CC BY
18
УДК 517.9
О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ НА НЕКОМПАКТНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Ю.С. Федоренко
В работе доказываются теоремы Лиувилля для квазилинейных эллиптических неравенств «типа p-Лапласа» и систем. Также найдены условия существования целых положительных решений.
Введение
Вопросы отсутствия нетривиальных положительных решений уравнений и неравенств в частных производных довольно давно стали вызывать интерес среди математиков в связи с их фундаментальной ролью в теории и приложениях. Большое количество работ в этой области посвящено так называемым теоремам Лиувилля для положительных решений эллиптических нелинейных уравнений, неравенств и систем [1] — [9]. При этом значительная часть исследований посвящена решению подобных задач в евклидовых пространствах Rn или в различных областях, вложенных в Rn. В последнее время широко распространились аналогичные задачи, рассматриваемые на римановых многообразиях. В данной работе изучается поведение положительных решений системы неравенств
—div(A(x, u, Vu)|Vu|p-2Vu) > vqF(x, v, Vv) p > 1,
—div(E(x, v, Vv)|Vv|k-2Vv) > usL(x,u, Vu) k> 1, (1)
u,v > 0
на произвольном полном некомпактном римановом многообразии M. Здесь
^ A(x,£,n),E(x,£,n),F(x, £, n), L(x, £, n) : M x R+ x Rn ^ R+ —
h-О
§ положительные функции.
g Аналогичные задачи в евклидовом пространстве Rn подробно рассматривались
S ранее Е. Митидиери и С.И. Похожаевым, например, в работе [8]. В частности, при § A = E = F = L = 1 ими было установлено, что в предположении n > p, n > k и
® k — 1 < q, p — 1 < s, если
u
2 ( qk + p(k — 1) n — p ps + k(p — 1) n — k
ma^< ------;-----—------ --------,-----;-----—------ — ----> > 0, (2)
© \qs — (p — 1)(k — 1) p — 1 qs — (p — 1)(k — 1) k — 1
OO
О
о
то задача (1) не имеет нетривиальных неотрицательных решений в Rn. Причем данный результат является точным. А именно, если
f qk + p(k — 1) n — p ps + k(p — 1) n — kl
imax s ---- ----TT~i--г —------,-----/----m-----г — i----r < 0,
\qs — (p — 1)(k — 1) p — 1 qs — (p — 1)(k — 1) k — 1J
то положительные решения существуют.
Пусть M — полное некомпактное риманово многообразие с краем (возможно пустым).
Соглашение. Если многообразие M имеет непустой край, то всюду, не оговаривая это специально, будем рассматривать только такие решения системы (1), которые удовлетворяют условию
du dv
-^~ldM > 0, — 1дм > 0, dv dv
где v — внешняя нормаль к краю dM.
Будем называть липшицеву функцию 0(x) финитной в области О С M, если ее носитель — компакт в О.
Определение 1. Пару локально липшицевых на M функций u(x), v(x) будем называть обобщенным решением системы неравенств (1), если для произвольной ограниченной области О С M с гладкой границей и любых положительных финитных в
О функций ф1 (x) и 02(x) выполнено
f ф1vqF(x,v, Vv) dx < / A(x, u, Vu)|Vu|p-2VuVф1 dx,
n (3)
/ ф2usL(x,u, Vu) dx </ E(x, v, Vv)|Vv|k-2VvVф2 dx.
n
Замечание. Если функции A, E, F, L дифференцируемы и (u(x),v(x)) G C2(M) — решение системы (1), то оно удовлетворяет системе (3).
Определение 2. Локально-липшицеву функцию h(x) : M ^ [0; +гс>) будем называть функцией исчерпания на M, если
a) Bh(t) = {x G M : h(x) < t} — предкомпакт для любого t G (0; +ro);
b) lim h(xk) = вдоль любой последовательности xk G M, не имеющей точек
накопления на M;
c) 0 < ess inf |Vh(x)| < ess sup |Vh(x)| < 1.
MM
Примером функции исчерпания на полном римановом многообразии может служить функция геодезического расстояния.
