О разрешимости обратной задачи нахождения старшего коэффициента в уравнении составного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ СТАРШЕГО КОЭФФИЦИЕНТА В УРАВНЕНИИ СОСТАВНОГО ТИПА

А.И. Кожанов

Для уравнений составного типа, называемых также псевдопарабо-лическими уравнениями, исследуется разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента, зависящего от выделенной временной переменной. В качестве дополнительного условия предлагается условие интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Ключевые слова: уравнения составного типа; неизвестный коэффициент; интегральное условие переопределения; регулярные решения; существование и единственность

Пусть О есть ограниченная область пространства Кп с гладкой (для простоты — бесконечнодифференцируемой) границей Г, С} есть цилиндр ^ х (0,Т), 0 < Т < +оо, Ьгз(х, £), Ьг{х,Ь), i, j = 1, п, Ь(х,£), К(х), /(х,*), щ(х), щ(х), /х(<) — определенные при х € £1, Ь 6 [О, Т] заданные функции, Ви — дифференциальный оператор, определенный равенством

(по повторяющимся индексам здесь и далее ведется суммирование в пределах от 1 до п). Обратная задача: найти функции и(ж,£) и д(Ь), связанные в цилиндре ф уравнением

В рассматриваемой обратной задаче условия (2) и (3) являются условиями обычной первой начально - краевой задачи для уравнения составного типа (1), условие же (4) есть условие переопределения интегрального вида, необходимое вследствие наличия дополнительной неизвестной (наряду с решением и(х,£)) функции q{t). Подобные обратные задачи для уравнений составного типа (1) ранее не изучались.

Целью настоящей работы является доказательство разрешимости обратной задачи (1)

- (4) в классе регулярных решений. Техника доказательства основана на переходе от исходной задачи к новой уже прямой начально - краевой задаче для нелинейного интегро -дифференциального уравнения составного типа вида (1), исследовании разрешимости новой задачи и далее построении с помощью решения новой задачи решения рассматриваемой обратной задачи. Близкая техника ранее использовалась автором в работах [1-3].

Ви = ь4 (х, ^иХ{Х} + ьг(х, г)иХ1 + ь(х, г)и

д{1)ии - Ащ — Ви = /(ж, <),

(1)

при выполнении для функции и(х, <) условий

«(М)1гх(о,т) = О, и(ж,0) = «о(ж), щ(х,0) = щ(х), х €

(2)

(3)

(4)

Перейдем к содержательной части работы.

О О

Определим пространства V1 и V2-

V1 = {«(ж, Ь) : у(х, г) е £оо(0, Т; И^2(0) П ЦТ гФ)),

ьь(х,г) € Ьоо(0,Т; ММ) € Ь2(0,Т;^2(^))}>

Т?2 = ММ): и(ж,£)€Уь уа{х,г) € Ь2(0,Т;И^2(0) ПИ^Ф))};

нормы в этих пространствах определим равенствами

11г’11^1 - + ^*1^оо(0,Т;Ж|(П)П1у1(П)) + ^“^2(0,Г;Ж|(П))’

1Ы1 о = |Ы| о + Нш+И „ о ,

" "у2 " МУ1 " И|1Ь2(0,Т;Ж22(П)Щу£(П))

О О

Для функций и(ж, £) из пространств V1 и V 2 для почти всех Ь из отрезка [О, Т] выполняются неравенства

П

ИМ)И!,а(П) < с0^2\КЛх,Щ12{п) < С1||^(ж,*)|||2(п), (5)

1—1

г

ЫхМ1т<^Т J \К(х,т)\\12{п)йт + 2\\у(х,0)\\12{п) (6)

о

— см. [4]. Далее, определим дифференциальный оператор В\:

Вгь = Ъ\3(х, фХ1Х} + ЬЦх, фх< + Ьг(х, ф.

Предполагая, что коэффициенты операторов В и В\ ограничены, нетрудно показать, что

О О

для функций ь(х^) из пространств V г и V 2 для почти всех £ из отрезка [О, Т] выполняются неравенства

\\Ву{х,Щ\т <Ь0\\Ау(х,Щ12{п), (7)

\\вМх,г)\\12(п} <Ь1||Д«0М)Н!2(П), (8)

с некоторыми постоянными, определяющимися лишь функциями Ьу'(ж,<), Ьг(х, £) и Ь(х, £), областью Л и числом Т.

