О построении квазипериодических движений непрерывных периодических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.52

О ПОСТРОЕНИИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ А.Н. Пчелинцев

Кафедра «Распределенные вычислительные системы», ГОУ ВПО «ТГТУ» Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: дискретная динамическая система; квазипе-риодические движения; непрерывные периодические системы; периодический оператор сдвига; устойчивость по Пуассону.

Аннотация: Приведено описание общего метода построения квазиперио-дических движений непрерывных периодических систем. Показан пример построения таких движений в системе, описывающей процесс распространения тепла в неограниченной пластине.

Введение

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная запись которой имеет вид

^ = / (¿, х), (1)

ш

где х =(х1,к, хп) - векторная функция действительного переменного t, а

/ = (/\...,/п) - векторная функция, определенная и непрерывная вместе со

0/ / ________

своими частными производными -------, /, / = 1, п , на прямом произведении ЯхХ

дх}

действительной оси Я и некоторого открытого подмножества Х евклидова векторного пространства Яп . Кроме того, предположим, что/- Г-периодическая по t функция.

Вопрос существования у системы (1) периодических решений весьма важен как для теории дифференциальных уравнений, так и для приложений. Здесь одним из основных результатов является утверждение, принадлежащее Х.Л. Массе-ра [1, с. 53]: пусть порядок п системы (1) равен двум и пусть каждое решение ) этой системы определено для всех значений t > /0 , тогда если система (1) имеет решение, ограниченное при этих значениях t, то данная система имеет и Г-периодическое решение ф^).

Если система (1) линейна, то теорема Массера верна в многомерном случае [2, с. 221]. Заметим, что некоторый аналог теоремы Массера справедлив и для линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [3, с. 412].

В общем случае для многомерных нелинейных систем из существования у системы (1) ограниченного решения следует существование только лишь инвариантного интегрального множества, причем о свойствах решений системы (1) во многом судят по свойствам орбит соответствующей дискретной системы (см., например, [4, гл. 4]). Но последний результат может быть усилен. В работах [5, 6] показано, что из существования у системы (1) ограниченного решения следует существование квазипериодического решения, частным случаем которого является периодическое движение.

Одной из основных особенностей квазипериодических решений оказалось то, что такое решение определяет ситуацию поведения для многомерных нелинейных систем. Кроме того, весьма близкие результаты справедливы для некоторого значительно более широкого класса систем, характеризуемых периодическим оператором сдвига [7].

Целью настоящей работы является описание общего метода построения ква-зипериодических движений непрерывных периодических систем.

1. Периодический оператор сдвига и квазипериодические движения

Приведем основные определения, относящиеся к операторам сдвига, непрерывным системам и квазипериодическим движениям.

Определение 1. Пусть X - некоторое метрическое пространство с метрикой

С, Я - действительная ось (-¥ ¥), Я+ - действительная полуось [0; ¥, и х(о,t,Хо) - отображение множества ЯхЯ + хX в пространство X. Положим х(о, t, Хо) = 0(0, t) Хо и будем считать, что:

а) отображение х(о, t, хо) непрерывно по совокупности переменных о, t, хо

на множестве Я х Я + х X ;

б) для всех значений ое Я выполняется условие 0(о,о) = I, где I - оператор тождественного преобразования;

в) для всех значений (о, t, 5) е Я х Я+ х Я + имеет место равенство

0(0 + 5, t)0(0, 5) = 0(0, t + 5) .

Тогда будем говорить, что х(о,t,хо) - движение, если пара (о,хо)е ЯхX фиксирована [8].

Приведенное выше определение движения близко к определению процесса, используемому в книге [4], но не эквивалентно ему. При этом по аналогии с [1, с. 12] назовем оператор 0(0, () оператором сдвига.

В дальнейшем из всего множества операторов сдвига будем рассматривать только Г-периодический оператор, т.е. оператор 0(0, t), при всех значениях

(о, Г) е Я х Я+ удовлетворяющий условию

0(0 + Г, 0 = 0(0,0,

где Г - некоторое положительное число.

Систему, характеризуемую Г-периодическим оператором сдвига 0(0,t), будем называть непрерывной Г-периодической системой. Примером непрерывной Г-периодической системы может служить система (1).

Определение 2. Пусть ф(о, t, ф0) = G(o, t )ф0 - движение, при всех значениях

tє R + ф(о,t,фо)є Xо, где Xо сX - компактное пространство. Предположим, что для каждого числа e > 0 можно указать такое натуральное число Ne, что для

всех значений t є R + выполнено неравенство

d (ф(о, t, ф0), ф(о, t + NeT, фо))<е.