1. Лиувиллево свойство для неотрицательных решений
Фиксируем некоторую функцию исчерпания h(x). Обозначим через Vh(^R) множество Bh(^R)\Bh(R), где ^ > І — некоторая константа, а через |Vh(^R)| — объем этого множества. Для удобства введем обозначения
sq — (p — ^(k — І) (p — ^k + ps p(k — І) + kq
T = --------------------, V1 = ---------------, V2 = ----------------.
sq s q
Теорема 1. Пусть q > k — І, s > p — І и {u, v} — обобщенное неотрицательное решение системы (І) на M. Если для некоторой функции исчерпания h выполнено
(. p-1 / . s-p+1 / ч (q k+1)(p 1)
E\ a Лі „і
sup — sup LI sup F ) < +ro,
Vh(^R) F ) \Vh(^R) J \Vh(^R)
или
(. k-1 / . (s-p+1)(k-1) / ^ q-k+1
a\ q ( T\aq Л q ,
sup T I sup LI sup FI < +ro,
Vh(pR) L / \Vh(MR) J \Vh(pR) )
то u = v = О.
Доказательство данной теоремы основано на небольшой модификации метода, представленного в работах С.И. Похожаева и Е. Митидиери [4; 8].
Первый этап доказательства. В силу выполнения принципа минимума можем считать, что u > О, v > О на M. Пусть а < О — некоторая константа. Подставим в обе части первого неравенства (3) функцию вида ф1 = u“^, а в обе части второго
неравенства функцию вида ф2 = v“^, где О < ^ < І финитная в M функция, такая,
что supp ^ С О. Тогда справедливы неравенства
[ Fvqu>dx < а [ A|Vu|pu“-Vdx + [ A|Vu|p-1 |V^|u“ dx;
J < «у Е |У^|к у“-1^ж + у Е |У^|к-1|У^|^“ Жг.
п п п
Учитывая отрицательность коэффициента «, эти два неравенства можно переписать в виде
[ + |«| / А|Уи|ри“-1^ж < [ А|Уи|р-1|У^|и“ (4)
Lusv>dx + |а| / E|Vv|kv“-Vdx < E|Vv|k-1 |V^|v“dx. (б)
Используя неравенство Юнга ХУ < X^ + ^х-Г) УЛ, А > 1,е > 0,
интегралы в правой части можно оценить следующим образом:
Г
/1 С р — Г 1 (а — 1)(р — 1) р — Г Ар а+р —1
А|Уи|р- |Ут|и“ ^ж = А р |Уи|р- и р т р ■ р—1 |Ут|и р ^ж <
J т р
П П ^
< £р(р - 1) [ А|Уи|ри“"1т^ж +—[ Аи“+Р-1 ^ж.
_ р У рер(р-1) у тр-1
П П
[ Е|Уу|к-1|УтК ^ж < ^(к - ^ / Е|Уу|куа-1 т^ж+7 * [ Еу“+к-1 ^ж.
7 к У кбк(к-1) У т
П П П
Выбирая е > 0 и е > 0 таким образом, чтобы = |а| — £Р(р-1) > 0
и = |а| — е (к-1) > 0, получим, что неравенства (4), (5) приводятся к виду:
I ^и“т^ж + 0еу А|Уи|ри“-1т^ж < У Аи“+Р-1 Лтр-С ^ж; (6)
П П П
У £и5у“т^ж + 0^ Е|Уу|ку“-1т^ж < / Е^“+к-1 ^5-£ ^ж. (7)
П П П
В силу неотрицательности каждого из слагаемых в левых частях неравенств, они выполнены для каждого из интегралов в левой части в отдельности, чем мы и будем в дальнейшем пользоваться.
Второй этап доказательства. Подставим в оба неравенства системы (3) вместо функций ф1 и ф2 финитную в В^(^Д) функцию т. Тогда получим
У ^т^ж < у А|Уи|р-2УиУт^ж < у А|Уи|р-1|Ут! ^ж.
