CC BY
57
ЛИТЕРАТУРА
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
2. Хачатрян С.Р. Методы и модели решения экономических задач. М.: Экзамен, 2005.
Протасов Дмитрий Николаевич Тамбовский государственный технический ун-т Россия, Тамбов e-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.
ОТЫСКАНИЕ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В БЕЗГРАНИЧНОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ В РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ
© А. Н. Пчелинцев
Одной из основных задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение ситуации типического поведения. Данная задача имеет огромное практическое значение, так как анализ процессов замкнутых систем автоматического регулирования неизбежно приводит к этой задаче.
Заметим, что ситуацию в динамических и непрерывных периодических системах определяют квазипериодические движения. В работах [1-5] намечен путь их построения.
Несложный анализ этих работ показывает, что единственно возможный метод построения — это символьные вычисления в распределенной компьютерной среде.
В докладе рассматривается построение квазипериодических движений в системе, описывающей процесс распространения тепла в безграничном твердом теле с периодическим источником тепла внутри, используя распределенную вычислительную среду.
Математическая модель такого процесса подробно рассматривается в [6]. В этой работе показывается, что решения обезразмеренного одномерного нелинейного дифференциального уравнения теплопроводности, описывающего данный тепловой процесс, может быть найдены в классе аналитических функций, используя распределенную компьютерную среду. Другими словами, непрерывная периодическая система, пригодная для использования результатов [1-5], построена. В [6] также описан алгоритм проведения распределенных вычислений.
Основная этого алгоритма идея состоит в том, что значения смешанных производных, определяющих конкретное решение, хранятся в матрице Р (строки соответствуют дифференцированию по времени, столбцы — по координате). Вычисление этих производных
осуществляется в символьной форме: вычисление какой-либо смешанной производной для элемента Pk1,k2 в символьном виде определяется по уже вычисленной производной, соответствующей элементу Pk1,k2-1, или производной для Pk1-1,о- Таким образом, операции символьного дифференцирования выражений, полученных от дифференцирования исходного уравнения по времени, по координате можно выполнять независимо друг от друга-
Если в процессе отыскания решений уже получены из исходного дифференциального уравнения символьные выражения для смешанных производных, то дифференцируется только начальное условие по координате.
При расчете значений производных параллельность достигается за счет того, что символьное выражение для элемента Pk1:k2 матрицы P определяется не всеми вычисленными элементами предыдущих строк P, а только их частью.
Размеры матрицы P подбираются так, чтобы выполнялось неравенство относительно остаточного члена в форме Лагранжа.
Для построения квазипериодических движений необходимо перейти от функции двух переменных, являющейся решением дифференциального уравнения, к функции времени со значениями в компактном пространстве Q аналитических функций, определенных на некотором отрезке по координате, на котором производилась оценка остаточного члена в форме Лагранжа. Мы также полагаем, что начальное условие также принадлежит пространству Q.
Существование квазипериодических движений устанавливает теорема 1 [3]. Тогда, используя распределенную вычислительную среду, можно построить множество, состоящее из тех и только тех точек, для которых имеет место устойчивость по Пуассону в дискретной динамической системе вдоль движений непрерывной периодической системы (см. [5]). Эти точки и определяют квазипериодические решения, поскольку, согласно теореме 6 [5], точка устойчива по Пуассону тогда и только тогда, когда соответствующее движение является квазипериодическим.
ЛИТЕРАТУРА
1. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. К вопросам управления в периодических процессах // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. №4. С. 15-20.
2. Дзюба С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №8. С. 1020-1023.
3. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 10. С. 1367-1372.
4. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. О рекуррентных траекториях, минимальных множествах и квазипериодических движениях динамических систем // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, №11. С. 1544-1549.
5. Афанасьев А.П., Дзюба С.М., Пьянов А.П. Типическое поведение движений динамических и непрерывных периодических систем: новый взгляд на устойчивость по Пуассону // Труды ИСА РАН: Проблемы вычислений в распределенной компьютерной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. М.: КомКнига, 2006. Т. 25. С. 147-164.
6. Пчелинцев А.Н. Исследование математической модели процесса распространения тепла в безграничном теле с периодическим источником тепла внутри // Информационные процессы и управление [Электронный журнал]. Тамбов: ТГТУ, 2006. №1. www.tstu.ru/ipu/2006-1/022.pdf
Пчелинцев Александр Николаевич Тамбовский государственный технический ун-т Россия, Тамбов e-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 25 апреля 2007 г.