Тогда будем говорить, что ф(о, t, фо) - квазипериодическое движение. Примером квазипериодического движения может служить T-периодическое решение системы (1).

Существование квазипериодических движений устанавливает следующая теорема.

Теорема 1. Если Xо — компактное пространство, (о,Хо) є RXXо — некоторая фиксированная пара и Х(о,t,Хо) = G(o,t)Хо — движение, причем для всех значений t є R+ Х(о, t, Хо) є Xо , то существует квазипериодическое движение

ф(о, t, фо) = G(o, t)фо (2)

для всех tє R+ ф(о,t,фо) є Xо . Более полно, какова бы ни была последовательность

Ni,N2,к, lim Nk =¥ k

натуральных чисел, найдется такая ее подпоследовательность

NkV Nk2,K,lim Nk =¥ l

и такое квазипериодическое движение вида (2), причем для всех t є R+ ф(о, t, фо) є X о , что

lim Х(о, t + (Nk - 1)T, Хо) = ф(о, t, фо)

l

равномерно на каждом из отрезков [a; b] с R+ и

lim Х(о, t + (N. +1 - Nkl )T, Хо) = ф(о, t, фо)

l l + 1 1

равномерно на всей полуоси R + .

Доказательство этой теоремы приведено в работе [8].

2. Построение квазипериодических движений

Обратимся теперь к построению квазипериодических движений. Для этого, следуя [9], положим

UN = G(o, T)... G(o ,3), N = 1,2,3,к

N

и заметим, что для всех значений N справедливо равенство G(o - NT, NT)G(o,-NT) = G(о,0)

(см. свойство (в) оператора 0(0, ^ ). Отсюда следует, что посредством равенства

и~Ы = 0(0,-ЫГ), N = 1, 2, 3, . ,

оператор иЫ может быть распространен на отрицательные целые значения Ы, гомеоморфно отображая при этом пространство X о в себя.

Тогда в рассмотрение введена дискретная динамическая система иЫ вдоль движений непрерывной периодической системы, характеризуемой Г-периодическим оператором сдвига 0(0, Г). Эта система определена при всех значениях N = ±1, ± 2, ± 3,... и ое Я .

Для построения квазипериодических движений в непрерывной периодической системе введем понятие устойчивости по Пуассону в системе иЫ .

Определение 3. Точку фо е Xо назовем устойчивой по Пуассону, если для каждой окрестности Е этой точки и каждого натурального числа к можно указать такое натуральное число Ык > к , что иЫк фо е Е .

Теорема 2. Если Xо — компактное пространство, то для всех значений ое Я точка фо е Xо устойчива по Пуассону в системе иЫ тогда и только тогда, когда соответствующее движение ф(о, t, фо) является квазипериодиче-ским.

Доказательство теоремы 2 приводится в работе [9].

Поэтому построению квазипериодических движений непрерывной периодической системы в пространстве X о предпошлем построение устойчивых по Пу-

ттЫ

ассону точек в системе и .

Далее, следуя [Ю], рассмотрим некоторое множество Е с Xо и множество

Е = Е \(Е п (и_1Е и и~2Е и . и и~кЕ и...)), которое является частью множества Е, не содержащей точки множеств

и_1Е, и~2Е, ..., и~кЕ,....

Тогда

и~кЕ п Е = 0, к = 1,2,3, . .

Но так как Е с Е, то

и~кЕ п Е = 0, к = 1,2,3,. .

Поэтому

икЕ п Е = 0, к = 1,2,3, .

и

икЕ п Е = 0, к = 1,2,3, . .

Пространство X о сепарабельно, т.е. в X о существует счетное всюду плотное множество Ф . Пусть

Е1, Е2, ., Ек, . (3)

счетное множество окрестностей точек фк е Ф , таких, что фк е Ек и, следовательно, объединение множеств (3) покрывает пространство Xо .

Действуя как и ранее, для к-го множества семейства (3) построим множество Ек и положим

0 + = Е1 и Е2 и . и Ек и .

и

Н + = X о\ 0 + .

Тогда множество Н + будет содержать положительно устойчивые по Пуассону точки системы иЫ , а множество 0 + - нет. Докажем это.

Пусть ф° е Н + и Е, - любая окрестность, содержащая точку ф° . По определению множества Н + точка ф° не принадлежит множеству Е, и, потому, для некоторого значения к принадлежит множеству Е, п и~кЕ, . Тогда, применив отображение ик к включению

фо е Е, п и ~кЕ, ,

получим

икфо е Е, ,

откуда и следует, что точка фо положительно устойчива по Пуассону.