в^(мд) в^(мд) в^(мд)
Применим к последнему интегралу неравенство Гельдера. Тогда
J А|Уи|р и“-1т^ж \£ь(^Я) )
Аи(1-а)(р-1)^ж тр-1
\£ь(^Я) /
Используя неравенство (6), получаем, что
т^ж <
Б^(мя)
< С1(а,е,р)
Аи«+Р-1^ж
р — 1 \~ (
\£^(мя)
т
)Р-1
/
\£ь (^я)
Аи(1-а)(р-1) ^т[ ^ж тр-1
\ р
, (8)
/
р —1 р
где с1(а,е,р) = (рер(р-1)0£)
Применим к первому интегралу в правой части неравенство Гельдера с коэффициентами 1 + -1 = 1, а > 1
Аи“+Р-1 ^ж
в^(мя)
т
,р-1
„-1 А|Ут|>
<
Б^(мя) \1/а (
Ьти(“+р-1)а ^ж
\в^(мя)
/
\в^(мя)
А1' |УтГ' ьа'-1тра'-1
х а т^-1+
\ 1/1
/
а ко второму — с коэффициентами 1 + у1' = 1, у > 1
Аи(1-а)(р-1) |^т| ^ж <
в^(^я)
т
)Р-1
^ти(1-“)(р-1)у ^ж
\1/^ \1/у
г Ау' |УтГ'
\Вл(мЯ)
/
\Вл(мЯ)
£у'-1тго'-1
/
Выберем теперь а = а+р-1 и у = (1-а)!(р-1). Заметим, что условие для констант
а > 1, у > 1 выполнено, если — 5--+1 < а < 0. Тогда неравенство (8) перепишем в следующем виде:
^ж < с1(а,е,р)
в^(мя)
\
^ти5 ^ж
\в^(мя)
р—1 I _1_
ра + ру
/
х
\в^(мя)
А1' |УтГ' ьа'-1тра'-1
\ р—1 / \ ра' /
/
\в^(мя)
Ау' |УтГ' £у'-1тго'-1
X
\ га7
(9)
/
Проводя аналогичные рассуждения для второго неравенства системы, получим
к —1 + _1_
/ \ кЬ + кг
Хти5 ^ж < с2 (а, е, к)
Б^(мя)
X
\в^я)
/
X
е 6' |УтГ'
к — 1 \ кЬ' /
р ь'-1т^ь'-1
\в^я) )
е 2' |Ут|к2'
1
\ кг'
п ' 1 7 ' 1 ^ж
р 2 - 1т -1 \в*(мя) /
(10)
где коэффициенты Ь и г такие, что
1 + 67 = 1, Ь = +к 1 > 1
6 6' 5 а+к-1
1 + ^ = 1, г = (1—Я, 1) > 1.
2 2' 5 (1-а)(к-1)
Заметим, что условия на параметры Ь > 1 и г > 1 выполняются, если использовать
константу а такую, что
# я — р +1 ? — к +Г1
— шт <------------------------, — -> < а < 0.
р — 1 к — 1
(11)
Обозначим
Р — 1 1
п =------1--
к — 1 1 т = ——--------+
ра ру кЬ кг
Разрешая систему неравенств (9) и (10) относительно интегралов в левой части, получаем
/
\
1-пт
Рту9 ^ж
X
\в^(мя)
е 2' |Ут|к2'
р 2' -1 тк2'-1
/
< С1СП
/
п
\ к*' /
\
\£^(Мя)
1-тп
Хти5 ^ж
\в^(мя)
\£^(мя)
А1' |УтГ' ьа'-1тр1'-1 (
е 6' |УтГ' р 6'-1 тк6'-1
. п(к—1)
\ Ь'к
х
р —1 \~раг (
\£^(Мя)
Ау' |УтГ' ху'-1тру'-1
1
\ ру'
< СГС2
/
\£^(Мя)
А1' |УтГ' х1'-1тР“'-1
\
^(р—1)
X
Ау' |УтГ' ху'-1тру'-1
/
\в^(мя)
е 6' |Ут|к6'
р б'-1тк6'-1
к—1 \~кьг I
/
X
Е2' |Ут|к2'
\
п ' 1 7 ' 1 ^ж
р 2 -1т -1 \в*(мя) /
Непосредственным вычислением находим, что т = к--1, п = 1. Далее используем
финитную функцию т(ж) следующего вида:
1, если ж € £^(Д);
т(ж) = < (^(яЕг^)Л , если ж € ВЛ(^Я)\ВЛ(Я); 0, если ж € М\В^(^Я),
1
к
ру
где показатель степени А = [шах{ра', ру', Ь/к, г'к}] + 1. Получим (
дз —(р —1)(к —1)
\ дз
\£ь(я)
/
^ сдао^г1 / _ А(ж, и, Уи) , ^
< I вир . I X
л'1 \УК (Мя) Ь(ж,и, У и)
X вир
Е(ж, у, Уу)
51
01
С1
7 т / Т"7 \ I I ^
У,(Мя) Р(ж, у, Уу) / \ у^я)
вир Х(ж, и, Уи)
вир Р (ж, у, У у)
(12)
/
J хи ^ж
\£ь(я) /
ч дз —(р —1)(к —1)
\ дз
\ / \ ^2 ^ С2|^Л)Г2 / А(ж, и, Уи)
< ------ ------- I вир —----------| X
Л^2 \у^(мя) Ь(ж,и, У и)
X вир
Е(ж, у, Уу)
52
02
С2
т т / Т"7 \ I *
У^(мЯ) Р(ж, у, Уу) / \ УЛ(Мя)
вир Ь(ж, и, Уи)
вир Р (ж, у, У у) „У, (мя)
V = п(к — 1) + п + р
к(р — 1) + рз
я
'к — 1 1 \ р — 1 1 Т1 = п | + — ) + р + —'
кЬ' кг '/ ра' ру'
0-1 = 1, ^1
дз — (р — 1)(к — 1) дз
р — 1
т.