Неравенства (5) - (8), а также собственно числа со, с\, Ьо и Ъ\ нам понадобятся ниже. Определим другие величины, которые понадобятся ниже. Пусть 7о и 7х есть заданные положительные постоянные (роль 70 и 71 будет прояснена ниже). Положим далее

**(*) = I К(х)/(х,1)ёх, п

Л - шах (| + у + 61Г2 + 2ЬоТ, ^ ,

1|/?4гЛ + 2«го^[| /2(ж, £) б?ж] + (^Т + 2£>о) J(Ащ)2 йх+ Я п п

+

\ J(А«і)2 Лх + ^ ^2 / иі* . 6х + ! Вио&и\(1х — ! ${х,$)&и\(1х п 1=1 п п п

п и п

N1 = 4 /32 ехр(4/ЗіТ),

ЛГ2 = /31ТМ1+/32, N3 = 2Т2ІУі + 2 У (Ди0)2 йж, п

йж

^15+(№)2

Теорема 1. Пусть выполняются условия

Ьг>{х,г) Е СНЯ), Ьг(х,і) ЄС1^), і, і = 1,...,п, Є ОД),

ІГ(ж) Є С1^);

/(ж, і) Є £2(<2), /і(М) Є £2(ф), м0(ж) € И^2(^) П Т^2(Г2),

«і (я) Є Ж|(П) П И^(«), /і(і) Є С2([0,Т]);

/л"(*) > А^о > 0, .Р(і) >7о+7ь 7о > 0, 7і > 0, і Є [0, Т];

£ К(х)щ{х) сіх = ц(0), У І^(ж)г4і(ж)гіж =/і'(0); п о

ІУ4 < 71.

(9)

(10)

(П)

(12)

(13)

и

Тогда обратная задача (1) - (4) имеет решение {и(ж, £), <?(£)} такое, что и{х,€) Е V г, д^)еЬ2([0,Т]).

Доказательство. Воспользуемся комбинацией метода срезок, метода неподвижной точки и метода регуляризации.

Пусть N есть заданное положительное число. Определим функцию С\лг(£) (срезку):

( £, если |£| < N1

@N(0 = \ если ^ > АГ,

—Л/’, если £ < —М.

Далее, для заданной функции г>(ж,£) определим функции ф{Ь, и) и #(<,«):

</КМ) = I КхЛ х)ьх{(х)ьх^(х^)йх + ! К{х)ух#(х,1)щ<18-п г

— J [К(х)Ьг(х,^ — (К(х)Ь*3 (х,{))Х]]ьХ1(х, €)(1х — У К(х)Ъ{х, £)и(ж, £) йх+

п

+ J К(х)Ьч (х,1)ущ (х,£)у3<18

п

(и = (Vi,..., ип) — вектор внутренней нормали к Г),

F(t) — Gyi(%l>(t, v))

q(t, v) =

**"(*)

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

q(t, и)иы - Ащ — Ви = f(x, t) (1')

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). В данной краевой задаче уравнение (I7) представляет собой нелинейное «нагруженное» [5, 6] уравнение составного типа. Разрешимость поставленной задачи докажем с помощью метода регуляризации и метода неподвижной точки.

Пусть е есть положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

q{t, u)utt - eAua - Aut - Ви = f{x, t) (1')

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). Наконец, пусть v(x,t) есть задан-

О

ная функция из пространства V 2- Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

q(t, v)utt ~ eSutt - Aut — Ви = f(x, t) (1')г))

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Пусть выполняются условия (9) - (12) за исключением условия ft(x,t) € L2(Q)- Тогда,

О

как следует из [7], краевая задача (lg„), (2), (3) будет разрешима в пространстве V 2• Следовательно, при выполнении указанных выше условий данная краевая задача порождает

О

оператор Ф, переводящий пространство V 2 в себя: Ф(г;) = и. Докажем, что этот оператор

О

имеет в пространстве V 2 неподвижные точки.

Рассмотрим равенство

t

— J J [<f(r, v)uTT — sAuTT — AuT — Ви + ит]Аитт dx dr.

