, x Е О. (1-4)

u x, t

Q.

.

u(x,0)=ut(x, 0)=utt(x,T) = 0, x GÛ. (1.5)

u x, t

Q

няются нелокальные краевые условия (1.3) и (1.4).

u x, t

Q

няются нелокальные краевые условия (1.3) и (1.5).

2. Разрешимость краевых задач I и II

Определим необходимые пространства. Именно, пусть vq, wq — следующие пространства:

Vo = W*;lt(Q), W0 = Mx,t) : v(x,t) Е V0, vx(x,t) Е V0}.

Норма в пространстве V0 есть стандартная норма в анизотропном соболевском пространстве, норма в пространстве Wo определена естественным образом:

IMIw = IlvxMV..

Прежде чем доказывать разрешимость задачи I, заметим, что для функций -у(х, го пространства Wo, для которых выполняется условие (1.4), имеют место следующие неравенства:

1 1

(2.1)

«2(0,г) ^ ¿г J УХ( + 1) J v2{x,t)dx,

о о

1 1

о о

т т т

¡^.т « ^¡.ЪМЬ + ЪМ)}^)*; (2.2,

оо о

т т т

IVКх, г) А < ¿3 / VIг (х, О С № ,Т) / (х, 0 л, (2.3)

оо о

в которых ¿1, ¿2, ¿з — произвольные положительные числа, числа С1, С5 С вычисляются вполне определенным образом через ¿1, ¿2, ¿3 и Т.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

/1(1,1) е с'й), /х(ж, г) > /х0 > о при (х,г) е^; (2.4)

а,(г) е С3([0,Т]), Ш е С3([0,Т]), ¿=1,2; (2.5)

а^ + ййЛ Ш е[0,Т]; (2.6)

+ [а(г) - - ^ 0 при г е [о, Т], (й, 6) е К2;

.

/М)/х,г) е Ь2(д). (2.8)

Тогда краевая задача I имеет решение м(х,г), принадлежащее пространству Wo.

Доказательство. Проведем некоторые вспомогательные построения. Для (ж, 4) (Е <5, А (Е [0,1] положим

Ах2

ск(ж,4, А) = -[&(*) — 0:1(4)] + Ажо:1(4),

ß(x,t, А) = —[fo(t) - a2(t)] + Лxa2(t),

w(x, t) = u{x, t) — a(x, t, A)u(0, t) — ß(x, t, A)u(l, t).

Полагая в равенстве, определяющем функцию w(x,t), поочередно x = 0, x = 1, получаем, что функции u(0,t), u(l,t) можно вычислить через функции w(0, t), w(l,t) с помощью алгебраической системы

[1 — а(0, t, A)]u(0, t) — ß(0, t, A)u(l, t) = w(0,

—a(l,t,A)u(0,t) + [ 1 — ß(l,t,A)]u(l,t) = w(l,t).

Поскольку определитель этой системы не равен нулю при t € [0, T] (это следует из условия (2.6)), то функции u(0,t) и u(l,t) можно выразить через функции w(0,t) и w(l,t):

u{Q,t) = w(o,t), u(i,t) = ъ^ащо^)+ Y2(t,A)w(i,t),

где

A[ai(t) +/3i(t)] = 2

1 ' ^ 2 - A[a2(t) + ß2(t)]' 721 ' ; 2 - X[a2(t) + ß2(t)]'

Определим функции a(x,t,\), b(x,t,\):

a{x, t, A) = [a(x, t, A) + ß(x, t, A)]yi (t, X),

b(x,t,A) = ß(x,t,A)Y2{t,A). Имеет место равенство

u x, t w x, t a x, t, A w , t b x, t, A w , t .

u x, t . w x, t

будет выполняться равенство

Witt + wxx - fj,(x,t)w = f(x,t) + Ф(ж,г, A,w(t)),

wt

w(t) = (wm(0, t), wtttX l,t), w«(0, t), wtt{ 1, t), wt{ 0, t), wt{ l,t), w(0, t), w(l, t)),