6 =
(д — к + 1)(р — 1)
дз
^2 = т(р — 1) + т + к =
р(к — 1) + дк
д ,
02 =
д — 1
$2 = 1
т /р — 1 1 \ 1 / к — 1 1
Т2 = - ( ^Ц- + - I + Т ( —т:- +
р \ а' у'
2=
(з — р + 1)(к — 1) дз
к Ь'
С2 =
д — к +1
д '
(13)
Третий этап доказательства. Учитывая выбор функции т(ж), выполняются следующие неравенства:
j ^ж < у Ртук ^ж < у А|Уи|р-1|Ут| ^ж <
вЛ(я) в^я) У^я)
/
<
\ р—1 (
А|Уи|риа 1т^ж
\Уь(мя)
/
Аи(1-а)(р-1) |Ут| ^ж
\ р
\Уь(мя)
т
1Р-1
0
1
г
Продолжая логику доказательства, аналогично второму этапу, получим
Р-1
s
г Fvkdx < Ci|Vi-(/‘Д)Г sup A!x,u-Vu) sup E!x,v'Vv) i x
J L(x, u, Vu) \vh(^R) F(x,v, Vv)
Bh(R) 4
\ eW \ zi
x ( sup L(x, u, Vu) sup F(x,v, Vv)
kVh(^R) / Vvh(^R)
( \
Fvk dx \Vh(^R) /
(14)
Если
s
|Vh(^R)|r A E.
limsup----------- sup — sup — I sup LI sup F ) < +го,
r^ RV1 Vh(^R) L \yh (mR) F / \Vh(M-R) / \Vh(MR)
то из условия (12) следует, что
J Fvk dx ^ 0, при R ^ го.
Vh(^R)
А тогда из (14) следует, что
JFvk dx = °-
M
Если же
v |Vh(^R)|T E / A^V/ ^ F^Z2 ,
limsup----------- sup — sup — I sup LI sup FI < +го,
R^^ RV2 Vh(MR) F \yh(MR) L/ \vh(MR) / Vyh(MR) /
то в силу симметричной ситуации относительно функции u(x) получим, что
Lus dx = 0.
M
Доказательство завершено.
Пусть A(x, £, n), L(x, £, n), F(x, £, n) и E(x, £, n) таковы, что при любом фиксированном x определены функции
^ л A(x,C,n) с, N E (x,C,n)
A(x) = su^————, E(x) = su^————,
L(x,C,n) F (x,C,n)
F(x) = sup F(x,£, n) и L(x) = sup L(x,£, n), где точная верхняя грань берется по всем £ G R и n G Rn.
mn
Следствие 1. Пусть д > к — 1 и з > р — 1. Если многообразие М таково, что для некоторого ^ > 1 и некоторой функции исчерпания К выполнено
P-1
01 / \ Zl
limsup | —— sup A(x) I sup E(x) 1 I sup L(x) 1 I sup F(x) ) < +ro,
R^+~ —V1 Vh(MR) \Vh (mR) / \Vh (mR) ) \Vh(MR)
или
q-l
k
02 / \ Z2
limsup I —— SUp E(x) I sup A(x) 1 I sup L(x) 1 I sup F(x) ) < +ro,
— V2 Vh(MR) \Vh(MR) / \yh(^R) / \yh(^R)
mo любое неотрицательное обобщенное решение системы (1) на M является тождественным нулю.