Пусть теперь фо е 0 + . Тогда найдется некоторая окрестность точки фо такая, что ф° е Еу. Т ак как для всех значений к = 1,2, 3,... по построению

икЕ] п¥/ =0,

то

ик фо п¥у =0,

т.е. точка фо покидает свою окрестность и не возвращается в нее. Последнее означает, что точка фо не может быть положительно устойчивой по Пуассону.

Таким образом, множества положительно устойчивых Н + и неустойчивых 0 + по Пуассону точек построены. Аналогичным образом строятся множества

отрицательно устойчивых Н- и неустойчивых 0- точек.

Пусть

Н = Н + п Н-,

этим завершая построение множества Н устойчивых по Пуассону точек в системе

иЫ.

3. Пример построения множества точек, устойчивых по Пуассону, в системе, описывающей процесс распространения тепла в неограниченной пластине

Рассмотрим систему, описывающую процесс распространения тепла в неограниченной пластине. Изменение температуры и происходит только в одном направлении х - по толщине пластины, в двух других направлениях у и z температура неизменна.

Распределение температуры в начальный момент времени t = 0 задано некоторой функцией Г(х):

и(0, х) = Г( х).

Во многих процессах теплообмена внутри тела действуют источники тепла (положительные или отрицательные). Таким источником является, например, химическая реакция. В этом случае количество выделенного или поглощенного реакцией тепла определяется скоростью реакции, которая, в свою очередь, зависит от температуры.

Будем рассматривать действие источника тепла внутри пластины с удельной мощностью

w(u) = -0u(t, х),

где 0 - положительная константа, являющаяся характеристикой источника.

Материал пластины имеет плотность р = const, удельную теплоемкость c = const и теплопроводность, температурная зависимость которой выражается формулой

l(u) = цв~2Ьи ,

где h и b - положительные константы, получаемые аппроксимацией табличных данных.

Математическая модель теплового процесса имеет вид

+ w(u) при условиях

u(0, х) = Г( х), u(t, хх) = 0i(t), u(t, х2) = 02(t),

где х^ и х2 - границы пластины, Qi(t) и 02 (t) - ^-периодические функции, аналитичные на множестве R, причем

Г( хО = Qi(0),

Г( х2) = 02(0).

Вычислительный процесс предполагает работу с безразмерными величинами. Поэтому перейдем к безразмерной форме данной модели. Для этого будем использовать методику [11, с. 23-28].

Эм 1

Эг рс

Л . . Э 2м dl ( Эм

ш Э?+du I ЭХ

1

hT

Пусть Ио = —¡= и Ь =------. Введем масштабы времени х^, длины и тем-

л/р V Рс

пературы их . Соответствующие симплексы имеют вид

Пусть х; = Т , /; = Ь и = м0 . Получаем

¿1 = g-2Х2 ¿t

■4 - 4 ¿x

Эх2 \Э%

l(0, %) = у(х)

|(t, a) = ?i(t); l(t, b) = q2 (t)

-0|(t, %),

a (Tt ) rô

Г(І%)

где ді(t) = ^іУ±1 ’, i = 1,2 , g(%) = * , 0 = , a = — и b = — .

0T

pc

XL

Z

X2

Z

«0 «0

Перейдем от дифференциального уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого заменим производные по координате их разностными аналогами [12]:

К

¿х

1+1-|

i-1

Х=Хі

2h

Э 2l

Э%2

1+1- 2| +Хі-1

Х=Хі

где h =

b - a

Хі =%і-1 + h, %0 = a и %n = b

Получаем систему из m = n -1 уравнений

^ = /1(t, X1, X2)-0X1,

^ = f (X1, X2, Із)-0X2, dt

dt

f2(|m-1, Xm,t) 0|m’

(4)

где

-2|

f (| -1, Хі, Хі+1) = (1+1 - 2| + 1 -1 - Хі(|+1 - Хі -1)2 ),

fl(t, |2) = f (ql(t), Ы

f2(|m-1, Xm,t) = f (|m-1, Xm, q2 (t ))*

X

u

2

2

h

n

Нам будет удобно систему (4) записывать в векторной форме

4 = АХ + Е (Г, X),

где

-0 0

0 -0

0

0

A =

0 0 ... -0

Будем рассматривать пространство Кт как метрическое пространство с метрикой

Заметим, что все собственные значения матрицы А имеют отрицательную вещественную часть, функция Е (/, X) периодична (с периодом равным единице), и

Тогда, следуя [1, с. 48-51], существует такая сфера £ достаточно большого радиуса, что все решения (5) попадут в £ и не покинут ее, т.е. система (5) диссипативна. Кроме того, как было замечено выше, имеет место и периодичность правой части (5). Следовательно, как показано в [1, с. 54], из диссипативности системы вытекает существование у нее периодических решений. Эти решения являются подмножеством множества квазипериодических решений (5), которые нам и нужно отыскать.