Ф(x,t, X,w) — линейная по w(t) форма, коэффициенты которой определяются функциями a(x,t, А), b(x, t, A) и ^(x,t):

$(x,t,\,w(t)) = A1(x,t,\)wttt(0,t) + A2(x,t,\)wttt(l,t)

+ A (x, t, A)w« (o, t) + A (x, t, A)w« ( i,t)

+ A (x, t, Aw^O, t)+ A (x, t, A)wt (1, t)

+ A(x,t, A)w(o,t) + A(x,t, A)w(i,t),

A(x, t, А = —a(x, t, A, A(x, t, А = —b(x,t, A), A(x,t, А = —3at(x,t, A, A(x,t, А = —3bt(x,t, A, A(x,t, A) = —3att(x, t, A, A(x,t, A) = —3btt(x, t, A, A(x,t, A) = — [аш(x,t, A — ажж(x, t, A — Mx, t)a(x, t, A], A(x,t,A) = — [бш( x,t, A — bx^ x,t, A — Mx,t)b(x,t, A]-

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию w(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

Witt + Wxx - fj,(x,t)w = f + Ф(ж,г, A, w) (2.9) и такую, что для нее выполняются условия

w(x, 0) = wt(x, 0) = w(x, Г) = 0, x G О,

Wx(0,t) = wB( l,t) = 0, t e(0,T). (2'10)

Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения (2.9) докажем с помощью теоремы о методе продолжения по параметру [6].

A,

которых краевая задача (2.9), (2.10) при выполнении всех условий теоремы 1 имеет решение w(x, t), принадлежащее пространству Wo. Если

мы покажем, что множество Л непусто, открыто и замкнуто, то оно,

,

A

W

ет, что число 0 принадлежит Л и тем самым множество Л непусто.

Открытость и замкнутость множества Л доказываются с помощью априорных оценок. Установим их наличие.

Пусть т(х,г) — решение краевой задачи (2.9), (2.10) из пространства Wo. Используя неравенство (2.1), нетрудно показать, что функция и(х, г), определенная выше, также будет принадлежать Wo. Далее, несложные выкладки показывают, что функция и(х,~Ь) представляет собой решение краевой задачи

ида + ихх — х,г)и = ¡(х, г), их(о ,г) = А[«1(г)и(о,г) + а2(г)и(М)], их( М) = Щк (г)и(о, г) + /32 (г)и(м)], и(х,0) = щ(х, 0) = и{х, Т) = 0. Рассмотрим равенство

т 1 т 1

— J ![иш + ихх — ^(х,г)и]и <х& = — ^ J /иёхА. (2.11)

0 0 0 0 Интегрируя по частям, используя указанные выше граничные и начальные условия для функции и(х,г) и неравенство Юнга, нетрудно перейти к следующему неравенству: т 1 1

J ¡[ul + .ix^dxdt + lJuU^dx

_ x

о о

т

+ X j{a(t)w2(0,t) + [a2(t) - A(i)M0,iMM) - &(t)u2(l,t)} dt о

T 1 T 1

^ — J j и2 dxdt + J J /2 dxdt, 0 0 0 0

в котором S — произвольное положительное число. Используя условия (2.4), (2.5) и (2.7), получаем, что следствием равенства (2.11) будет

оценка

T 1

J J[u2+ Ux] dxdt < M (2.12)

о о

с постоянной Mi, определяющейся числом ко> а также функциями ai(t), ай, A(t), &(t) и f{x,t).

На следующем шаге рассмотрим равенство

T 1

/ I[Uttt + Uxx - tH (X - 1/2Ki" + Utlt] dxdt

о 0

T 1

= Hf [-Uxxttt + (x - muxttt + UXX + U»t]dxdt.