Замечание. Наравне с системой (1) можно рассматривать систему вида
—div(A(x, u, v, Vu, Vv)|Vu|p-2Vu) > vqF(x, u, v, Vu, Vv) p > 1,
—div(E(x, u, v, Vu, Vv)|Vv|k-2Vv) > usL(x, u, v, Vu, Vv) k > 1,
u, v > 0.
При этом все результаты настоящего параграфа останутся верны.
Пример 1. Положим функции A, E, F, L в системе (1) тождественно равными единице, а в качестве многообразия M рассмотрим евклидово пространство R”. Тогда объем множества |Vh(^—)| пропорционален функции —”. Если пт < V! или пт < v2, тогда один из пределов в теореме 1 будет конечным. Следовательно, согласно теореме система не имеет нетривиальных решений. Последние два неравенства можно записать в виде одного следующим образом:
Г q(ps + k(p — 1)) s(kq + p(k — 1))
П < maX { qs — (p — 1)(k — 1) ’ qs — (p — 1)(k — 1)
Заметим, что это условие получается из условия (2), указанного в работе [8], после элементарных преобразований.
2. Нетривиальные решения
Рассмотрим задачу о существовании нетривиального положительного решения для системы
( —div(|Vu|p-2Vu) > V9, р > 1;
< — div(|Vv|fc-2Vv) > и5, к > 1; (15)
[ и, V > 0 на М,
где М — некомпактное риманово многообразие без края.
Условия существования нетривиальных решений таких систем в пространстве М” представлены, например, в работах [4; 8]. Покажем, что на некоторых многообразиях специального типа для системы (15) эта задача тоже разрешима. Способ
доказательства аналогичен тому, что представлен в работе [3].
Итак, пусть М — квазимодельное риманово многообразие, изометричное прямому произведению [0; +гс>) х 51 х ... х 5к, где {5*} — компакты без края, с метрикой
к
= ^г2 + ^ д2(г)^02.
*=і
Здесь д*(г) — положительные, гладкие на М+ функции, а ^02 — метрика на компакте £*. Введем обозначения:
dim S* = и*, S(г) = П #Г(r), V(r) = / S(t) dt.
*=1 0
Введем на M функцию с параметром
r
Ч^у
1
j(r,t)= / ШтГ) ’-1 d«.
Заметим, что
d 2J (r,t) = 1 ^ 1 S'(r> J (r,t)
дг2 і - 1 \,(,)*-2 5(г)
Покажем, что при некоторых условиях пара функций
£
и(г) = ---------------I, , (16)
хх (р-і)(з+к-і) ’ 4 >
(1 + 3(г, к)) т
£
и(г) = (1 + ,, )) а-маВТ ■ (17)
(1 + 3 (г,р)) т
где Т = — (р — 1)(к — 1), является решением системы (15) при некотором £ > 0.
Теорема 2. Пусть дз > (р — 1)(к — 1). Для того чтобы функции у(г) и и(г), определенные в (16) и (17), являлись решениями системы (15), достаточно, чтобы
метрика многообразия удовлетворяла системе неравенств:
р Г _1_
р-1 Г /V(/)\ р-1
щ\p-1 < cj шу dt,
S(r^ - 4 VS(t);
0
. k r ч 1
V(r)\1-1 '[ (Щ\1-1
щ; < c4 UwJ dt
при некоторых константах
„ qs - (Р - 1)(k - 1) п „ „ qs - (Р - 1)(k - 1)
0 < Cl < —--------—--------;---—, 0 < C2 < —Г,-------------777-----------77.
q(p — 1)(s + k — 1) s(k — 1)(q + p — 1)
r
Доказательство. Известно, что на квазимодельном многообразии М оператор р-Лапласа имеет вид:
Др
д
дг
Р-2 \ _ п А V 1 А
Р дг2 + £(г) дг + ■^=1 д2(г) 01
где А^ — лапласиан на компакте £*.
