CC BY
7УДК 519.142
ОЦЕНКА МОЩНОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МАССИВОВ БОЛЬШОЙ СИЛЫ
является простым.
Ключевые слова: ортогональный массив, булева функция, корреляционная иммунность, оценка мощности.
D. G. Fon-Der-Flaass showed that Boolean correlation-immune n-variable functions of order m are resilient for m > in this paper this theorem is generalized to orthogonal
arrays. It is shown that orthogonal arrays of strength то not less than 2n3~2, where n is a number of factors having size at least 2n-1 and all arrays of size 2n-1 are simple.
Key words: orthogonal array, boolean function, correlation-immune, lower bound.
Ортогональным массивом с N строками, n факторами над алфавитом из s символов силы m называется таблица N х n с элементами из алфавита, в которой при выборе любых m столбцов любая из sm комбинаций символов в этих столбцах встречается среди строк одинаковое число раз. Для ортогональных массивов принято краткое обозначение OA(N,n, s,m). При этом пустые массивы не рассматриваются. Если все строки массива различны, то он называется простым. Ортогональным массивам целиком посвящена монография [1].
С ортогональными массивами тесно связаны корреляционно-иммунные функции. Корреляционно-иммунные булевы функции порядка m определяются как булевы функции, у которых доля единичных значений не меняется при подстановке констант вместо любых m переменных. По корреляционно-иммунной фунции порядка m можно построить ортогональный массив силы m, взяв все наборы аргументов, на которых функция принимает единичные значения. Аналогично можно, наоборот, сопоставить корреляционно-иммунную функцию каждому простому ортогональному массиву. Однако в теории булевых функций, в отличие от теории ортогональных массивов, имеет большее значение свойство уравновешенности. Булева функция называется уравновешенной, если она принимает единичное значение ровно на половине наборов. Уравновешенные корреляционно-иммунные функции порядка m называются m-устойчивыми. Подробнее о корреляционно-иммунных функциях можно прочитать в [2, 3].
Представляет интерес вопрос: при каких соотношениях между n и m существуют неуравновешенные неконстантные корреляционно-иммунные функции порядка m от n переменных? Примеры таких функций 2n 2n - 2
при т =--1 хорошо известны. В работе [4] Д. Г. Фон дер Флаасс доказал, что при т ^ - любая
3 3
неконстантная корреляционно-иммунная функция порядка m от n переменных является уравновешенной.
Оказывается, что в случае ортогональных массивов это утверждение превращается в оценку снизу.
2n - 2 _ 1
Теорема. Если т ^ —-—, то для OA(N,n,2,m) выполнено N ^ 2п . Кроме того, в случае
N = 2n-1 ортогональный массив является простым.
Доказательство. Для а Е Fn обозначим xa = 2na — 1, где na — число строк ортогонального массива, совпадающих с а. Предположим, что 0 < N ^ 2n-1. Тогда
A. B. Халявин1
Д. Г. Фон дер Флаасс доказал, что корреляционно-иммунные булевы функции порядка то от п переменных являются уравновешенными при то ^ . В данной работе этот факт обобщается на случай ортогональных массивов: если сила массива т не меньше 2"з~2, где п — число факторов, то его размер не меньше 2™~1, а в случае равенства массив
2п—2 3
2п—2
(1)
а
Применим к набору чисел {ха} преобразование Уолша формула обращения [3]
которого справедлива
а
в
1 Халявин Андрей Вячеславович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Возведем теперь выражение xa через Wa в квадрат. Получим
1
1
Пр =
2 2п
где
Фа
2n
Е WßW7.
