CC BY
82. Таранников Ю.В. О корреляционно-иммунных и устойчивых булевых функциях // Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит, 2002. 91-148.
3. Логачев О.А, Сальников А.А., Ященко В.В. Булевы функции в теории кодирования и криптографии. М.: МЦНМО, 2004.
4. Fon-Der-Flaass D.G. A bound on correlation immunity // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2007. 4. 133-135. URL: http://semr.math.nsc.ru (проверено 14.12.2009).
Поступила в редакцию 14.12.2009
УДК 511
ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАКА ФУНКЦИИ S(t) НА КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ
Р. Н. Бояринов1
Доказана теорема о перемене знака аргумента дзета-функции Римана S(t) на интервале (t — A,t + A) с A = 4, 39lnlnlnln T при любом t, T ^ t ^ T + H, за исключением значений из множества E с мерой mes(E) = O (H(lnlnT)_1(lnlnlnT)~0'5) .
Ключевые слова: аргумент дзета-функции Римана, приближенная формула Сельбер-
га.
A theorem for the sign change of the argument of the Riemann zeta function S(t) in the interval (t — A,t + A) with A = 4, 39 lnln lnln T for each t, T < t < T + H, excluding values from the set E with measure mes(E) = O (H(lnlnT)_1(lnlnlnT)~°'5) is proved.
Key words: argument of the Riemann zeta function, Selberg's approximate formula. Дадим необходимые определения.
Определение 1. Для вещественного t, отличного от ординаты нуля ((s), положим
S(t) = -&rg((l + it п \2
где arg(" Q + it) получается непрерывным продолжением arg£(s) вдоль ломаной линии, начинающейся в
точке s = 2 (arg ((2) = 0), идущей к точке s = 2 + it и затем к точке s = 1/2 + it. Если же t — мнимая
часть нуля ((s), то S(t) = lim US(t + 6) + S(t - 6)).
S—^+0
Г. Бором и Э. Ландау [1] было установлено в 1913 г., что величина S(t) с ростом t может принимать сколь угодно большие по модулю как положительные, так и отрицательные значения. Отсюда следует, что функция S(t) при t ^ меняет свой знак бесконечно много раз.
Определение 2. Для положительного T через M(T) обозначим количество точек перемены знака S (t) на промежутке (0, T].
А. Сельберг [2] в 1946 г. разработал новый метод исследования функции S(t), который позволил при H = T0'5+£ (0 < £ < 0, 001) получить оценки снизу для M(T + H) — M(T) :
М(Т + Я) - М(Т) > Я(1пТ)1/3ехр(-с\/1п1пТ), с > 0.
Метод Сельберга при H ^ lnT не только не приводит к нижней оценке разности M(T + H) — M(T), но и не позволяет утверждать, что она положительна.
Иной подход к исследованию величины M (T) был предложен Дж. Мюллер [3]. Пусть T > 0 — достаточно большое число. При каком значении A промежуток (T — A,T + A] будет содержать точку перемены знака функции S(t)? Опираясь на гипотезу Римана, Дж. Мюллер доказала, что величину A можно положить равной ci lnlnln T, где ci > 0 — абсолютная постоянная.
1 Бояринов Роман Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
Используя идею Дж. Мюллер, М. А. Королев [4] получил безусловный результат для почти всех Т, но еще с меньшим значением А. Им была доказана следующая теорема.
Теорема (М. А. Королев). Пусть е — сколь угодно малое фиксированное число, 0 < е < 0, 001, Т ^ Т0 (е) > 0, Н = Т27/82+£, А = 4,391п1п1п1п Т. Тогда интервал (Ь - А, Ь + А) содержит точку перемены знака функции Б(Ь) при любом Ь, Т ^ Ь ^ Т + Н, за исключением значений из .множества Е с мерой шев(Е) = 0(Н(1п1пТ)-0'5).
Цель настоящей статьи — получить подобный результат, но для более широкого множества значений Ь, Т ^ Ь ^ Т + Н. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Для любого 0 < е < 0, 001 существует вещественное положительное число То(е), такое, что для любых Т ^ То (е), Н = Т27/82+е и А = 4, 391п1п1п1п Т интервал (Ь — А,Ь + А) содержит точку перемены знака функции Б(Ь) при любом Ь, Т ^ Ь ^ Т + Н, за исключением значений из множества Е с мерой шев(Е) = О (Н(1п1пТ)-1 (1п1п1пТ)-0'5) , постоянная под знаком О абсолютная.
Доказательство теоремы опирается на нижеследующую лемму. Будем следовать обозначениям и схемам доказательств, используемым в [4, 5].
Пусть
К(г)=ехр(-2сЦг)), фк(и) = -К (-) (1 + (~1)к 8т((* + и) 1п2)) , Ф^) =
а \ а / \ *
фк(и)Б (Ь + и)йи
А
Ф2(Ь) =
Фк (—и)Б(Ь — и)йи
А
= Ф(1) = Ф1(1) + Ф2(1).