Для сокращения записи обозначим а = 5 + к — 1, в = 9 + Р — 1. Вычисляя соответствующие производные в первом неравенстве системы (15), получим:
" £р-2 ^ )Р-2 7 (г,р))р-2
X
(1 + 7(г, к))^ (1 + 7(г.р))^+‘)'Р-2>
'г(р — 1) + 1) 7Лг,Р) £(р — 1) (г,р)
(1 + 7(г, р))( +2 (1 + 7(г, р))( +1
е^ £'(7(г, р) , <0.
(1 + 7 (г,р))^+1 ^(г)
Упростим неравенство и заменим 7ГГ (г, р) соответствующим выражением
е« + еР-1 1 (7Г(г, р))Р-2 ^ (р — 1) (1к-1в + ^ 72(г, р)
(1 + 7 (г,к))^ (1 + 7 (г,р))(^^+1)(р-1> ^ 1 + 7 (г,р)
— ((7Г(г,р))-(Р-2>— 1(17;(г,р)^ — 7(г,р)^ <о.
Приводя подобные слагаемые, получим:
(1 + 7(г, к))<
ер-1 ^ (к-)?)Р-1 / (р — 1) ^+ 1) 7р(г, ру
< (1 + 7(г, р))(+1)(р-1> ^ 1 + 7(г,р) ^ ^ ^
Проводя аналогичные вычисления для второго неравенства системы, получим
е5
<
(1 + 7 (г,р))^
е^-^1^)"-1 / (к — 1)(1р-1а + 1) 7"(г, к)'
< (1 + 7(г, к))(+1)(к-1> ^ 1 + 7(г,к) ^ ^ ^
68 Ю.С. Федоренко. О положительных решениях системы
Подставляя а и в в неравенства (18) и (19), получим, что степень знаменателя в обеих частях неравенства совпадает:
е
9-Р+1
<
(к-1>(д+р-1>
Т
Р-1
д(р-1>(5+"-1>
(Л I К 1 лл "(р-1)(а+к-1) < т, чч д(р-1)(з+к-1)
(1 + 7(г, к)) т (1 + 7(г, р)) т
1
7^ (г, р)
1 + 7(г, р)
е
5-к+1
<
(р-1>(5 + "-1> т
к-1
/1 I т/ ''»(к-1)(;+Р-1) — , ,, , ^ з(к-1)(д+Р-1)
(1 + 7(г, р)) т (1 + 7(г, к)) т
1
5(к-1>(,+р-1>7гк(г, к)'
1 + 7(г, к)
(20)
. (21)
Обозначим
Тогда
п =
д(р — 1)(в + к — 1)
ш =
в(к — 1)(д + р — 1)
т
т
е?-Р+1
<
(?)
Р-1
(1 + 7(г, к))п (1 + 7(г,р))т
1
п7Гр(г, р)
1 + 7(г, р)
е
5-к+1
<
к-1
1
т7к (г, к)
(1 + 7(г,р))т (1 + 7(г, к))т V 1 + 7(г, к) у
Заменяя в правой части неравенств знаменатели на соответствующие выражения из другого неравенства системы, получим
е?-Р+1
(1 + 7(г, к))
<
<
(а-Ь + 1)п , ч (к-1)п
е т /Ш\ р-1 / п (1 + 7(г, к))п V в /
1
шТ" (г, к) 1 + 7(г, к)
1
п7р(г, р)
1 + 7 (г, р)
е
5-к+1
(1 + 7 (г, р))г
<
- (д р+1)т (р —1)т / \ к-1 / тк / 7 \
^ е п /ш\ —п— /п\ / ш7;(г, к)
(1 + 7(г,р))т V в
1 + 7(г, к)
1
п7Гр(г, р)
1 + 7(г, р)
Но из условия теоремы следует, что
п7^(г, р) п7р(г, р)
<
1 + 7(г, р) 7(г, р)
ш7Г (г, к) ш7Г (г, к)
<
< пс1 < 1
< шс2 < 1.
1 + 7(г, к) 7(г, к)
Тогда мы всегда сможем подобрать такое е > 0, чтобы оба неравенства были верны. Следовательно, и(г) и и(г) действительно являются решением системы. Теорема доказана.