ß,Y,ß+Y=a
Поскольку ортогональный массив имеет силу т, то Ша = 0 при 0 < |а| ^ т. Если \@\ ^ т + 1 и то \в + 71 ^ 2(п — т — 1) ^ т. Поэтому при |а| > т мы получаем
Кроме того (применяя формулу обращения к равенству (3) и определение ха),
фо = Е ха > Е1 = 2га •
(3)
(4)
^ m + 1,
(5)
(6)
Рассмотрим теперь величину ^^ ^. Это нулевой коэффициент Уолша у произведения векторов ха и
а
ха, поэтому аналогично тому, как было получено выражение (4), перемножая формулы (2) и (3), приходим к равенству
а *у а I / ^ ^аууа а,0<|а|^т а,\а\>т
(7)
Второе слагаемое равно нулю, поскольку Ша = 0, а в третье слагаемое можно подставить выражение (5) для Фа. Если, кроме того, вычесть ^^ха, то (7) преобразуется к виду
'У ^(ха ха)
12 2П { фоИ^о + - Е
а,\а\>т
Wowa I - Wo =
Wo
2 п
2
2
2п
Фо - И-о2 + ^ Е - 2™ = ^ ( 3 фо - ^ - 2™
Wo
2 п
W0
W0
Оценим сомножители. Поскольку \¥о ^ 0, то и ^ 0. Из (6) и (1) получаем Фо 2п ^ —отку-2
да ЗФо — —2п^0. Таким образом, — ха) ^ 0. С другой стороны, х\ — ха ^ 0, поскольку
а
ха может принимать лишь значения —1,1, 3,--- . Отсюда получаем, что ха — ха = 0 для всех а, т.е. ха = ±1, и как следствие массив является простым. Кроме того, получаем, что либо Шо = 0, либо ЗФо — т^^о —2п = 0. В первом случае ортогональный массив содержит ^^па = ^^ а^ — =
2n-1 = 2
2n
n— 1
строк, что удовлетворяет заключению теоремы. Во втором случае Фо = 2п и |^о | = 2п, что противоречит неравенствам (1).
Работа поддержана программой "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-4470.2008.1) и программой фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hedayat A.S., Sloane N.J.A., Stufken J. Orthogonal Arrays: Theory and Applications. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.
2. Таранников Ю.В. О корреляционно-иммунных и устойчивых булевых функциях // Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит, 2002. 91-148.
3. Логачев О.А, Сальников А.А., Ященко В.В. Булевы функции в теории кодирования и криптографии. М.: МЦНМО, 2004.
4. Fon-Der-Flaass D.G. A bound on correlation immunity // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2007. 4. 133-135. URL: http://semr.math.nsc.ru (проверено 14.12.2009).
Поступила в редакцию 14.12.2009
УДК 511
ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАКА ФУНКЦИИ S(t) НА КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ
Р. Н. Бояринов1
Доказана теорема о перемене знака аргумента дзета-функции Римана S(t) на интервале (t — A,t + A) с A = 4, 39lnlnlnln T при любом t, T ^ t ^ T + H, за исключением значений из множества E с мерой mes(E) = O (H(lnlnT)_1(lnlnlnT)~0'5) .
Ключевые слова: аргумент дзета-функции Римана, приближенная формула Сельбер-
га.
A theorem for the sign change of the argument of the Riemann zeta function S(t) in the interval (t — A,t + A) with A = 4, 39 lnln lnln T for each t, T < t < T + H, excluding values from the set E with measure mes(E) = O (H(lnlnT)_1(lnlnlnT)~°'5) is proved.
Key words: argument of the Riemann zeta function, Selberg's approximate formula. Дадим необходимые определения.
Определение 1. Для вещественного t, отличного от ординаты нуля ((s), положим
S(t) = -&rg((l + it п \2
где arg(" Q + it) получается непрерывным продолжением arg£(s) вдоль ломаной линии, начинающейся в
точке s = 2 (arg ((2) = 0), идущей к точке s = 2 + it и затем к точке s = 1/2 + it. Если же t — мнимая
часть нуля ((s), то S(t) = lim US(t + 6) + S(t - 6)).
S—^+0
Г. Бором и Э. Ландау [1] было установлено в 1913 г., что величина S(t) с ростом t может принимать сколь угодно большие по модулю как положительные, так и отрицательные значения. Отсюда следует, что функция S(t) при t ^ меняет свой знак бесконечно много раз.
Определение 2. Для положительного T через M(T) обозначим количество точек перемены знака S(t) на промежутке (0, T].
А. Сельберг [2] в 1946 г. разработал новый метод исследования функции S(t), который позволил при H = T0'5+£ (0 < £ < 0, 001) получить оценки снизу для M(T + H) — M(T) :
М(Т + Я) - М(Т) > Я(1пТ)1/3ехр(-с\/1п1пТ), с > 0.
Метод Сельберга при H ^ lnT не только не приводит к нижней оценке разности M(T + H) — M(T), но и не позволяет утверждать, что она положительна.
Иной подход к исследованию величины M (T) был предложен Дж. Мюллер [3]. Пусть T > 0 — достаточно большое число. При каком значении A промежуток (T — A,T + A] будет содержать точку перемены знака функции S(t)? Опираясь на гипотезу Римана, Дж. Мюллер доказала, что величину A можно положить равной Ci lnlnln T, где Ci > 0 — абсолютная постоянная.
1 Бояринов Роман Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