0 n

Интегрируя по частям и используя условия (2) и (3), нетрудно от данного равенства перейти к следующему

/ + e{AuTT)2]dxdT + i J |[A«t(a;,t)]2 + ^«2.t(a:,£)| dx =

0

= J j f AuTT dxdr-----------J J BuAuTT dx dr + ^ J J uXiTuXiTT dx dr+

0 ft on 1=1 0 n

+\ J (A«i)2 dx + ^^2 J u\x. dx. (14)

a *-1 si

Положительность функции ^(т, ь), неравенство Юнга, неравенство (7) и лемма Гронуолла позволяют вывести из этого равенства априорную оценку

1 п

//^ )2йхйт + ![Ащ{х,1)]2 йх+ '*^2 У и1гЛх1^) < Со

о п п 1=1 о

с постоянной Со, определяющейся лишь нормами функции /(#,£) в пространстве Ь2{0),

О

функцией щ(х) и щ(х) в пространстве (О) П \¥2(^)1 числами Т и е. Из этой оценки, из неравенств (5) и (6) вытекает оценка

\\и\\ о < Сг (15)

V 2

с постоянной С*1, определяющейся теми же величинами, что и постоянная Со-

С помощью оценки (15) нетрудно установить, что оператор Ф, определенный выше,

О

будет переводить некоторое замкнутое выпуклое ограниченное множество пространства V 2

О

в себя, и будет вполне непрерывным на пространстве V 2 ~ подробности рассуждений см.

О

[1-3]. Согласно теореме Шаудера, оператор Ф имеет в пространстве V 2> п0 крайней мере, одну неподвижную точку и(х, Ь). Эта неподвижная точка даст решение краевой задачи (1'),

О

(2), (3), принадлежащее пространству V 2-

Итак, краевая задача (1'), (2), (3) при фиксированном е имеет решение, принадлежа-

О

щее пространству V 2; обозначим это решение и£(х, £). Покажем, что при выполнении всех условий теоремы 1 из семейства функций {ив(х, £)} можно извлечь последовательность, сходящуюся к решению краевой задачи (1'), (2), (3).

В равенстве (14), соответствующем уравнению (1^), выполним интегрирование по частям в первом и во втором слагаемом правой части. Получим равенство (индекс <ке»у решения временно опустим)

^ ТЬ 7Х

//[я'^2и1гтт + ^и1т)\ах(^т + \ !+ ^и2ха{х,Щйх = о п г=1 а г=1

г ь

= ~JJ /т Д^т с£т + J/(х,Ь)Ащ(х,1)йх + ! J ВитАитйхйт+

о п п о п

t „ t

ть

+ J ! В1иАитёхёт — У Ви{х^)Ащ{х,£)<1х + ^ J У их1ти^ттёх<1т— о п п г=1 о п

— У /(х,0)Ащ(х)с1х + У ВиоАи\ йх + — У (Ащ)2ёх + У и1Хг йх.

о п п г=1 а

Неравенство Юнга и положительность функции <?(т, и) позволяют перейти от данного равенства к неравенству

То

Мо

п 1 1

У" У У и2.ттёхйт + е У У(Аитт)2ёхёт + ^ ![Ащ{х,1)^ йх+

п 1 ь

и1Ах^)йх ^ ^2 / / (Аит)2 ах<1т + ^2 J f 1?Лхёт+ 1=1 п о п 1 о о

*

+ у У[Л^0М)]2 + ^2 У'/2(ж^)сгж +у J J(Auт)2dxdт+

п 2 п о о

< * <

+^2 J J{Вит)2 йх йт + ^~ У J(Аит)2 ёх ёт +-^ ^ J{В\и)2 йхйт+ 3 о а о п 4 о п

+| I[Ащ(х, I)? (Iх + ^2 J[Ви(х, г)]2 <1х + у / / “*<тт сгт+ п 5 п 1=1 о п

1 - *

+^2 53 / /“*<*■<1х<1т + ±1 (А«1)2(1х + ^^1 и21х. (1х+

6 {=1 о П п 1=1 п

+ ! ВщАи\ йх — J/(ж, 0)Ды1 с£ж. а а

Используя далее неравенства (6) - (8), приходим к следующему неравенству

ь

П

7о

53 У пх»тг + е У У {Аитт)2ёх(1т + ^ У [Ди*(ж,£)]2 йж+

г—1

*—1 п о п п

1 ,п, Г

+ о 53 / их^{х^)ёх < 2г=г1

/ ,'51 + 51 + 81 Ь0 ьт2 ЬоТ'

- 1 2 + 262 + 52 + 62

о о

У У (Аит)2йхйт+

г

А+А у[ди(ж? ^]2 ^ + _1_ у у /2 ^ + _1_ у

г12.тте?жс£г+

п о п

п *

+ ^| 53 У У и2гГ^^+^ У(Д«1)2^Ж+

53 У и1х| + У ВщАщ йх — У /(ж, 0)Дг(1 6х.