т
п
и
Замечание. Необходимо отметить, что показатель степени ш(д — р +1) + п(в — к +1) при е в последних неравенствах будет положительным. Действительно, рассмотрим его как функцию
д(р — 1)(з2 — (к — 1)2) + з(к — 1)(д2 — (р — 1)2) дз — (р — 1)(к — 1)
Разрешая уравнение /(р, к, 9, в) = 0 относительно любой переменной, получим две различные поверхности нуль-уровня функции /:
дз = (р — 1)(к — 1)
д(к — 1) = —з(р — 1).
Полученные поверхности не пересекаются, так как очевидно, что система из этих уравнений не имеет решения в наших условиях. Так как область изменения коэффициентов степени в последней теореме задана неравенством дз > (р — 1)(к — 1), то значения, принимаемые степенью, лежат по одну сторону поверхности нуль-уровня, то есть однозначны.
Покажем, что оценка на константы с1 и с2 является точной. Пусть к < р. Тогда рассмотрим модельное многообразие М1 такое, что скорость роста объема V(г) = гт, где а = рд(з + к — 1), и т = дз — (р — 1)(к — 1). Непосредственным вычислением проверяем, что при любом г > 0
V (г)
Р-1
Таким образом, условия теоремы 2 нарушаются, но при этом получаем, что многообразие М1 удовлетворяет условию теоремы 1. А именно,
т
IV (цг)| --
(Цг)
--
Заметим, что
, , _а _а 7/
Ііт -------- < Ііт -----= ц-- г-- 1.
г——г^1 г——г^1
а р(з + к — 1) рз + к(р — 1) к — р
— — VI =---------------------------------—----------------------------=---------------< 0.
зд з з з
Если к > р, то полагаем, что V(г) = г т, где в = кв(д + р — 1). Аналогично предыдущему случаю видим, что при любом г > 0
V (г)
к
к-1
Т
1
/V («А1-1
в(к — 1)(д + р - О,/ \5'(«)7
а предел
так как
V |V (Цг)| -- ^ V (Цг) -- -в- -в.
Ііт --------------- < Ііт --------------= ц-- г-- 2 = 0,
в р — к / п
------=--------------< 0.
и
г
р
а
Г
3. Неравенство типа р-Лапласа
В данном параграфе приводится теорема, обобщающая результаты, полученные в работе [3]. А именно, рассматривается неравенство вида
—&у(А(ж, и, Уи)|Уи|Р-2Уи) > Е(ж, и, Уи)и9, р> 1, (22)
где и(ж) > 0 на М — полном некомпактном римановом многообразии с краем (возможно пустым), а А(ж, £, п), Е(ж, £, п) : МхМхМ” ^ М+ - положительные функции.
В частности, если в работе [3] иногда предполагается ограниченность скалярной функции А(ж,£, п) под оператором дивергенции по переменным £, п, то в случае неравенства (22) множитель А(ж, £, п)1п1Р-2 не является ограниченным, при этом результаты оказываются «подобны». При р = 2 они совпадают. Также в работе [3] рассматривается правая часть неравенства с условием 9 > 1. В нашем случае показатель 9 > р — 1 может оказаться меньше 1 при 1 < р < 2.
Введем понятие обобщенного решения неравенства (22) подобно тому, как мы сделали это в (3). Для этого нам достаточно отождествить между собой решения системы у(ж) = и(ж).
Теорема 3. Пусть 9 > р — 1 и и — неотрицательное обобщенное решение неравенства (22) на М такое, что для некоторой функции исчерпания К выполнено
|Vh(^R)| / A(x, u(x), Vu(x)) \ q p+1 limsup— pq sup —--------------- sup F (x, u(x), Vu(x)) < +ro.
Я^+те Rq-p+1 F (x, u(x), V'U(x))y Vh(^R)
Тогда u = 0.
Доказательство данной теоремы в целом полностью повторяет доказательство теоремы 1. Для этого необходимо отождествить между собой соответствующие элементы в неравенствах в системе (1).
Заметим здесь, что если в качестве многообразия рассматривать евклидово пространство Rn, а функции A и F считать тождественно равными единице, то теорема 3 гарантирует отсутствие нетривиальных неотрицательных решений, если
pq
n <
q - p + 1
или, если преобразовать неравенство, при
n(p — 1)
p — 1 < q <
n — p
что в точности соответствует результатам, доказанным в работе [8].