Справедлива следующая лемма.
Лемма. Пусть А = а 1п1п1п1пТ, где а — положительное число. Тогда для интеграла ](Т) =
т+н
/ Ф(Ь)йЬ имеет место оценка ](Т) ^ Н(1п1п Т)-1 (1п1п1пТ)-0'5, где постоянная зависит только от а. т
т+н т+н
Доказательство. Обозначим ]-\_(Т) = J Ф1(Ь)йЬ, ]2(Т) = J Ф2(Ь)йЬ. Оценим ]-\_(Т). Верны нера-
т т
венства Ф1(Ь) ^ Ф 1(Ь) + 51(Ь),Ф 1 (Ь) = \Б(Ь)\ < 1п(|Ь| + 1) (см. [6, с. 211]), то
ат
а 1п т
/ фк(и)Б(Ь + и)йи А
,51(1) =
/ фк (и)Б(Ь + и) ¿и
а 1п т
. Так как
а 1п т
а 1п т
51 (Ь) ^ 2 ! ^(и)\Б(Ь + и)\йи = ^ У ^(и)\Б(Ь + и)\йи + 2 J ц>(и)\Б(Ь + и)\йи <
ат
< 1пТ J ср(и)(1и+ У (1п и)ср(и)с!и
а 1п т
а 1п т
т+н
Поэтому достаточно оценить ^(Т) = [ ф 1(Ь)йЬ. Справедливы неравенства (см. [4, с. 86] и [5, с. 58])
т
т+н
Б(Ь + и) = —W(Ь + и) + Е(Ь + и), Ф1 (Т) < Ф12(Т)+512(Т), Ф12(Т) =
т
а 1п т
фк (u)W (Ь + и) ¿и
А
йЬ,
т+н
а 1п т
512(Т) = У У Фк(и)Е(Ь + и)йи йЬ ^ 2 [ й^ р(и)\Е(Ь + и)\йи ^ та ТА
а 1п т
<
¥(и)
А
\
т+н п а 1п т с
/ йЬ /'
.У т .у А
т+н
а 1п т
У Е2(Ь + и)йЬйи < Н У р(и)йи < тА
Н
(1п 1п Т )(1п1п1пТ)
Далее,
T+H
MT) <
T
aln T
фк(и)Ш (t + u)du
A
Так как (см. [5, с. 58-59]) W(t) = ± £ sin(t'np)
ПP<y VP
dt ^VH
y = T°'l£/3, то
\
T+H /aln T
j dt I J фк(u)W(t + u)du
TA
T+H
J = J dt
T
aln T
J dt I J фк(u)W(t + u)dul = TA
T+H aln T
aln T
= F / dt
фк(u)du фк(v)dv
TA T+H aln T
A
aln T
dt
П2
фк (u)du фк (v)dv^
sin((t + u) lnp) sin((t + v) ln q) sin((t + u) lnp) sin((t + v) lnp)
T
A
A
T+H aln T
p<y
aln T
P
+
+ -2 j dt T
A
фкШи [ Mv)dv У ^((t + «)lnP)sin((t + t,)lng)
' ^ Vp VQ
p<q<y
Для оценки .] воспользуемся следующими соображениями:
1) фк(и) = <р(п) (1 + (-1)к + и) 1п 2)) ;
2) £ ¿Ппр сходится (суммирование ведется по простым р); р=2
т+н
/ 8ш(а:£ + /3)(И
T
<
R, где аф 0;
4) для любых различных натуральных чисел т,п ^ к выполняется неравенство 11п
5)
aln T
f p(u) sin(au + ß)du
A
<
нтат'где a + a
Оценивая J, получим J < H (lnln T)_2(lnlnlnT)_1. Следовательно, jj12 (t) < H (lnln T)_1(lnlnlnT)"°'5. Отсюда ji(T) ^ H (lnln T)_1(lnlnlnT)_°'5. Оценка интеграла j^(T) проводится аналогично. Лемма полностью доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bohr Н, Landau Е. Beitrage zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion // Math. Ann. 1913. 74, N 1. 3-30.
2. Selberg A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function // Arch. Math. Naturvid. 1946. 48, N 5. 89-155.
3. Mueller J.H. On the Riemann zeta-function Z(s) — gaps between sign changes of S(t) // Mathematika. 1983. 29, N 58. 264-269.
4. Королев М. А. Изменение знака функции S(t) на коротких промежутках // Изв. АН СССР. Сер. матем. 2005. 69, № 4. 75-88.
5. Карацуба А.А., Королев М.А. Поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой // Успехи матем. наук. 2006. 61, № 3(363). 3-92.
6. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953.
Поступила в редакцию 25.12.2009
2
2
1