о 0

Вновь интегрируя по частям, используя граничные и начальные условия для функции u(x, t), от данного равенства переходим к следующему:

T 1 1

//[*&« + *&,+ 2U«t] dxdt+\ j^xt{X,T)dX 0 0 о

1 T T

+ / ,&(*, T) d* + i J ulM t) dt + i J ult(l,t) dt

0 0 0 T

+ xj{a^U^O.^hW - AW]U«t(0,^Uttt(i,t)

T 1

- fi2(t)nttt( l,t) } dt = J J [^(x,t)Ux Uxttt+ Kx( x,t)UUxttt о о

- (x - l/2)UxxUxttt - (x - l/2)^(x, t)UUxm + ^(x, t)UUxx + k(x, t)UUttt

T

+ fxUxttt + (x - mfUxttt + fUxx + fUttt] dxdt- xj {з « it)^ ,t)

0

+ 3«' (t)Ut(0 ,t) + a'" Ut( 0 ,t) +3a' (t)Utt( l,t) + 3a'' (t)Ut{ l,t)

+ мж«(043в'(*)ии(о+ зв"(г)щ(0,г)

+ в"Ч(0+ Зв' (*)ии( М) + Зва (М) + взЧ(М)]иш( М)} ^ т

+ У [^(0, ¿)и(0, ¿)ихШ(0, ¿) - ^(1, ¿)и(1, ¿)ижШ( 1, - 2ижД0, ¿)и«(0, ¿) о

+ 2ихг{ 1,1)игг{ М) + 1(0^)ихШ(0, - /(МКш( 1,Щ(И.

Используя условия (2.5), (2.7), оценивая слагаемые правой части с помощью неравенств Юнга, (2.1)^(2.3) и оценки (2.12), получаем априорную оценку

т 1 1

2

• Ц

Ц[и1ш + и1х + и?«] ¿^ + 1иХхАХ,Т)ПХ оо о

1 т т

+ /,4(..т^/^«.^^/^,!,,,,*«м (2.13,

ООО с постоянной М2, определяющейся числом а также функциями

ай, ай, и ЯМ).

Оценка

т 1

У |и9Ххх ^ < М3 (2.14)

о о

с постоянной М3, определяющейся числом а также функциями «1(^)5 «2(^)5 вг(^) и /(ж,£), очевидным образом следует из до-

казанных оценок (2.12) и (2.13).

Оценки (2.12)^(2.14) вместе с неравенствами (2.2) и (2.3) дают очевидную оценку

1М|ж0 < М0. (2.15)

Аналогичные оценки имеют место и для функции ад (ж, ¿). Как уже говорилось выше, этих оценок достаточно для применения теоремы о методе продолжения по параметру. Следовательно, при выполнении условий теоремы 1 краевая задача (2.9), (2.10) имеет решение

принадлежащее пространству Wo, при веет значениях Л, в том числе и при Л = 1.

Функция

u(x, t) = w{x, t) + a(x, t, l)w(0, t) + b{x, t,l)w(l,t)

принадлежит пространству Wo, из приведенных выше построений следует, что эта функция будет требуемым решением краевой задачи I.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются условия

¡j,{x,t) G CX(Q), ¡j,{x,t) > ¡jq > 0 при (x,t) G Q; ai(t) G C3([0,T), ßi(t) G O3([0,T]), ^1,2; aW+ÄW/2 Vt G[0,T]; - ßi№ib - fh№l >0 при t G [0, T], (a, 6) G R2; f(x,t),fx(x,t) G L2{Q).

u x, t

W

Данная теорема доказывается полностью аналогично теореме 1.

3. Разрешимость краевых задач III и IV

Разрешимость краевых задач III и IV удалось установить, к сожалению, лишь в случае ai: ßi = const, i = 1, 2.

Краевая задача III*. Найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.1) н такую, что для нее выполняются условия (1.4) п

u(0,t) = «iux(0, t) + a2ux{ 1, t), 0 <t < T,

u(l,t) = eiux(0,t) + ß2uxil,t), 0<t<T. ^

* u x, t

Q. иолняются нелокальные краевые условия (1.5) и (1.3*).

Теорема 3. Пусть выполняются условия

¡j,{x,t) G C^Q), ¡j,{x,t) ^ ¡л о>0 npn(x,t)GQ; (3.1)

а + А Ф 2;

«i£i2 + [а - - А£22 >0 при (а,6) g R2;

/М)/ж^) G

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Тогда краевая задача III* имеет решение w(x,t), принадлежащее пространству W0.