п п

Положим = <$з = £4 = 1, 62 = 65 = <5б = \17о/^о 1- Учитывая введеные выше обозначения,

получаем неравенство

п * 4

УЗ £ ! и^тт<1х<1т + £ £ У (Аитт)2 <1х<1т + ^ ![5щ(х^У^ ёх+ г=1 о п о п а

^ Т1

+\53 / (ж> <)^ < л JI [(д«т)2 + 53 «11Т]+&•

г_1п о п

Используя лемму Гронуолла, приходим к первой равномерной по е априорной оценке решений краевой задачи (1^), (2), (3):

J [Ащ(х, £)]2 йж + 53 У *) ^<N-1. (17)

а 1=1 п

Из этой оценки очевидным образом выводятся следующие оценки

*

е £ J(Аитт)2 dx ёт < N2, (18)

[Аи(х,Ь)]2 йх < N3. (19)

/‘

п

Кроме того, в целом из оценки (16) следует оценка

N^<^0 (20)

с постоянной N0, определяющейся лишь коэффициентами оператора В, функциями /(ж, £), К(х), ц{Ь), щ(х), щ(х), областью Г2 и числом Т.

Оценки (18) и (20), теоремы о компактности вложений УУ2(С}) С Ь2(Я), (Ф) С 1/2(Г)

[8, 9], о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду [9] и о слабой компактности ограниченного в множества [10] дают существование функции и(х, £), а также последовательностей {ет} и {ит(х, £)} таких, что при т —>■ оо

£т 0,

ит{х,ь) -> и(ж,*), «шхДж,*) ->• иХ{(х,г), ит^х,г) ->• щ{х,г),

^тж<г(®, <0 —> их^(х,Ь) сильно в 2^2(С?) и почти всюду в ф,

^тхДж,^) ^ 14^ (ж, £), итх^{х,£) ^ СиЛЬНО в

Хг(Г х (0, Т)) и почти всюду на Г х (0, Т),

^ГПХгХ3

(х,£) —¥ иХ{Х](х^), итщХ^(х,£) —> иХ{Х-1,

«т«0М) -> ии(х,£) слабо в Ь2{С}), £тАити(х,*) -»■ 0 слабо в £2(<Э)-Из данных сходимостей следует, что предельная функция «(ж, £) принадлежит пространству

О

У1, является решением краевой задачи (1'), (2), (3), и что для нее сохраняются оценки (17), (19) и (20). Оценки (17) и (19) означают, в частности, что выполняется неравенство ;

\ф{Ь,и)\ < N4.

Из этого неравенства и из условия (13) вытекает, что для решения и(х,€) краевой задачи (1'), (2), (3) имеет место равенство

<371(^(*,«)) = 1р(г,и).

Положим,

_ F(t)--tp(t,u)

’ А*"(*) ‘

Очевидно, что функции u(x,t) и q(t) связаны в цилиндре Q уравнением (1). Умножим уравнение (1) с указанной выше функцией q(t) на функцию K(x)/j,"(t) и проинтегрируем по области С1. Полученное равенство и равенство (21) дают систему

q{t) J K(x)utt(x, t) +ф(Ь,и) = F(t), q(t)n"(t) + ip(t,u) = F(t).

n

Из этой системы и вследствие положительности функции q(t) и условий согласования (12) вытекает, что выполняется равенство

J К (x)u(x,t) dx = fj,(t).

Г2

Следовательно, для функции u(x,t), являющейся решением краевой задачи (1'), (2), (3), выполняется условие переопределения (4).

Итак, построенные функции u(x,t) и q(t) связаны в цилиндре Q уравнением (1), для функции u(x,t) выполняются условия (2) - (4), функция u(x,t) принадлежит простран-

О

ству V1, функция q(t) — пространству Дх,([О, Т]). Другими словами, построено требуемое решение рассматриваемой обратной задачи.

□

Пусть 7 есть заданное положительное число. Определим множество W\\

Wi = (v(z,t) : v(x,t) E V i, №(t,v)\<j Vt€[0,T]}.

Теорема 2. Пусть выполняются условие (9), а также условия

v"(t) > Но > 0 при t € [О, Т]; (22)

f(x,t) G L2(Q), ft(x,t) € L2(Q), F(t) > 7 > 7 при tE [0,T]; (23)

K(x) = 0 при x E Г. (24)

Тогда обратная задача (1) - (4) не может иметь в множестве Wi более одного решения.