Обозначим через Xо любой компакт, содержащий сферу £.

Решения системы (5) могут быть найдены в классе аналитических функций

как показано в работе [13].

Для дальнейших рассуждений будем обозначать решение системы (5) как

где 0(0, /) - периодический оператор сдвига с периодом равным единице, Хо е Xо - начальное условие.

Оператор 0(0, /) определен, так как существует и единственно решение системы (5). Заметим, что для (6) о = о .

Таким образом, непрерывная периодическая система, пригодная для использования результатов, изложенных пунктах 1 и 2 данной статьи, построена.

Рассмотрим процедуру построения множества, которое состоит из точек, для которых имеет место устойчивость по Пуассону в дискретной динамической системе вдоль движений данной непрерывной периодической системы.

d (a, b) = |a-b|

(6)

X(s, t, X0) = G(s, t)|0,

Разобьем множество Xо -кубильяжем. Получим г множеств Е\ , для ко-

торых

г

Xо = и Е,.

1=1

Выберем произвольно точку ф, из Е,. Для этой точки проверяется устойчивость по Пуассону - ищется такое натуральное число Ы,, чтобы

|Х(о, Ы,, ф, )-ф,.| <£1. (7)

Если такое число не найдено (мы попали на границу разрядной сетки), то множество Е, исключается из рассмотрения.

Для тех точек ф£ и соответствующих множеств Ек , для которых имеет место неравенство (7) по Пуассону, повторяется процедура разбиения £2 -кубильяжем. Для полученных подмножеств и их точек повторяется процедура проверки устойчивости по Пуассону.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №07-07-00170).

Список литературы

1. Красносельский, М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. - М. : Наука, 1966. - 332 с.

2. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М. : Наука, 1967. - 399 с.

3. Массера, Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х. Массера, Х. Шеффер. - М. : Мир, 197о. - 456 с.

4. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. - М. : Мир, 1984. - 421 с.

5. Афанасьев, А.П. К вопросам управления в периодических процессах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. -1998. - № 4. - С. 15-2о.

6. Дзюба, С. М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений / С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. - 1999. - Т. 35, № 8. -С. Ю2о-Ю23.

7. Афанасьев, А. П. Квазипериодические процессы в задачах управления / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. -2оо 1. - № 2. - С. 22-28.

8. Афанасьев, А. П. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. - 2оо4. -Т. 4о, № 1о. - С. 1367-1372.

9. Афанасьев, А.П. Типическое поведение движений динамических и непрерывных периодических систем: новый взгляд на устойчивость по Пуассону /

A.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, А.П. Пьянов // Труды ИСА РАН. Проблемы вычислений в распределенной компьютерной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. - М. : КомКни-га, 2оо6. - Т. 25. - С. 147-164.

10. Немыцкий, В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений /

B.В. Немыцкий, В.В. Степанов. - М. ; Л. : ОГИЗ, 1947. - 448 с.

11. Кутателадзе, С.С. Анализ подобия в теплофизике / С.С. Кутателадзе. -Новосибирск : Наука, 1982. - 28о с.

12. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. - М. : Наука, 1977. - 656 с.

13. Емельянов, С.В. Проблемы вычислений в распределенной среде: организация вычислений в глобальных сетях / С. В. Емельянов, А. П. Афанасьев. -М. : РОХОС, 2004. - 176 с.

About Designing Quasi-Periodical Motions of Continuous Periodic Systems

A.N. Pchelintsev

Department of Distributed Computing Systems, TSTU

Key words and phrases: continuous periodic systems; discrete dynamic system; periodic shift operator; Poisson’s stability; quasi-periodic motion.

Abstract: The description of the general method of designing quasi-periodic motions of continuous periodic systems is given. The example of designing such motions in the system, describing the process of heat distribution in unlimited plate is shown.

Über die Konstruktion der quasiperiodischen Bewegungen der stetigen periodischen Systeme

Zusammenfassung: Es ist die Beschreibung der allgemeinen Methode der Konstruktion der quasiperiodischen Bewegungen der stetigen periodischen Systeme angeführt. Es ist das Beispiel der Konstruktion solcher Bewegungen im System, das den Prozess des Vertriebes der Wärme in der unbeschränkten Platte beschreibt, aufgezeigt.

Sur la construction des mouvements quasi-périodiques des systèmes périodiques

Résumé: Est donnée la description d’une méthode générale de la construction des mouvements quasi-périodiques des systèmes périodiques. Est montré l’exemple de tels mouvements dans le système décrivant le processus de la propagation de la chaleur dans une plaque illimitée.