Пусть А(х, £, п) и Е(х, £, п) таковы, что при любом фиксированном х определены функции
-
Л/ А /" А(х,С,ПЛ --р+1 ^ N Т-Ґ Ґ \
А(х) = I эир Е(х ^ п^ , ^(х) = йир ЕОг^п^
где точная верхняя грань берется по всем £ Є М и п Є М”.
У
Следствие 2. Пусть q > p — 1. Если многообразие M таково, что для некоторого ^ > 1 и некоторой функции исчерпания h выполнено
|Vh(^R)| Л
limsup— pq sup A(x) sup F(x) < +ro,
Я^+те R q-p+l Vh(^R) yh(^R)
то любое неотрицательное обобщенное решение неравенства (22) на М является тождественным нулю.
Подобно системе, для неравенства (22) также разрешима задача о существовании положительного решения. Рассмотрим неравенство вида
—ё1у(|Уи|р-2Уи) > и9 (23)
на квазимодельном римановом многообразии М.
Теорема 4. Пусть д > р — 1. Предположим, что многообразие М таково, что для некоторой константы 0 < с < выполнено соотношение
р г 1
V(г)\ ^ < Г / К(^\ ^
sm; £ c J l.swj dt
0
р —1
Тогда найдется 0 < £ < 9 р+1 такое, что функция
и(г) =---------£ ^1,
(1 + 3 (г, р)) 9—Р + 1
является нетривиальным положительным решением неравенства (23).
Доказательство настоящей теоремы проводится по схеме доказательства теоремы 2. При этом оценка на константу с здесь также является точной. Рассмотрим
др
модельное многообразие М1 такое, что скорость роста объема V(г) = гд—р+1. Непосредственным вычислением проверяем, что при любом г > 0
р г 1
V(г)\ р—1 q — р + 1 Г /V(£)\ р—1
£ МУ q(p — 10 У V5 (^У
0
Таким образом условия теоремы 4 нарушаются, но при этом получаем, что многообразие М1 удовлетворяет условию теоремы 3. А именно,
др
.. IV (дг)1 .. (иг)д—р+1
11т -------^— < 11т -------^- < +го.
Г —> + ^ г д—р + 1 г ——г д—р + 1
Summary
ON POSITIVE SOLUTIONS OF THE SYSTEM OF QUASILINEAR ELLIPTIC INEQUALITIES ON NON-COMPACT RIEMANNIAN MANIFOLDS
Y.S. Fedorenko
In this paper some new nonexistence theorems are proved for system of quasilin-ear elliptic inequalities on noncompact Riemannian manifolds. There are also present conditions of existence entire positive solutions for some systems of quasilinear elliptic inequalities on special type Riemannian manifolds.
Список литературы
1. Лаптев Г.Г. Отсутствие глобальных положительных решений систем полулинейных эллиптических неравенств в конусах // Изв. РАН. Сер. математическая. 2000. Т. 64. № 6. С. 107.
2. Лосев А.Г. О некоторых Лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. № 1. С. 84-90.
3. Лосев А.Г., Федоренко Ю.С. О положительных решениях квазилинейных эллиптических неравенств на некомпактных римановых многообразиях // Мат. заметки. 2007. Т. 81. № 6. С. 867-878.
4. Митидиери E., Похожаев С.И. Отсутствие глобальных положительных решений квазилинейных эллиптических неравенств // ДАН. 1998. Т. 359. № 4. С. 456-460
5. Похожаев С.И. Об эллиптических задачах в Rn с суперкритическим показателем нелинейности // Мат. сб. 1991. Т. 182. № 4. С. 467-489.
6. Похожаев С.И. О целых радиальных решениях некоторых квазилинейных эллиптических уравнений // Мат. сб. 1992. Т. 183. № 11. С. 3.
7. Gidas B., Spruck J. Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1981. № 34. P. 525-598.
8. Mitidieri E., Pohozaev S.I. Nonexistence positive solutions for quasilinear elliptic problems on Rn // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. V. 227. 1999. P. 1-32.
9. Serrin J., Zou H. Cauchy-Liouville and universal boundedness theorems for quasilinear elliptic equations and inequalities // Acta. Math. 2002. № 189. P. 79-142.