Доказательство. Предположим, что в множестве Wi имеется два решения {щ (ж, £), q\ (£)} и {и2(х, t), q2{t)} обратной задачи (1) - (4). Условие (22) позволяет дать предствление функций qi(t) и q2(t) через функции ui(x,t) и u2(x,t):

_ лл F{t)-^{t,ui) F(t) — ij)(t,u2)

qi(t)=—ш—■ ®<t)=—m—-

Положим w(x,t) = щ(х, t) — u2(x,t). Имеют место равенство

qi(t)wtt ~ Aiut — Bw — [q2(t) - qi(t)]u2tt, (%, t) E Q;

™(x,t)\rx(o,T) = 0, го(ж,0) = гу4(ж,0) = 0, и E П.

Следствием этих равенств является равенство

J ! 91 (т)и%тйх<1т + ^'22 ! ^(х,г)<1х = J ! №

о п 1=1 п о п

!и'хгт’Шх] т Лх (1т+

г г <

41»' — 6^ )шХгютт йх (1т + £ j Ь1^wXiwXjT йх йт + У J Ьи>гитт д,х йт+ о а о о о гг

*

[ Г ф{т,щ) - ф{т,и2)

J J цН^т) и2тт^тт Лх (1т.

О п

Используя условия (22) - (24) и применяя неравенство Юнга, а также первое неравенство (5) и неравенство (6), нетрудно от данного равенства перейти к неравенству

J ! из2т с1х д,т + и>1.г(х,Ь)йх <

о о. г-1 п

< Мх У 1 + У и\тт <1у

(1х

постоянная М\ в котором определяется лишь функциями /(ж, £), к(х), ц(1), коэффициентами оператора В и областью Л. Из этого неравенства и из леммы Гронуолла вытекает, что функции У)х^(х, £), г = 1. п, ъои(х, £) являются тождественно нулевыми в цилиндре (5 функциями. Но тогда и функция ю(х, I) будет тождественно нулевой в (} функцией. Другими словами, функции и\{х,£) и щ{х,£) будут совпадать почти всюду в цилиндре С}. Из совпадения функций щ(х,1) и и2(х,Ь) вытекает совпадение функций д\(Ь) и <72 (^)- П

Определим множество Шч'-

УУ2 = {у(х,г): у(х,Ь)€У 1, А«й(ж,*) € Ь2(<3), №(*> и)1 < 7 V* € [О,Т]}.

Теорема 3. Пусть выполняются условия (9), (22) и (23). Тогда обратная задача (1) - (4) не может иметь в множестве более одного решения.

Для доказательства этой теоремы достаточно уравнение для функции т(х, Ь) умножить на А'Ши и проинтегрировать. Лемма Гронуолла вновь даст тождество ю(х,Ь) =0. Из этого тождества и следует требуемое.

Сделаем несколько замечаний.

Аналогичные результаты о разрешимости обратной задачи нахождения решения ы(ж,<) и коэффициента #(£) при второй производной по времени, о единственности решений можно получить при замене условия (2) на условие

ди(Х> *) I п ГП1\

дг/ 1гх(0,Т) = °- V )

Далее, изложенными выше методами можно исследовать разрешимость обратных задач нахождения решения и(х, Ь) и коэффициента при второй производной по времени с заданием на боковой границе цилиндра ф граничных условий первой или второй краевых задач в

более общей ситуации — при замене оператора Лапласа произвольным линейным эллиптическим оператором, в случае функции К, зависящей не только от переменных х\, ..., хп, но и от переменной t.

Разрешимость вспомогательной линейной краевой задачи (1^), (2), (3) нетрудно установить непосредственно — например, с помощью метода Галеркина с выбором специального базиса.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, код проекта N 06-01-00439, и Сибирского отделения РАН, интеграционный проект N48.

Литература

1. Кожанов, А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А.И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, №4.

- С. 722 - 744.

2. Кожанов, А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и связанной с ним обратной задаче / А.И. Кожанов // Мат. заметки. - 2004. - Т. 76, Вып. 6.

- С. 840 - 853.

3. Кожанов, А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени / А.И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45, №12. - С. 2168 - 2184.

4. Нахушев, А.М. Уравнение математической биологии / А.М. Нахушев. - М.: Высш. школа, 1995.

5. Дженалиев, М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений / М.Т. Дженалиев. - Алматы: Ин-т теор. и прикладной математики, 1995.

6. Якубов С.Я. Линейные дифференциально - операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. - Баку: Элм, 1985.

7. Соболев, С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1988.

8. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа /О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1967.

9. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. - М.: Наука, 1980.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,

г. Новосибирск

[email protected]

Поступила в редакцию 21 марта 2008 г.