Доказательство. Пусть аА-аА ф 0. Тогда функции ux(0 ,t),

wx( l,t) можно выразить через функции w(0,t), w(l,t), т. е. краевая

*

Рассмотрим случай, когда аА — а А = 0, и докажем разрешимость рассматриваемой краевой задачи методом регуляризации. Пусть £ > 0. Регуляризация граничного условия имеет вид

Поскольку определитель этой системы не равен нулю (это следует из условия (3.3)), функции их(0,4), их( 1,4) можно выразить через функции и(0, 4), и(1,4):

Согласно теореме 1 при выполнении условий теоремы 3 краевая задача

м(0, t) = (а + £)wx(0, t) + ам^ 1, t), о < t < T, w(i,t) = АМо,t) + (А - фж( i,t), о < t < т.

(i-з *)

мх(о,t) = аем(о, t) + аеЦ1, t), о < t < т,

l,t) = Аew(0,t) + А£w(l,t), о < t < T.

Ида + Мжж - м(ж, t)w = /(ж, t), Иж(0,t) = аew(0,t) + а£w(l,t), 0 < t < T, Иж( l,t) = Дeu(0,t) + А£w(l,t), 0 < t < T, м(ж, 0) = wt(ж, 0) = м(ж, T) = 0, ж G П,

имеет решение и(ж,4), принадлежащее пространству ^о, т. е. краевая задача (1.1), (1.5), (1.3*) имеет решение и(ж, 4), принадлежащее пространству Для этого семейства решений имеет место априорная оценка

||и||ж0 < М0

с постоянной Мо, определяющейся числами о.\, а2, вь вг, а также функцией /(ж, 4) и те зависящей от е (доказательство этой оценки проводится аналогично доказательству оценки (2.15)). Этой априорной оценки вполне достаточно для перехода в семействе решений задачи (1.1), (1-5), (1.3*) к пределу при е ^0. Предельная функция будет решением исходной краевой задачи III*, принадлежащим пространству

Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Пусть выполняются условия

А«(ж,г) е с1 (О), ¡л{х, ¿) ^ /х0 > о при (ж,г) е <3;

а + в2 ф 2;

+ а - в1]&& - вгй > 0 при (а,6) е М2;

/(ж,4),/х(ж, г) е Ь2(д).

Тогда краевая задача IV* имеет решекие и (ж, 4), принадлежащее пространству ^о.

Данная теорема доказывается полностью аналогично теореме 3. Замечание. Полностью аналогично можно установить существование регулярных решений краевых задач для уравнения

(-1)в1т+1 и + Пхх - м(ж,4)и = /(ж, 4)

(то ;:г 1 целое, Dt = с нелокальными условиями (1.2) или (1.3), а также условиями

и(ж,0) = ••• = П?и(ж,0) = 0, ж еП,

и(ж,Т) = ••• = В?-и(ж,Т)=0, ж еП,

либо

и(ж,0) = ■■■ = В?и(ж,0) = 0, ж еП, В^1 и(ж,Т) = ■■■ = В?ши(ж,Т) = 0, ж еП.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубинский Ю. А. Квазилинейные эллинтико-нараболические уравнения // Мат. сб. 1968. Т. 77, № 3. С. 470-496.

2. Дубинский Ю. А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 1. С. 32-34."

3. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Вычислительный центр СО РАН, 1995.

4. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Вести. Самарск. гос. технического ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2007. № 2. С. 18-26.

5. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений // Вестн. Самарск. ун-та. Естественнонаучная сер. 2008. № 3. С. 165-174.

6. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Мирный

1 апреля 2010 г.